云南民族大学附属中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学（理）试题

云南民族大学附属中学2018年春季学期期中考试（高二数学理科）试卷（考试时间120分钟，满分150分）命题人：审题人：注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的考号、姓名、考场、座位号、班级在答题卡上填写清楚。2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试卷上作答无效。第Ⅰ卷一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）.1.设全集，函数的定义域为，则为（）A. B. C. D.2.复数满足，，则（）A.1 B. C.2 D.3.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，该作中有题为“李白沽酒”“李白街上走，提壶去买酒。遇店加一倍，见花喝一斗,三遇店和花，喝光壶中酒。借问此壶中，原有多少酒？”，如图为该问题的程序框图，若输出的值为0，则开始输入的值为（）A.B.C.D.4.5名学生和2名老师排成一排照相，2名老师不在两边且不相邻的概率为（）A. B. C. D.5.在△中，角的对边分别是，若，，则（）A. B. C. D.6.函数的大致图象为（） A. B. C. D.7.函数的最小正周期为（）A．B．C．D．8.如图,测量河对岸的塔高时,可以选与塔底在同一水平面内的两个观测点与,测得,,米,并在测得塔顶的仰角为,则塔的高度为（）A.米 B.米 C.米 D.米9.若等差数列前项和有最大值，且，则当数列的前项和取最大值时，=（）A.11 B.12 C.22 D.2310.函数在点处的切线斜率的最小值是（）A.B.C.D.11.已知是双曲线的两个焦点，是上一点，若，且的最小内角为，则双曲线的离心率是（）A. B. C. D.12.已知函数（），若，则的最小值为（）A. B. C. D.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题－24题为选考题，考生根据要求作答.13.的展开式中，的系数等于.14.若，则的值为．15．在平面直接坐标系中，若满足，则当取得最大值时，点的坐标是________.16.如图，在三棱锥中，与是全等的等腰三角形，且平面平面，,则该三棱锥的外接球的表面积为________.第Ⅱ卷三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17.（本小题满分12分）已知数列的前项和为，且满足.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.18.（本小题满分12分）某城市随机监测一年内100天的空气质量PM2.5的数据API，结果统计如下：API天数61222301416(1)若将API值低于150的天气视为“好天”，并将频率视为概率，根据上述表格，预测今年高考6月7日、8日两天连续出现“好天”的概率；(2)API值对部分生产企业有着重大的影响，假设某企业的日利润与API值的函数关系为：（单位；万元），利用分层抽样的方式从监测的100天中选出10天，再从这10天中任取3天计算企业利润之和，求离散型随机变量的分布列以及数学期望和方差.19.（本小题满分12分）在三棱柱中，，侧棱平面，为棱上的动点，为的中点，点在棱上，且.(1)设，当为何值时，平面；(2)在（1）条件下，求二面角的余弦值.20.（本小题满分12分）已知点，点为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，且.(1)求动点的轨迹的方程；(2)设点的轨迹与轴交于点，点是轨迹上异于点的不同D的两点，且满足，在处分别作轨迹的切线交于点，求点的轨迹的方程；(3)在（2）的条件下，求证：为定值21.（本小题满分12分） 已知函数. (1)若函数在区间上存在极值，求正实数的取值范围； (2)如果当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.(3)求证：请考生在22、23、两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲.在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；(2)求曲线上的任意一点到曲线的最小距离，并求出此时点的坐标.23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲.设函数.(1)若不等式的解集为，求实数的值；(2)

