高中数学基础知识手册(草稿)

高考数学总复习基础知识手册

一、集合与简易逻辑

基本考点

1.元素与集合的关系

x£40xeCyA,xGCC!A=x仁A.

2.摩根公式

Cu(An8)=CuAUG,8；Cu(AU8)=CVA^CVB.

3.包含关系

An8=A=AU8=8A^BCb.BcC,.A

o40。心=①=CdUB=R

4.容斥原理

card(A\JB)-cardA+cardB-card(A^\B)

•card(A\JB\JC)=cardA+cardB+cardC-card(A0B)

-card(ADB)-card(BC\C)-card(CA)+card(AC\BC\C).

5.子集个数

集合｛%,4,…,4｝的子集个数共有2"个；真子集有2"-1个；非空子集有2"-1个;

非空的真子集有2"-2个.

6.真值表

Pq非PP或qP且q

真真假真真

真假假真假

假真真真假

假假真假假

7.常见结论的否定形式

原结论反设词原结论反设词

是不是至少有一个一个也没有

都是不都是至多有•个至少有两个

大于不大于至少有〃个至多有(〃-1)个

小于不小于至多有〃个至少有(n+l)个

对所有X，存在某X,

成立不成立p或q\p且\(i

对任何X,存在某X,

不成立成立p且q—>p或「q

8.四种命题的相互关系

9.充要条件

(1)充分条件：若png,则p是q充分条件.

(2)必要条件：若qnp,则p是q必要条件.

(3)充要条件：若pnq,且qnp,则〃是q充要条件.

注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.

常用结论

1.集合的元素具有无序性和互异性，确定性.

2.对集合A、B,4n8=0时，你是否注意到“极端”情况：A=0或8=0；求集

合的子集时是否注意到0是任何集合的子集、0是任何非空集合的真子集

3.对于含有〃个元素的有限集合M,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依

次为2",2"-1,2"-1,2"-2.

4.“交的补等于补的并，即CHAnSuCuAUG*"；“并的补等于补的交，即

Cu(A\jB)=CuAnClJB”.

5.判断命题的真假

关键是“抓住关联字词”；注意："不'或'即'且'，不'且'即'或'".

6.“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假

即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“一真一假”.

7.四种命题中“‘逆'者‘交换‘也"、"'否'者'否定'也”.

原命题等价于逆否命题，但原命题与逆命题、否命题都不等价.反证法分为三步：假设、

推矛、得果.

注意：金题的宜定是“命题的韭j谴，也就是，条住丕变—仅查定经武所得命题”，

但查命题是“既杳定箴翕题的条住作.为条他.X.杳定原琬如猫论作为统论侬谶施题©.

8.完龌条5条福S结论为莪引，结论五羹条5%必至

二、函数

基础考点

1.二次函数的解析式的三种形式

⑴一般式/(x)=ax2+bx+c(aw0);

(2)顶点式/(x)=a(x-/z)2+k(aw0);

(3)零点式/(x)=«(x-xt)(x-x2)(a丰0).

2.解连不等式N<f(x)<M常有以下转化形式

N<f(x)<Mo"(x)--N]<0

M+N,M-Nf(x)-N八

o"(x)—------1<------o---->0

22M-f(x)

11

0------------->-----------

f(x)—NM-N

3.方程/(x)=0在的，七)上有且只有一个实根,与/(匕)"火2)<0不等价，前者是后

者的•个必要而不是充分条件.特别地，方程以2+公+，=0(。工0)有且只有一个实根在

bk+k

(人,七)内，等价于/(占)/(&)<0,或/(匕)=0且匕V——<」一，，或。(k2)=0且

2a2

%+攵2b.

-------二<-------<k»

22a2

4.闭区间上的二次函数的最值

二次函数/(x)=分+以+c(a。0)在闭区间［p,q］上的最值只能在x=-幺处及区

2a

间的两端点处取得，具体如下：

L.方

⑴当a>0时，若无=-^-e［p,q］，则f(x)1nm='(一y),/(二欧=皿｛f(P),f(4)｝；

2a2a

b

X=一五定[p，司，/(X)max=max{/(P)，/(4)}，/(©min=min{/(P)J⑷}・

b

(2)当a<0时,若x^-—e[p,q],则/(x)min=min{/(/?),/(^)},若

x=_.4p，q]'则f(x)max=max{/(p)J(q)},/Wmjn=min{/(p),/(^)}.

