解析几何理课件

解析几何目录（理）

第一讲直线的方程

第二讲直线的交点坐标与距离公式

第三讲圆的方程

第四讲直线、圆的位置关系

第五讲椭圆的定义与方程

第六讲椭圆的性质

第七讲双曲线

第八讲抛物线

第九讲求轨迹问题

第一讲直线的方程

1、直线的倾斜角：当直线L与X轴相交时，我们取X轴作为基准，X轴正向与直线L向上方向之间所成的角叫

直线的倾斜角，当直线L与x轴平行或重合时我们规定它的倾斜角为0°,直线倾斜角的取值

范围为［0,万)。

2,直线的斜率

当a*90"时，k=tana叫做直线L的斜率；

当a=90°时，直线L的斜率不存在。

斜率公式：设461,%)1第2，丫2),a1工*2)为直线1上的两点，则卜=比二比

X|一X2

【例】在下列四个命题中，正确的命题共有(A)

(1)坐标平面中内的任何一条直线均有倾斜角和斜率；

(2)直线的倾斜角的取值范围为［0,%］；

(3)若一直线的倾斜角为则此直线的斜率为tana；

(4)若一直线的斜率为tana,则此直线的倾斜角为a.

A.0个B.1个C.2个D.3个

【例】如果过点P(-2,m)和Q(m,4)的直线的斜率等于1,那么m的值为()

A.lB.4C.1或3D.1或4

【备选题库】

1.在下列四个命题中，正确的命题共有()

(1)坐标平面中内的任何一条直线均有倾斜角和斜率；

(2)直线的倾斜角的取值范围为［0,%］；

(3)若一直线的倾斜角为a,则此直线的斜率为tana；

(4)若一直线的斜率为tana,则此直线的倾斜角为a.

A.0个B.1个C.2个D.3个

2.下列说法正确的有()

①若两直线斜率相等，则两直线平行；

②若％//22,则kM；

③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交；

④若两直线斜率都不存在，则两直线平行。

A、1个B、2个C、3个D、4个

3.如图所示，直线4,h,4,的斜率分别为左，k2,总则(D)

A.k\<k2<ki,

13

X

B.ky<k\<k2

C.左3V左2Vk\

D.k\＜女3Vk2

4.求经过下列两点直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角，直角，还是钝角。

(1)(1,1)、(2,4)(2)(-3,5)、(0,2)(3)(3,3)、(3,5)(4)(8,2)、(-8,2)

5.已知两点A(-l,-5)、B(3,-2),直线1的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，求1的斜率。

6.若A(a,2),B(5,l),C(-4,2a)不能构成三角形，求a的值。

7.若直线的1的斜率k的变化范围为[-1,、回]，则它的倾斜角的变化范围是(D)

7T_7T._7t7t兀371八兀।137r|

A----Fkjc,—Fkit(keZ)B，—C---,----D0,-U—»兀

43J143」L34JL3jL4)

8.若两直线a,b的倾斜角分别为%,%,则下列四个命题中正确的是()

A.若修＜。2,则两直线斜率左〈左B.若%=%,则两直线斜率左二左

C.若两直线斜率左＜4,则D.若两直线斜率左=七,则4二%

9.函数(6尸smf-：的最大值为_______,最小值为_________.

cos^-2

10.下列命题：

(1)若点p(x1.yi),Q(x2,y2),则直线PQ的斜率为k="二2.；

(2)任意一条直线都存在唯一的倾斜角，但不一定都存在斜率；

(3)直线的斜率k与倾斜角。之间满足A=tana;

(4)与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0。.以上正确的命题个数是()

A.0个B.1个C.2个D.3个

11已知Ml,0)、N-1,0),直线2x+y=b与线段MN相交，则的取值范围是()

A，[―2,2]B：[—1,1]C,[-5，—]D,[0,2]

