2023-2024学年重庆市名校联盟高一（下）期中数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年重庆市名校联盟高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.(1−iA.1−i B.1+3i 2.已知向量a=(1,x)，b=(−1A.−3 B.0 C.43 3.用斜二测画法作一个边长为6的正方形，则其直观图的面积为(

)A.36 B.182 C.94.若|a|=2，|b|=1，且aA.30° B.60° C.120°5.在△ABC中，cosC=23，AC=4A.19 B.13 C.126.中国国家馆，以城市发展中的中华智慧为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个与中国国家馆结构类似的正四棱台ABCD−A1B1C1D1，上下底面的中心分别为O1和A.2023 B.28237.如图，在△ABC中，AD=23AC，BPA.−3 B.3 C.2 D.8.已知△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点DA.27 B.0 C.−716 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法不正确的是(

)A.若直线a⊂面α，直线b⊄面α，则直线a，直线b无公共点

B.若直线l/​/面α，则直线l与面α内的直线平行或异面

10.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列叙述正确的是A.a=3，b=4，A=150°，有两解

B.若acosB=bcosA，则△ABC为等腰三角形

11.“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心(重心、内心、外心、垂心)有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是△ABC内一点，△BMC，△AMC，△AMB的面积分别为A.若SA：SB：SC=1：1：1，则M为△ABC的重心

B.若M为△ABC的内心，则BC⋅MA+AC⋅MB+三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.复数3+4i与−5−2i分别表示向量OA与13.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asinA+bsi14.在三棱锥A−BCD中，∠ABD=∠AB四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，截去三棱锥A1−AB16.(本小题15分)

已知向量a=(1,3)，b=(−2,0)．

(1)17.(本小题15分)

某景区为打造景区风景亮点，欲在一不规则湖面区域(阴影部分)上A，B两点之间建一条观光通道，如图所示.在湖面所在的平面(不考虑湖面离地平面的距离，视湖面与地平面为同一平面)内距离点B50米的点C处建一凉亭，距离点B70米的点D处再建一凉亭，测得∠ACB=∠ACD，cos∠ACB=1018.(本小题17分)

定义在封闭的平面区域D内任意两点的距离的最大值称为平面区域D的“直径”.如图，已知锐角三角形的三个顶点A，B，C在半径为1的圆上，角的对边分别为a，b，c，若acosBcosA+b=2c．

(1)求角19.(本小题17分)

如图，在△ABC中，∠ABC为钝角，AB=22，BC=263，sin∠CAB=13.过点B作AB的垂线，交AC于点D，E为BD延长线上一点，连接AE，

答案和解析1.【答案】C

【解析】解：(1−i)(2+i)2.【答案】A

【解析】解：∵向量a=(1,x)，b=(−1,3)，

∴2a+b=2(1,x)3.【答案】C

【解析】解：根据题意，原图为边长为6的正方形，其面积S=6×6=36，

则其直观图的面积S′=4.【答案】B

【解析】解：若|a|=2，|b|=1，且a⊥(a−4b)，设向量a，b的夹角为θ，θ∈[0°,180°]5.【答案】A

【解析】【分析】本题主要考查了余弦定理的应用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键，属于基础题．

先根据余弦定理求出AB【解答】

解：在△ABC中，cosC=23，AC=4，BC=36.【答案】B

【解析】解：如图，

过A1作A1E⊥AC，垂足为E，则A1E⊥平面ABCD，

过E作EF⊥AB，垂足为F，连接EF，则EF为A1F在底面上的射影，

∵可得A1F⊥AB．

在正四棱台ABC7.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查了平面向量基本定理的应用问题，解题时应根据向量的加法与减法运算将向量进行分解，是基础题．

根据平面向量的基本定理，结合向量加法与减法的三角形法则，进行化简运算即可．

【解答】

解：∵AP=AB+BP，

BP=13BD

=13(AD−AB)

