第一节刚体定轴转动

第一章连续体力学

continousmediummechanics1、连续体2、连续体力学固体、液体、气体统称不考虑物质的离散性质把物质当作是均匀分布在一定空间区域里从宏观上研究连续体的运动规律及力学性质刚体运动的描述力矩刚体定轴转动定理定轴转动刚体的动能动能定理第一节刚体的定轴转动刚体的角动量定理刚体上的任一直线，在各时刻的位置始终保持彼止平行的运动，叫做平动。

在任何外力作用下，形状大小均不发生改变的物体称为刚体。或者说运动中物体上任二点的间距不变。1.理想模型；§1.1.1刚体的运动一、刚体

2.在外力作用下，任意两点间均不发生相对位移；

3.内力对刚体运动不起作用。二、刚体的平动和转动1.刚体平动

因为在平动时刚体上各点的运动轨迹、各时刻的位移、速度、加速度都相同，整个刚体可当作质点来处理。AB刚体的平动质点运动，用线量如坐标、速度、加速度描述。用角量如角位移、角速度、角加速度来描述刚体的定轴转动。定轴转动:若轴线固定不动，则称定轴转动

2.刚体转动如果刚体上所有点都绕同一直线作圆周运动。

刚体的一般运动可视为平动和转动的合成运动。滚动—轴心的平动+绕轴心的转动抛体—质心的抛物线运动+绕质心的转动描述刚体定轴转动的物理量1.角坐标，角位移yxOP(t)P(t+dt)

d

运动方程：角坐标

：位矢与ox

轴夹角。角位移d

：dt

时间内角位置增量。1、刚体上各质点的角位移，角速度和角加速度均相同；定轴转动刚体定轴转动的特点：1、刚体上各质点的角位移，角速度和角加速度均相同；2、各质点都在垂直转轴的平面内运动，且作圆周运动。圆心在转轴上。转动平面定轴转动只有两个转动方向。规定：位矢从ox

轴逆时针方向转动时角位置

为正，反之，为负。1、刚体转动的角速度和角加速度三、角量与线量的关系P*O角坐标:角位移:角速度:单位：rad

·s-1平均角速度:单位：rad角速度的方向：与刚体转动方向呈右手螺旋关系。<0

0>

约定沿逆时针方向转动沿顺时针方向转动在定轴转动中，角速度的方向沿转轴方向。β为恒量时，刚体做匀变速转动.角加速度平均角加速度方向：？1）每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；定轴转动的特点

2）任一质点运动均相同，但不同；3）运动描述仅需一个坐标.2、角量与线量的关系角量和线量之间可通过半径r联系起来。方向垂直于和组成的平面yx0△

△s

刚体绕定轴作匀变速转动质点匀变速直线运动刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比例1、一半径为R的飞轮以角加速度β作匀变速转动，t=0时，飞轮的角速度为ω0，角坐标为

0.求解：⑴ω0⑴飞轮的角速度与角坐标；

⑵在飞轮边缘上一点的速度、切向加速度和法向加速度。⑵时刻t在飞轮边缘上一点的速度为切向加速度和法向加速度分别为哪个力容易将门关好？§1.1.2刚体定轴转动定理一、力矩(对于力在垂直于转轴的平面的情况)

力矩的表示式：大小：方向：注意：单位：N·m

一、力矩(对于力在垂直于转轴的平面的情况)

1、定义：转轴到力的作用点的矢径与作用力的叉积。2、注意：①合力矩≠合力的力矩

F1F2

转轴（F1=F2）合力矩为零，合力不一定为零F1F2力矩合力③中心力（过转轴的力）的力矩≡0。2、注意：①合力矩≠合力的力矩合力矩=力矩的和(矢量和）（对定轴转动而言为代数和）