12.过P(-1,2)的直线1与线段AB相交，A(-2,-3)sB(3,0).求直线1的斜率k的取值范围

13.已知实数满足y=x2-2x+2(-14x41).,试求：X+2的最大值和最小值。

3、直线的方程

名称方程说明适用条件

A一斜率倾斜角为90°的

斜截式y=kx+b

6一纵截距直线不能用此式

(Ab,%)一直线上已

倾斜角为90°的

点斜式y-y()=k(x-x^)知点，

直线不能用此式

k——斜率

与两坐标轴平行

(蜀，Ji),3,㈤是

两点式的直线不能用此

%一y々一玉直线上两个已知点

式

xyL直线的横截距过(0,0)及与两

截距式一+±二1

ab〜直线的纵截距坐标轴平行的直

线不能用此式

Ax+Br+C=0A、B不能同时为

一般式

(A、B不全为零)零

【例】求适合下列条件的直线的方程:

3

一在y轴上的截距为-5,倾斜角的正弦是w；

(2)经过点(3,2)且在两坐标轴上的截距相等；

㈠)经过点(-1,-3),倾斜角等于直线y=3x的倾斜角的2倍；

<1)经过点(1,1),与x轴垂直；

⑸经过点(-1.1),与x轴平行。

【例】.根据下列条件写出直线方程式，并把它化成一般式：

3

过点A(-2,3),斜率为一彳；(2)在x轴和y轴上的截距分别为-3,4。

【例】已知AABC三个顶点坐标A(2,-1)、B(2,2,)、C(4,1),求三角形三条边所在的直线方程。

【备选题库】

1.如果AC〈O,且BCVO,那么直线Ax+By+C=O不通过()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.下列四个命题中的真命题是()

A.经过定点P。(x。，％)的直线都可以用方程y-y0=k(x-xo)表示

B.经过任意两个不同的点Pi(xt,yi)和P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-yi)(x2-xi)=(x-x,)(y2-yi)表

示

C.不经过原点的直线都可以用方程±+?=1表示

ab

D.经过定点A(0,b)的直线都可以用方程y=kx+b表示

3.过点M(2,1)的直线/与x轴，y轴分别相交于P,Q两点，且|MP|=|MQ|,则直线/的方程是()

A.x-2y+3=0B.2x-y-3=0C.2x+y-5=0D.x+2y-4=0

4.若(m2-4)x+(m2-4m+3)y+l=0表示直线，则()

A.mH±2且mHl,m*3B.m*±2C.mwl,且mw3D.m可取任意实数

5.求过点A(1,1),且在两坐标轴上截距相等的直线方程。

6.过点(1,4)且在x轴、y轴上的截距的绝对值相等的直线共有(C)

A.1条B.2条C.3条D.4条

7.直线xcosa+石y+l=0的倾斜角的取值范围是(B)

兀71715兀71兀兀5兀

A一，一U，-B0,U兀CD

6226-6666

8.若方程(6/一a—2)肝(3/-5a+2)广缶-1)=0表示平行于尸轴的直线，则a的值_

9.不论m为何值，直线(m—l)x—y+2m+l=0恒过定点()

1

A、(1,--)B、(-2,0)C、(2,3)D、(-2,3)

10.若直线(n?—l)x—y—2m+l=0不经过第一象限，则实数m的取值范围是

11.已知直线/:(a+6)x+(a-6)y+2=0，其中满足3“-Z>+2=0.求证：直线/过定点.

