高斯小学奥数五年级上册含答案-分数裂项

第十九讲分数裂项

漫画中的分数有:、!和J,它们的分子都是1.这样分数我们称之为单位分数.每个

236

分数都可以拆成若干个分母不同的单位分数之和，比如：

1111117111

__一I।,——I।,一I।I।•

23656308248

我们来研究一下两个单位分数的和与差有什么性质.看下面的例子.

11_5+711_7-5

57-5775-7-5^7

我们发现，结果的分母都是单位分数分母的乘积，分子一个是单位分数分母的和，另一

个是单位分数分母的乘积.那反过来，如果一个分数可以写成史或者厘的形式，我们

axbaxb

就可以把这个分数拆成两个单位分数的和或者差.这个拆分的过程叫做“裂和”和“裂差”.

裂和：丝^」+工；裂差：

axbabaxbab

在以前的学习中，我们接触了很多分数运算的技巧.这些技巧虽然强大，但能够用来处

理分数数列的并不太多.这一讲，我们将要接触一类分数数列的问题，利用裂项的技巧，可

以将这类看似很复杂的题目轻松的解决.

例题1.

111111

(1)计算:---+----+----+----+----++2012x2013

1x22x33x44x55x6

3

(2)计算:---------1----------1------------1--------------F+98x101

2x55x88x1111x14

「分析」观察题中的式子，如果按常规的方法把它们通分，会相当繁琐.观察各项分母，每

一项都是两个自然数的乘积，而分子都是分母两个乘数的差，那么我们能不能利用分数拆分

的方式将算式做一个变形，使运算变的简单呢？

练习1.

111111

(1)计算:-----+------+------+------+------+H----------------

1x22x33x44x55x6100x101

22222

(2)计算:---+----+----+----+H--------------

1x33x55x77x999x101

利用裂项，将算式中的分数做适当的拆分，使其中一部分可以相互抵消，可以达到简化

计算的效果.

但裂项并非万能，只有具备一定特点的算式才能裂项.因此，大家在学习裂项时，必须

注意以下几点:

（1）要弄清具有何种特征的算式可以裂项;

（2）要根据题目的具体情况，灵活选用合适的裂项方法，切忌生搬硬套；

（3）裂项相消之后究竟哪些项消去了，哪些项留下来了，必须一清二楚.

只有把握住这三点，才能准确的把握这一技巧.希望大家在下面的学习中细心体会.

例题2.

222222

（1）计算：++++++；

1x22x33x44x55x619x20

11111

（2）计算：++111.

1x44x77x1010x1328x31

「分析」我们发现，每个分数的分母还是两个自然数的乘积，但是分子却不是这两个自然数

的差.这样的情况我们应该怎么去拆分分数呢？

练习2.

11111

（1）计算:—+---+---+----+卜；

1x33x55x77x997x99

88888

（2）计算:—H----1111

1x55x99x1313x1745x49

812__1624

例题3.计算:

1x33x55x77x99x1111x13

「分析」观察各项分母，是连续奇数顺次首尾相连的形式.但与前面两题不同的是，本题各

项分子并不相同，仔细观察会发现，4=1+3,8=3+5,…，24=11+13,现在分子等于

分母中两个乘数的和，那我们能不能像例题1一样，对算式进行拆分呢？

3579111315

练习3.计算:

1x22x33x44x55x66x77x8

通过前面的例题，同学们知道对于很有特点的分数算式，是可以采用裂项的方式来简化

计算的.请同学们观察下面的算式，能从中发现哪些规律呢?

例题4.

（1）1-+3-+5—+7—+9—+11—+13—+15—+17—；

2612203042567290

〃5791113151719

2612203042567290

「分析」第（1）小题都是一些带分数，可以将整数部分和小数部分分开来计算.其中整数

部分就是一个等差数列，那分数部分呢？

虽然第（2）小题每个分数的分母与第（1）小题相同，但分子却有着不一样的规律，而

且运算符也是加减交错的.在这种情况下，裂项又该如何进行呢？

练习4.

1。11L1

(1)1-+2——+3——+44——+5

315356399

/c、04r8A21620c24

(2)8--7—+6-----5c——+44------3——.

315356399143

例4和练4的两道题，第1题是裂差形式的裂项，第2题是裂和形式的裂项.它们有着

共同之处：首先，分母能写成两数相乘的形式，其次，这些乘数“首尾顺次相连”.

如果算式中分数之间符号相同，都是加号或者都是减号，那就用裂差；如果算式中分数

之间有加号也有减号，那就用裂和.

例题5.

/八1x42x53x68x11

(1)-------1---------1---------F~\-----------

2x33x44x59x10

/c、12+2222+323?+4~19-+20?

（2）--------+---------+----------++------------.

1x22x33x419x20

「分析」虽然本题的各项分母都具备了裂项的特征，但分子也是算式，很难直接用分母中各

乘数相加减的形式表示出来.这种情况下，我们不妨将前几个分数算出来，找一下规律.

