湖南省益阳市资阳区湖南国基实验学校高三数学理联考试题含解析

湖南省益阳市资阳区湖南国基实验学校高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知圆上的点到直线的最短距离为，则b的值为(

)A.－2或2 B.2或C.－2或 D.或2参考答案：D【分析】由圆的方程求得圆心坐标和半径，根据圆上的点到直线的最短距离为，得出，利用点到直线的距离公式，列出方程，即可求解．【详解】由圆，可得圆心坐标为，半径，设圆心到直线的距离为，则，因为圆上的点到直线的最短距离为，所以，即，解得或，故选D．【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中把圆上的点到直线的最短距离转化为，再利用点到直线的距离公式，列出方程求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及运算与求解能力，属于基础题．2.若将函数f（x）=x5表示为f（x）=a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…+a5（1+x）5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3=（）A．15 B．5 C．10 D．20参考答案：C【考点】二项式系数的性质．【专题】二项式定理．【分析】由题意可得[﹣1+（x+1）]5=a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…+a5（1+x）5，故有a3=（﹣1）2?，计算可得结果．【解答】解：由题意可得f（x）=[﹣1+（x+1）]5=a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…+a5（1+x）5，∴a3=（﹣1）2?=10，故选：C．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．3.如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（

）A.34

B.55

C.78

D.89

参考答案：B4.函数的图象经过原点，且它的导函数的图象是如图所示的一条直线，则的图象不经过

（

）A．第一象限

B.第二象限

C．第三象限

D.第四象限

参考答案：答案：B5.已知点满足条件，点，则的最大值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D略6.设，则下列不等式成立的是

（

）A．B．C．D．参考答案：B略7.如图所示程序框图中，输出S=(

)A．﹣1 B．0 C．1 D．参考答案：B【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；数形结合；试验法；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n，S的值，当n=2017时，满足条件n＞2016，退出循环，输出S的值，利用正弦函数，余弦函数的取值的周期性即可求值．【解答】解：模拟执行程序框图，可得n=1，S=0，S=cos+sin，n=2，不满足条件n＞2016，S=（cos+sin）+（cos（2×）+sin（2×）），…n=2016，不满足条件n＞2016，S=（cos+sin）+（cos（2×）+sin（2×））+…+（cos+sin），n=2017，满足条件n＞2016，退出循环，输出S=（cos+sin）+（cos（2×）+sin（2×））+…+（cos+sin）的值．∵sin+sin+sin+sin+sin+sin=0，k∈Z，且cos+cos+cos+cos+cos+cos=0，k∈Z，2016=6×336，∴可得：S=0．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，考查了正弦函数，余弦函数的取值的周期性，属于基本知识的考查．8.若，是第三象限的角，则

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略9.直线与椭圆恒有公共点，则的取值范围是（

）（A）[1，5)∪（5，+∞（B）（0，5）(C)(D)（1，5）参考答案：A略10.已知数列{an}是等比数列，若，则的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】数列的求和．【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：由已知得数列{an}的公比满足q3==，解得q=，∴a1=2，a3=，故数列{anan+1}是以2为首项，公比为=的等比数列，∴a1a2+a2a3+…+anan+1==∈，故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设为锐角，若

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.参考答案：12.甲乙丙三人代表班级参加校运会的跑步，跳远，铅球比赛，每人参加一项，每项都要有人参加，他们的身高各不同，现了解到已下情况：（1）甲不是最高的；（2）最高的是没报铅球；（3）最矮的参加了跳远；（4）乙不是最矮的，也没参加跑步．可以判断丙参加的比赛项目是

．参考答案：跑步

【考点】进行简单的合情推理．【分析】由（4）可知，乙参加了铅球比赛，由（2）可知乙不是最高的，所以三人中乙身高居中；再由（1）可知，甲是最矮的，参加了跳远，即可得出结论．【解答】解：由（4）可知，乙参加了铅球比赛，由（2）可知乙不是最高的，所以三人中乙身高居中；再由（1）可知，甲是最矮的，参加了跳远，所以丙最高，参加了跑步比赛．故答案为跑步．13.对于定义在上的函数，若存在距离为的两条直线和，使得对任意都有恒成立，则称函数有一个宽度为的通道.给出下列函数：①；②；③；④其中在区间上通道宽度可以为1的函数有

