2024年高考数学专项复习-第一章-集合、常用逻辑用语与不等式

2024年高考数学专项复习第一章集合、常用逻辑用语与不等式01集合课标要求命题点五年考情命题分析预测集合的基本概念本讲是高考必考内容.命题热点有集合的交、并、补运算，集合的含义及集合间的包含关系，常与不等式、函数等相结合命题，考查学生的数学运算和逻辑推理素养.课标要求命题点五年考情命题分析预测2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.集合间的基本关系2021全国卷乙

T2题型以选择题为主，属于送分题，解题时常借助数轴和Venn图.预计2024年高考命题热点变化不大，但应加强对集合中创新问题的重视.续表课标要求命题点五年考情命题分析预测3.（1）理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集.（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集.（3）能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用.集合的基本运算题型以选择题为主，属于送分题，解题时常借助数轴和Venn图.预计2024年高考命题热点变化不大，但应加强对集合中创新问题的重视.续表课标要求命题点五年考情命题分析预测3.（1）理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集.（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集.（3）能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用.集合中的计数问题题型以选择题为主，属于送分题，解题时常借助数轴和Venn图.预计2024年高考命题热点变化不大，但应加强对集合中创新问题的重视.集合的新定义问题续表1.集合的有关概念元素与集合的含义一般地，把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合集合中元素的特征①________、②________、无序性集合的表示方法③________、④________、图示法常见数集的记法自然数集（非负整数集），记作⑤___；正整数集，记作⑥____或⑦____；整数集，记作⑧___；有理数集，记作⑨___；实数集，记作⑩___确定性互异性列举法描述法

元素与集合之间的关系“属于”或“不属于”，分别记为“⑪___”或“⑫___”

续表2.集合间的基本关系关系定义记法子集真子集相等空集不含任何元素的集合叫做空集

任意一个元素

规律总结

3.集合的基本运算运算集合语言图形语言记法并集

交集⑰_________________

补集

常用结论

2.集合的运算性质

1.下列说法正确的是(

)

D

D

D

3

命题点1

集合的基本概念

C

A

BCD

方法技巧求解与集合中元素有关问题的关键点1.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足元素的互异性.2.研究集合问题时，先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合;再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义.3.常见集合的意义集合代表元素命题点2

集合间的基本关系

D

C

方法技巧1.判断集合间的包含关系，常借助列举法、结构法和数形结合法求解.2.求集合的子集个数，常借助列举法和公式法求解.

命题点3

集合的基本运算角度1

集合的交、并、补运算

B

D

D

方法技巧求解集合的基本运算问题的步骤角度2

已知集合运算结果求参数的值（或范围）

C

A

B

方法技巧根据集合的运算结果求参数的值或取值范围的方法:将集合的运算结果转化为参数所满足的方程（组）或不等式（组）求解.命题点4

集合中的计数问题5.（1）[2019全国卷Ⅲ]《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为(

)C

解法二

用Venn图表示调查的100位学生中阅读过《西游记》和《红楼梦》的人数之间的关系，如图，

命题点5

集合的新定义问题

C

方法技巧解决集合新定义问题的关键（1）紧扣新定义，分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程中.（2）用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质.

D

D

C

C

B

02常用逻辑用语课标要求命题点五年考情命题分析预测1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系.2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系.充分条件与必要条件的判断2022北京T6；2022浙江T4；2022天津T2；2021全国卷甲T7；2021北京T3；2021浙江T3；2021天津T2；2020北京T9；2020浙江T6；2020天津T2；2019北京T7；2019浙江T5；2019天津T3；2018北京T6；2018浙江T6；2018天津T4本讲在全国卷中考查频率不高，属于地方卷的命题热点.主要以其他知识为情境考查充分条件、必要条件的判断及简单应用，全称量词命题与存在课标要求命题点五年考情命题分析预测3.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系.4.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义.充分条件、必要条件中的含参问题量词命题的真假判断及含有一个量词的命题的否定，对学生的逻辑推理素养要求较高.题型以选择题为主，难度中续表课标要求命题点五年考情命题分析预测5.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定，能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.全称量词与存在量词2021全国卷乙T3等偏易.预计2024年高考命题点变化不大，平时训练中应注重不同知识之间的综合.续表1.充分条件、必要条件与充要条件充分必要充分不必要必要不充分充要既不充分也不必要常用结论充分、必要条件与对应集合之间的关系

2.全称量词与存在量词（1）全称量词与存在量词量词名称常见的量词表示符号全称量词所有的、一切、任意一个、每一个、任给等⑦___存在量词存在一个、至少有一个、有一个、有的、有些、对某些等⑧___（2）全称量词命题与存在量词命题名称全称量词命题存在量词命题结构简记⑨_______________⑩_______________否定⑪_______________

注意

1.含有一个量词的命题的否定规律是：改写量词，否定结论.

1.下列说法不正确的是(

)

D

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件A

3.[2023云南师大附中模拟]唐代著名诗人杜牧在《赤壁》一诗中写有“东风不与周郎便，铜雀春深锁二乔”，即杜牧认为，如果没有东风，那么东吴的二乔将会被曹操关进铜雀台，即赤壁之战东吴将输给曹操.那么在杜牧认为，“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的(

)A.充要条件

B.充分不必要条件C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件C[解析]

杜牧认为没有东风，则赤壁之战东吴将输给曹操，则说明东风是打败曹操的必要条件.但有了东风，若没有其他的地利人和，也未必能打败曹操，故东风不是打败曹操的充分条件.故选C.

