高数下册复习资料

高等数学（向量代数一＞无穷级数）知识点

向量与空间几何

向量：向量表示（（a%））;向量运算（向量积）；向量的方向和投影

空间方程：曲面方程（旋转曲面和垂直柱面）；直线方程（参数方程和投影方程）

平面方程：点法式（法向量）、一般式、截距式；平面夹角和距离

直线方程：一般式、对称式（方向向量）、参数式；直线夹角；平面交线（法向量积）

切平面和切线：切线与法平面；切平面与法线

多元函数微分学

多元函数极限：趋近方式，等阶代换

偏微分和全微分：高阶微分（连续则可等）；复合函数求导（Jacobi行列式）；

多元函数极值：偏导数判定；拉格朗日乘数法（条件极值）

重积分

二重积分：直角坐标和极坐标；对称性；换元法

三重积分：直角坐标、柱坐标和球坐标；对称性

重积分的应用：曲面面积；质心；转动惯量；引力

曲线与曲面积分

曲线积分：弧长积分；坐标曲线积分（参数方程）；格林公式

面积积分：对面积积分；坐标面积积分；高斯公式

无穷级数

级数收敛：通项极限

正项级数：调和级数；比较法和比较极限法；根值法；极限法；绝对收敛和条件收敛

暴级数：收敛半径和收敛域；和函数；麦克劳林级数（二次展开）

Fourier级数：傅里叶系数（高次三角函数积分）；奇偶延拓；正弦和余弦级数；一般周期的

傅里叶级数

矢量分析与场论（空间场基础）

方向导数与梯度

方向导数：向量参数式；偏导数；方向余弦

梯度（grad）:方向导数的最值；梯度方向；物理意义（热导方向与电场方向）

格林公式：曲线积分一＞二重积分；曲线方向与曲面方向

全微分原函数：场的还原；折线积分

通量与散度

高斯公式：闭合曲面一＞三重积分；曲面外侧定向；曲面补齐；向量表达（通量）

散度（div）：通量的体积元微分；物理意义（有源场（电场））

环流量与旋度

斯托克斯公式：闭合曲线一＞曲面积分；向量积定向；行列式表达；向量表达；物理意义（环

通量）

旋度（rot）:行列式斯托克斯公式；物理意义（有旋场（磁场））

第八章向量与解析几何

向量代数

定义定义与运算的几何表达在直角坐标系下的表示

叵=axi+ayj+a.k=(%,ay,az)

向量有大小、有方向.记作叵］或踵］

%=PKjxa,ay=prjya,az=prjza

模向量回的模记作问+a；+a^

和差c=a+b+bx,ay+by,az+bz

c=a+b

过,则值

(ax,ay,az)

单位向量

la；++az

cosa=*,cos/=&见

，COS/=j-j

设团与|羽轴的夹角分别为a,p,Ya\a\\a\

刃不，幺

则方向余弦分别为|cosc，COS0,cosy

ea=(cos(z,cos尸，cos/)

COS2df+cos2y5+cos2/=1

a-b=\a^cosO,团为向量2与6的夹

点乘（数量积）

ab=aAxbAx+ayvbyv+a£.hz7

角

c=absinOiJk

叉乘（向量积）

。为向量a与b的夹角axb=%ay

b包

向量回与回，BJ都垂直瓦y

定理与公式

垂直aLb<^>ab+ab+ab=0

a_L8=a-8=0“xYyvyzz7

平行a//boaxb=Qa//b<^>—=—=—

么bybz

ab“_______"也+*+a也

交角余弦两向量夹角余弦c'c\sA-

ab/a：+a；+a；ya；

向量回在非零向量］”上的投影

„_aA+ayby+azbz

投影prja=acos(aAb)=荒1

bh、b：+b；

平面直线

法向量¥={A,6,C}点心（%0，%*0）方向向量?={帆,〃,。}点加0（%,%*0）

X—%=y—%=z—zO

卜=0⑺，切“线”方程：

。'4)〃'«0)研%)

卜=〃⑺，切向量

[z=①(t),

亍=3'«o)，〃'&)，◎'(%))法平“面”方程：

(p'(t0)(x-x0)+)(，—%)+。'"0)(z-Zo)=O

切“线”方程：%一%0二Of二Z-Z。

[y=0(x)切向量1。'(%)”'(%)