5.一元二次方程的实根分布

依据：若/(加)/(〃)<(),则方程/(x)=0在区间(根,〃)内至少有一个实根.

设/(x)=%+px+q,贝ij

p2-4”0

(1)方程/(x)=0在区间(根,+8)内有根的充要条件为/(能)=0或，p;

----->m

I2

/(n)>0

(2)方程/(x)=0在区间(〃z,〃)内有根的充要条件为/(m)/(n)<0或(/？()

m<-—<n

I2

［/(/«)=0f/(n)=O

［af(n)>0>0

p2_的20

(3)方程/(x)=0在区间(-oo,〃)内有根的充要条件为/(〃2)<0或，p.

\--<m

I2

6.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据

(1)在给定区间(—8,+8)的子区间L(形如［%方］,(一8,4］,卜,+8)不同)上含参数

的二次不等式NO(f为参数)恒成立的充要条件是/(3/号而>O(X^L).

(2)在给定区间(-00,+00)的子区间上含参数的二次不等式/(XJ)20(f为参数)恒成立

的充要条件是/(x,f)3〈0(xcL).

7.函数的单调性

(1)设X］e力］H/那么

Ul-x2)[/(xl)-/(x2)]>0«/(斗)::e)>o=/(x)在1,句上是增函数；

再一x2

(占一々)[/(王)一/(々)]<0O也与<0o/(X)在[a，"上是减函数.

玉一X2

(2)设函数y=/(x)在某个区间内可导，如果/'(x)>0,则/(x)为增函数；如果

r*)<o,则(3为减函数.

8.如果函数/(x)和g(x)都是减函数，则在公共定义域内，和函数/(x)+g(x)也是减

函数；如果函数y=/(“)和"=g(x)在其对应的定义域上都是减函数，则复合函数

y=〃g(x)]是增函数.

9.奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图

象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函

数是偶函数.

10.若函数y=/(x)是偶函数，则f(x+a)=f(-x-a)；若函数y=/(x+a)是偶函

数，则/(x+a)=/'(-x+a).

11.对于函数y=/(X)(xe于)，/(x+a)=(S-x)恒成立,则函数f(x)的对称轴是

函数x=g2；两个函数^二/(8+。)与,=f(b-x)的图象关于直线x=应”对称.

12.若/(x)=—/(—x+a),则函数y=/(x)的图象关于点(],())对称

13.多项式函数P(x)=a“£+%_押~|+…+4的奇偶性

多项式函数P(x)是奇函数=P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零.

多项式函数P(x)是偶函数。P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零.

14.函数y=/(x)的图象的对称性

(1)函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称。/(a+x)=/(a-x)

o/(2a-x)=/(x).

(2)函数y=/(x)的图象关于直线》=^^■对称=f(a+mx)=f(b-mx)

=于(a+b-ntx)=f(mx).

15.两个函数图象的对称性

(1)函数y=/(x)与函数y=/(—x)的图象关于直线x=0(即y轴)对称.

(2)函数y=f(mx-a)与函数y=f(b-mx)的图象关于直线x=色也■对称.

2m

(3)函数y=/。)和y=f-'(x)的图象关于直线y=x对称.

16.若将函数y=/(x)的图象右移。、上移6个单位，得到函数y=/(x—a)+b的图

象；若将曲线/(x,y)=0的图象右移。、上移b个单位，得到曲线/(x—a,y-b)=0的图

•17.互为反函数的两个函数的关系

f(a)=bo『'(b)=a.

•18.若函数y=/(乙+6)存在反函数，则其反函数为y=-［/-'(x)-/＞］，并不是

k

＞=［广|(求+6),而函数了=［广|(京+①是＞=匕/(了)—们的反函数.

k

19.几个常见的函数方程

(D正比例函数f(x)=cx,f(x+y)=f(x)+/(y),/(l)=c.

