保险精算-年金rui

第一节

年

金

的

定

义一

、

年

金

的

定

义按相等时间间隔所支付的一系列款项。如住房按

揭分期付款、养老金给付等。年金最原始的含义是指一年支付一次，每次支付

相

等金

额

的

一

系

列

款

项

.

现

已

推

广

到

任

意

时

间

间

隔

长

度

的

系

列

付

款

。二

、

年

金

的

分

类1、

按照年金的支付时间和金额是否确定，年

金

可

以

划

分

为确

定

年

金和

生

命

年

金.确定年金与生命年金的区别生

命

年

金

以

人

的

生

存

为

支

付

条

件

。

(

必

要

条件

)给

付

期

间

或

次

数等鑫年轰贾考虚命望生存概率，确定年金的按

照

年

金

的

支

付

期

限

长

短

.

可

以

划

分

为定

期

年金

永

续

年

金

.按

照

年

金

的

支

付

周

期

不

同

，

年

金

可

以分为

每

年

支

一

次

的

年

金

、每

季

支

付

一

次

的

年

金

、

每

月

支

付次

的

年

金

等

等

.果

年

金

是

连

续

不

断

地

支

付

，

那

么

这

种

年

金

被

称

为续

年

金

.按照年金支付的起始点不同，可以分为期初付年和

期

末

付

年

金.2、和

3、付一

如连

4、金期初付年金是指在每个支付周期初(如年初、季初、

月初等)支付的年金-◆

期末付年金是指在每个支付周期末(如年末、季末、

月末等)支付的年金-5、按照年金开始支付的时间不同，年金可以分为即期年

金和延期年金.6、

按照每次付款的金额是否相等，年金可以划分为等额

年金和变额年金.>

等额年金是指每次支付相等金额的年金；>变额年金是指每次付款金额并不相等的年金.无

穷

等

比

数

列

的

求

和

公式

：s=1“本

章

学

习

基

础

：等

比

数

列

的

求

和

公

式

：第

二

节，期末

付

年

金一

、

期

末

付

确

定

年

金

的

现

值年

金

现

值

是

指

年

金

的

一

系

列

付

款

在

期

初(

时

间

起

点

)

的

价

值

.期末付年金：共有n个支付期，支付间隔相等

，

每

个

期

末

付

款

1

元

，

每

期

实

际

利

率

均

为i。现

值

：

一

般

用

am

表示时

期

0

1

2

m-1m年

金y2n-1vnn]i

图

3

-

1

期

末

付

定

期

年

金

的

现

值

1-v”将

上

式

变

形

，

得

：I=zau+y经

济

意

义0时刻投资1

单

位

本

金

，投资n期左边

初始

投资本金1右

边

各

期

利

息现值之和

+n期期末回

收本金1

的现值现值：

一般用an

表示an=v+v²+...+十

p²2-1川第

三

节

年

金

的

终

值一

、期末付确定年金的终值时期0

2年金(1+i)

(1+i)2(1+i)n-1—

(1+i)n-1SnS

=1+(1+i)+(1+i)²+...+(1+i)"-n+)”Q±

1.)”-1将

上

式

变

形

得

：(1+i)"=1+isn经济意义

0时刻投资1单位本金，投资n期

左边n

期期末，投资积累值右

边

各

期

利

息

积

累

值

之

和

+

投

资

本

金

1现值与积累值的关系：Sn

=an(1+i)nan=v+v2+v3+.+vn(1+i)nam=(1+i)n-1+(1+i)n-2+…+1=S例：计算年利率为6%的条件下，每年年末投资1

0

0

0

元，

投

资

1

0

年

的

现

值

和

积

累

值

。解：现值：1000a₁oo.o₆=1000[1-(1/1.06)10]/0.06

=7360.09(元)积

累

值

：

1000sn=1000[(1+0.06)10-1]/0.06

=13180.80(元)验证一下：

sn=(1+0.06)10an现

值

：一

般用an表

示an=v+v²+v³+.+vn=V(1-vm)/(1-v)=(1-vm)/i例

：某人在银行存入20000元，计划分四年支取完，每半年支取一次(年末),每半年计息一次的

年

名

义

利

率

为

7

%

,

求

其

每

次

支

取

的

额

度

。解：

设每半年支取额为R,

有：Rag

o.035=20000R=20000

i/[1-(1+0.035)⁸

]=2909.51(元)课本例题2、期初付年金：每个期初支付1元，其余同期末付

年

金

相

同现值：

一般用V

十十1=(1-vn)/d2

n-1

I]期o金时年一十,2

2

—],3积累值与现值的关系an(1+i)”=snSm=(1+i)"+(1+i)"-1+…(1+i)an与

Qn

、Sn与

Snan=1+v+v²+...+yn-2V+y2

十

十=—a(1+i)同

理

，

sn=sn(1+i)vn-2

十

P

n—1VL

pn-1+pn之间的关系例：某银行客户想通过零存整取方式

在1年后获

1

0

0

0

0

元，

在月复利为

0

.