[z=〃(x)f=(1,(p'(x),〃'(x))法平“面”方程：

(x-/)+。'(%)(y-%)+〃'(工0)(z-z(,)=0

法向量

空切平“面”方程：

间F(x,y,z)=0〃=（工（Xo，%，Zo）,工(飞，:Vo，Zo)(x-/)+工(%，%,ZoXy-%)

+工(%，为，

曲g（X（p为，Zo）,Zo)(Z-z0)=0

面

F（x0,j0,z0））法”线”方程：

X-/J-Joz—z0

工（/，为，2（））Fy（x0,y0,z0）F:（x0,y0,z0）

〃=（一力（〜），先），切平“面”方程：

一工,（%，%）J）工（%，%）（》一%）+fy（%，%）（、一%）-（z—Zo）=0

或

z=f（x,y）法“线”方程：

%_/_y_%_z-zo

力CWo），T），OWo）fvOWo）-1

第十章重积分

o"%,y)对于无是奇函数，

即/(—羽y)=—/(%,y)

1=<f(x,y)dxdyf(x,y)对于x是偶函数,

△

即/(-羽y)=f(x,y)

A是。的右半部分

计算步骤及注意事项

1.画出积分区域

2.选择坐标系标准：域边界应尽量多为坐标轴，被积函数

关于坐标变量易分离

3.确定积分次序原则：积分区域分块少，累次积分好算为妙

4.确定积分限方法：图示法先积一条线，后扫积分域

5.计算要简便注意：充分利用对称性，奇偶性

「投影法

(1)利用直角坐标\a*.

［截面法Pl59一例1

w(“z)dv=w：;wPl60一例2

投影y，z)dz

Z](x,y)

0

x-rcos3

(2)利用柱面坐标4y=rsin^

2=Z

三重积分相当于在投影法的基础上直角坐标转换成极坐标

"ay"

适用范围：P161一例3

①积分区域表面用样而坐标表示肝方程简单：如旅转体

②被积函数用柱面坐标表示时变量易分重f(x2+y2)f(x2+z2)

jjj/(%,y,z)dV=Jdzj,dej；/(pcosapsinO,

空间立体物的

质量x=pcos0=rsincos<9

(3)利用球面坐标<y-夕sin。=rsin^sin^

质量=密度回z=rcoscp

面积

aQ=rsin(pdrd(pdO

P165—10-(1)

适用范围：

①积分域表面用球面坐标表示时方程简单;如，球体，锥体.

②被积函数用球面坐标表示时变量易分离.如，/(x2+y2+z2)

/=」；d8；f(Psin(pcosdpsincpsin0,pcos(p)p1sincpAp

ax

(4)利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性

第十一章曲线积分与曲面积分

曲线积分与曲面积分

积分类型计算方法典型例题

参数法（转化为定积分）

第一类曲线积分—1=f⑺Nd(0+U?⑦#

⑴[L:y=e(x)

1=1f（X,y}ds

x=以力-1=j：f(x,y(x))Jl+y'2(x)小

曲形构件的质量(2)CP189-例1

y=。⑺-

/贝里一我笛反qP190-3

x=cos3

弧长

(3)r=r{0}{a<0</3)L:<

y=r(6)sin0

『/(厂(6)cos。,r(6)sin8)J尸(6)+r,2(0)d0

1=

（1）参数法（转化为定积分）

=0⑺（弹调地从1到齐）

P196-例1、例2、

=。（力

Hl例3、例4

/Pdr+Qdy=，⑺,〃⑺]。'⑺+Qcp⑺,〃⑺]“⑺成

（2）利用格林公式（转化为二重积分）

条件：①L封闭，分段光滑，有向（左手法则围成平面区域D）

平面第二类曲线②P,Q具有一阶连续偏导数

积分£Pdx+Qdy=(半-

结论：lyP205一例4

P214-5⑴(4)

