武汉大学物理大地测量教案

武汉大学教案

课程名称：物理大地测量学

授课教师：罗志才

研究所：地球物理大地测量

单位：测绘学院

2011年3月

教学安排

1、教学目的

物理大地测量学是大地测量学的一门重要的专业课程，其主要任务是研究地

球形状及外部重力场。通过对本课程的学习，要求学生掌握地球重力场的基本知

识、确定大地水准面的理论和方法（包括大地测量学边值问题的基础理论、Stokes

理论和Molodensky理论等）、地球重力场的相关应用等，并为学生进一•步研究

地球重力场及相关地球科学问题打下坚实的基础。

2、教学要求

熟悉“物理大地测量学的基本概念、研究内容及主要应用领域”，

掌握“重力测量的基本原理、确定地球重力场的基本理论及相关的基

础知识”，重点掌握“地球重力位理论和确定大地水准面形状的Stokes

理论”。

3、课程内容与学时分配

课程内容与学时分配表

内容学时

概述2

重力测量原理5

位理论基础10

正常重力场8

确定大地水准面形状的Stokes理论10

基于Moledensky理论确定地球形状的基本原理5

地球重力场的应用5

第一章概述

重点讲授物理大地测量学的发展进程、学科任务及内容；简单介

绍该课程与本专业其它课程、地球物理学、地球动力学、海洋学等相

关学科的关系，以及在国家经济建设、国防与军事建设中的地位和作

用。

1、学科任务

物理大地测量是大地测量学科的重要分支之一，是构成现代大地测量学科体

系的主要基础，其主要任务是用物理方法研究和确定地球形状及其外部重力场，

又称大地重力学。从哲学的观点来看，地球重力场与其它物理场一样，是不以人

的意志为转移的客观存在，是物质的一种存在形式；从自然科学的观点来看，重

力场是地球最重要的物理特性，制约着在该行星上及其邻近空间发生的一切物理

事件，引力是宇宙一切物质存在的最普遍属性，制约着宇宙的演化和发展。地球

重力场反映地球物质的空间分布、运动和变化，确定地球重力场的精细结构及其

时间相依变化将为现代地球科学解决人类面临的资源、环境和灾害等紧迫课题提

供基础地学信息。

2、发展进程

18世纪中叶以前，人们单纯采用几何大地测量方法测定地球形状。1743年

法国的克莱洛在其著作《地球形状理论》中，假设地球内部处于静力平衡状态，

地球的质量密度分布是从地球质心向外，随距离的增加而减小的。在这种假定下,

他认为地球的外表面应是一个水准椭球，即椭球表面上各点的重力位相等，从而

论证了重力值（物理量）和地球扁率（儿何量）之间的数学关系，这一论证称为

克莱洛定理。这一定理奠定了用物理方法研究地球形状的理论基础，形成了物理

大地测量学的核心内容。

随着大地测量观测精度的提高，发现一些弧度测量的平差结果之间的矛盾远

远超过了观测误差。19世纪初，法国的拉普拉斯和德国的高斯、贝塞尔等都认

识到椭球面不足以代表地球表面。1849年，英国的斯托克斯提出了斯托克斯理

论，即在地球的外重力位水准面上给定重力和重力位，已知地球离心力位，可以

求出这个外重力位水准面的形状和外部重力位，无须对地球内部物质分布作任何

假设。但为了求得唯一解，水准面外部不能有质量存在。斯托克斯理论是克莱洛

定理的进一步发展。1873年，利斯廷提出用大地水准面代表地球形状，由此可

将斯托克斯理论用于研究大地水准面形状。但实际上由于大地水准面外部存在大

陆,所以必须通过重力观测值的归算移去这些物质，这将使大地水准面发生形变,

