第一章 集合与常用逻辑用语 尖子生培优卷 - 2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第一章集合与常用逻辑用语尖子生培优卷一、单选题。本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意。1．某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有63人，参加唱歌课外活动的有89人，参加体育课外活动的有47人，三种课外活动都参加的有24人，只选择两种课外活动参加的有46人，不参加其中任何一种课外活动的有15人，问接受调查的小学生共有多少人？（）A．120 B．144 C．177 D．1922．设集合、是的两个非空子集，如果存在一个从到的函数满足：，对任意，，当时，恒有，那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的个数是（）①，②③④A． B． C． D．3．设，与是的子集，若，则称为一个“理想配集”.那么符合此条件的“理想配集”（规定与是两个不同的“理想配集”的个数是（）A．16 B．9 C．8 D．44．非空集合具有下列性质：①若、，则；②若、，则，下列判断一定成立的是（）（1）；（2）；（3）若、，则；（4）若、，则.A．（1）（3） B．（1）（2）C．（1）（2）（3） D．（1）（2）（3）（4）5．定义，设、、是某集合的三个子集，且满足，则是的（）A．充要条件 B．充分非必要条件C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件6．已知集合其中，，其中则与的关系为A． B． C． D．7．若集合，，，则A，B，C之间的关系是（）A． B．AB=C C．ABC D．BCA8．已知集合，对于它的任一非空子集A，可以将A中的每一个元素k都乘以再求和，例如，则可求得和为，对S的所有非空子集，这些和的总和为A．508 B．512 C．1020 D．1024二、多选题。本大题共4小题，每小题5分，共20分，每小题有两项或以上符合题意。9．设非空集合满足：当x∈S时，有x2∈S.给出如下命题，其中真命题是（）A．若m=1，则 B．若，则≤n≤1C．若，则 D．若n=1，则10．当一个非空数集满足“如果,则,且时,”时,我们称就是一个数域,以下关于数域的说法:①0是任何数域的元素;②若数域有非零元素,则;③集合是一个数域;④有理数集是一个数域;⑤任何一个有限数域的元素个数必为奇数.其中正确的选项有A．①② B．②③ C．③④ D．④⑤11．设集合，则对任意的整数，形如的数中，是集合中的元素的有A． B． C． D．12．（多选）若非空数集满足任意，都有，，则称为“优集”．已知是优集，则下列命题中正确的是（）A．是优集 B．是优集C．若是优集，则或 D．若是优集，则是优集三、填空题。本大题共4小题，每小题5分，共20分。13．高一某班共有54人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择3门进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少25人，这三门学科均不选的有8人.这三门课程均选的8人，三门中任选两门课程的均至少有15人.三门中只选物理与只选化学均至少有6人，那么该班选择物理与化学但未选生物的学生至多有______人.14．已知集合和，使得，，并且的元素乘积等于的元素和，写出所有满足条件的集合___________.15．设集合，其中为实数，令，，若中的所有元素之和为6，中的所有元素之积为_________．16．已知集合M＝{x∈N|1≤x≤21}，集合A1，A2，A3满足①每个集合都恰有7个元素；②A1∪A2∪A3＝M．集合Ai中元素的最大值与最小值之和称为集合Ai的特征数，记为Xi（i＝1，2，3），则X1+X2+X3的最大值与最小值的和为___．四、解答题。本大题共6小题，共70分，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。17．已知集合为非空数集，定义：，.