[满足条件直接应用

1=Pdx+Qdy

L应用：有瑕点，挖洞

[不是封闭曲线，添加辅助线

⑶利用路径无关定理（特殊路径法）

变力沿曲线所做[Pdx+Qdy=0

等价条件:。丝=盟②

的功dxdy

P211-例5、例6、

(3)£Pdx+Q

2dy-亍路径无关，与起点、终点有关例7

④尸d0+Qdy具有原诳I数|M（X,y）

（特殊路径法，偏积分方L凑微分法）

（4）两类曲线积分的联系

/=£Pdx+Qdy=，(「cosa+Qcos0)ds

（1）参数法（转化为定积分）

空间第二类曲线fPdx+Qdy+Rdz=

积分JTJa

P240-例1

1=[Pdx+Qdy+Rc7

：（2）利用斯托克斯公式（转化第二类曲面积分）

条件：①L封闭，分段光滑，有向

②P,Q,R具有一阶连续偏导数

变戈沿曲线所做

的功

£Pdx+Qdy+Rdz

结论：=0•(史-丝心dz+(丑-雪dzdx+冬-驾如/y

dydzdzdxdxdy

一满足条件直接应用

应用：［不是封闭曲线，添加辅助线

第一类曲面积分投影法

I=^f(x,y,z)dv同：|z=2(x,y)|投影到底升面

z_____

P217-例1、例2

曲面薄片的质量

质量=面密度冈

类似的还有投影到»河面和如|面的公式

面积

(1)投影法

①Pdydz=±jjp(x(y,z),y,z)dydz

2Dyz

园:z=z(x,y),冈为£的法向量与因轴的夹角

前侧取|cos/>0；后侧取"日’，cos/<0

第二类曲面积分②jjQdzdx=±jjp(x,y(x,z),z)dzdx

ZDy2P226-例2

园:y=y(x：z)］,叫*园的法向量与凹轴的夹角

(3)|Qdxdy=±

z

流体流向曲面一园：|x=x(y,z5,回为国的法向量与回轴的夹角

侧的流量上侧取costz>0|；下侧取“臼"，|cose<0

(2)高斯公式右手法则取定E的侧

条件：①园封闭，分片光滑，是所围空间闭区域©的外侧

②P,Q,R具有一阶连续偏导数

PdydZ+P231-例1、例2

结论：fM3

:满足条件直接应用

应用：［不是封闭曲面，添加辅助面

(3)两类曲面积分之间的联系

jjPdydz+Qdzdx+RdMy=jj(尸cosa+。cos夕+Rcosy)dS

P228-例3

Szdz

转换投影法:dydz=(---)dxdydzdx=(---)dxdy

dxdy

所有类型的积分：

①定义：四步法——分割、代替、求和、取极限；

②性质：对积分的范围具有可加性，具有线性性；

③对坐标的积分，积分区域对称与被积函数的奇偶性。

第十二章级数

高等数学公式

导数公式：

基本积分表：

三角函数的有理式积分:

.2"1—I/?x,2du

sinX=-----y，COSX=----Tu=ts—,ax=---------r

1+W1+W21+M2

一些初等函数:两个重要极限:

三角函数公式:

•诱导公式：

数

角口、sincostgctg

-a-sinacosa-t部-ctgx

90°-acosasinactgatgx

90°+acosa-sina-ctgx-tga

180°-asina-cosa-tga-ctga

180°+a-sina-cosatgactga

270°-a-cosa-sinactgatgx

270°+a-cosasina-ctgx-tga

360°-a-sinacosa-tgx-ctga

360°+asinacosatgxctga

•和差角公式:•和差化积公式:

•倍角公式:

•半角公式:

正弦定理：=上=，=2k■余弦定理：=a'+/-2a灰:osC

sinAsinBsinC

7171

■反三角函数性质:arcsinx=---arccosxarctgx=---arcct^x

22

高阶导数公式——莱布尼兹(Leibniz)公式:

（MV产这C'g”

k=0

M（—1）•••（"—左+1））

=UV+而j）M+〃（〃—1）M（"-2）V，，+.nna«,w

•十UV+,■+uv

2!k\

中值定理与导数应用:

拉格朗日中值定理:，(。)-f(a)=/化)出-a)

柯西中值定理J3)—=/垃

F(b)-F(a)尸©

当F(x)=x时，柯西中值定理就是立格朗日中值定理.