(2)指数函数f(x)=a\f(x+y)=f(x)〃y)J(l)="0.

⑶对数函数/(x)=log。X,/(盯)=/(x)+/(y),/(a)=1(。＞0,aH1).

(4)嘉函数/(x)=K,f(xy)=/(x)/(y),/'(l)=a.

(5)余弦函数f(x)=cosx,正弦函数g(x)=sinx,f(x-y)=f(x)f(y)+g(x)g(y),

XT°X

19.几个函数方程的周期(约定a＞0)

(1)/(x)=/(x+a),则的周期T=a；

(2)f(x)=/(x+a)=0,

或/(x+a)=-^—(/(x)w0),

/(x)

或/(x+a)=--—(/(x)^0),,则/(x)的周期T=2a；

/(x)

20.分数指数第

丝1

(1)an=-7=(a>0,m/eN*,且〃>1).

Nd"

-巴1

(2)a"(a>U,m,neN*,且〃>1).

an

21.根式的性质

(1)(Va)n=a.

(2)当〃为奇数时，叱=a；

当〃为偶数时，=\a\=\a，a~Q.

[-a,a<0

22.有理指数幕的运算性质

(1)ar-as=ar+5(a〉0/,s£。).

(2)(优)$=ars(a>0,r,sGQ).

(3)(ab)r-arb\a>0,/?>0,rG0).

注：若a>0,p是一个无理数，则a。表示一个确定的实数.上述有理指数嘉的运算性

质，对于无理数指数嘉都适用.

23.指数式与对数式的互化式

k»g“N=boa"=N(a>0,a/l,N>0).

24.对数的换底公式

logN

log。N=--—(〃>0,且加〉0,且mwl,N>0).

log,”a

n

推论logb"=—log.b(a>0,且a>1,/”,〃>0,且加w1,n力1,N>0).

"m

25.对数的四则运算法则

若a>0,aWl,M>0,N>0,则

(1)logq(MN)=log,,M+log„N;

⑵bg“*=log〃M-k)g“N;

n

(3)log“M=nlogflM(neR).

26.设函数f(x)=log,,,(ax2+bx+c)(aW0),记△=b?-4ac.若f(x)的定义域为

R,则a>0,且△<();若f(x)的值域为R,则a〉0,且△»().对于。=0的情形，需要

单独检验.

27.对数换底不等式及其推广

若a>0,b>0,x>0,则函数)，=iogo((bx)

a

⑴当a>/?时,在(0-)和(L+oo)上y=log5Sx)为增函数.

aa

.(2)当a<〃时,在(0,—)和(—,+oo)上y=log5sx)为减函数.

aa

推论:设〃>机〉1，p>0，a>0>且awl，贝ll

⑴log』(〃+P)<log,“〃・

,,,2机+〃

(2)logu/nlog(,H<loga——.

常用结论

1.指数式、对数式，

mI_m[

an=\am,an--J—,al08a'=N

m

an

/=Nolog.N=b(a>0,aH1,N>0),.

a°=l,log“1=0,logna-\,1g2+1g5=Llog^x=Inx,

log„b=她2,-logb"=—logaZ>.

logram

2.(1)映射是“‘全部射出‘加‘一箭一雕’”；映射中第一个集合A中的元素必有像,

但第二个集合5中的元素不一定有原像(A中元素的像有且仅有下一个，但8中元素的原

像可能没有，也可任意个)；函数是“非空数集上的映射”，其中“值域是映射中像集8的

子集”.

(2)函数图像与x轴垂线至多一个公共点，但与y轴垂线的公共点可能没有，也可任意

个.

(3)函数图像一定是坐标系中的曲线，但坐标系中的曲线不一定能成为函数图像.

(4)原函数与反函数有两个“交叉关系”：自变量与因变量、定义域与值域.求一个函数

的反函数，分三步：逆解、交换、定域(确定原函数的值域，并作为反函数的定义域).

注意：①f(a)=bQfXb)=a,=/T"(x)]=x,

②®函数y=/(x+l)的反函数是y=/"(x)-l,而不是y=/T(x+l).

