广东省江门市井根长塘华侨中学高三数学理下学期摸底试题含解析

广东省江门市井根长塘华侨中学高三数学理下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传等四个项目，每人限报其中一项，记事件A为“4名同学所报项目各不相同”，事件B为“只有甲同学一人报关怀老人项目”，则的值为A. B.

C.

D.参考答案：C，，.故选C．2.过点作直线与双曲线交于A、B两点，使点P为AB中点，则这样的直线

（

）A．存在一条，且方程为

B．存在无数条

C．存在两条，方程为

D．不存在参考答案：D略3.命题“对任意的”的否定是

（

）

A．不存在

B．存在

C．存在

D．对任意的参考答案：C4.设x，y满足时，则z=x+y既有最大值也有最小值，则实数a的取值范围是(

)（A）

(B)

(C)

（D）

参考答案：A略5.已知集合，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略6.设m，n为非零实数，i为虚数单位，z?C，则方程|z+ni|+|z-mi|=n与|z+ni|-|z-mi|-m在同一复平面内的图形(F1，F2为焦点)是(

)参考答案：B解：方程①为椭圆，②为双曲线的一支．二者的焦点均为(－ni，mi)，由①n>0，故否定A，由于n为椭圆的长轴，而C中两个焦点与原点距离(分别表示|n|、|m|)均小于椭圆长轴，故否定C．由B与D知，椭圆的两个个焦点都在y轴负半轴上，由n为长轴，知|OF1|=n，于是m<0，|OF2|=－m．曲线上一点到－ni距离大，否定D，故选B．7.实数，满足，则的取值范围是（

）． A． B． C． D．参考答案：D如图阴影部分，设，设阴影部分交点为，，，设，，，在处，取得最大值，，在处，取得最小值，，∴．故选．8.已知集合，则（

）A、

B、

C、

D、参考答案：C略9.已知实数x,y满足约束条件,则目标函数的最小值为A.

B.

C. 2

D.4参考答案：D作出可行域，可知当，时，目标函数取到最小值，最小值为.故选D.10.设F1，F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P是双曲线右支上一点，满足?=0，且3||=4||，则双曲线的离心率为（）A．2 B． C． D．5参考答案：D【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的定义可知|PF2|﹣|PF1|=2a，进而根据3||=4||，分别求得|PF2|和|PF1|，根据勾股定理建立等式求得a和c的关系，则离心率可得．【解答】解：由?=0，可得PF1⊥PF2，∵3||=4||，|PF1|﹣|PF2|=2a，∴|PF2|=6a，|PF1|=8a；在RT△PF1F2中，|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2，∴4c2=64a2+36a2，解得e==5故选D．【点评】本题主要考查了双曲线的应用．考查了学生对双曲线定义和基本知识的掌握．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在中，在线段上，，则

.参考答案：略12.已知函数，等于抛掷一颗均匀的正六面体骰子得到的点数，则在上有偶数个零点的概率是．参考答案：13.设，向量，，，且，，则=_____________.参考答案：14.已知sin（α﹣π）=，且，则tanα=．参考答案：﹣【考点】同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值．【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值．【分析】利用诱导公式可求sinα=﹣，根据同角三角函数基本关系式即可可求cosα，tanα的值．【解答】解：∵sin（α﹣π）=，且，∴sinα=﹣，cosα==，∴=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式的应用，考查了计算能力，属于基础题．15.已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x，则f（37.5）等于