（1）若集合，求证：，并直接写出集合；（2）若集合，，且，求证：；（3）若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值.18．设正整数，集合，对于集合中的任意元素和，及实数，定义：当且仅当时；；.若的子集满足：当且仅当时，，则称为的完美子集.（1）当时，已知集合，.分别判断这两个集合是否为的完美子集，并说明理由；（2）当时，已知集合.若不是的完美子集，求的值；（3）已知集合，其中.若对任意都成立，判断是否一定为的完美子集.若是，请说明理由；若不是，请给出反例.19．已知集合A为非空数集，定义：，（1）若集合，直按写出集合S，T（无需写计算过程）（2）若集合，，且，求证：（3）若集合，，记为集合A中元素的个数，求的最大值.20．已知集合，集合，集合，且集合满足，.（1）求实数的值.（2）对集合，其中.定义由中的元素构成两个相应的集合，，其中是有序实数对，集合和中的元素的个数分别为和，若对任意的总有，则称集合具有性质.①请检验集合与是否具有性质，并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和.②试判断和的大小关系，并证明你的结论.21．对于有限个自然数组成的集合，定义集合，记集合的元素个数为.定义变换，变换将集合变换为集合.（1）若，求；（2）若集合，证明：的充要条件是.22．已知集合（1）判断8，9，10是否属于集合A；（2）已知集合，证明：“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件；（3）写出所有满足集合A的偶数.参考答案1．A【解析】如图所示，用韦恩图表示题设中的集合关系，不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合表示，则不妨设总人数为，韦恩图中三块区域的人数分别为即由容斥原理：解得：故选：A2．A【解析】对于①：若，，存在函数,“,满足，对任意，，当时，恒有，那么称这两个集合“保序同构”，所以选项①是“保序同构”;对于②：若，存在函数，对任意，，当时，恒有，那么称这两个集合“保序同构”，所以选项②是“保序同构”；对于③：若，存在函数满足，对任意，，当时，恒有，那么称这两个集合“保序同构”，所以选项③是“保序同构”;对于④：不能找到函数，使得两个集合“保序同构”.从另一个角度来思考，前三个选项中的集合对是“保序同构”,由排除法可知,不是“保序同构”只有④，所以不是“保序同构”的个数为1.故选：A3．B【解析】由题意，对子集分类讨论：当集合，集合可以是，共4中结果；当集合，集合可以是，共2种结果；当集合，集合可以是，共2种结果；当集合，集合可以是，共1种结果，根据计数原理，可得共有种结果.故选：B.4．C【解析】由①可知.对于（1），若，对任意的，，则，所以，，这与矛盾，（1）正确；对于（2），若且，则，，，依此类推可得知，，，，，，（2）正确；对于（3），若、，则且，由（2）可知，，则，所以，，（3）正确；对于（4），由（2）得，，取，则，所以（4）错误.故选：C.5．A【解析】如图，由于，故两个阴影部分均为，于是，（1）若，则，，而，成立；（2）反之，若，则由于，，，，，故选：A6．A【解析】任取当同为奇数或同为偶数时，当一奇一偶时，因为所以，所以所以任取，，所以所以故选：A7．B【解析】将各集合中元素的公共属性化归为同一形式，集合A中，，；集合B中，，；集合C中，，．由与p均表示整数，且，可得AB=C．故选B.8．B【解析】因为元素在集合S的所有非空子集中分别出现次，则对S的所有非空子集中元素k执行乘以再求和操作,则这些和的总和是.故选B9．BC【解析】∵非空集合满足：当x∈S时，有x2∈S.∴当m∈S时，有m2∈S，即，解得：或；同理：当n∈S时，有n2∈S，即，解得：.对于A:m=1,必有m2=1∈S，故必有解得：，所以，故A错误；对于B:,必有m2=∈S，故必有，解得：，故B正确；对于C:若，有，解得：，故C正确；对于D:若n=1，有，解得：或，故D不正确.故选：BC10．AD【解析】①当时，由数域的定义可知，若，则有，即，故①是真命题;②当时，由数域的定义可知，若，则有，即，若，则，则，则，故②是真命题；③当时，，故③是假命题；④若，则，且时,，故④是真命题；⑤，当且时，则，因此只要这个数不为就一定成对出现，所以有限数域的元素个数必为奇数，所以⑤是真命题.