5

%的情

况下，

每

月初(末)储蓄存入多少元?R-si

zlo.oos

=10000R-s

₁zlo.oos=10000解

：

设

每

月

存

入R

元

，有

：年

金

在

住

房

按

揭

中

的

应

用假

设

单

价

3

4

8

0

元

/

平

方

米，

购

房

面

积1

3

6

.

3

5

平

方

，

按

揭

8

成，按

揭

年

数

2

0

年，

年

利

率

4

.1

6

%。

问

：

每

月月末还贷多少?共支付多少利息?月利率

i=4.16%/12购

房

总

额

1

3

6

.

3

5

*

3

4

8

0

=

4

7

4

4

9

8首

付

总

额

*

0

.

2

=

9

4

8

9

9

.

6剩

余

额

=

总

额

*

0

.

8

=

3

7

9

5

9

8

.

4银

行

实

际

贷

款

3

7

万

实

际

首

付

1

0

4

4

9

8设

每

月

付

款R

37万

=R*(1-v^240)/i

R=2273.45共

支

付

利

息

=R*240-37

万

=

1

7

5

6

2

8四、

例题某

人

预

计

在

1

0

年

后

需

要

为

其

子

女

支

付

4

0

0

0

0

元

的

学费，为此他打算在每年初往一种基金存入一笔钱.如果

该基金的年实际利率为6%,那么他每年该存入多少钱，

才

能

保

证

第

1

0

年

末

获

得

4

0

0

0

0

元

用

于

支

付

子

女

的学费

.解

：

假

设

每

年

初

需

要

存

入A

元

，则

根

据

题

意

可

以

建

立

下

述

方

程

：400001.06×13.1808=2863(元)40000=As10|6%已知a₁=K,a₁=L,a₁=M,用K,L,M表示i的值.三

、练

习∴v⁷=1-iK,vl¹=1-iL,vv¹8=y⁷.yli∴1—iM¹8=1-iM=(1-iK)(1-iL)角

军

：

∵a⁷=K,an²=L,as=ML+K—MKL∴

i

=2.3

年金在任意时刻的值年金在支付期限内任意时刻的值年金在支付期限内任意时刻的值年金在支付期限结束后任意时刻的值3、

延

期

年

金

：

第

一

次

支

付

发

生

在

第m+1期

，

最

后

一

次支

付

在

第m+n期

，

共

有n个

支

付

期

。期

末

支

付

：

现

值

用

mlOn]

表

示01

2

m

m+1

m+2

m+nmnmn-l—amV

Man0MN1Nmd-ΩM

Nm+1m+n23.期初付延期年金的现值计算公式：4、

例

题

：某企业向银行借入一笔款项，银行贷款的年利率为8%,银

行

规

定

前

1

0

年

不

用

还

本

付

息

，

但

从

第

1

1

年

至

第

20年每年末

偿还本息2000元，问这笔贷款的金额是多少?解

法

一

：

应

用

公

式

：

a,=anv”

得2000an=2000a₁ov¹°=2000×6.7101×0.46319=

6

2

1

6

(

元

)军

法

二

：应用公式。am=am+m-a

得：

20001₀ao=2000(a2o)-ao)=2000×(9.8181-6.7101)=

6

21

6

(

元

)例题：某企业从银行获得一笔贷款，年利率为6%.假设企业

每年末向银行偿还20000元，10年后即可以还清贷款的所

有本息.如果企业打算在5年零3个月时一次付清所有贷款

本息，试计算应该一次性偿还多少.7解：先计算年金在5年末的值即：20000(ss+as)将此值再计算3个月的复利率累积值，即得上述年金在5

的零3个月末的值为：20000(ss+as)(1+i)⁰.25=20000(5.6371+4.2124)(1+0.06)0.25=199880(元)5、

年金在支付期限结束后任意时点上的值(以期末付年金

为例)时

期

0

1

2

n-2

n-1

n

n+m年金

1

1

1年金现值：an

年金终值Sns,(1+i)”=Sn+m

—Sm=a(1+i)+m例题：

一份保险合同规定，年金受益人可以在每年末从保险公司领取2000元，

一共领取10年(年金受益人

死亡后由其继承人继续领取，直至10年期满).受益人希望将这笔年金暂时存在保险公司，并在第15年

末一次性领取作为儿子的学费.如果保险公司同意

按5%的年复利率支付利息，那么保险公司在第15末

应该一次性支付多少?解：首先计算上述年金在第10年末的终值为2000s₁o,再计算该终值在

第5年末的累积值为：2000s₁₀(1+0.05)⁵=2000×12.5779×1.27628=32106(元)4、

永

续

年

金定义：支付次数没有限制，永远持续支付的年金。相

当于前