并且必须知道归算范围内岩层密度分布的数据，这是一个十分复杂而难以解决的

问题。所以归算问题一直成为经典的斯托克斯理论的障碍。尽管如此，斯托克斯

理论还是推动了大地水准面形状的研究工作。

1945年，苏联的莫洛坚斯基提出了用地面重力观测来确定地球形状的理论,

从而回避了长期无法解决的归算问题。但是仍然存在资料•(重力数据)不足的矛

盾。在平原或丘陵地区应用经典方法，虽然归算在理论上不严密，但不足以影响

大地水准面的计算精度。困难在于莫洛坚斯基理论虽然严密，但在高山地区所需

要的数据众多，当时条件下很难满足。

1964年瑞典的布耶哈默尔(A.Bjerhammer)应用重力延拓方法，1969年丹麦

的克拉鲁普(T.Krarup)和1973年奥地利的莫里茨(H.Moritz)应用最小二乘拟合推

估的方法进行解算，初步解决了上述困难(见地球形状)。

1957年第一颗人造地球卫星发射成功之后，才使物理大地测量学发展到一

个崭新的阶段。其标志是开创了卫星重力探测时代，包括根据卫星轨道摄动理论,

观测卫星轨道摄动确定低阶位系数；利用卫星海洋雷达测高确定高精度高分辨率

海洋重力场模型和大地水准面模型;GPS技术结合水准测量直接测定大陆大地水

准面；以及本世纪初利用卫星跟踪卫星(如CHAMP和GRACE)和卫星重力梯

度测量技术(如GOCE)可以确定全球更高精度和分辨率的静态重力场模型和时

变重力场模型。卫星重力探测技术的发展，突破了人们过去获取重力场信息的局

限性，使得物理大地测量的研究从局部或区域性扩展到全球，从测定静态地球重

力场发展到测定时变重力场，从而丰富了物理大地测量学的内容，推动了物理大

地测量学的发展。

3、学科内容

物理大地测量学主要研究以下几个方面的问题：

(1)重力位理论：它是利用重力以及同重力有关的卫星观测资料确定地球

形状及其外部重力场的理论基础，主要研究重力位函数的数学特性和物理特性。

(2)地球形状及其外部重力场的基本理论：它主要是研究解算位理论边值

问题，例如按斯托克斯理论或莫洛坚斯基理论或布耶哈默尔理论等解算，以此推

求大地水准面形状或真正地球形状和地球外部重力场。

(3)全球性地球形状：利用全球重力以及同重力有关的卫星观测资料，按

确定地球形状及其外部重力场的基本理论，推求以地球质心为中心的平均地球椭

球的参数，以此建立全球大地坐标系，并在此基础上推求全球重力场模型、大地

水准面差距、重力异常和重线偏差等。

(4)区域性地球形状：按确定地球形状及其外部重力场的基本理论，采用

局部地区的天文、大地和重力资料，将含有地球重力场影响的地面各种大地测量

数据(如天文经纬度、方位角、水平角、高度角、距离和水准测量结果)归算到

局部大地坐标系中，以此建立国家大地网和国家水准网。利用地面重力资料、卫

星测高资料、卫星跟踪卫星数据及其他重力场信息，推求高精度高分辨率区域重

力场和大地水准面模型。

(5)重力探测技术：研究获取地球重力场信息的技术和方法，包括地面重

力测量、海洋重力测量、航空重力测量、卫星雷达测高、卫星跟踪卫星、卫星重

力梯度测量等的技术原理和数据处理方法，以及其它新的重力场信息获取技术。

(6)地球重力场的地学解释：利用地球重力场信息研究地球的内部结构，

解释某些地球动力学现象等。

4、主要应用领域

(1)测绘科学中的应用：各种大地测量数据(如天文经纬度、方位角、水

平角、高度角、距离和水准测量结果)的归算；推求地球椭球或参考椭球的参数;