3.单调性和奇偶性

(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同.

偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.

单调函数的反函数和原函数有相同的性；如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还

是奇函数.

注意：(1)确定函数的奇偶性，务必先判定函数定义域是否关于原点对称6.确定函

数奇偶性的常用方法有：定义法、图像法等等.

对于偶函数而言有：/(-X)=/(x)=/(IxI).

(2)若奇函数定义域中有0,则必有/(0)=0.即Oe/(x)的定义域时，/(0)=0是

/(x)为奇函数的必要非充分条件.

(3)确定函数的单调性或单调区间，在解答题中常用：定义法(取值、作差、鉴定)、

导数法；在选择、填空题中还有：数形结合法(图像法)、特殊值法等等.

(4)函数单调是函数有反函数的一个充分非必要条件.

(5)定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函

数的和(或差)”.

(6)函数单调是函数有反函数的充分非必要条件，奇函数可能反函数，但偶函数只有

/(x)=0(xe{0})有反函数；既奇又偶函数有无穷多个(/(x)=0,定义域是关于原点对

称的任意一个数集).

(7)复合函数的单调性特点是：“同性得增，增必同性；异性得减，减必异性”.

复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.

复合函数要考虑定义域的变化。(即复合有意义)

4.对称性与周期性(以下结论要消化吸收，不可强记)

⑴函数y=/(x)与函数y=/(-x)的图像关于直线X=0()，轴)对称.

推广一：如果函数y=/(x)对于一切xeR,都有/(a+x)=/(b—x)成立，那么

丫=/(6的图像关于直线了=巴女(由“x和的一半x=("+1：a确定”)对称.

推广二：函数y=/(a+x),y=/(b—x)的图像关于直线、=容(由a+x=b—x

确定)对称.

(2)函数y=/(x)与函数y=—/(x)的图像关于直线y=0(x轴)对称.

推广：函数y=/(x)与函数y=A—/(x)的图像关于直线y=g对称(由“y和的一

半”"(初+：./(切确定,，),

(3)函数y=/(尤)与函数y=-f(-x)的图像关于坐标原点中心对称.

推广：函数y=/(X)与函数>=机一/(〃一X)的图像关于点号，号)中心对称.

(4)函数y=/(x)与函数y=/T(X)的图像关于直线y=x对称.

推广：曲线f(x,y)=0关于直线y=x+b的对称曲线是/(y—b,x+。)=0；

曲线/(%,>)=0关于直线>=—工+8的对称曲线是f(-y+b,-x+b)=0.

(5)曲线/(x,y)=0绕原点逆时针旋转90°,所得曲线是/(y,-x)=0(逆时针横变再

交换).

特别：y=/(x)绕原点逆时针旋转90。，得-x=/(y),若y=/(x)有反函数

y=f-\x),则得y=/T(-)

曲线/(x,y)=0绕原点顺时针旋转90°,所得曲线是/(-y,x)=0(顺时针纵变再交

换).

特别：y=/(x)绕原点顺时针旋转90°,得x=/(—y),若y=/(x)有反函数

y=/T(x)，则得y=—尸(x).

(6)类比“三角函数图像”得：

若y=/(x)图像有两条对称轴x=a,x=6(axZ0,则y=/(x)必是周期函数，且一

周期为T=2la-bl.

若y=/(x)图像有两个对称中心A(a,0),B@,0)(awb),则y=/(x)是周期函数，且

一周期为T=2la—Z?l.

如果函数y=/(x)的图像有下一个对称中心A(a,O)和一条对称轴x=b(awb),则函数

y=〃x)必是周期函数，且一周期为T=41a—

如果y=/(x)是R上的周期函数，且一个周期为T,那么/(x±〃T)=/(x)(”eZ).

特别：若/。+。)=—/。)(。*0)恒成立，则7=24.

若/(x+a)=―—(a丰0)恒成立，则T=(.若/(x+a)=---—(a丰0)恒

/(x)/(x)

成立，则7=2a.

如果y=f(x)是周期函数，那么y=/(x)的定义域“无界”.