(写出所有正确的序号).参考答案：①③④【知识点】单元综合B14函数①，在区间[1，+∞）上的值域为（0，1]，满足0≤f（x）≤1，

∴该函数在区间[1，+∞）上通道宽度可以为1；函数②，在区间[1，+∞）上的值域为[-1，1]，

满足-1≤f（x）≤1，∴该函数在区间[1，+∞）上通道宽度可以为2；

函数③，在区间[1，+∞）上的图象是双曲线x2-y2=1在第一象限的部分，其渐近线为y=x，满足x-1≤f（x）≤x，∴该函数在区间[1，+∞）上通道宽度可以为1；

函数④，在区间[1，+∞）上的值域为[0，]，满足0≤f（x）≤＜1，

∴该函数在区间[1，+∞）上通道宽度可以为1．故满足题意的有①③④．【思路点拨】对4个函数逐个分析其值域或者图象的特征，即可得出结论．14.已知向量，，若，则实数k=

．参考答案：4，则题意，解得.

15.在平面直角坐标系中，设角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点的横坐标为，则的值等于__________．参考答案：【分析】利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值，再利用二倍角的余弦公式求得cos2α的值．【详解】∵角α的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆的交点的横坐标为，∴x，r＝1，∴cosα，∴cos2α＝2cos2α﹣1＝2×（）2﹣1．故答案为：．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的余弦公式，属于基础题．16.对于大于或等于2的自然数的二次方幂有如下分解方式：，，，……根据上述分解规律，对任意自然数，当时，有____________；参考答案：等式的右边依次为个奇数和，所以由归纳推理得，当时，有。17.已知在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且b=a，cosB=cosA，c=+1，则△ABC的面积为．参考答案：【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】由已知可求sinB=sinA，cosB=cosA，利用同角三角函数基本关系式可求cosA，cosB，进而可求A，B，C的值，由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，可得a，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：∵由b=a，可得：sinB=sinA，由cosB=cosA，可得：cosB=cosA，∴（sinA）2+（cosA）2=1，解得：sin2A+cos2A=，∴结合sin2A+cos2A=1，可得：cosA=，cosB=，∴A=，B=，可得：C=π﹣A﹣B=，∴由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，可得：（）2=a2+（）2﹣2α×a×cos，∴解得：a=，∴S△ABC=acsinB=（）×=．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数.(1)判断函数在区间上的单调性；(2)若且，证明：.

参考答案：（1），，当时，又，令，得.（2）要证即证成立当时，..令在单调递增又即，而由知，由（1）知在单调递减.

即.19.（本题满分12分）在直角梯形ABCD中，AD//BC，,,如图（1）．把沿翻折，使得平面.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若点为线段中点，求点到平面的距离；（Ⅲ）在线段上是否存在点N，使得与平面所成角为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

参考答案：（Ⅰ）由已知条件可得．………………2分∵平面，．∴．……3分又∵，∴．……4分（Ⅱ）以点为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图．由已知可得．∴．……………6分设平面的法向量为，则∴令，得平面的一个法向量为，∴点M到平面的距离．…………………8分（Ⅲ）假设在线段上存在点N，使得与平面所成角为．………9分设，则，∴，又∵平面的法向量且直线与平面所成角为，∴，……………11分可得，∴（舍去）．综上，在线段上存在点N，使与平面所成角为，此时．12分20.（本小题满分13分）已知函数在处有极值（1）求的值（2）判断函数的单调性并求出单调区间参考答案：解：（1）

根据题意得和代入得，和解得，(2)由（1）得，求导得令则解得或令，解得或所以函数的单调递增区间所以函数的单调递减区间

略21.在无穷数列中，，对于任意，都有，，设，记使得成立的的最大值为．（I）设数列为，，，，，写出，，的值．（II）若为等差数列，求出所有可能的数列．（III）设，，求的值．（用，，表示）参考答案：（I）∵，则，，则，，则；∴，，．（II）有题可得，可得．又∵使得成立的的最大值为，使得成立的的最大值为，∴，．设，则．若，则．则当时，；当时，，∴，．∵为等差数列，∴公差，∴，这与矛盾，∴．又∵，∴，由为等差数列，得．