建立全球高程基准；GPS测定正高(或正常高)；精密定位；卫星精密定轨等。

(2)相关地球科学中的应用：地球深部结构及海洋洋流变化、固体地球均

衡响应、冰后回弹、地幔和岩石圈密度变化、地球物理勘探、海洋洋流和大气质

量分布变化等。

(3)国防和军事中的应用：为建立高技术信息作战平台和现代军事技术提

供高分辨率高精度地球重力场信息，应用于侦察低轨航天器轨道的设计和轨道确

定、提高陆基远程战略武器的打击精度及生存能力、提高水下流动战略武器(潜

艇载战略导弹)打击精度、对地观测卫星的精密定轨等。

思考题

1、物理大地测量学的主要任务是什么？

2、为什么要研究和确定地球重力场？

第二章重力测量原理

重点讲授重力的定义、利用自由落体原理测定绝对重力、静力法

测定相对重力（弹簧重力仪的原理）、当前国际上及我国使用的重力

基准及重力测量仪器。

1、重力的定义

万有引力：质量与质量之间的一种相互吸引力，简称为引力，即

离心力：设坐标系统绕Z轴以角速度转动，则Q点（x,y,z）的离心力为：

，=9'（逐+动，离心力为惯性力，但不是物质力，其方向垂直于自转轴向外，

并且随该点到自转轴距离的增大而增大。

重力：G=F+P

狭义定义：地球所有质量对任-质点所产生的引力与该点相对于地球的平均角

速度及平均地极的离心力之合力。

广义定义：宇宙间全部物质对任一质点所产生的引力和该点相对于地球的瞬时角

速度及瞬时地极的离心力之合力。

重力的单位：匕*/6‘=KU=10SM（Jb/=10*（jfJai

2、重力测量方式

（1）绝对重力测量：用仪器直接测定地面上某点的绝对重力值。地球表面上的

绝对重力值约在978~983Galo

（2）相对重力测量：用仪器测定地面上两点之间的重力差值。地球表面上的最

大重力差约为5000mGalo

（3）固定台站重力测量：观测重力随时间的变化。

（4）流动站重力测量：观测重力随空间位置的变化。

3、重力测量原理

动力法：观测物体的运动状态以测定重力，可应用于绝对重力测量和相对重力测

量。

静力法：它是观测物体受力平衡，量测物体平衡位置受重力变化而产生的位移来

测定两点的重力差，该方法只能用于相对重力测量。

重力测量类型：陆地重力测量、海洋重力测量、航空（或机载）重力测量、卫星

重力测量（地面跟踪观测卫星轨道摄动、卫星雷达测高、卫星跟踪卫星测量、卫

星重力梯度测量）。

（1）自由落体测定绝对重力

自由落体的运动方程为:

八品+…不。

这里,:是自由落体的下落距离；％是自由落体的起始高度；工是从起始高度起算

的下落时间；三是在起始高度上自由落体的下落初速度。

自由落体三位置法:

其中\=晶一，，芯=4-。，7i=h~h

对称自由运动的方法（上抛法）：

毗-4）

U

8tf

重力3与观测值去和，之间的精度关系：

A）。,

对上式两边取对数微分可得,

竺=生+竺

kgI

应用误差传播定理，得

一匐+的

若要求«，则按等影响原则，有

mt~±0.71x10r*jb

吟»±3.5x10^/

如果物体下落距离Anl»，下落时间则长度测量误差应不超过1微米，

时间量测误差不超过%5x10"。。

(2)振摆测定绝对重力

按理论力学中的转动定理有：

JS—=MS

_如

其中'•为物理摆对固定轴的转动惯量；二为物理摆的摆动角速度，即.=一了，

这里负号表示偏角7增加，角速度=减小；%为重力分量对固定轴的力矩，且

物理摆的运动方程为：

这里’=占，称为改化摆长。

求解上述微分方程可得：

重力?与观测值『和I之间的精度关系：

T2I2g

u

图:的仔)'

0J

--Rf10

假定对的影响相等，并要求重精度为ImGal,即8，则摆动周期的允许

观测误差为：

±3.5x10^7

改化摆长的允许观测误差为：

鹏M*0.71xKrtZ

也就是说，如果要求重力测量达到ImGal的精度，则当摆动周期为1s时，周期

的观测误差不得超过3.5x1046；当改化摆长为1m时，其量测误差不得超过1

微米。

(3)振摆测定相对重力

U

或

桁_g1=_班

这里a=o

(4)静力法测定相对重力

垂直型弹簧重力仪：

M啊f)=F

u

M=gi-gi=-g=C%

m

其中C称为重力仪的格值。

扭丝型重力仪：

这种重力仪是根据石英丝的扭力矩与重力矩平衡的原理制成的。

礴=JM（gj8C肉

Ag=ga-«i=3(*ec-secA)

Mf

这里为T石英丝的扭力系数；禺为摆杆受重力作用后扭丝产生的扭角变化；，为

摆杆的长度（改化摆长），•£为摆杆相对水平方向的偏角，阳摆杆的质量。

旋转型弹簧重力仪:

的1一.Ml+4=x|g18sA

H叫一.2+0=.IgiM内

U

其中耳=劣=0,fit=A«o,d。

扭丝型弹簧重力仪：

WYW+%=«|glcoiA

It

"=giSi=­z(fii-sj=CM

重力仪的特点：（a）精度高；（b）观测时间短；（c）成果计算简单；（d）体积小、

重量轻，适宜大范围内作业，主要用于加密重力测量。

重力仪的灵敏度：重力仪的弹性系统对重力变化的敏感程度。

gM(加』㈤+MS.O=。

卜不■+而J石+3方+云|石+官法■石"菰■石+*=°

也4g

其中血是因重力变化而引起的位移变化，称为重力仪的灵敏度；石是温度变

4g

化对观测重力的影响，称为重力仪的温度系数；质是气压对观测重力的影响，

4g

称为重力仪的气压系数；左是重力仪的倾斜对观测重力的影响，称为重力仪的

倾斜灵敏度。

垂直型弹簧重力仪：~一辰=on石一万一1,

—=驾"CM/MGW=0.2/M/MGb/

dgllr

扭丝型重力仪：-8«A-M=0=>dg-MgftKkfl~g0当2=『时，

空=lZHal/=3*/JWOW空=0

；当/=4时，dg；当，=0•时，%。

扭丝型弹簧重力仪：

dfiM

一=一一］瓯

Sdfidfi

(5)外界因素对重力仪的影响

温度影响：

(a)温度补偿(温度补偿重力仪)

dM

<fe^_g^-di

而一if

(M=M,(y+JU)

I招=《a+”)

g-g(a-㈤=勺

久=%(1+角),号称为温度系数。

(b)恒温装置

(c)温度改正

如。=4=-1

2"

气压影响：

3M

。=也=-厚

・必M

v哈1

加》=K4

气压变化只对摆杆的质量有影响，长,称为重力仪的气压系数，要减小重力仪的

气压系数，则必须增大弹性系统摆杆的密度。

倾斜影响：

gMQ0AB.通=MgPcocAc8a

—=agoi,4g=g«i«

da

A#

Ag.=—

地磁影响：通常将弹性系统消磁或者把重力仪放在防磁设备中，以消除这种

影响。

(6)重力仪的零点飘移

重力仪的弹性系统(弹性体)在外力的作用下产生弹性疲乏现象，使得重力

仪在同一观测点的读数随时间而连续变化，称为零点飘移，简称零飘或掉格。

假设零飘与时间成线性变化，则

(7)重力测量数据处理

两点重力差的计算及精度估算:

经零飘改正后，两点的重力差为

Ag=C6-q)