5.图像变换

(1)函数图像的平移和伸缩变换应注意哪些问题？

函数y=/(x)的图像按向量“=/,〃)平移后，僵函数y-/?=/"-%)的图像・

(2)函数图像的平移、伸缩变换中，图像的特殊点、特殊线也作相应的变换.

(3)图像变换应重视将所研究函数与常见函数(正比例函数、反比例函数、一次函数、

二次函数、对数函数、指数函数、三角函数、“鱼钩函数y=x+§(女>0)”及函数

y=x+$(%<0)等)相互转化.

注意：①形如)>=012+必+。的函数，不一定是二次函数.

②应特别重视“二次三项式”、“二次方程”、“二次函数”、“二次曲线”之间的特

别联系.

③形如、="土4(，*(),41。〃0)的图像是等轴双曲线，双曲线两渐近线分别直线

x=-d(山分母为零确定)、直线)=4(由分子、分母中x的系数确定)，双曲线的中心是

CC

点(一旦,旦).®

CC

三、数列

基础考点

1.平均增长率的问题

如果原来产值的基础数为N,平均增长率为p,则对于时间x的总产值y,有

y=N(l+”.

2.数列的同项公式与前n项的和的关系

5.,n-1

4=与(数列｛%｝的前n项的和为s“=q+a,+—+%).

S“一S“T，”22

3.等差数列的通项公式

an=q+("一V)d=+q-d(〃EN*)；

其前n项和公式为

=---!----=na.+-------a

212

d2,/1

=_n+(ci｝—(1)n.

22

4.等比数列的通项公式

an=%q"T=包.q"（n€N"）；

q

其前n项的和公式为

=1

叫,q=1

l-<7

navq=\

5.等比差数列｛4｝:«„+1=qa“+d,%=b(qR0)的通项公式为

b+(it-l)d,q=1

a”=]bqn+(d-b)q,l~l-d1；

-----------:-------，"]

[q-i

其前n项和公式为

〃/7+〃(〃一l)d,(q=1)

VS-二)片+二〃,("1)，

i-qg-i"q

6..分期付款（按揭贷款）

每次还款》=元（贷款a元，〃次还清，每期利率为b）.

常用结论

1.数列的通项、数列项的项数，递推公式与递推数列，数列的通项与数列的前〃项和公

式的关系：4=机，：>2)(必要时请分类讨论).

ha

注意：an-(%—%_])+(a,——一2)-----(2—%)+%；

a2Q

—'a\

a\

2.等差数列｛%｝中:

(1)等差数列公差的取值与等差数列的单调性.

(2)an-a｝+｛n-1)J=am+(n—m)d；p+q-m+n=>ap+a(/-am+an.

(3)｛%田*.1),“｝、伙4｝也成等差数列•(4)两等差数列对应项和(差)组成的新数列仍成

等差数列.

(5)a]+a2'+---Fa,,,,%+ak+l-+---+-ak+m_x,"'仍成等差数列.

c_"(%+。“)_,n(n-l),_dd

(6)S=-----------,Sc=nu,H-----------cl,SQ=-n2+(4----)n,

“2222

%=^-，0=/(〃)n£=/(2〃_l).

"2n-lBnb.

(7)ap=q,ciq=p(pWq)n4+g=0;Sd=q,Sq=p(pHq)n=—(p+g)；

s

m+n=Sm+Sn+mnd.

(8)“首正”的递减等差数列中，前〃项和的最大值是所有非负项之和；

“首负”的递增等差数列中，前〃项和的最小值是所有非正项之和；

(9)有限等差数列中，奇数项和与偶数项和的存在必然联系，由数列的总项数是偶数还

是奇数决定.若总项数为偶数，则“偶数项和”一“奇数项和”=总项数的一半与其公差的

积；若总项数为奇数，则“奇数项和”一“偶数项和”=此数列的中项.

(10)两数的等差中项惟一存在.在遇到三数或四数成等差数列时，常考虑选用“中项关

系”转化求解.

(11)判定数列是否是等差数列的主要方法有：定义法、中项法、通项法、和式法、图像

法(也就是说数列是等差数列的充要条件主要有这五种形式).

