直线的方向向量和平面的法向量课件

直线的方向向量和平面的法向量1直线的方向向量和平面的法向量课件5/9/2024温故知新1．回想在平面向量中，怎样求一条直线的方向向量．思维导航1．怎样确定空间一条直线的方向向量？2．一点A和一个方向可以确定一条直线吗？类似的，一点A和一个方向能确定一个平面吗？这个方向对平面有何特殊意义？3．怎样确定一个平面的法向量．直线的方向向量与平面的法向量2直线的方向向量和平面的法向量课件5/9/2024定点A定方向3直线的方向向量和平面的法向量课件5/9/2024这样，点A和向量a不仅可以确定直线l的位置，还可以具体表示出l上的任意一点．依据直线的方向向量可以确定直线平行的条件，计算两条直线所成的角，研究线面的平行与垂直等．在直线上任取两点P、Q，可得到直线的一个方向向量__________．4直线的方向向量和平面的法向量课件5/9/2024相交xa＋yb5直线的方向向量和平面的法向量课件5/9/20243．用平面的法向量表示空间中平面的位置．通过平面的法向量能研究直线与平面的平行、垂直、平面与平面的平行、垂直、线面角、二面角及距离问题等，应用非常广泛．如图所示，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的__________．给定一点A和一个向量a，那么过点A以向量a为法向量的平面唯一确定．法向量6直线的方向向量和平面的法向量课件5/9/2024牛刀小试1．若a＝(1,2,3)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是(

)A．(0,1,2)

B．(3,6,9)C．(－1，－2,3) D．(3,6,8)[答案]

B[解析]

∵a＝(1,2,3)，∴向量(3,6,9)＝3(1,2,3)＝3a，∴向量(3,6,9)能作为平面α的法向量．7直线的方向向量和平面的法向量课件5/9/20242．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为u＝(－2,0，－4)，则(

)A．l∥α B．l⊥αC．l⊂α D．l与α斜交[答案]

B[解析]

∵u＝－2a，∴u∥a，∴l⊥α．8直线的方向向量和平面的法向量课件5/9/20243．直线l经过点A(0,1，－1)、B(1,0,2)，则l的一个方向向量e＝__________．[答案]

(1，－1,3)(或e＝λ(1，－1,3)且λ≠0中任选一个即可)9直线的方向向量和平面的法向量课件5/9/2024思维导航4．在平面向量中，我们可以用直线的方向向量来讨论直线的位置关系，那么在空间向量中我们能否用直线的方向向量与平面的法向量来讨论空间线面的位置关系呢？直线的方向向量与平面的法向量在研究空间线面位置关系中的应用10直线的方向向量和平面的法向量课件5/9/2024新知导学4．空间直线与平面的位置关系可以用直线的方向向量与平面的法向量的位置关系来研究．设直线l、m的方向向量分别为a、b，平面α、β的法向量分别为u、v，当l，m不重合，α、β不重合且l、m不在平面α、β内时，有(1)l∥m⇔_______⇔______________________；(2)l⊥m⇔_______⇔__________；(3)l∥α⇔________⇔__________；a∥b存在k∈R，使a＝kba⊥ba·b＝0a⊥ua·u＝011直线的方向向量和平面的法向量课件5/9/2024(4)l⊥α⇔________⇔___________________．(5)α∥β⇔________⇔_____________________；(6)α⊥β⇔________⇔__________．注：①由前提知a，b，u，v都是非零向量．②用(1)证明线线平行时，必须指明l与m不重合；用(3)证明线面平行时必须说明_______；用(5)证明二面平行时，必须说明________________．a∥u存在k∈R，使a＝kuu∥v存在k∈R，使u＝kvu⊥vu·v＝0l⊄αα与β不重合12直线的方向向量和平面的法向量课件5/9/2024[答案]

D13直线的方向向量和平面的法向量课件5/9/202414直线的方向向量和平面的法向量课件5/9/2024[答案]