2、注意：①合力矩≠合力的力矩合力矩=力矩的和(矢量和）（对定轴转动而言为代数和）

②合力为零，合力矩不一定为零问：一对作用力与反作用力的力矩和等于多少？零由此推知：质点组对任一轴的内力矩之和为零。④当力不在垂直于转轴的平面内，只有对转轴力矩有贡献。问题：与转轴垂直但通过转轴的力对转动不产生力矩；(为什么?)与转轴平行的力对转轴不产生力矩；(为什么?)刚体内各质点间内力对转轴不产生力矩。(为什么?)二、转动动能转动惯量刚体转动角速度，各质点到转轴的距离分别为据刚体转动动能：1、转动动能2、转动惯量与质点运动的动能比较：定义J为转动惯量：刚体转动动能：物理意义：转动惯性的量度.转动惯量的影响因素：刚体质量转动惯量与质量分布（刚体形状、大小及各部分密度）有关转动惯量与转轴位置有关质量离散分布的物体:转轴转动惯量的计算例如图可视为质点质量连续分布的物体线积分面积分体积分哪种握法转动惯量大？例2、有一均匀细杆，杆长为

l

，质量为m，c为杆的中点。设转轴oo’

通过c点且与杆垂直，杆绕轴转动，求转动惯量Jc=？解：取x轴方向如图，杆的线密度为

=m/l

，取小质元dm=dx

，则0xo

’odxc若将转轴移到A点，求JA=？仍有小质元dm=

dx，（

=m/l）xo

’xdxAoc0xo

’oxc0xo

’oxdxc可见转轴不同，转动惯量是不同的。那么将转轴从c点平行移到A点转动惯量改变了多少？移项得：

JA=JC+md

2xo

’xdxAocdd是转轴oo’到质心的距离。例3、求质量为m，半径为R的薄圆盘对过圆心垂直于盘面的转轴的转动惯量。解：圆盘的面密度为

=m/(R2)

注意：转动惯量的计算只能对规则物体进行，不规则的物体的转动惯量通常只能用实验的方法测量。轴即圆盘对其中心轴的转动惯量为J=mR2/2

。rdr解：圆盘的面密度为

=m/(R2)

取一半径为

r，宽为dr

的圆环为质元

dm=2rdr竿子长些还是短些较安全？飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？圆环转轴通过中心与环面垂直圆环转轴沿直径圆盘转轴通过中心与盘面垂直圆筒转轴沿几何轴圆柱体转轴沿几何轴圆柱体转轴过中心与几何轴相垂细棒转轴过中心与棒相垂细棒转轴过端点与棒相垂球体转轴沿直径球壳转轴沿直径几种常用简单几何形状、密度均匀物体的转动惯量设一刚体绕定轴转动，某质元受内力和外力作用矢量式：法向式：切向式：转轴以乘切向式两端：3、定轴转动定理静止刚体在力的作用下，如果力矩不等于零，将转动，角加速度与力矩的有什么关系？角加速度与力矩的关系？将乘后的切向式求和得：刚体所受的合外力矩：（内力不改变角动量）转动定律注意：（1）M,J,

均对同一轴而言，（2）改变刚体转动状态的是力矩；（3）转动惯量是刚体转动惯性的度量。或刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比

，与刚体的转动惯量成反比,角加速度的方向与合外力的方向相同.—刚体的定轴转动定理与牛顿第二定律比较：牛顿第二定律与转动定律的对应关系物理量：质点m

刚体JM规律：质点牛顿第二定律

刚体转动定律不一定问：力矩M大，是否

大？不一定

大，是否M大？（M大，

大，

的变化大。

可为0）（

大，并不代表它的变化大，有可能它的M=0，匀角速转动。）转动定律的应用基本步骤隔离法选择研究对象；受力分析和运动情况分析；对质点用牛顿定理，对刚体用转动定理；建立角量与线量的关系，求解方程；例4

