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文档简介
第一章集合与常用逻辑用语尖子生培优卷一、单选题。本大题共8小题,每小题5分,共40分,每小题只有一个选项符合题意。1.某小学对小学生的课外活动进行了调查.调查结果显示:参加舞蹈课外活动的有63人,参加唱歌课外活动的有89人,参加体育课外活动的有47人,三种课外活动都参加的有24人,只选择两种课外活动参加的有46人,不参加其中任何一种课外活动的有15人,问接受调查的小学生共有多少人?()A.120 B.144 C.177 D.1922.设集合、是的两个非空子集,如果存在一个从到的函数满足:,对任意,,当时,恒有,那么称这两个集合“保序同构”,以下集合对不是“保序同构”的个数是()①,②③④A. B. C. D.3.设,与是的子集,若,则称为一个“理想配集”.那么符合此条件的“理想配集”(规定与是两个不同的“理想配集”的个数是()A.16 B.9 C.8 D.44.非空集合具有下列性质:①若、,则;②若、,则,下列判断一定成立的是()(1);(2);(3)若、,则;(4)若、,则.A.(1)(3) B.(1)(2)C.(1)(2)(3) D.(1)(2)(3)(4)5.定义,设、、是某集合的三个子集,且满足,则是的()A.充要条件 B.充分非必要条件C.必要非充分条件 D.既非充分也非必要条件6.已知集合其中,,其中则与的关系为A. B. C. D.7.若集合,,,则A,B,C之间的关系是()A. B.AB=C C.ABC D.BCA8.已知集合,对于它的任一非空子集A,可以将A中的每一个元素k都乘以再求和,例如,则可求得和为,对S的所有非空子集,这些和的总和为A.508 B.512 C.1020 D.1024二、多选题。本大题共4小题,每小题5分,共20分,每小题有两项或以上符合题意。9.设非空集合满足:当x∈S时,有x2∈S.给出如下命题,其中真命题是()A.若m=1,则 B.若,则≤n≤1C.若,则 D.若n=1,则10.当一个非空数集满足“如果,则,且时,”时,我们称就是一个数域,以下关于数域的说法:①0是任何数域的元素;②若数域有非零元素,则;③集合是一个数域;④有理数集是一个数域;⑤任何一个有限数域的元素个数必为奇数.其中正确的选项有A.①② B.②③ C.③④ D.④⑤11.设集合,则对任意的整数,形如的数中,是集合中的元素的有A. B. C. D.12.(多选)若非空数集满足任意,都有,,则称为“优集”.已知是优集,则下列命题中正确的是()A.是优集 B.是优集C.若是优集,则或 D.若是优集,则是优集三、填空题。本大题共4小题,每小题5分,共20分。13.高一某班共有54人,每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择3门进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少25人,这三门学科均不选的有8人.这三门课程均选的8人,三门中任选两门课程的均至少有15人.三门中只选物理与只选化学均至少有6人,那么该班选择物理与化学但未选生物的学生至多有______人.14.已知集合和,使得,,并且的元素乘积等于的元素和,写出所有满足条件的集合___________.15.设集合,其中为实数,令,,若中的所有元素之和为6,中的所有元素之积为_________.16.已知集合M={x∈N|1≤x≤21},集合A1,A2,A3满足①每个集合都恰有7个元素;②A1∪A2∪A3=M.集合Ai中元素的最大值与最小值之和称为集合Ai的特征数,记为Xi(i=1,2,3),则X1+X2+X3的最大值与最小值的和为___.四、解答题。本大题共6小题,共70分,解答过程必修有必要的文字说明,公式和解题过程。17.已知集合为非空数集,定义:,.(1)若集合,求证:,并直接写出集合;(2)若集合,,且,求证:;(3)若集合,,记为集合中元素的个数,求的最大值.18.设正整数,集合,对于集合中的任意元素和,及实数,定义:当且仅当时;;.若的子集满足:当且仅当时,,则称为的完美子集.