精度估算：

若测线次数和仪器数较少，则按下式估算

若测线次数和仪器数较多，则按下面的方法估算：

Agv=Ag+x¥4-jfl+gj

其中加为重力差的真值；片为偶然误差；工为第一半系统误差；二，为第二半系

统误差。

,=/一4

0=Ag.-Ain

重力网的平差：重力网的平差方法与水准网的平差方法类似，可以重力网中

各段重力差作为观测值按条件平差方法进行平差，以重力仪的读数为观测值按间

接平差的方法进行平差。

4、重力基准

(1)国际重力基准

世界重力基点：维也纳系统(1900年)8=兜1290土UN和波茨坦系统

(1894-1904年)«=981274.20±。

国际重力基准网：1956年IAG决定建立世界一等重力网（FOWGN）、1967年

IAG决定在波茨坦绝对重力值中加上-14mGal作为新的国际重力基准、1971年

IUGG决定采用IGSN71代替波茨坦国际重力基准，新的波茨坦国际重力基点的

值为唐=981260.19±O.OV?mOat。

（2）我国的重力基准

中国曾在1957年建成第一个国家57重力基本网,它的平均联测精度为±0.2

X10-5ms-2o在1985年中国又新建了国家85重力基本网，其平均联测精度较之

“57网”提高一个数量级，达到±20X10-8ms-2的精度，该网改正了波茨坦系统

的系统误差，增测了绝对重力基准点，加大了基本点的密度。1999年在中国又

开始了国家2000重力基本网的设计和施测工作，这个网覆盖了中国的全部领土

（除台湾外，包含南海海域和香港、澳门特别行政区）。全网由133个点组成，

其中有17个基准点（绝对重力点）和116个基本点（相对重力联测点）。为便

于今后联测和作为基本点的备用点，对106个基本点每点布设了一个引点。重力

基准点的观测精度优于土重力基本点的相对观测精度优于±10X

10fms々0平差后重力基本网的中误差不大于土10X10-8ms2o

5、重力仪简介

（1）石英弹簧重力仪：ZSM石英弹簧助动重力仪（我国自行研制）；沃顿重力

仪（美国），其中标准型的精度为30微伽，大地型的精度为300微伽；CG-2重

力仪（加拿大）,其中勘探型的精度为50-100微伽，大地型的精度为500微伽I。

（2）金属弹簧重力仪：GS型（原西德）重力仪，GS-4至GS-15,我国常用的

有GS-11,GS-12和GS-15等；LaCoste&Romberg重力仪（美国），其测量精

度为10-20微伽，测程为7000mGal。

（3）超导重力仪

（4）绝对重力仪：FG-5,A-10

思考题

1、重力的定义是什么？

2、测定绝对重力和相对重力的原理是什么？

第三章位理论基础

重点讲授引力位的定义、质点引力位、质面(单层和双层)引力

位、质体引力位；均质球层、球壳及球体、圆平面层等典型物体的引

力位及引力；引力位的性质；离心力位和重力位的定义及性质；位理

论边值问题的基本概念；格林公式在求解位理论边值问题、证明位理

论边值问题解的唯一性、重力法测定地球质量等方面的应用；Stokes

理论和Stokes问题的基本概念。

1、质点引力及引力位

万有引力定律：

尸t

令记">[="•，则上式等价于

引力在三个坐标轴上的投影为：

x)=F-*,X

r,~,.①.2

&~(■㈤—y--

引力位：若存在一函数:.，使得该函数的梯度等于力，则该函数称为位函数。

相应于引力的位函数叫做引力位函数，也简称为引力位。质点引力位可用公式表

示如下：

2、质点系的引力位

3、质体的引力位

4、质面的引力位

F-Gf亨jdS

单层位:

双层位「=卿7+=吗啥(*「=蜘(切

5、几种典型物体的引力位与引力

(1)均质球层的引力位与引力

匕=2@丁4=4Q身=G更

APP

4=皿/1,}=4fOfA=吟

(2)均质球壳及球体的引力位与引力

匕=可与=4Q或超2火=白3(&3一硝=G。

耳吟+6

%=4fo或玄W=2MM(公-/=JG63-或)

匕=—誓)

医=一料也夕

(3)平面层的引力位与引力

，=GJ—

1•,dm=ftpdpda

-=2MCWJ/+?R)

6、引力位的性质

(1)正则性:

fanK=0fcn(pfO=CW^

臼唱。

(2)位的连续性：质体引力位、单层引力位在全空间是连续的，双层

位在穿过层面时不连续。

(3)位的一阶导数的性质：质体引力位的一阶导数在全空间是连续

的；单层引力位的一阶导数在层面上是不连续的。

管①*"!出胆

(凯联―梆

(4)调和性质：质体引力位的二阶导数在质体表面是不连续的；并且

满足如下的关系式：

._疗，.aJF.

~点在质体外部

4rGJ,F点在质体内部

7、离心力位和重力位

离心力位："2〃，

重力位：，=.+Q

0.在甫体外部

性质&Q=29*-4#M,砌体内部

在前体外部

一的砌体内部

离心力位和重力位不是调和函数!