D15直线的方向向量和平面的法向量课件5/9/202416直线的方向向量和平面的法向量课件5/9/2024根据方向向量确定两直线位置关系[分析]

l1、l2的方向向量分别为a，b，l1与l2不重合，则l1∥l2⇔a∥b，l1⊥l2⇔a⊥b．17直线的方向向量和平面的法向量课件5/9/2024[解析]

(1)显然有b＝3a，即a∥b，∴l1∥l2．(2)a·b＝－2＋6－4＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2．(3)显然b＝－4a，即a∥b，故l1∥l2．[方法规律总结]

判断两不重合直线位置关系，只需取两直线的方向向量a、b，若a·b＝0，则两直线垂直；若a∥b，则两直线平行．18直线的方向向量和平面的法向量课件5/9/2024[答案]

B19直线的方向向量和平面的法向量课件5/9/2024求平面的法向量20直线的方向向量和平面的法向量课件5/9/202421直线的方向向量和平面的法向量课件5/9/202422直线的方向向量和平面的法向量课件5/9/2024过点A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)的平面的一个法向量为__________．[答案]

(1,1,1)23直线的方向向量和平面的法向量课件5/9/2024[点评]

设定法向量n＝(x，y，z)的某个坐标为1时，一定要注意这个坐标不为0，如本题中若求平面AOB的法向量时，就不能设其法向量为(1，y，z)．24直线的方向向量和平面的法向量课件5/9/2024利用法向量研究线面位置关系25直线的方向向量和平面的法向量课件5/9/2024[解析]

(1)∵u·v＝－6－4＋10＝0，∴u⊥v，∴α⊥β．(2)观察知v＝－2u，即u∥v，∴α∥β．(3)∵u·v＝－29≠0，∴u、v不垂直，显然u≠v，∴α与β既不平行也不垂直，即α与β相交但不垂直．26直线的方向向量和平面的法向量课件5/9/2024[方法规律总结]

1．判断两不重合平面的位置关系，只需取两平面的法向量u，v，若u·v＝0，则二面垂直；若u∥v，则二面平行．2．判断直线l与平面α(l⊄α)的位置关系，取直线的方向向量a与平面的法向量v，若a·v＝0，则l∥α；若a∥v，则l⊥α．27直线的方向向量和平面的法向量课件5/9/20243．利用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；(3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义．28直线的方向向量和平面的法向量课件5/9/2024已知l∥α，且l的方向向量为(2，－8,1)，平面α的法向量为(1，y,2)，则y＝__________．29直线的方向向量和平面的法向量课件5/9/2024[解题思路探究]

第一步，审题．一审条件，挖掘解题信息：给出一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，可利用线面平行时方向向量与法向量的关系．二审结论，确定解题目标：证明两个平面平行，可转化为证明其法向量平行．30直线的方向向量和平面的法向量课件5/9/2024第二步，建立联系确定解题步骤．如图，由线面平行可得直线l、m的方向向量与平面β的法向量垂直，由两直线l、m相交可得直线的方向向量a、b不共线，从而可取作基底，从而可将该平面内任一直线用a、b线性表示，然后利用数量积说明v是平面α的法向量，从而u∥v，最后说明α∥β．第三步，规范解答．31直线的方向向量和平面的法向量课件5/9/2024[解析]

已知：直线l，m和平面α，β，其中l，m⊂α，l与m相交，l∥β，m∥β，求证：α∥β．证明：设相交直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v，因为l∥β，m∥β，所以a⊥v，b⊥v．所以a·v＝0，b·v＝0．32直线的方向向量和平面的法向量课件5/9/2024因为l，m⊂α，且l，m相交，所以α内任一直线的方向向量p可以表示为如下形式p＝xa＋yb，x，y∈R．因为p·v＝(xa＋yb)·v＝xa·v＋yb·v＝0，即平面β的法向量与平面α内任一直线垂直．所以平面β的法向量也是平面α的法向量，即u∥v．因此，α∥β．33直线的方向向量和平面的法向量课件5/9/2024两条不重合直线m、n和平面α都垂直，求证m∥n．[证明]

设m、n的方向向量分别为e1、e2，平面α的法向量为n，∵m⊥α，n⊥α，