分数裂项的题型非常多，前面我们学到的只是一些比较基本的类型.下面来看一些较复

杂的题型.

1111

例题6.计算:-------------1----------------1----------------FH--------------------

1x2x32x3x43x4x548x49x50

「分析」每个分数的分母不再是两个自然数的乘积了，而是三个，这样的情况应该怎么处理

呢？不妨联想一下整数裂项的处理方法.

南极为什么会有恐龙

在这一章里，我们经常对分数进行裂项和重组.其实在自然界里，分裂和重组的现象也

无处不在.下面就是一个例子.

南极洲位于地球的最南端.那里气温寒冷，冰雪常年覆盖，除了企鹅外，我们很难看到

其它生物的踪影.然而你能想象吗？在如此寒冷的地方，科学家们居然发现了恐龙的化石!

实际上，恐龙只适宜生活在温带和热带，它们是怎么越过大洋，到南极大陆去了呢？

要回答这一问题，我们必须先了解一些关于地球的知识.几十年前，人们发现地壳是由

一些紧密拼合在一起但又在缓慢运动的大板块构成的.可以这样比喻，板块背上驮着许多大

陆，当板块向一个或另一个方向运动时，大陆也随之一起运动.每隔一段时期，板块会将所

有的大陆汇合在一起，地球此时仅由一个主要陆地构成，称为“泛大陆”.当板块继续运动

时，大陆又重新分裂.

在四十多亿年的地球发展史中，泛大陆分裂和重组过多次，最后一次完整的泛大陆是在

约2.25亿年前形成的.早期恐龙在那时已经开始出现，并且有机会分散到泛大陆的各个地

方.

大约在两亿年前，泛大陆分裂成四部分.北部就是现在的北美、欧洲和亚洲，南部是由

现在的南美和非洲构成，最南部是现在的南极洲和澳大利亚，印度是剩余的一小部分.随着

时间的流逝，北美又与亚洲和欧洲分裂开，南美也与非洲相离.（如果看一张地图，并假定

把非洲和南美洲拼合在一起，你就会看到它们拼合得多么天衣无缝！）印度向北移动，并且

大约在5000万年前与亚洲相碰撞，形成巨大的喜马拉雅山脉，两块大陆在那里聚合并缓慢

地褶皱变形.这时，南极和澳大利亚也已相互分离.当大陆分裂后，每一个大陆都携带着自

己的恐龙而去.到6500万年以前，恐龙灭绝了，大陆也完全分裂开.所以，现在的每一个

大陆都有自己的恐龙化石.这也是为什么在南极也能发现恐龙化石的原因.

111

作业1.计算:----------1------------1-H-------------------

3x44x5199x200

作业2.计算：贵+言+言++兼&

111

作业3.计算:------1--------FH--------------

1x55x925x29

713192531374349

作业4.计算:----------------------1-----------------------------1--------------------------------1--------------------------------

2x55x88x1111x1414x1717x2020x2323x26

4163664100144196256

作业5.计算:_--------1--------1--------1----------1----------1----------1---------

315356399143195255

第十九讲分数裂项

（1）99

例题1.答案:黑；⑵

202

原式=「人=舞;⑵原式」199

详解：（1）

2101202

例题2.答案：（1）N；（2）1

1031

详解：（1）原式=，1—，］x2=^；（2）原式=（—L1+3=丝・

<20J10I31J31

例题3.答案：-

13

详解：原式=1—工=乜.

1313

Q1

例题4.答案：(1)81一；(2)1—

1010

详解：(1)原式=(1+3++17)+f—+^+199

H----=---8--1--+-—=81—

1711x22x39x101010

,C、w—1+22+39+10।1J

(2)原式=---------+H---------=1H-----=1—

1x22x39x101010

11Q

例题5.答案：(1)7-；(2)38—

520

详解：（1）注意到每个分数的分母都比分子大2,原式可写成

222(12241

1--------+1---------++1----------=8-——+——++--------=8——=7一.

2x33x49x10(2x33x49xioj55

（2）注意到每个分数的分子都比分母的2倍多1,原式可写成

+七1」112+J+19

2+23-B-----+------+9^20

23A920xlx2

306

例题6.答案:

11

+H---+----2------------------------

48x4949x50

练习L答案：（1）舒⑵益

嗖；⑵原式=1--L=&

简答：（1）原式=1--—

101101101101

4996

练习2.答案:(1)—；(2)

9949

原式=＞击2=；(2)原式=(11C96

简答：（1）x2=—

99I4949

练习3.答案:

简答：原式=i+2=iL

88

练习4.答案：（1）15—；（2）

11

简答：(1)原式=1+2+3+4+5+，1111

+-----+-----+-----+=15

1x33x55x77x99x11n-

,小盾4cc,u,c4812162024

(2)原式=8—7