12.已知直线1经过点A(4,-3),并且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，求直线1的方程。

13.已知直线1过点p(3,2),且与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点。求AABO面积最小时1的方程。

14.直线/过点（1,2）和第一、二、四象限，若直线/的横截距与纵截距之和为6,求直线/的方程

15.直线1过点p（1,4）,分别交x轴的正方向和y轴的正方向于A、B两点。

⑴当时㈣最小时，求]的方程；

⑵当I。川“。叫最小时，求1的方程。

16.一条直线经过点P（3,2）,并且分别满足下列条件，求直线方程：

（1）倾斜角是直线X—4y+3=0的倾斜角的2倍；

（2）与x、y轴的正半轴交于A、B两点，且aAOB的面积最小（O为坐标原点）

17.已知直线I:5ax—5y—a+3=0。

（1）求证：不论a为何值，直线1总经过第一象限；（2）为使直线不经过第二象限，求a的取值范围。

第二讲直线的交点坐标与距离公式

1、两直线平行的充要条件：

直线L和12的方程为y=k1x+b1,y=k2x+b2,则I""<=>%=k2,b（*b2

两直线垂直的充要条件：直线L和h的方程为y=lx+b],y=k?x+b2,则L_Lk=（k?=T

若直线L:A[X+B]y+G=0;12:A2x+B2y+C2=0

11//12OAJB2=A2Bj;lj±12<=>AJA2+BJB2=0

【例】已知直线4的斜率为3,直线’2经过点A（1,2）,B（2,a）,若直线则a=

若直线,'A,则@=

【例】已知四边形ABCD的顶点A（2,20+2）,B（-2⑵，C（0,2-272）,D（4,2）,求证四边形ABCD为矩

形。

【备选题库】

1.下列命题中正确的是（）

A.平行的两条直线的斜率一定相等B.平行的两条直线的倾斜角相等

C.斜率相等的两直线一定平行D.两直线平行则它们在y轴上截距不相等

2.已知直线tnx+ny+l=0平行于直线4x+3y+5=0,且在y轴上的截距为:，则m,n的值分别为（）

A.4和3B.-4和3C.-4和-3D.4和-3

3,两条直线mx+y-n=0和x+my+l=0互相平行的条件是（）

[m=\[m=-\f/n=l

A.m=lB.m二±1C.<D.4或《

[n^-i[n^-\[n^\

4.直线kx+y+2=0和G：x-2y-3=0,若乙II七,则乙在两坐标轴上的截距的和（）

A.-1B.-2C.2D.6

5.已知两点A（-2,0）,B（0,4）,则线段AB的垂直平分线方程是（）

A.2x+y=0B.2x-y+4=0C.x+2y-3=0D.x-2y+5=0

6.原点在直线2上的射影是P(-2,1),则直线2的方程为()

A.x+2y=0B.x+2y-4=0C.2x-y+5=0D.2x+y+3=0

7.已知直线2a=0与直线(2a—l)x+即+a=0互相垂直，则a等于()

A.1B.0C.1或0D.1或一1

8.已知直线1的方程为3x+4y—12=0,求直线1'的方程，1'满足

(1)过点(-1,3),且与1平行；⑵过点(-1,3)且与1垂直。

9.已知A(0,3)、B(-1,0)、C(3,0),求D点的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A、B、C、D按逆时针方向

排列)。

2、两直线的交点

井、介,…[A.x+B,y+C,=0

设两条直线的方程是/|：A|A+BF+C1=0,/2：A2x+Bzy+C2=0,若方程组〈

A2X+B2y+C2=0

(1)有唯一解(xo,yo),则4和4相交于(x((,yo)

(2)无解，则4和4平行

(3)有无穷多解，则4和4重合。

3、距离公式

(1)两点间距离：若A(X|,yJ,B(X2，y2),则=，(乙一七1+(必一%产

特别地：AB〃x轴，则网=|再一？1、AB〃y轴,则|AB|=I%-%I。

(2)平行线间距离：若4:Ax+By+G=0,4：—+为+。2=0，

则：o注意点：X,y对应项系数应相等。

|Axo+By„+C|

(3)点到直线的距离：P(xo,yo),1:Ax+By+C=0,则P到1的距离为：d

7A2+B2

注意：两直线的一次项系数必须完全相同，若不同，需变成系数完全相同时才能用。

【例】求与直线/：5X-12产■GR平行且到/的距离为2的直线的方程

【例】求经过点P(2,-1),且过点A(-3,-1)和点B(7,-3)距离相等的直线方程.