曲率：

弧微分公式：ds=Jl+y%%,其中V=%ga

平均曲率衣=%.△a:从M点到M，点，切线斜率的倾角妣量；As：MM弧长。

A5

M占的曲率.K-lim'a__卜1

J.Y_L八、、|_|JM-L-l-1•上、AA1A1I--------•

2。ASdsJ（l+y，2）3

直线：K=0;

半径为〃的圆：K=—.

a

定积分的近似计算：

b1

矩形法:Jy(x)土(%+%+•••+y.T)

a

梯形法：j/(X)~+J„)+J1+,1,+Jn-1]

a

2b—Z7

抛物线法三丁[(%+y„)+2(y2+y4+…+先_2)+4(%+%+…+%T)]

a

定积分应用相关公式：

功:W=『s

水压力：F=p-A

引力：F=心生,k为弓、力系数

r

_1b

函数的平均值：y=----ff(x)dx

b-aa

i%

均方根\----ff2(t)dt

\b-aa

空间解析几何和向量代数:

空间2点的距离：d=M1般2I=J(%2—再)2+(%—%)2+.2—4)2

向量在轴上的投影Pr/“N5=而<05夕，9是吞与M轴的夹角。

Prj,（4+«2）=Pr/4+Prj%2

a-b=同卡,。$8=4也+%%+见%是一个数量

ah+〃力、,+ah

两向量之间的夹角cosO=AAYyyzz7

I222Ij2T~17~2

qq+ay+az•4么+by+bz

ijk

，同二同卡卜也夕例:线速度：v=wxr.

c=axb=4ayaz

久比bz

%ay%

向量的混合积合应]=(@xB)i=b=,x斗同cosa,a为锐角时,

bxbyz

g0

代表平行六面体的体积

平面的方程：

1、点法式：A(x-xo)+B(y-yo)+C(z-zo)=O,其中力=

2、一般方程：Ax+By+Cz+D=O

3、截距世方程1+2+三=1

abc

平面外任意一点到该■的距离：三=>”效+生。|

7A2+B2+C2

x=xQ-\-mt

空间直线的方程=%="丛=二包X其中8=｛私〃，闭渗数方程加

mnp

[z=z0+p.

二次曲面：

222

1、椭球面=+与+二=1

a-b2c2

22

2、抛物面工+匕=45应同号)

2p2q

3、双曲面：

222

单叶双曲面二+当-彳=1

abc

222

双叶双曲面二-1+二=1(马鞍面)

abc

多元函数微分法及应用

du7du

全微分：dz=—dx+—dyxH---dyH-d-z-

dxdy'喂"dydz

全微分的近似计算：Az«dz=fx(x,y)Ax+fy(x,y)Ay

多元复合函数的求导法

dzdzdudzdv

Z=f[n(t),v(t)]—=------1-

dtdudtdvdt

z=f[z/(x,y),v(x,j)]"="dudzdv

OXOUdxdvdx

当"=v=v(x,y)时，

,du.du,7Sv7Sv7

du='—dx~\---dydv='—dx-\---dy

dxdydxdy

隐函数的求导公式：

d2y_dF

隐函数F(x,y)=O,虫=—竺，e(-乙)十金(-军：)也

dxFydxdxFy②Fydx

aFdz_

隐函数尸(％,y,z)=0,—7二一一

oxFdy

zFz

dFdF

F(x,y,w,v)=Oj=d(F,G)「F

隐函数方程组，dudv=u工

G(x,y,u,v)=06(w,v)dGdGG“G,

dudv

du15(F,G)加1d(F,G)

dxJ5(%,i，)dxJd(u,x)

du_1d(F,G)dv_16（F,G）

dyJ5(y,v)dyJ0(",y)

微分法在几何上的应用:

X="⑺

空间曲线^=“⑺在点M（Xo，%,z°）处的切线方程"=『=三合

“、。仇）W（t。）。仇）

Z=①（I）

在点M处的法平面方程："'优）（％-%0）+/伉）（＞一治）+/优）（z—Zo）=O

若空间曲线方程为"羽''⑦=°,则切向量了={f，工Fz工工F

G；G,G；G,G]