(1)当时,已知集合,.分别判断这两个集合是否为的完美子集,并说明理由;(2)当时,已知集合.若不是的完美子集,求的值;(3)已知集合,其中.若对任意都成立,判断是否一定为的完美子集.若是,请说明理由;若不是,请给出反例.19.已知集合A为非空数集,定义:,(1)若集合,直按写出集合S,T(无需写计算过程)(2)若集合,,且,求证:(3)若集合,,记为集合A中元素的个数,求的最大值.20.已知集合,集合,集合,且集合满足,.(1)求实数的值.(2)对集合,其中.定义由中的元素构成两个相应的集合,,其中是有序实数对,集合和中的元素的个数分别为和,若对任意的总有,则称集合具有性质.①请检验集合与是否具有性质,并对其中具有性质的集合,写出相应的集合和.②试判断和的大小关系,并证明你的结论.21.对于有限个自然数组成的集合,定义集合,记集合的元素个数为.定义变换,变换将集合变换为集合.(1)若,求;(2)若集合,证明:的充要条件是.22.已知集合(1)判断8,9,10是否属于集合A;(2)已知集合,证明:“”的充分条件是“”;但“”不是“”的必要条件;(3)写出所有满足集合A的偶数.参考答案1.A【解析】如图所示,用韦恩图表示题设中的集合关系,不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合表示,则不妨设总人数为,韦恩图中三块区域的人数分别为即由容斥原理:解得:故选:A2.A【解析】对于①:若,,存在函数,“,满足,对任意,,当时,恒有,那么称这两个集合“保序同构”,所以选项①是“保序同构”;对于②:若,存在函数,对任意,,当时,恒有,那么称这两个集合“保序同构”,所以选项②是“保序同构”;对于③:若,存在函数满足,对任意,,当时,恒有,那么称这两个集合“保序同构”,所以选项③是“保序同构”;对于④:不能找到函数,使得两个集合“保序同构”.从另一个角度来思考,前三个选项中的集合对是“保序同构”,由排除法可知,不是“保序同构”只有④,所以不是“保序同构”的个数为1.故选:A3.B【解析】由题意,对子集分类讨论:当集合,集合可以是,共4中结果;当集合,集合可以是,共2种结果;当集合,集合可以是,共2种结果;当集合,集合可以是,共1种结果,根据计数原理,可得共有种结果.故选:B.4.C【解析】由①可知.对于(1),若,对任意的,,则,所以,,这与矛盾,(1)正确;对于(2),若且,则,,,依此类推可得知,,,,,,(2)正确;对于(3),若、,则且,由(2)可知,,则,所以,,(3)正确;对于(4),由(2)得,,取,则,所以(4)错误.故选:C.5.A【解析】如图,由于,故两个阴影部分均为,于是,(1)若,则,,而,成立;(2)反之,若,则由于,,,,,故选:A6.A【解析】任取当同为奇数或同为偶数时,当一奇一偶时,因为所以,所以所以任取,,所以所以故选:A7.B【解析】将各集合中元素的公共属性化归为同一形式,集合A中,,;集合B中,,;集合C中,,.由与p均表示整数,且,可得AB=C.故选B.8.B【解析】因为元素在集合S的所有非空子集中分别出现次,则对S的所有非空子集中元素k执行乘以再求和操作,则这些和的总和是.故选B9.BC【解析】∵非空集合满足:当x∈S时,有x2∈S.∴当m∈S时,有m2∈S,即,解得:或;同理:当n∈S时,有n2∈S,即,解得:.对于A:m=1,必有m2=1∈S,故必有解得:,所以,故A错误;对于B:,必有m2=∈S,故必有,解得:,故B正确;对于C:若,有,解得:,故C正确;对于D:若n=1,有,解得:或,故D不正确.故选:BC10.AD【解析】①当时,由数域的定义可知,若,则有,即,故①是真命题;②当时,由数域的定义可知,若,则有,即,若,则,则,则,故②是真命题;③当时,,故③是假命题;④若,则,且时,,故④是真命题;⑤,当且时,则,因此只要这个数不为就一定成对出现,所以有限数域的元素个数必为奇数,所以⑤是真命题.故选:.11.ABD【解析】∵,∴.∵,∴.∵,∴.若,则存在使得,则和的奇偶性相同.若和都是奇数,则为奇数,而是偶数,不成立;若和都是偶数,则能被4整除,而不能被4整除,不成立,∴.