【备选题库】

1.两条直线A|X+Biy+C,=0与A2x+B2y+C2=0的交点坐标就是方程组的实数解，以下四个命题:

⑴若方程组无解，则两直线平行(2)若方程组只有一解，则两直线相交

(3)若方程组有两个解，则两直线重合(4)若方程组有无数多解，则两直线重合。

其中命题正确的个数有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.直线3x-(k+2)y+k+5=0与直线kx+(2k-3)y+2=0相交,则实数k的值为()

A.%"或tx9B.E或t-9C.—且tx9D.且4x-9

3.直线产kx-k+1与ky-x-2k=0交点在第一象限，则k的取值范围是()

A.0<k<lB.k>l或-lvk〈OC.k>l或k<0D.k>l或kv，

2

4.设Q(l,2),在x轴上有一点P,且|PQ|=5,则点P的坐标是()

A.(0,0)或(2,0)B.(1+V21.0)C.(1-V21.0)D.(1+历,0)或(1-历,0)

5.线段AB与x轴平行，且|AB|=5,若点A的坐标为(2,1),则点B的坐标为()

A.(2,-3)或(2,7)B.(2,-3)或(2,5)C.(-3,1)或(7,1)D.(-3,1)或(5,1)

6.点(4,0)关于直线5x+4y+21=0对称的点是()

A.(-6,8)B.(-8,-6)C.(6,8)D.(-6,-8)

7.已知点P(a,b)和点Q(b-l,a+l)是关于直线4对称的两点，则直线，的方程为()

A.x+y=OB.x-y=OC.x+y-l=OD.x-y+l=O

8.过点M(3,-4)且与A(-1,3)、B(2,2)两点等距离的直线方程是

9.点Rx,y)到直线5xT2尹13=0和直线3x-4,什5=0的距离相等，则点。的坐标应满足的是()

A，32x—56y+65=0或7x+4y=0Bx—4y+4=0或4x—8y+9=0

C7x+4y=0D,x-4y+4=0

10.直线/经过点A(2,4),且被平行直线x-y+l=O与x-y-l=O所截得的线段的中点在直线x+y-3=0上，求直线/

的方程.

11，求与直线/:5X-12产6=0平行且到/的距离为2的直线的方程，

12直线/被两条直线4:4x+y+3=0和4：3x—55=0截得的线段中点为P(7,2),求直线/的方程

13.已知等腰直角三角形48。中，C=90'，直角边6c在直线2X+3尸6=0上，顶点/I的坐标是(5,4),求边48

和4c所在的直线方程，

14.已知正方形的中心为G(—1,0),一边所在直线的方程为X+3y一5=0,求其他三边所在直线方程，

15.光线由点A(T,4)射出，遇到直线/：2x+3y-6=0后被反射，已知其B(3,1),求反射光线所在直线的方程

16.4ABC的一个顶点A(-4,2),两条中线分别为直线萩-+2=°和3x+5y-12=°,求直线BC方程

17.在直线1:3x—y—1=0上求一点P,使得：⑴P到A(4,l)和BQ4)的距离之差最大；⑵P到A(4,l)和B(3,4)

的距离之和最小。

18.(1)求与点23,5)关于直线/"-3)，+2=°的对称点p’的坐标

(2)设凶8c的顶点43,-1),内角B的平分线所在的直线方程为x-4y+10=°,AB边上的中线所在的直线方

程为6x+10y-59=°,求BC边所在直线方程

第三讲圆的方程

1.圆心为C(a,份，半径为广的圆的标准方程为：(x-a)2+(y-Z>)2=/“>()).特殊地，当。=人=0时，圆心在

原点的圆的方程为：x2+y2=r2.

2.圆的一般方程，+丫2+瓜+&+尸=0,圆心为(点——D,一E\一,半径

\22)

22

VD+£-4F-22

r=---------------,其中EP+E2-4尸>0.