G（x,y,z）=O（jyy

曲面b(x,y,z)=0上一点舷(Xo，%/。)，则：

1、过此点的法向量：n={Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)}

2、过此点的切平面方程FY(xo,yo,zo)(x-xo)+Fy(xo,yo,zo)(y-yo)+Fz(xo,yo,zo)(z-zo)=O

3、过此点的法线方程：八人一=——=—」一

工（Xo，No，Zo）Fy（x0,y0,z0）F:（x0,y0,z0）

方向导数与梯度:

函数z=/(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向/的方向导数为g=gcos9+gsin°

cloxdy

其中夕为x轴到方向/的转角。

函数z=f(x,y)在一点p(x,y)的梯度：gradf(x,y)=^-T+^-J

oxdy

它与方向导数的关系是或=grad/(x,y)-6,其中。=cos9・：+sin°J为/方向上的

dl

单位向量。

—是gra(|f(x,y)在/上的投影。

81

多元函数的极值及其求法:

期(%，%)=%(/，为)=0,令：匕(%，%)=AfXy(x0,y0)=B,fyy(x0,y0)=C

A<0,(%,%)为极大值

AC-B2〉0时,《

A>0,(%,%)为极小值

则：＜AC—台2<0时,无幡

AC-B2=0时,不确定

重积分及其应用:

jj/(x,y)dxdy=jj/(rcos^,rsinO)rdrdO

DD'

(SzY

曲面z=/(x,y)的面积A=jj+dxdy

D

jjxp{x.y)d(jM、\\yp(x,y)d(y

平面薄片的重心：元=/Dy—————----------

MJJ夕(x,y)dcyMy)da

DD

平面薄片的转动惯量：对于入轴=0y2mMy)db,对于y轴/y=0%2p(%,y)db

DD

平面薄片(位五。丹面)对z轴上质点M(OQQ),(Q〉O)的引力：/=｛工耳，工｝,其中:

工叫一3丝一卜山"工=-M［夕

D(x2+y2+a2yD(x2+y2+a2yD(x2+y2+a2y

柱面坐标和球面坐标:

%=rcosO

柱面坐标:y=rsin^,jjjJ(x,y,z)dxdydz=jjjF(r,0,z)rdrdOdz,

2r二2r。。

其中：F(r,6,z)=/(rcos^,rsin^,z)

%=rsin^7co

球面坐标Xy=rsin^sin^,dv=rd(p・rsin(p・de・dr=r2sm(pdrd(pdO

z=rcos(p

2万冗r((p,9)

的(苍以2)dxdydz=\\\F(r,(p,6)r2sm(pdrd(pde=^dO^d(pjF(r.(p,3)r2sincpdr

QQ000

加卜.2$雅加其中〃=*v

重心：X=y=^\\\ypdv,

2222

转动惯量:4=JJJ(y+Z?)源MIy=jjj(x+z)pc/wIz=jjj(x+y)/x/v

。。。

曲线积分:

第一类曲线积分(对睚:的曲线积分)：

设/'(x/)在L上连续，L的参数方程为「=9"),(屋三⑶,则：

)=甲(t)

P___________X-t

jf(x,y)ds=f[(p(t),i//(t)]yj(p'2(t)+y/'2(t)dt(tz<P)特殊情况:

Lay=。⑺

第二类曲线积分(对坐示的曲线积分)：

「二叫则:

设L的参数方程为

y=岫

B

JP(x,y)dx+Q(x,y)dy=J+09⑺，以/)]/")}dt

La

两类曲线积分之间的^^：jPdx+Qdy=J(Pcosa+Qcos/?)ds,其中a和尸分别为

LL

L上积分起止点处切向鄱方向角。

格林公式：ff-—)dxdy={Pdx+Qd端林公式-空)dxdy=fPdx+Qdy

J

dxdyL'dxdy•'

当/*=—y,Q=x,即:"^—■^=2时，得至IjD的面积：A=jjdxdy=xdy-ydx

・平面上曲线积分与路彳疣关的条件：

1、G是一个单连通区域；

2、尸(x,y),。(羽y)在G内具有一阶连续偏导数且黑="。注意奇点，如0,0),应

oxdy

减去对此奇点的积分，注意方向相反！

・二元函数的全微分求积

在黑="时，Pdx+Qdy才是二元函频(x,y)的全微分，其中：

dxdy

(%,y)