8、位的边值问题

(1)边值问题的基本概念

涮府.边界条件

第一类边界条件也称为狄里赫勒条件。即位在边界上是已知的连续函数,

即

Ms-/

其中士为物体的边界面，，为已知函数。

第二类边界条件也称为牛曼条件。即位的法向导数在边界上为已知函数,

即

其中）:为曲面三的外法向。

第三类边界条件也称为混合条件，在物理大地测量学中也称为司托克斯条

件，即

唔

其中；、F为常数并且

附加条件：指有界性质、周期性质、连续性质、衔接条件、正则性质等等，

它们在某些情况下对问题的求解将带来帮助；这些条件有时直接给出表达式，有

时被默认存在；在物理大地测量学中，一般情况下前面三个性质总认为应该被满

足。

假设所讨论的物体的边界面E一般是封闭的曲面，调和函数存在的区域大多

被限制在一部分空间之中，或者是三所包围的内部区域，或者是它的外部。相应

的边值问题分别称为内部边值问题或外部边值问题。外部边值问题一般应有解在

无穷远处的性质：正则性条件，该条件以保证解具有唯一性。例如：M=1和

'同时满足和M，i,这里E为单位球面，显然后者为正

则函数而前者不是，即只有后者为外部边值问题具有正则性质的解。因此，外部

边值问题可写成为：

一■0

,a贰■/

faU"0

内部边值问题可写成：

（AH-0

其中：常数工、:满足这里的丁为已知函数。

位的边值问题是否有解存在？何种情况下求得的解有实际意义？这些问题

就是数学上的所谓适定性；即如果边值问题存在唯一的、稳定的解，则称该边值

问题是适定的。如果一个边值问题根本不存在解，花功夫去求解是毫无意义的；

如果求得的解不唯一，则必须设法给求得的解结合物理实际加上一些限制，去掉

那些不真实的解，使得解更符合实际；所谓稳定，是指当已知函数有微小的扰动

时，问题的解只有微小的扰动。如果解不稳定，即已知函数存在微小误差时，方

程的解产生较大的误差；因此，这给方程的求解等提出了更高的要求，否则将失

之毫厘，谬之千里。

（2）格林公式及其应用

【彦+餐+当便8伞•才+QM*,94■或84禺*）如

高斯公式：：&方ai

内部格林公式：

，唱;。崂;&=唔

十%|用故=

第一格林公式:

-qMjJrfr=j(«i鲁f祟口0

第二格林公式:

0,outsidether

rl.rflftraAYf\=2x,Mlhea

笛一格林八个J产A而f在,到O4k,Hdc&T

弟二格林公式：I*-VEE.J90fl>"***

外部格林公式:

J,4.+...%)枚=-卜.姜db+卜.芟/

第一格林公式:

盘=1向阳M

ju富■的=f,程*1痂也8

=-

第二格林公式:

!扣1.!得琮钟i

第三格林公式

0,outsidetheq

Pt=2x>onthea

4/r,uidetheq

格林公式的应用:

(a)重力方法确定地球质量

0.outsideIheq

得4Mb=-4=_27r.lxithea

在内部第三格林公式中令》■1，则，-4/r.iui<fetheq

0,otibkfetheq

—2/r.onthe<r

得京b=-"=

在外部第三格林公式中令P・1,则“-4/r>iuicfetheq

则!R敕

在内部第二格林公式中令"=1

取了=对，将AJF=-4«M+力代入上式，则有:

=-4X3if+2aaT

Af=—^―[g^£r+-^-T

械?产一MJ

”=心J4的

若取Y”,则有4M7i

(b)边值问题解的唯一性分析

证明位理论第一边值问题的解是唯一的：假设解不是唯一的，则在二外有两

个调和并在无穷远处正则的函数外和均同时满足h上的边界条件，记

丁=彳一%,则丁也是在:外调和并在无穷远处正则的函数。

将外部第一格林公式应用于『，并在该式中令"=»=丁，则有

JpKT+DCT.nWr=-JT—d<r

根据条件在<内八丁=0及在二面上力,二°,则上式为：

Jz)(r.7>#T=o

要使上式成立，则必须在二外任羞点上都满足下列条件：

ararar„

即「为常数。又根据『是在无穷远处的正则函数，则『只能等于零，亦即K=6，

这证明解是唯一的。

(c)用格林公式解外部边值问题

-4#=

将地球引力位应用于外部第三格林公式,则有:

在外部第二格林公式中假设*="和为。中的调和函数，则

峭-嘿”=。

基本公式:一疼-啜吟上

a=u--

格林函数：I,4。=0

第一边值问题:

第二边值问题:

吗|=0第acr

第三边值问题：1PdnV,fitA

(d)Poisson积分

o=J«_L_i

格林函数：Pr*r

证明：①AG=0,②01.=。

（e）应用于地球表面的重力位

在内部第三格林公式中取二为地球重力位，，则有：

J=-4/rGj犷J牛

上式右边第一个积分就屋I力位「，即''

-4"Gj*df=-4-歹=-4.JF+2#ra'（x，+J'）

■♦

整理得:

aaa

[pt-4冷炉+2«»(x4-/)=

ar〜ar

在地球表面上，代・2*。顾及‘-一方"-不"，这里,:为曲面:上；点处的法向,

而它是过F点处的重力等位面（在该点处）的法向。最后得到：

2斤郎=2#缈+J咛+%景；）］盘+2叫牛

这是一个关于重力位*的积分方程，该式在莫洛金斯基理论上甚为重要。

⑴应用于水准面

若二是水准面，或者说在:上有7-“；此时，公式化为

当计算点位于地球面（水准面）外时，A-0,上式变为

4RF=+7）+信数+0［与

不难看出，引力位为:

展工隹db+史j1竺

当计算点位于地球面（水准面）内时，居・七，上式变为

4"呢=勿"9+j,）+J苧痣+加,庠

(g)Stokes定理与Stokes问题

Stokes定理：英国物理学家司托克斯1849年提出的，即若已知•个水准面

形状聂5面上的位怅（或它内部所包含的物质的总质量M）及该物体绕某一

固定轴的旋转角速度二，则该水准面上及其外部空间任意点的重力位都可唯一确

定，并且不需要知道物体内的质量分布情况。

Stokes问题：已知水准面上的重力M和重力位P（或地球的总质量”），以

及地球的自转角速度工，需求定水准面的形状E及其外部的重力位。

思考题

1、设r为向经，求半经为三、密度为'J12-10A-的球体对外部任意一点的引

力位及引力。

2、求半经为三、高度为三的均质圆柱体对内部和外部任意一点的引力位及引力。

3、证明位理论外部第二边值问题的解是唯一的。

4、地球引力位有何性质？

第四章正常重力场

重点讲授引进地球正常重力场的目的意义及基本要求；地球重力

位的球函数展开式及其零阶项、一阶项和二阶项的物理意义；利用

Laplace方法和Stokes方法确定地球正常重力场的基本原理；实用正

常重力公式及正常重力场的基本性质。

1、为什么要引进正常重力场？

r=/J—

.r2,地球形状和地球的密度未知！

确定地球正常重力场的主要意义在于：将地球重力场的求解归结为扰动场或

异常重力场（微小量）的求解，保证了其解的存在性，并方便求解。

基本要求：

■应尽量地符合地球外部的重力场，即不改变地球外部的重力和重力

位；

■应尽量不改变大地水准面的形状；

■不改变地球重力场的总质量M和旋转角速度二；

■椭球体表面：为水准面，且外部没有物质存在；

■地球质心与椭球中心重合。

2、重力位的球函数展开式

（1）矩的概念

J产加

质体的多阶矩定义为：，

零阶矩：!­,表示质体的总质量；

\xdm=XnM

.

KK

一阶矩：d,质体对三个坐标面的一阶矩分别等于

质体质心的三个坐标与质体质量的乘积。

[/&=+y*

二阶矩：）1,质体对坐标原点的转动惯量（惯性

矩）。

质体对三个坐标面的转动惯量为：!I，!，!

J.=+

K

J,=k'+zM=8

B

a

Jr=J(x+/)A«=(7

质体对三个坐标轴的转动惯量为:

对于坐标面的转动惯量与对于坐标轴的转动惯量之间存在以下关系:

离心矩或惯性积:

J.=JD

।

=bodb»=E

।

J_=fzxdm=P

惯性椭球和主惯性轴:

质体对通过坐标原点的任意轴2的转动惯量为:

1/"'&=J.C8'a+J^coaN/y+J^cofiy—Z^cof^cosy-ZJ.coiycosa-4.cosacos，

0K=*

设事.,则B«a=M4,8«2=川〃，B«,=.也

11

J.，4-Jpr+J1X-2JR^-2J-«-2J<JQr=l

(2)地球引力位的展开式

V=GJ%T

\IffD,AD,4I

—fj(co«―3；-二-D«41

rZip^非㈤匹8疗，器(g丽=1,

片«8叼=CMfF

,二.比解纪(8'?

d(C8S*

1宫匕=Z多!

?=一［----

。•P，4=",将地球作为均质球体看待!

外=g［3H(8«MrfE=M■［科COf/T

P\一：，与地球质心坐标有关!

匕=4©C036+4血&C031+6；血&的㈤

其中

A=可"C8*=OMZ,4=可Vffa»MT=GMXt

K

B1=句一―。血lUr=CHfl；

如果将坐标原点选在地球质心，则4=6=闻=。，即4=。。

co«8-》十段(33^cos^cosX)4-用｛3a88$e2为4-右(3a'9CM21)

+用。向‘8』绚

与地球的转动惯量有关!