故选ABD.12.ACD【解析】对于A中,任取,因为集合是优集,则,则,,则,所以A正确;对于B中,取,则或,令,则,所以B不正确;对于C中,任取,可得,因为是优集,则,若,则,此时;若,则,此时,所以C正确;对于D中,是优集,可得,则为优集;或,则为优集,所以是优集,所以D正确.故选:ACD.13.9【解析】把学生54人看成集合,选择物理的人组成集合,选择化学的人组成集合,选择生物的人组成集合,选择物理与化学但未选生物的人组成集合.要使选择物理与化学但未选生物的学生人数最多,除这三门课程都不选的8人,则结合Venn图可知,其他区域人数均为最少,即得到只选物理与只选化学均至少6人,只选生物的最少25人,做出下图,得该班选择物理与化学但未选生物的学生至多有9人.故答案为:9.14.或或.【解析】,中所有元素之和为;若中仅有一个元素,设,则,解得:,不合题意;若中有且仅有两个元素,设,则,当,时,,;若中有且仅有三个元素,设,则;当,,时,,若中有且仅有四个元素,设,则,当,,,时,,;若中有且仅有五个元素,若,此时,中最多能有四个元素;综上所述:或或.故答案为:或或.15.【解析】因为,而,故,所以,若,则或(舍),此时,故中的所有元素之积为.若,则,这与或,这与中的所有元素之和为6矛盾.若,则或(舍),此时,这与中的所有元素之和为6矛盾.若,则,则,即,无解.故答案为:.16.132【解析】集合M={x∈N|1≤x≤21},由集合A1,A2,A3满足①每个集合都恰有7个元素;②A1∪A2∪A3=M可知最小的三个数为1,2,3;21必是一个集合的最大元素,含有21集合中的元素,有21,20,19,…,16和1,2,3中一个组成,这样特征数最小,不妨取1,这时X1最小值为22;15必是一个集合的最大元素,含有15集合中的元素,有15,14,13,…,10和2,3中一个组成,这样特征数最小,不妨取2,这时X2最小值为17;9必是一个集合的最大元素,含有9集合中的元素,有9,8,7,…,4和3组成,这样特征数最小,这时X3最小值为10;则X1+X2+X3的最小值为22+17+12=51.同理可知最大的三个数为21,20,19;含有21集合中的元素,有21,18,17,16,16,15,13;这样特征数最大,为34;含有20的集合中元素为20,12,11,10,9,8,7,这样特征数最大,为27;含有19的集合中元素为19,6,5,4,3,2,1,特征数最大,且为20;则X1+X2+X3的最大值为34+27+20=81;所以X1+X2+X3的最大值与最小值的和为51+81=132.故答案为:132.17.(1)证明见解析,;(2)证明见解析;(3)集合A中元素的个数的最大值为1348.18.(1)是完美子集,不是完美子集,理由见解析(2)(3)一定是的完美子集,理由见解析19.(1),;(2)见解析;(3)1348.【解析】解:(1)根据题意,由集合,,计算集合,4,,,;(2)由于集合,,,,,且,所以中也只包含四个元素,即,,,,剩下的,所以;(3)设,,满足题意,其中,则,,,,,由容斥原理,中最小的元素为0,最大的元素为,,,,实际上当,675,676,,时满足题意,证明如下:设,,,,,,则,,,,,,1,2,,,依题意有,即,故的最小值为674,于是当时,中元素最多,即,675,676,,时满足题意,综上所述,集合中元素的个数的最大值是1348.20.(1)(2)①具有性质,不具有性质;,;②,证明见解析.【解析】(1)由,,,,可得,则,则或,时,,不满足,时,,满足题意,综上,.(2)①,具有性质,,,,,但,则不具有性质.②,证明如下:对任意,有,,,则,则,若,则,,则不同对应的不同,则中每个元素在中都能找到不同元素与之对应,则中元素个数不少于中元素个数,对任意,有,,,则,则,若,则,,则不同对应的不同,则中每个元素在中都能找到不同元素与之对应,则中元素个数不少于中元素个数,综上.21.(1);(2)证明见解析.【解析】解:(1)若集合,则根据定义可得:.(2)由.充分性:设是公差为的等差数
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