M(x,y)=jP(x,y')dx+Q(x,y)dy,通常设％=%=0。

(%0，%)

曲面积分:

对面积的曲面积分于(x,y,z)ds=jjf[x,y,z(x,y)]Jl+z；(%,y)+zj(x,y)dxdy

ZDxy

对坐标的曲面积分JjP(x,y,z)dydz+Q(%,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy其中：

y.

jjR(x,y,z)dxdy=±jjR[x,y,z(x,y)]dxdy取曲面的上侧时取汨1;

2Dxy

UP(x,y,z)dydz=P[x(y,z),y,z]dydz取曲面的前侧时取汨I;

EDyz

jjQ(x,y,z)dzdx=±jjQ[x,y(z,x),z]dzd^取曲面的右侧时取汨1。

ED.v

两类曲面积分之间的Pdydz+Qdzdx+Rdxdy-jj(Pcosa+Qcos£+7?cos/)ds

高斯公式:

小空+义+空)dv=抄Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=9(Pcosa+Qcosft+Rcosy)ds

吧dxdydzzz

高斯公式的物理意义——通量与散度：

散度：divv=—+^+—,BP：单位体积内所产生I勺流体质量，若div丘＜0,则为消失..

dxdydz

通量:jjA-nds=jjAnds=jj(Pcosa+2cos/3+Rcosy)ds,

z

因此，高斯公式又可写戌4JdivZdy=胪0

Q

斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系:

tr/R。。、7J5PdR..,,8QdP、

JJ(—~^dydz+(Z-)dzdx+(詈；dxdy=JPdx+Qdy+Rdz

**oyozozoxoxdyr

dydzdzdxdxdyCOS。cos夕cos/

555

上式左端又可写成H§§§J

**dxdydz£dxdydz

PQRPQR

空间曲线积分与路径接的条件二=(dP_dRdQ_dP

i一,一

dydzdzdxdxdy

ijk

旋度：rot4=———

dxdydz

PQR

向量场彳沿有向闭曲线"的环流量，尸d%+Qdy+Rdz=JA-tds

rr

常数项级数:

i_n

等比数歹11:1+4+/+…+q'i=£z£n_

"q

等差数歹1H+2+3+…

2

调和级数」+'+』+…+!是发散的

23n

级数审敛法:

1、正项级数的审敛法——根植审敛法(柯西判别法)：

「<1时，级数收敛

设：p=lim\Tu~,则<夕〉1时，级数发散

n—>oo

夕=1时，不确定

2、比值审敛法：

「<1时，级数收敛

设：P=iim4±L,则夕〉1时，级数发散

n—>ooTJ

n夕=1时，不确定

3、定义法：

s“=%+%+…+M”;lims“存在，则收敛；否则制攵。

72—>00

父错级数—4+%—“4+…(或—%+%—的+…>0)的申敛法来布尼兹定理:

如果交错级数满%A”2y那么级数收敛且其和泅其余项斓勺绝对加归％。

["->00n

绝对收敛与条件收敛：

(1)“1+〃2、---(其中"〃为任意实数;

(2)|«1|+|w21+1«31+•••+|un|+•••

如果⑵收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对攵敛级数;

如果⑵发散，而(1)收敛，则称(1)为条件收敛级数。

调和级数发散，而xW攵敛；

级数》《收敛；

n

尔弗r1/pwi时发散

P级数》行5〉1时收敛

嘉级数:

1

x|<l时，收敛于-

1+X+X~+X，H+x'H----1-x

\|x|>1时，发散

对于级数(3)4+-・+a“x"+…，如果它不是仅在原点I攵敛，也不是在全

/|x|<R时收敛

数轴上都收敛，则必存ER,使口x|〉R时发散其中R称为收敛半径。

=R时不定

pw0时，R=—

p

求收敛半径的方法：设imp,其中%,a,+i是(3)的系数，贝日夕=0时，R+oo

n—>oo