2

3.二元二次方程A^+Bxy+C/+Ox+/+尸=0,表示圆的方程的充要条件是：

①/项y2项的系数相同且不为0,即4=C/O；②没有肛项，即8=0；

@D2+E2-4AF>0.

4.圆C：(x-a)?+(y-勿2=/的参数方程为「="+“。$。(。为参数).特殊地，/+y=72的参数方程为

[y=b+rsin。

尸=「cose(e为参数)

[y=rsinO

22

5.圆系方程：过圆G：f+V+qx+gy+GuO与圆。2：x+y+D2x+E2y+F2=0

交点的圆系方程是工2+,2+0[工+£>]丁+丹+丸(尤z+yZ+Ax+&y+g)：。(不含圆C?)，

当；1=—1时圆系方程变为两圆公共弦所在直线方程.

«

【例】求满足下列各条件圆的方程：

(1)以A(4,9),B(6,3)为直径的圆；(2)与轴均相切且过点(1,8)的圆；

(3)求经过A(5,2),B(3,-2)两点，圆心在直线2x—y=3上的圆的方程；

(4)经过两已知圆G：/+/一而+2丁=0和。2:X?+V一2丁一4=0的交点，

且圆心在直线/：2x+4y=l上的圆的方程.

【例】已知实数x、y满足方程/+>2一©+1=0.(1)求十的最大值和最小值；

(2)求y—x的最小值；(3)求d+y2的最大值和最小值.

【例】⑴已知QP=(2+2cosc,2+2sine)(aeR,。为坐标原点)，向量OQ满足。P+OQ=0,则动点

。的轨迹方程是________________________

(2)平面上两点A(—1,0)、8(1,0),在圆C:(1一3『+(y—4)2=4上取一点尸，

求使|A/f+忸P『取得最小值时点P的坐标.

【备选题库】

1.以两点A(-3,-l)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是()

4、(x-l)2+(y+2)2=100B、(x-l)2+(y-2)2=100

C、(x—l)2+(y—2)2=25D、(x+1)2+(y+2)2=25

2.A=CwO且8=0是方程Ar?+8孙+。)，2+nr+£y+E=O表示圆的()

A.充分非必要条件B、必要非充分条件

C、充要条件。、既非充分也非必要条件

3.如果方程%-+y-+x+y+%=0表示一个圆，则木的取值范围是()

,1,1八，1“I

A>k>-B、k<•-0<.k<.—D、k<一

2222

4.点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部，则a的取值范围是()

A.-l<a<lB.0<a<lC.a〈-l或a>lD.a=±1

5.点P(nA5)与圆X2+P=24的位置关系是()

A.在圆内B.在圆外C.在圆上D.不确定

6.方程(x+a>+(y+b)2=0表示的图形是()

A.点(a,b)B.点(-a,-b)C.以(a,b)为圆心的圆D.以(-a,-b)为圆心的圆

7.已知一圆的圆心为点(2,-3),一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是()

A.(x-2)2+(y+3)2=13B.(x+2y+(y-3)2=13C.(x-2)2+(y+3)2=52D.(x+2)2+(y-3)2=52

8.圆(x-aA+a-bAur2与两坐标轴都相切的充要条件是()

A.a=b=rB.|a|=|b|=rC.|a|=|b|=|r|^0D.以上皆对

9.圆(x-iy+(y-3)2=l关于2x+y+5=0对称的圆方程是()

A.(x+7)2+fy+l)2=lB.(x+7)2+(y+2)2=lC.(x+6)2+(y+l)2=lD.(x+6)2+(y+2)2=l

10.若圆G的方程是x〜+y~—4x—4-y+7=0,圆G的方程为》一+旷—4x—10v+13=0,则两圆的公切线有

A、2条B、3条。、4条D、1条

11.圆(x-2)2+(y-l)2=1关于4(1,2)对称的圆的方程为

12.求圆心在直线y=2x+3上，且过点4(1,2),8(—2,3)的圆的方程

13.方程所表示的曲线是()