3.等比数列｛《,｝中：

(1)等比数列的符号特征(全正或全负或一正一负)，等比数列的首项、公比与等比数列

的单调性.

nm

(1)an=a｝q''=amq"~；P+q=m+n=>bp-bq=bm-bn.

(3)｛\an\｝,｛4+(i)“｝、伙4｝成等比数列；｛4｝、也,｝成等比数列n｛a/“｝成等比

数列.

(4)两等比数列对应项积(商)组成的新数列仍成等比数列.

(5)4+4t--卜4，%+4+1t---卜4+利一1，…成等比数列•

叫①=1)\nax(<7=1)

(6)S“=纥组=W(#]/"+'("]),

ql—q[l-q\-q

特别：aH-bn=(a-b\an-[+an-2b+an-3b2+•••+ab^2+bn-1).

mn

⑺Sm+n=Sm+qSn=Sn+qSm.

(8)“首大于1”的正值递减等比数列中，前〃项积的最大值是所有大于或等于1的项

的积；“首小于1”的正值递增等比数列中，前"项积的最小值是所有小于或等于1的项的

积；

(9)有限等比数列中，奇数项和与偶数项和的存在必然联系，由数列的总项数是偶数还

是奇数决定.若总项数为偶数，则“偶数项和”=“奇数项和”与“公比”的积；若总项数

为奇数，则“奇数项和"=“首项”加上“公比”与“偶数项和”积的和.

(10)并非任何两数总有等比中项.仅当实数〃力同号时，实数存在等比中项.对同

号两实数a1的等比中项不仅存在，而且有一对G=土疯.也就是说，两实数要么没有等比

中项(非同号时)，如果有，必有一对(同号时).在遇到三数或四数成等差数列时，常优先考

虑选用“中项关系”转化求解.

(11)判定数列是否是等比数列的方法主要有：定义法、中项法、通项法、和式法(也就是

说数列是等比数列的充要条件主要有这四种形式).

4.等差数列与等比数列的联系

(1)如果数列｛6｝成等差数列，那么数列｛4册｝(A%总有意义)必成等比数歹山

(2)如果数列｛6｝成等比数列，那么数列｛log/l｝(a〉0,aHl)必成等差数列.

(3)如果数列伍“｝既成等差数列又成等比数列，那么数列｛七｝是非零常数数列；但数列

｛%｝是常数数列仅是数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件.

(4)如果两等差数列有公共项，那么由他们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，

且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数.

如果一个等差数列与一个等比数列有公共项顺次组成新数列，那么常选用“由特殊到

一般的方法”进行研讨，且以其等比数列的项为主，探求等比数列中那些项是他们的公共项,

并构成新的数列.

注意：(1)公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究但也有少数问题中

研究4="，这时既要求项相同，也要求项数相同.⑵三刨)±数成笠差脸的史项转化和

通项转化法.

5.数列求和的常用方法：

(1)公式法：①等差数列求和公式(三种形式)，②等比数列求和公式(三种形式)，

③1+2+3H----\-n=+1),I2+22+32H----F+1)(2〃+1),

1+3+5H----F(2〃=1+3+5H----F(2〃+1)=(〃+1)2.

(2)分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合

并在一起，再运用公式法求和.

(3)倒序相加法：在数列求和中，若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列

的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和(这也是等差

数列前〃和公式的推导方法).

(4)错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相

乘构成，那么常选用错位相减法，将其和转化为“一个新的的等比数列的和”求解(注意：

一般错位相减后，其中“新等比数列的项数是原数列的项数减一的差”！)(这也是等比数

列前〃和公式的推导方法之一).

(5)裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关

联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：

①_1_=1__L,②_I_=1(1__1_),

n(n+1)n〃+1〃(〃+%)k»n+k

_1_11111

(k+\)kP(k-\)k

--------------—[-----------------------]，⑤------------------

n(n-l)(n+2)2〃(〃+1)("+1)("+2)(n+1)!n!(n+1)!