=13A8.【答案】D

【解析】解：由题意，以BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示．

∵AB=AC=5，BC=6，D为AC中点，∴C(3,0)，A(0,4)，D(32,2)，

又点M在BC边上运动，可设M(t,0)，其中t9.【答案】AC【解析】解：对于A：如图：若直线a⊂面α，直线b⊄面α，a与b可以相交，故A错误；

对于B：若直线l/​/面α，则l与面α没有公共点，所以直线l与面α内的直线平行或异面，故B正确；

对于C：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，

由这些面所围成的多面体叫做棱柱，故C错误．

对于D：由棱台的定义得：棱台侧棱延长后交于一点，有两个面互相平行，其余各面都是梯形几何体的侧棱延长后不一定交于一点，故D错误．

故选：ACD．

对于A，画出图形即可判断；对于B，根据直线l/​/面α，l与面10.【答案】CD【解析】解：A中，由a<b，可得A<B，而A=150°，所以B>150°，显然这样的三角形不存在，所以A不正确；

B中，由正弦定理可得ab=sinAsinB，而acosB=bcosA，即ab=cosBcosA，

所以sinAsinB=cosBcosA，即sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，

所以2A=2B或2A+2B=π，即A=B11.【答案】AB【解析】解：对于A，取BC的中点D，连接MD，AM，

由SA：SB：SC=1：1：1，则MA+MB+MC=0，

所以2MD=MB+MC=−MA，

所以A，M，D三点共线，且AM=23AD，

设E，F分别为AB，AC的中点，同理可得CM=23CE，BM=23BF，

所以M为△ABC的重心，故A正确；

对于B，由M为△ABC的内心，则可设内切圆半径为r，

则有SA=12BC⋅r，SB=12AC⋅r，SC=12AB⋅r，

所以12BC⋅r⋅MA+12AC⋅r⋅MB+12AB⋅r⋅MC=0，

即BC⋅MA+AC⋅MB+AB⋅MC=0，故B正确；

对于C，由M为△ABC的外心，则可设△ABC的外接圆半径为R，

因为∠BAC=45°，∠ABC=60°，

则有∠BMC=2∠BAC=90°，∠AMC=2∠ABC=120°，∠AMB=2∠ACB=150°，

所以SA12.【答案】−8【解析】解：根据题意，复数3+4i与−5−2i分别表示向量OA与OB，

则OA=(3,4)，OB=(−513.【答案】2【解析】解：由asinA+bsinC=bsinB+csinC及正弦定理可得a2+bc=b2+c2，

即bc14.【答案】72π【解析】解：由∠ABD=∠ABC=60°，BC=BD=32，AB=62，

在△ABC中，由余弦定理可得AC=AB2+BC2−2AB⋅BCcos60°

=(62)2+(32)2−2×62×32×cos15.【答案】解：(1)∵正方体棱长为2，

∴VA1−ABD=13S△A【解析】(1)直接利用棱锥的体积公式即可求解；

(2)剩余的几何体的面分别是一个△A16.【答案】解：(1)∵向量a=(1,3)，b=(−2,0)，

∴a−b=(1,3)−(−2,0)=(3,【解析】(1)推导出a−b=(3,3)，由此由求出a−b与a之间的夹角．17.【答案】解：(1)设∠ACB=∠ACD=θ，则∠BCD=2θ∈(0°,180°)，所以θ∈(0°,90°)，

因为cosθ=105，所以sinθ=1−cos2θ=155，

所以sin2θ=2sinθ【解析】(1)由同角三角函数的基本关系和二倍角公式可求sin∠BCD，再由正弦定理即可求得；

(2)由(1)可求得sin∠CBD，在△B18.【答案】解：(1)由题意，acosB+bcosA=2ccosA，

由正弦定理可得，sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosA，

即sin(A+B)=2sinCcosA，

又A+B=π−C，

从而sin(A+B)=sinC=2sinCcosA，

所以cos【解析】(1)由acosBcosA+b=2c得到acosB+bcosA=2c19.【答案】解：(1)由题意，可得∠CAB为锐角，

又sin∠CAB=13，

可得cos∠CAB=223，

在△ABC中，设角A，