A.一个圆B.两条平行直线C.两条平行直线和一个圆D.两条相交直线和一个圆

14.若awO,则方程xZ+f+ax-ayn。所表示的图形()

A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于直线x-y=O对称D.关于直线x+y=O对称

15.圆的一条直径的两端点是(2,0)、(2,-2),则此圆方程是()

A.\2+/-4\+2¥+4=0B.x2+y2-4x-2y-4=0C.x2+y2-4x+2y-4=0D.x2+y2+4x+2y+4=0

16.过点P(12,0)且与y轴切于原点的圆的方程为.

17.圆(x-4)2+(y-l)2=5内一点P(3,0),则过P点的最短弦的弦长为,最短弦所在直线方程为

18.过点(1,2)总可以向圆x2+y2+kx+2y+k2-15=0作两条切线，则k的取值范围是.

19.已知圆x2+y2-4x-4y+4=0,该圆上与坐标原点距离最近的点的坐标是,距离最远的点的坐标是

20.已知一圆与直线3x+4y-2=0相切于点P(2,-1),且截x轴的正半轴所得的弦的长为8,求此圆的标准方程.

2

21.已知圆C：x+/-4x-6y+12=0,求在两坐标轴上截距相等的圆的切线方程.

22.已知方程x2+y2-2(t+3)x+2(l-4t2)y+16t4+9=0表示一个圆，

(1)求t的取值范围;

(2)求该圆半径r的取值范围.

23.已知曲线C：x2+y2-4mx+2my+20m-20=0

⑴求证不论m取何实数，曲线C恒过一定点；

(2)证明当m羊2时，曲线C是一个圆，且圆心在一条定直线上；

(3)若曲线C与y轴相切，求m的值.

24.已知点力(3,0),尸是圆/+俨=1上任意一点，的平分线交R4于为原点)，试求点〃的轨迹.

25.设圆满足：①截y轴所得弦长为2;②被x轴分成两段圆弧，其弧长之比为3:1,在满足条件①②的所有圆中求

圆心到直线1：x-2y=0的距离最小的圆的方程。

26.已知实数X和丫满足方程(X+iy+y-=-,试求：

4

(1)(的取值范围；(2)J(x-2产+(y—3)2的最值。

27.已知方程xl+y--2(t—3)x+2(1—4t~)y+l6t4+9=0(teR)表示的图形是圆。

(1)求t的取值范围；

(2)求其中面积最大的圆的方程；

(3)若点P(3,4t?)恒在所给圆内，求t的取值范围。

第四讲直线、圆的位置关系

1、点与圆的位置关系：

(1)比较点到圆心的距离d与半径r的大小。

(2)代数法：将点的坐标代入圆的方程进行检验(以一般式方程为例)

当+以0+E%+尸=0时，点(%,%)在圆/++。尤+或+尸=0上

当与2+为2+£>/+E%+/<0时，点(%,%)在圆d+y2+硝+尸=0内

当+%?+。为0+E%+尸>。时，点(/，%)在圆Y+y2+6+Ey+尸=0外。

2、直线与圆的位置关系：相交，相切，相离。

3,直线与圆的位置关系的判定：

(1)几何法：将圆心到直线的距离与半径做比较

(2)代数法：将直线方程代入圆的方程得到一个一元二次方程，根据根的个数进行判定。

4、圆与圆的位置关系：设两圆心的距离为d,半径分别为小外

(1)相离：外离=">4+弓；内离

(2)相切：外切内切od=k一目

(3)相交0打一目<4<4+与

5,圆的切线方程：

(1)点在圆上

(2)点在圆外：代数法：将切线方程代入圆的方程得到一元二次方程，令△=()即可求得。几何法：令圆心到直

线的距离等于半径。

【备选题库】

1.已知直线y=2x+女和圆，+/=4有两个交点，则”的取值范围是()