⑥2(，〃+1—>Jn)<!—<2(V/i—J/z—1)

yjn

⑦氏=s“—s,i(〃>2)，⑧+c：=C'L=>c：=c,：,-C：-1.

特别声明：＜8运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时分类讨论.

(6)通项转换法。

6.分期付款型应用问题

(1)重视将这类应用题与等差数列或等比数列相联系.

(2)若应用问题像“森林木材问题”那样，既增长又砍伐，则常选用“统一法”统一到

“最后”解决.

(3)“分期付款”、“森林木材”等问题的解决过程中，务必“卡手指”，细心计算“年

限”作为相应的“指数”.©

三、三角函数

基础考点

1.常见三角不等式

乃

(1)若工£(0,—)，则sinx<x<tanx.

2

(2)若％E(0,—),贝ij1<sinx+cosx<41.

2

(3)IsinxI+1cosxl>1.

2.同角三角函数的基本关系式

sin。

sin24-cos2^=1,tan^=------,tan0-cotO=1.

cos，

46.正弦、余弦的诱导公式

n

.兀、(-IPsina,（n为偶数）

sin(—+6K)=<

2

(-1)cosa,（n为奇数）

n（n为偶数）

兀、(一l/cosa,

cos(—+a)=<

”+i（n为奇数）

(-1)2sina,

3.和角与差角公式

sin(a±夕)=sinacos0±cosasinp;

cos(6Z±')=cosacos夕-sinasin(3；

/,0、tancr±tan/?

tan(ez±£)=------------.

1+tanatan°

sin(6r+/7)sin((7-=sin2«-sin2(平方正弦公式);

cos(a+〃)cos(a-〃)=cos2a-sin2J3.

asina+hcosa=+/sin(a+g)(辅助角0所在象限由点(。/)的象限决

、、

定，tan°=-b).

a

4.二倍角公式

sin2a=sinacosa.

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a.

八2tana

tan2a=-------—.

l-tan~a

・5.三倍角公式

sin3。=3sin^-4sin30=4sin6sing-9)sin告+6).

cos3。=4cos3^-3cos8=4cos0COS(y-9)COS(y+0).

八八3tantan30八/万八、,4八、

tan30=------------------=tan0tan(-----0)tan(—+0).

l-3tan2^33

6.三角函数的周期公式

函数y=sin(69x+°),x£R及函数y=cos(/x+e),x0R(A,3,。为常数，且AWO,

27r7t

3>0)的周期T=——；函数丁=tan(Gx+°),xW攵4+—,攵cZ(A,3,夕为常数，且A

CD2

7T

W0,3>0)的周期T=X.

co

7.正弦定理

U=±=，=2R.

sinAsinBsinC

8.余弦定理

a2=b2+c2-2hccosA;

b2=c2+a2-2cacosB;

c2=a2+/?2-labcosC.

9.面积定理

(1)S=；€1儿=gbhb=；ch。(%、与、4分别表示a、b、c边上的高).

(2)S=—ahsinC=—hcsinA=—easinB.

222

22

(3)SMAB=Iyl(\OA\-\OB\)-(OAOB).

10.三角形内角和定理

在aABC中，有4+6+。=乃=。=7一(4+8)

=£=—A±J^O2C=24一2(4+6).

222

11.简单的三角方程的通解

sinx=a=x=上乃+(—1)人arcsina(keZ,lt?I<1).

cosx=a=x=2攵4士arccos〃(ZeZ,la\<1).

tanx=。=>x=Lr+arctana(keZ,aeR).

特别地,有

sina=sin夕=a=%万+(—1)*/(4GZ).

cosa=cos(3oa=2k兀±0(keZ).

tana=tan夕=a=+0(keZ).

12.最简单的三角不等式及其解集

sinx>a(\a\<l)<^>xeQk兀+arcsina,2k兀+万一arcsina),keZ.

sinx<tz(l<71<1)<=>xGQk兀一冗一arcsina,2Z%+arcsina),keZ.

cosx>a(\a\<i)oxeQk兀-arccosa,2kzr+arccosa),kGZ.

cosx<a(\a\<l)oxeQk兀+arccosa,2k/r+2万一arccosa),keZ.