．参考答案：0.5【考点】抽象函数及其应用．【分析】根据题意，由f（x+2）=﹣f（x）可得f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），即函数f（x）的周期为4，即有f（37.5）=f（1.5），结合题意可得f（1.5）=f[2+（﹣0.5）]=﹣f（﹣0.5），结合函数的奇偶性可得f（0.5）=﹣f（﹣0.5），进而结合函数在0≤x≤1上的解析式可得f（0.5）的值，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，由于f（x+2）=﹣f（x），则有f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），即函数f（x）的周期为4，则有f（37.5）=f（1.5+4×9）=f（1.5），又由f（x+2）=﹣f（x），则有f（1.5）=f[2+（﹣0.5）]=﹣f（﹣0.5），又由函数为奇函数，则f（0.5）=﹣f（﹣0.5），又由当0≤x≤1时，f（x）=x，则f（0.5）=0.5；则有f（37.5）=f（1.5）=﹣f（﹣0.5）=f（0.5）=0.5，故f（37.5）=0.5；故答案为：0.5．16.以F1（－1,0）、F2（1,0）为焦点，且经过点M（1，－）的椭圆的标准方程为＿＿＿参考答案：17.已知垂直，则的值为_________．参考答案：由题知，即.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AD=AB=DC=BC=1，E是PC的中点，面PAC⊥面ABCD．（Ⅰ）证明：ED∥面PAB；（Ⅱ）若PC=2，PA=，求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．参考答案：【分析】（Ⅰ）取PB的中点F，连接AF，EF，由三角形的中位线定理可得四边形ADEF是平行四边形．得到DE∥AF，再由线面平行的判定可得ED∥面PAB；（Ⅱ）法一、取BC的中点M，连接AM，由题意证得A在以BC为直径的圆上，可得AB⊥AC，找出二面角A﹣PC﹣D的平面角．求解三角形可得二面角A﹣PC﹣D的余弦值．法二、由题意证得AB⊥AC．又面PAC⊥平面ABCD，可得AB⊥面PAC．以A为原点，方向分别为x轴正方向，y轴正方向建立空间直角坐标系．求出P的坐标，再求出平面PDC的一个法向量，由图可得为面PAC的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣PC﹣D的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：取PB的中点F，连接AF，EF．∵EF是△PBC的中位线，∴EF∥BC，且EF=．又AD=BC，且AD=，∴AD∥EF且AD=EF，则四边形ADEF是平行四边形．∴DE∥AF，又DE?面ABP，AF?面ABP，∴ED∥面PAB；（Ⅱ）解：法一、取BC的中点M，连接AM，则AD∥MC且AD=MC，∴四边形ADCM是平行四边形，∴AM=MC=MB，则A在以BC为直径的圆上．∴AB⊥AC，可得．过D作DG⊥AC于G，∵平面PAC⊥平面ABCD，且平面PAC∩平面ABCD=AC，∴DG⊥平面PAC，则DG⊥PC．过G作GH⊥PC于H，则PC⊥面GHD，连接DH，则PC⊥DH，∴∠GHD是二面角A﹣PC﹣D的平面角．在△ADC中，，连接AE，．在Rt△GDH中，，∴，即二面角A﹣PC﹣D的余弦值．法二、取BC的中点M，连接AM，则AD∥MC，且AD=MC．∴四边形ADCM是平行四边形，∴AM=MC=MB，则A在以BC为直径的圆上，∴AB⊥AC．∵面PAC⊥平面ABCD，且平面PAC∩平面ABCD=AC，∴AB⊥面PAC．如图以A为原点，方向分别为x轴正方向，y轴正方向建立空间直角坐标系．可得，．设P（x，0，z），（z＞0），依题意有，，解得．则，，．设面PDC的一个法向量为，由，取x0=1，得．为面PAC的一个法向量，且，设二面角A﹣PC﹣D的大小为θ，则有，即二面角A﹣PC﹣D的余弦值．19.（本小题满分12分）已知定义域为R的函数是奇函数．（I）求a的值；（Ⅱ）判断的单调性并证明；（III）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围．参考答案：法二、由（1）知20.如图，某生态园将一块三角形地ABC的一角APQ开辟为水果园，已知角A为120°，AB，AC的长度均大于200米，现在边界AP，AQ处建围墙，在PQ处围竹篱笆．（1）若围墙AP、AQ总长度为200米，如何可使得三角形地块APQ面积最大？（2）已知竹篱笆长为50米，AP段围墙高1米，AQ段围墙高2米，造价均为每平方米100元，若AP≥AQ，求围墙总造价的取值范围．参考答案：【考点】HU：解三角形的实际应用．【分析】（1）设AP=x米，则AQ=200﹣x，△APQ的面积S=x（200﹣x）sin120°，利用基本不等式，可得结论；（2）围墙总造价y=100（AP+2AQ）=10000（sin∠AQP+2sin∠APQ）=10000cos∠AQP，即可得出结论．【解答】解：（1）设AP=x（米），则AQ=200﹣x，所以三角形地块APQ面积S=x（200﹣x）sin120°≤2500（米2）当且仅当x=200﹣x时，取等号．即AP=AQ=100（米），三角形地块APQ面积最大为2500（米2）（2）由正弦定理AP=100sin∠AQP，AQ=100sin∠APQ．故围墙总造价y=100（AP+2AQ）=10000（sin∠AQP+2sin∠APQ）=10000cos∠AQP因为AP≥AQ，所以≤∠AQP＜，∴＜cos∠AQP≤所以围墙总造价的取值范围为（5000，15000]（元）【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查三角形面积的计算，正弦定理的运用，属于中档题．21.（本小题满分12分）已知抛物线的焦点为，准线为,经过上任意一点作抛物线的两条切线，切点分别为、.（1）求证：；（2）求的值.参考答案：(1)证明见解析；(2).考点：直线与抛物线的位置关系等有关知识的综合运用．【易错点晴】本题是一道考查直线与抛物线的位置关系的综合性问题.解答本题的第一问的证明垂直问题时,直接依据题设条件将点的坐标设出来,然后运用点与抛物线的关系进行合理推证,进而获证.第二问的求解过程中,先将向量与的数量积算出来,再用的坐标表示算得,最后求得,从而推得,进而推证得.从而使得问题获解.22.（本小题满分10分，选修4—4坐标系与参数方程选讲）已知圆C的参数方程为，若P是圆C与x轴正半