数学(理科)参考答案及评分参考一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)1.A【命题意图】本小题主要考查集合的计算，是一道常规问题.【试题解析】A ，则．故选A.2.A【命题意图】本小题主要考查复数的几何意义.【试题解析】A 根据复数的几何意义，由题意，可将看作夹角为的单位向量，从而，故选A.3.C【解析】模拟程序的运行，可得时，，满足条件，执行循环体；时，，满足条件执行循环体；时，，不满足条件，退出循环体，输出∴∴故选C4.B【命题意图】本小题主要考查排列组合在古典概型中的应用，既对抽象概念进行提问，又贴近生活实际，是数学与生活相联系.【试题解析】B ，故选B.5.A【命题意图】本小题主要考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，对学生的推理论证能力和数形结合思想提出一定要求.【试题解析】A 由正弦定理得，，再由余弦定理可得，故选A.6.A【命题意图】本小题主要考查函数的性质对函数图像的影响，并通过对函数的性质来判断函数的图像等问题.【试题解析】A 判断函数为奇函数，排除；又由于当时，的增加速度快，故选A.7.C8.D【命题意图】本小题主要考查利用三角函数以及解三角形的知识解决实际问题，对学生的数形结合思想提出一定要求.【试题解析】D 在中，由正弦定理得，在中，，故选D.9.C 【命题意图】本小题主要考查对等差数列通项以及变化规律的理解，还包括前项和的理解，理解了等差数列性质以及特点的学生解决此类问题会比较容易.【试题解析】C 由等差数列的前项和有最大值，可知，再由，知，从而有，即，从而使得数列的前项和取最大值的，故选C.10.A11.C【命题意图】本小题主要考查双曲线的定义，双曲线离心率的运算，对考生的运算求解能力和数形结合能力提出较高要求.【试题解析】C 不妨设点在双曲线右支，分别为左，右焦点，有，由，可得，由知，的最小内角为，从而为直角三角形，，此时双曲线离心率，故选C.12.C【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质和运算，并对基本不等式的考查也提出很高要求，本题作为选择的压轴题，属于较难题，对学生的运算求解能力和推理论证能力提出一定要求.【试题解析】C 由可得，，而=，当且仅当 时取“=”，从而，，故选C.二、14.或115.【命题意图】本小题是线性规划的简单应用，对可行域的求取、对目标函数的理解都是考生必须掌握的基本技能.【试题解析】令，由可行域可知其在第一象限，故可看成从点向轴，轴引垂线段，所围成矩形的面积，故其可能取最大值的位置应在线段上，，当时取最大值，此时16.【试题解析】取中点分别为，连接，由题意知，，易知三棱锥的外接球球心在线段上，连接，有，求得，所以其表面积为.三、解答题17.(本小题满分12分)【命题意图】本题考查数列通项公式及其前项和公式的求法，其中涉及错位相减法在数列求和问题中的应用.【试题解析】解：(1)当时，，解得当时，，有，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，有. （6分）(2)由（1）知，有=1\*GB3①=1\*GB3①，=2\*GB3②=1\*GB3①=2\*GB3②，得整理得. 18.【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识，其中包括概率的求法、离散型随机变量的数学期望以及方差.本题主要考查学生的数据处理能力和运算求解能力.【试题解析】解：(1)根据统计数据出现好天的概率为0.4，则连续两天出现“好天”的概率为. (4分)(2)的所有可能取值为45,70,95,120.4570951200.2160.4320.2880.064 (12分)19.【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面的平行关系、二面角的求法及空间向量在立体几何中的应用.本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求.【试题解析】解：(1)证明：，则，即. (6分) (2)取中点，可知，.以为原点，以方向为轴，以方向为轴，以方向为轴，建立如图所示坐标系. ，，， 平面中，，， 平面中，，， . 即二面角的余弦值为. (12分)20.【命题意图】本小题主要考查抛物线的性质，直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到抛物线标准方程的求取，直线与圆锥曲线的相关知识以及圆锥曲线中定值的求取.本小题对考生的化归与转化思想、运算求解能力都有很高要求.【试题解析】解：(1)由可得：，即，可知点为线段中垂线上的点，即，故动点的轨迹为以为焦点的抛物线，其方程为. (4分)(2)设直线的斜率为，易得，可求得切线的方程为，化简整理得 ①因为，所以，故直线的方程为.联立直线和抛物线方程解得，所以切线的方程为，化简整理得 ②①②得，所以(定值).故点的轨迹为是垂直轴的一条定直线. (8分)(3)由(2)有，所以，.故(定值). (12分)21.【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来描述函数的极值等情况.本小题主要考查考生分类讨论思想的应用，对考生的逻辑推理能力与运算求解有较高要求.【试题解析】解：(1)函数的定义域为，.令，得；当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以，为极大值点，所以，故，即实数的取值范围为. (4分)(2)当时，，令，则.再令，则，所以，所以，所以为单调增函数，所以，故. (8分)(3)由(2)知，当时，，.令，则，所以，，所以，所以所以. (12分)22.【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到参数方程与普通方程的转化、极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、平面内直线与曲线的位置关系、利用三角函数相关知识解决点线距离问题等内容.本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求.【试题解析】解：(1)