有些三角函数不是周期函数命题点1

充分条件与必要条件的判断

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件A

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件B

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件B

方法技巧充分条件与必要条件的判断方法

命题点2

充分条件、必要条件中的含参问题

B

C

方法技巧1.判断命题成立的一个充分不必要条件（或一个必要不充分条件）的关键：（1）得到命题成立的充要条件；（2）结合这个充要条件去寻找命题成立的一个充分不必要条件（或一个必要不充分条件）.2.已知充分、必要条件求参数取值范围的策略巧用转化求参数把充分、必要条件转化为集合的包含、相等关系，然后根据集合之间的关系列出有关参数的不等式（组）求解，注意条件的等价变形.端点值慎取舍在求参数范围时，要注意区间端点值的检验，从而确定取舍.命题点3

全称量词与存在量词角度1

全称量词命题和存在量词命题的否定

B

方法技巧全称量词命题与存在量词命题的否定（1）改写量词:确定命题所含量词的类型,若命题中无量词，则要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写.（2）否定结论:对原命题的结论进行否定.角度2

含量词的命题的真假判断4.（1）[2023湖北模拟]下列命题为真命题的是(

)

C

（2）[多选]下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是(

)

AC

方法技巧判定全称量词命题是真命题，需证明所有对象使命题成立;判定存在量词命题是真命题，只要找到一个对象使命题成立即可.当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假.角度3

已知全称（存在）量词命题的真假求参数的取值范围

D

B

方法技巧由命题真假求参数的范围，一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式（组），再通过解方程或不等式（组）求解.突破双变量“存在性或任意性”问题

A

A.必要不充分条件

B.充分不必要条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件B

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件C

D

4.[命题点3角度2/多选]下列命题是真命题的为(

)

AC

03不等式的性质与解不等式课标要求命题点五年考情命题分析预测1.梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质.比较两个数（式）的大小本讲很少单独命题，常与其他知识综合命题，如作为工具求解函数、导数、圆锥曲线等问题，命题热点有比较大小，不等式性质的应用，一元二次不等式的解法及恒成立问题，主要考查学生的数学运算和逻辑推理素养.课标要求命题点五年考情命题分析预测2.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系.不等式性质及其应用题型以选择题和填空题为主，难度中等，预计2024年高考命题点变化不大，复习备考时要掌握不等式的性质和一元二次不等式的解法，并能充分运用.续表课标要求命题点五年考情命题分析预测3.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.一元二次不等式的解法2020北京T6题型以选择题和填空题为主，难度中等，预计2024年高考命题点变化不大，复习备考时要掌握不等式的性质和一元二次不等式的解法，并能充分运用.续表课标要求命题点五年考情命题分析预测4.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.一元二次不等式的恒成立问题2019天津T10题型以选择题和填空题为主，难度中等，预计2024年高考命题点变化不大，复习备考时要掌握不等式的性质和一元二次不等式的解法，并能充分运用.续表1.两个实数比较大小的方法关系方法作差法作商法＜＞2.等式的性质对称性传递性可加（减）性可乘性可除性3.不等式的性质性质性质内容对称性传递性可加性可乘性同向可加性同向同正可乘性同正可乘方性

4.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系

没有实数根

⑨__________________⑩___⑪_______________⑫___

续表

C

D

3.[多选]下列说法不正确的是(

)

AD4.[多选]下列说法不正确的是(

)

BCD

命题点1

比较两个数（式）的大小1.

A

B

B

方法技巧比较数（式）大小的常用方法1.作差法：（1）作差；（2）变形；（3）定号；（4）得出结论.2.作商法：（1）作商；（2）变形；（3）判断商与1的大小关系；（4）得出结论.3.构造函数，

利用函数的单调性比较大小.命题点2

不等式性质及其应用角度1

不等式的性质

C

ABD

方法技巧判断不等式是否成立的常用方法（1）利用不等式的性质验证，应用时注意前提条件；（2）利用特殊值法排除错误选项，进而得出正确选项；（3）根据式子特点，构造函数，利用函数的单调性进行判断.角度2

不等式性质的综合应用

A

方法技巧利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围.命题点3

一元二次不等式的解法

B

D

方法技巧1.解不含参数的一元二次不等式2.解含参数的一元二次不等式命题点4

一元二次不等式的恒成立问题

C

不等式类型恒成立条件角度2

在给定区间上恒成立

D

角度3

给定参数范围的恒成立

C

方法技巧恒成立问题的解题策略（1）弄清楚自变量、参数.一般情况下，求谁的范围，谁就是参数.

方法技巧求解不等式恒成立问题的常用方法不等式解集法分离参数法主参换位法变换思维角度，即把主元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原参数的取值范围列式求解.一般地，条件给出谁的范围，就看成是有关谁的函数，利用函数单调性求解.数形结合法续表04基本不等式课标要求命题点五年考情命题分析预测利用基本不等式求最值本讲是高考的热点，常作为工具与其他知识综合考查，主要考查基本不等式及其应用，如求最值、证明不等式、求参数的取值范围等，解题时要注意应用基本不等式的三个前提条件.题型以选择题、填空题为主，难度不大.预计2024年高考命题点变化不大，但应加强对应用基本不等式解决实际问题的重视.课标要求命题点五年考情命题分析预测利用基本不等式解决实际问题本讲是高考的热点，常作为工具与其他知识综合考查，主要考查基本不等式及其应用，如求最值、证明不等式、求参数的取值范围等，解题时要注意应用基本不等式的三个前提条件.题型以选择题、填空题为主，难度不大.预计2024年高考命题点变化不大，但应加强对应用基本不等式解决实际问题的重视.续表

（1）基本不等式成立的条件：①__