A.-45<k<45B.4=0C.k>2旧D.-275<*<2-75

2,圆(+,28$夕x-ZbsinO-y-a'sin'J=0在x轴上截得的弦长是()

A.2aB.2|a|C.6|a|D.4|a|

3.过圆x2+产2x+4y-4=0内一点M(3,0)作圆的割线心使它被该圆截得的线段最短，则直线2的方程是()

A.x+y-3=0B.x-y-3=0C.x+4y-3=0D.x-4y-3=0

4.若直线(l+a)x+y+l=O与圆*2+户2*=0相切，则a的值为()

A.1或-1B.2或-2C.1D.-1

5.若直线3x+4y+c=0与圆(x+l)2+f=4相切，则c的值为()

A.17或-23B.23或-17C.7或-13D.-7或13

6.若P(x,y)在圆(x+3)2+(v-3)2=6上运动，则上的最大值等于()

X

A.-3+2VIB.-3+VIC.-3-2痣D.3-2后

7.圆x2+/+6x-7=0和圆*2+/+6丫-27=0的位置关系是()

A.相切B.相交C.相离D.内含

8.若圆x2+y2=4和圆x2+y2+4x-4y+4=0关于直线2对称，则直线，的方程是()

A.x+y=OB.x+y-2=0C.x-y-2=0D.x-y+2=01.

9.圆的方程乂2+/+21«+1<2-1=0与xZ+F+ZR+lR+kZ+ZHO的圆心之间的最短距离是()

A.—B.2痣C.1D.VI

2

10.已知圆x2+y2+x+2v=如和圆(x-sina)2+(y-l)2=_L,其中004a490°,则两圆的位置关系是()

1616

A.相交B.外切C.内切D.相交或外切

11.与圆(x-2)2+(y+l)2=i关于直线x_y+3=0成轴对称的曲线的方程是()

A.(x-4y+(y+5)2=lB.(x-4)2+(y-5)2=lC.(x+4)2+(y+5)2=lD.(x+4)2+(y-5)2=l

12.圆xZ+p-ax+Zy+lR关于直线x-y=l对称的圆的方程为一+『=1,则实数a的值为()

A.0B.1C.±2D.2

13.已知圆方程Ci：f(x,y)=O,点Pi(xi,y0在圆G上，点P2&2㈤不在圆G上,则方程：

取,力取必)-取2,如=0表示的圆Cz与圆C1的关系是()

A.与圆C1重合B.与圆C1同心圆

C.过Pi且与圆Ci同心相同的圆D.过P?且与圆Ci同心相同的圆

14.自直线y=x上一点向圆*2+产6*+7=0作切线，则切线的最小值为.

15.如果把直线x-2y+/L=0向左平移1个单位，再向下平移2个单位，便与圆*2+『+2*-4丫=0相切，则实数义的值

等于.

16.若a?+b2=4,则两圆(x-a)2+『=l和x2+(y-b)2=l的位置关系是.

17.过点(0,6)且与圆C-z+F+lOx+lOyR切于原点的圆的方程是.

18.已知圆C:(x-l)2+(y-2)2=25,直线，：(2m+l)x+(m+l)y-7m-4=0(meR),

(1)证明直线。与圆相交；⑵求直线。被圆C截得的弦长最小时，求直线。的方程.

19.求过直线x+3y-7=0与已知圆*2+尸+2*-2丫-3=0的交点，且在两坐标轴上的四个截距之和为-8的圆的方程.

20.已知圆满足：(1)截y轴所得弦长为2,(2)被x轴分成两段弧，其弧长的比为3:1,(3)圆心到直线2:x-2y=0

的距离为，，求这个圆方程.

21.求与已知圆*2+产7丫+10=0相交，所得公共弦平行于已知直线2x-3y-l=0且过点(-2,3),(1,4)的圆的方程.