71

tanx>a(ae/?)=>xG(kzi+arctana,k兀+—),keZ.

71

tanx<a(aG/?)=>xG(k冗---，攵)+arctanQ),%GZ.

常用结论

1.a终边与。终边相同（a的终边在夕终边所在射线上）oa=6+2jbr（ZeZ）.

a终边与。终边共线（a的终边在。终边所在直线上）=.

a终边与。终边关于x轴对称Oa-+2k兀（keZ）.

a终边与。终边关于y轴对称。a=兀一0+2k兀（keZ）.

a终边与。终边关于原点对称=a=7r+0+2k7r（keZ）.

一般地：a终边与。终边关于角夕的终边对称=a=2/3-0+2k7r（keZ）.

2.弧长公式：/=lalR,扇形面积公式：5=；//?=4以1尸，1弧度（lrad）a57.3°.

3.三角函数符号特征是：一是全正、二正弦正、三是切正、四余弦正.

注意：sin15°=cos75°=瓜二五,sin75°=cos150="［四,

44

tanl50=cot750=2-V3,tan75°=cot15°=2+V3,sinl80=^^-.

4.三角函数线的特征是：正弦线“站在x轴上（起点在x轴上）”、余弦线“躺在x轴上

（起点是原点）”、正切线“站在点4（1,0）处（起点是A）”.务必重视"三角函数值的大小与

单位圆上相应点的坐标之间的关系，‘正弦'o'纵坐标'、‘余弦'o'横坐标'、

‘正切'o'纵坐标除以横坐标之商'”；务必记住：单位圆中角终边的变化与sina土cosa

值的大小变化的关系.a为锐角=>sina<a<tana.

5.三角函数同角关系中，平方关系的运用中，务必重:视''根据已知角的范围和三角函数

的取值，精确确定角的范围，并进行定号”；

6.三角函数诱导公式的本质是：奇变偶不变，符号看象限.

7.三角函数变换主要是：角、函数名、次数、系数（常值）的变换，其核心是“角的变换”！

角的变换主要有：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变

换、两角与其和差角的变换.

如a=3+/?)-/?=3-/?)+4，2a=(a+£)+(a-£),2a=(£+a)-(/?-a)

a+B=2.*,g=口一日卜（今一力等.

常值变换主要指“1”的变换：

1--sin2x+cos2x=sec2x-tan2x=tanx-cotx=tan,=siny=cosO=…等.

三角式变换主要有：三角函数名互化（切割化弦）、三角函数次数的降升（降次、升次）、

运算结构的转化（和式与积式的互化）.解题时本着“三看”的基本原则来进行：“看角、看函

数、看特征”，基本的技巧有:巧变角，公式变形使用，化切割为弦，用倍角公式将高次降次.

注意：和（差）角的函数结构与符号特征；余弦倍角公式的三种形式选用；降次（升次）

公式中的符号特征.“正余弦'三兄妹一sinx土cosx、sinxcosx'的内存联系”（常和三角换

元法联系在一起£=sinx±cosxG[-V2,V2],sinxcosx-）.

辅助角公式中辅助角的确定：asinx+6cosx=Ji?+。2sin（x+e）（其中。角所在的

象限由的符号确定，。角的值由tan。=2确定）在求最值、化简时起着重要作用.尤其

a

是两者系数绝对值之比为1或6的情形.Asinx+8cosx=C有实数解^A2+B2>C2.

8.三角函数性质、图像及其变换：

（1）三角函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、有界性和周期性

注意：正切函数、余切函数的定义域；绝对值对三角函数周期性的影响：一般说来，

某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变.既为周期函数又是偶

函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变；其他不定.如），=5也2》,），=卜出％|的周期都是万,

但y=|sinx|+|cosx|y=|sinx|+|cosx|的周期为4/?，y=ltanxl的周期不变,问函数

y=coslxl,y=sinx2,y=sin|x|,y=cosVx，产coslxl是周期函数吗？

（2）三角函数图像及其几何性质：

y=Asin(ox+e)

y=Atan(a)x+(p)y

；0一