如图一轻绳跨过一固定在斜面顶端的定滑轮，斜面的倾角θ，滑轮为均质元盘，绳的两端分别连着一质量为m1、m2的物体，m2>m1设滑轮的质量为m半径为R，设滑轮和轴无摩擦，绳子与滑轮间无相对滑动m1与斜面的摩擦系数为μ.求物体的加速度和绳的张力。m2gT2m1gNfT1T'2T'1解:受力图由牛顿第二定律和定轴转动定理列方程由牛顿第二定律和定轴转动定理列方程m2gT2得解m1gNfT1T'2T'1例5.一根轻绳跨过一定滑轮（滑轮视为圆盘），绳的两端分别悬有质量为m1和m2的物体，m1<m2，滑轮的质量为

m

，半径为R，所受的摩擦阻力矩为

r

，绳与滑轮间无相对滑动。试求：物体的加速度和绳的张力。已知：m1，m2，m，R，

r求：.解:研究对象m1

，m2，m建立坐标，受力分析如图.对各隔离体写出运动方程：对m1

：对m2：对m：

联立求得：注意：当不计滑轮的质量及摩擦阻力时：这便是中学所熟知的结果问：如何求角加速度？根据可求得所以刚体的转动动能:1、转动动能刚体转动时，各质点都绕定轴作圆运动，都具有动能。刚体的转动动能就等于刚体中所有质点的动能之和。第i个质点的动能为

1/2

mivi2=1/2

miri2

2

则刚体总动能为

与平动动能形式相同，量纲也相同，单位也相同。转轴dm§

1.1.3刚体转动的功和能合外力对刚体所作的微功：（与互余）3、力矩的功§

1.1.3刚体转动的功和能路径由a—b，力F做功为abdsFq2、变力对曲线运动的功当刚体在F力作用下，从

1转到

2时所作的功为：因为外力的功也就是外力矩的功，所以有：转动动能定理使用中应注意：①Ek转是相对量；②转动动能定理的表达式为标量式。③应用该定理时只需分析始态与末态。合外力矩对绕定轴转动的刚体所做的功等于它的转动动能的增量。只有重力作功时，机械能守恒，即4、机械能守恒定律质心转轴例6.一质量为m长为L的均匀细棒OA可绕通过其一端的光滑轴O在竖直平面内转动，今使棒从水平位置开始自由下摆，求细棒摆到竖直位置时质心C和端点A的线速度.解法一（1）研究对象：细棒受力分析：（不考虑）力矩零势面用动能定理作：=0方向：向左零势面因解法二用机械能守恒：（刚体只有重力矩作功）零势面回顾“刚体运动”中匀加速定轴转动公式

线量和角量的关系定轴转动定律定轴转动的动能定理若刚体转动过程中只有重力矩作功，则机械能守恒。常数=w+221JmghcO·rimivi

L1、角动量

质点以角速度作半径为

的圆运动，相对圆心的角动量方向右手定则，大小当刚体做定轴转动时，如图§1.1.4刚体的角动量定理刚体对定轴转动的角动量等于刚体中所有质点对转轴的角动量之和：由刚体的转动定律：z0

mi2、刚体的角动量3、刚体的角动量定律表明：刚体定轴转动的角动量等于其转动惯量与角速度的乘积。刚体的角动量定理——刚体定轴转动的角动量守恒定律当M=0时，即：刚体受外力矩为零时，动量矩（角动量）保持不变。4、刚体定轴转动的角动量守恒定律外力矩的冲量矩=角动量的增量。表明：刚体对某给定轴所受的合外力矩等于刚体对该轴的角动量随时间的变化率。ⅲ.推广至人：人非刚体，只要满足人所受的则人的角动量也守恒。（2）使用中的几种情况：

ⅰ.一个刚体（质点）：J不变，不变，L

=恒量。注意守恒定律的使用（1）条件分析：，即力矩的和为零。ⅱ.几个刚体（几个质点）：J变，变，不变。合力=0，合力矩不一定等于零。合力矩=0，合力不一定等于零。但例7、一根长为l、质量为m1

的均匀细棒，其一端挂在一个水平光滑轴上而静止于竖直位置。今有一质量为m2的子弹以水平速度v0

射入棒下端距轴高度为a

处如图。子弹射入后嵌入其内并与棒一起转动偏离铅直位置30o

，求子弹水平速度v0

的大小？解：①对象：棒：刚体子弹：质点②过程分析：第一阶段：m2

与m1

碰撞第二阶段：m1

+m

2

一起转动角动量守恒：只有重力作功，故机械能守恒。am2m1③列