第五讲椭圆的定义与方程

1、概念

平面内与两个定点耳、骂的距离的和等于常数(大于|百居|)的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦

点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。若M为椭圆上任意一点，则有|+|M居|=2。。

2222

2、椭圆的标准方程为：方=1(。>〃>0)(焦点在x轴上)或］+1=l(">人>0)(焦点在y轴上)。

注：①以上方程中的大小。>匕>0,其中c2=a2—〃2；

2222

②在0+5=1和当+1=1两个方程中都有a>b>°的条件，要分清焦点的位置，只要看一和V的分

ab~a~b~

x2y1

母的大小。例如椭圆一+—=1(m>0,〃>O,当机>〃时表示焦点在x轴上的椭圆；当m<n

mn

时表示焦点在y轴上的椭圆。

［例11椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，

今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a,焦距为2c,静放在点A的小球(小球的

半径不计)，从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是D

1.短轴长为J5,离心率e=|的椭圆两焦点为F”F2)过F1作直线交椭圆于A、B两点，则AABF?的周长为

()

A.3B.6C.12D.24

［解析］C.长半轴a=3,AABF?的周长为4a=12

2.已知P为椭圆工+匕=1上的一点，N分别为圆(X+3)2+J?=1和圆(%—3)2+丁=4上的点，则

2516

|FM|+|RV|的最小值为()

A.5B.7C.13D.15

［解析］B.两圆心C、D恰为椭圆的焦点，.［PCI+lPDriO,|PM|+|PN|的最小值为10-1-2=7

求椭圆的标准方程

［例2］设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近

的端点距离为4五一4,求此椭圆方程.

3.如果方程/+好=2表示焦点在尸轴的椭圆，那么实数上的取值范围是.

x2y22

［解析］。1).椭圆方程化为丁+一=1.焦点在尸轴上，则7>2,即K1.

2£k

~k

又Q0,.".0<Kl.

4.已知方程X?cos6+/sin。=1,6G(0,乃),讨论方程表示的曲线的形状

［解析］当。€(0,?)时，sine<cos6,方程表示焦点在y轴上的椭圆，

7T

当。=一时，sin9=cos。，方程表示圆心在原点的圆，

4

当时，sin6>>cos6>,方程表示焦点在x轴上的椭圆

5.椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是否，

求这个椭圆方程.

a—c=V3ci=2V3x2y2x2y2

［解析］n,:.b=3,所求方程为X+L=l或j+

12

a=2clc=V39912

【备选题库】

22

1、已知椭圆二+告•=1(a>方>0)与过点4(2,0),8(0,1)的直线/有且只有一个公共点T,且椭圆的离心率

ab

e=今.求椭圆方程

［解析］直线/的方程为：y=—；x+l

,,y1Cl~-b~y/32Ai2g

由已知---------=----=>az=4b〜①

a2

22

龙a.y一1

-

-彳--O=11

由,4一方得：(人2+一〃2)%2_〃21+〃2_〃2人2=0

V=----X+1

［2

:.A=a4-(4h2+a2)(a2-a2b2)=0,即42=4—482②

由①②得：『=2,b2^-

2

故椭圆片方程为冷+f=1

2

2、已知/、8分别是椭圆5■+方=1的左右两个焦点，。为坐标原点，点尸(一1,芳)在椭圆上，线段必与

尸轴的交点M为线段9的中点。

(1)求椭圆的标准方程；

sinA4-sinB

(2)点C是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于AABC,求————的值。

sinC

［解析］(1)二.点M是线段PB的中点

.•.0M是APAB的中位线

又OMLA5..PALAB

c=l

「.<二+=1解得a?=2,/?2=1,C2=1

a1=b2+c2

•••椭圆的标准方程为5+y2=i

(2)•.•点C在椭圆上，4、，是椭圆的两个焦点

/.AC+BC=2^=2^2,AB=2c=2

在△ABC中，由正弦定理,

sinAsinBsinC

sinA+sin8BC+AC_2>/2

-----------------------=-----

"-sinC——AB—一~T~一

3、已知长方形ABCD