第20讲定积分的应用

第20讲定积分的应用212极坐标系中平面图形的面积

定理2曲边扇形区域2例4阿基米德螺线

3一、变力沿直线所作的功二、液体的侧压力三、引力问题定积分在物理学上的应用4一、变力沿直线所作的功设物体在连续变力F(x)作用下沿x轴从x＝a移动到x=b,力的方向与运动方向平行,求变力所做的功.机动目录上页下页返回结束5在其上所作的功元素为:变力F(x)在区间[a,b]上所作的功为机动目录上页下页返回结束6例1.体,求移动过程中气体压力所解:由于气体的膨胀,把容器中的一个面积为S的活塞从点a处移动到点b

处(如图),作的功.建立坐标系如图.由波义耳—马略特定律知压强

p与体积V成反比,即功元素为故作用在活塞上的所求功为机动目录上页下页返回结束力为在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气7例2.试问要把桶中的水全部吸出需作多少功?解:建立坐标系如图.在任一小区间上的一薄层水的重力为这薄层水吸出桶外所作的功(功元素)为故所求功为(KJ

)设水的密度为(KN)一蓄满水的圆柱形水桶高为5m,底圆半径为3m,8面积为A的平板二、液体侧压力设液体密度为

深为h处的压强:当平板与水面平行时,当平板不与水面平行时,所受侧压力问题就需用积分解决.平板一侧所受的压力为••9例7弹簧拉长s，计算拉力作的功弹簧一端固定,另一端未变形位置为原点建坐标系Hook定律：弹性限度内拉力与伸长长度成正比取微元[x,x+dx][0,s]微元上拉力作功：dW=kxdx

10例9高为2m的等腰三角形闸门,底边长3m,平行于水面,且距水面4m．求这闸门所受的压力x轴过等腰三角形的高,y轴于水面,建坐标系取微元[x,x+dx][4,6]dF=p·2ydx=2γxydx

一象限腰的直线方程y=0.75(6-x)11例10矩形薄板长2m,宽1m,成30°角斜沉水下,长边平行于水面深1m处,求薄板每面所的压力x轴向下,y轴于水面建坐标系上长边x坐标为1，y坐标为1+sin30°=1.5

取微元[x，x+dx][1，1.5]dF=p·2dx=2γxdx

125.4.5定积分在医学上的应用例11禁食，降糖，注射糖，测量血中胰岛素浓度其中k=ln2/20,t-分钟，求一小时内胰岛素之平均浓度13求血管中血流速度与截面血液层半径的关系

设血管长度为a,血管半径为R,相对动脉,静脉端血压为P1,

P2,P1>P2

血液粘滞性影响,距横截面中心不同半径r处的血液层流速v(r)不同半径为r的一块面积上的血液柱流动的推力F1等于血管两端压力差：

F1=πr2(P1-P2)，泊萧叶公式(Poiseuille)14血液粘滞性影响,距横截面中心不同半径r处的血液层流速v(r)不同半径为r的一块面积上的血液柱流动的推力F1等于血管两端压力差：

F1=πr2(P1-P2)，受血液层流速不等产生摩擦力F2,正比于血液柱的侧面积,又正比于相邻血液层间相对流速的变化率F1=-F2

15r=R时,v=0

16例13求单位时间内流过该横截面的血流量Q解取微元[r,r+dr],半径为r,r+dr之微元面积为单位时间内流过圆环微元的血流量17内容小结(1)先用微元分析法求出它的微分表达式dQ一般微元的几何形状有:扇、片、壳等.(2)然后用定积分来表示整体量

Q,并计算之.1.用定积分求一个分布