舄"引收’+/ME+与低/+/“一可以/+/“丁=父管一3

^=af&VdT=aF

典=—\^VdT=GD

a=纲--/Me"-冷

q：q

如果将坐标轴选在地球的主惯性轴上，则舄=用=工=。；如果地球是一

个旋转体，即赤道是圆，则/=6,&=0。

地球引力位的球函数展开式为：

，二£占1月(8通+为(£CMJU+级向场斗(8«与|

3TI3J

3、正常重力场的确定

(1)Laplace方法

将地球的重力位展开成球函数级数形式，然后在该展开式中取最大的前

儿项作为正常重力位，取多少项视精度而定。

在引力位的球函数展开式中只取前三项来表示地球的正常引力位，并将

坐标原点设在地球质心，坐标轴为地球的主惯性轴，则正常重力位为：

…卦稔。-33物+寒血沙

水准椭球体

设点地球赤道上的离心力与重力的比值，即&；令“=W,称为

地球形状参数，则有：

U=(7当1+乳-30%垮.

P“}

在地球赤道上，0=90",P=a,则有:

U9=G—

正常位水准面的方程式为：

1+—Q-3co*'^)4--sii'&

p-a-----------------

1+"

32

将上式展开成级数，仅顾及扁率级精度，则有：

p=d(l4--(1—————

3232

=41-3+3©0«1&]

在顾及地球扁率级精度情况下，上式为旋转椭球体。

正常重力公式

dUQUGMr._小.JJ

,=---例----,[I3co«0）-qsn8]

3^dpfir

GM\35a1

顾及地球扁率级精度情况下，Fl22J

Otf3OM

当8=90"时，"=r0+"一5°）；当8=0"时，"=

i+a--q2

q

则有2o

P----------fi=-a-a

定义Y.为重力扁率，则2,，称为克莱饶定理。

顾及二级量的正常重力公式为：

确定正常重力场的参数

%GM（Q、a4）、G、工、B、J

只要知道其中四个参数，就能确定正常重力场。

■=尊"/+》Gif="iQ-a+gq）

（2）Stokes方法

选择一个形状和大小已知的质体（如旋转椭球体），要求其表面为重力位水

准面，其外部的重力位和重力尽量与实际地球的外部重力位和重力接近，并已知

该质体的旋转角速度和质量或其表面的重力位，根据Stokes定理可唯一确定该

质体外部的重力位和重力，该质体所产生的重力场称为按Stokes方法确定的地

球正常重力场。

&r=o

Im，=0

该边值问题的解可用椭球谐函数表示，椭球外部的引力位可表示为:

入£2——卢Ja>>切

-

U--------tan

正常椭球外部的重力位用=、八-、M四个参数确定，这与司托克斯定理结果

一致。且。o

椭球面上的正常重力值、可用下面的公式求得：

_cos2B+2>/psin2B

九a2cos2B4-Z>2sin2B

乃二治卜+^-存-**/9a2a-a')向i丑产

<xfi

%=%(1+2事26-4-12为，氏==十彳

3/+犷一却+内％力

-(3+・A)e4g9-V-]

克莱饶定理：L

若顾及扁率平方级各项，则有：2，'35」

椭球面上的正常重力值■的实用公式：

卡西尼公式(1930)：。=处&049(1+0.005288a”-0.0000059a12协Gal

297,=0.003467826,Y,=978.CM9GWa=637838»n

赫尔默特公式(1901T909)：

%=97ao30cl+0.0053021B-0.00000728)Gal

5

WGS84椭球参数：0=7.2MH5X10-rad/s,GM=3.986005*10MlM%",

J,=1082.63x10^,a=6378137斯，4=-必力

0=978103筹8(1+0.0053gzA-0.00000583")Gal

4、正常重力场的性质

（1）正常位水准面是向两极收敛的；

仆-空

（2）在同一纬度上，相邻两正常位水准面之间的距离相等，r；

（3）正常重力线是一根在子午面内向两极弯曲的平面曲线。

歹=则+京4殳丝包

⑷正常引力位的球函数展开式：-P士尸

思考题

1、引进正常重力场的目的是什么？

2、地球重力位的球函数展开式中零阶项、一阶项和二阶项的物理意义是什么？

3、基于Stokes方法和Laplace方法确定正常重力场有何区别？

4、正常重力场有何性质？

5、如何确定正常重力场？

第五章确定大地水准面形状的Stokes理论

重点讲授大地水准面的定义及性质；扰动位、大地水准面高、垂

线偏