故选：.11．ABD【解析】∵，∴.∵，∴.∵，∴.若，则存在使得，则和的奇偶性相同.若和都是奇数，则为奇数，而是偶数，不成立；若和都是偶数，则能被4整除，而不能被4整除，不成立，∴.故选ABD.12．ACD【解析】对于A中，任取，因为集合是优集，则，则，，则，所以A正确；对于B中，取，则或，令，则，所以B不正确；对于C中，任取，可得，因为是优集，则，若，则，此时；若，则，此时，所以C正确；对于D中，是优集，可得，则为优集；或，则为优集，所以是优集，所以D正确.故选：ACD.13．9【解析】把学生54人看成集合，选择物理的人组成集合，选择化学的人组成集合，选择生物的人组成集合，选择物理与化学但未选生物的人组成集合.要使选择物理与化学但未选生物的学生人数最多，除这三门课程都不选的8人，则结合Venn图可知，其他区域人数均为最少，即得到只选物理与只选化学均至少6人，只选生物的最少25人，做出下图，得该班选择物理与化学但未选生物的学生至多有9人.故答案为：9.14．或或.【解析】，中所有元素之和为；若中仅有一个元素，设，则，解得：，不合题意；若中有且仅有两个元素，设，则，当，时，，；若中有且仅有三个元素，设，则；当，，时，，若中有且仅有四个元素，设，则，当，，，时，，；若中有且仅有五个元素，若，此时，中最多能有四个元素；综上所述：或或.故答案为：或或.15．【解析】因为，而，故，所以，若，则或（舍），此时，故中的所有元素之积为.若，则，这与或，这与中的所有元素之和为6矛盾.若，则或（舍），此时，这与中的所有元素之和为6矛盾.若，则，则，即，无解.故答案为：.16．132【解析】集合M＝{x∈N|1≤x≤21}，由集合A1，A2，A3满足①每个集合都恰有7个元素；②A1∪A2∪A3＝M可知最小的三个数为1，2，3；21必是一个集合的最大元素，含有21集合中的元素，有21，20，19，…，16和1，2，3中一个组成，这样特征数最小，不妨取1，这时X1最小值为22；15必是一个集合的最大元素，含有15集合中的元素，有15，14，13，…，10和2，3中一个组成，这样特征数最小，不妨取2，这时X2最小值为17；9必是一个集合的最大元素，含有9集合中的元素，有9，8，7，…，4和3组成，这样特征数最小，这时X3最小值为10；则X1+X2+X3的最小值为22+17+12＝51．同理可知最大的三个数为21，20，19；含有21集合中的元素，有21，18，17，16，16，15，13；这样特征数最大，为34；含有20的集合中元素为20，12，11，10，9，8，7，这样特征数最大，为27；含有19的集合中元素为19，6，5，4，3，2，1，特征数最大，且为20；则X1+X2+X3的最大值为34+27+20＝81；所以X1+X2+X3的最大值与最小值的和为51+81＝132．故答案为：132．17．（1）证明见解析，；（2）证明见解析；（3）集合A中元素的个数的最大值为1348.18．（1）是完美子集，不是完美子集，理由见解析（2）（3）一定是的完美子集，理由见解析19．（1），；（2）见解析；（3）1348.【解析】解：（1）根据题意，由集合，，计算集合，4，，，；（2）由于集合，，，，，且，所以中也只包含四个元素，即，，，，剩下的，所以；（3）设，，满足题意，其中，则，，，，，由容斥原理，中最小的元素为0，最大的元素为，，，，实际上当，675，676，，时满足题意，证明如下：设，，，，，，则，，，，，，1，2，，，依题意有，即，故的最小值为674，于是当时，中元素最多，即，675，676，，时满足题意，综上所述，集合中元素的个数的最大值是1348．20．（1）（2）①具有性质，不具有性质；，；②，证明见解析.【解析】（1）由，，，，可得，则，则或，时，，不满足，时，，满足题意，综上，.（2）①，具有性质，，，，，但，则不具有性质.②，证明如下：对任意，有，，，则，则，若，则，，则不同对应的不同，则中每个元素在中都能找到不同元素与之对应，则中元素个数不少于中元素个数，对任意，有，，，则，则，若，则，，则不同对应的不同，则中每个元素在中都能找到不同元素与之对应，则中元素个数不少于中元素个数，综上.21．（1）；（2）证明见解析.【解析】解：（1）若集合,则根据定义可得：.（2）由.充分性：设是公差为的等差数