专题09 二次函数的应用（解决实际问题）（讲）-备战2019年中考数学二轮复习讲练测（解析版）

备战2019年中考二轮讲练测（精选重点典型题）专题09二次函数的应用（解决实际问题）（讲案）一讲考点——考点梳理二次函数的应用关键在于建立二次函数的数学模型，这就需要认真审题，理解题意，利用二次函数解决实际问题，应用最多的是根据二次函数的最值确定最大利润、最节省方案等问题． 应用二次函数解决实际问题的一般思路：理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题．（一）简单应用对于题目明确给出两个变量间是二次函数关系，并且给出几对变量值，要求求出函数关系式，进行简单的应用（或者直接给出二次函数的解析式，进行简单应用）．解答的关键是熟练运用待定系数法，准确求出函数关系式．（二）建模应用利用二次函数解决抛物线型问题，一般是先根据实际问题的特点建立直角坐标系，设计合适的二次函数的解析式，把实际问题中的已知条件转化为点的坐标，代入解析式求解，最后要把求出的结果转化为实际问题的答案．（三）销售问题二次函数解决销售问题是我们生活中经常遇到的问题，这类问题通常是根据实际条件建立二次函数关系式，然后利用二次函数的最值或自变量在实际问题中的取值解决利润最大问题．（四）运用二次函数求实际问题中的最值即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解，求最值时，要注意求的答案要符合实际问题．包括二次函数在没有限制条件下的最值，二次函数在给定范围条件下的最值和分段函数求最值．1．二次函数在没有限制条件下的最值：二次函数的一般式()化成顶点式，如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）．2．二次函数在给定范围条件下的最值：如果自变量的取值范围是，如果顶点在自变量的取值范围内，则需要计算当，，时，对应的函数值，比较结果，最大的函数值为最大值，最小的函数值为最小值，如果顶点不在此范围内，则只需要计算当，时的函数值，比较结果，最大的函数值为最大值，最小的函数值为最小值（或者用二次函数的增减性来解）．二讲题型——题型解析（一）对简单应用的考查．例1．（2017湖南省永州市）一小球从距地面1m高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下．（1）小球第3次着地时，经过的总路程为m；（2）小球第n次着地时，经过的总路程为m．【答案】（1）2.5；（2）．【分析】（1）根据题意可以求得小球第3次着地时，经过的总路程；（2）根据题意可以求得小球第n次着地时，经过的总路程．【解析】（1）由题意可得，小球第3次着地时，经过的总路程为：1+=2.5（m），故答案为：2.5；（2）由题意可得，小球第n次着地时，经过的总路程为：1+2[]=，故答案为：．点睛：本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出题目中数的变化规律，注意每次着地后又跳回到原高度的一半再落下．考点：二次函数的应用；规律型．（二）对建模应用的考查．例2．（2017浙江省温州市）小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图1），完全开启后，水流路线呈抛物线，把手端点A，出水口B和落水点C恰好在同一直线上，点A至出水管BD的距离为12cm，洗手盆及水龙头的相关数据如图2所示，现用高10.2cm的圆柱型水杯去接水，若水流所在抛物线经过点D和杯子上底面中心E，则点E到洗手盆内侧的距离EH为cm．【答案】．【分析】先建立直角坐标系，过A作AG⊥OC于G，交BD于Q，过M作MP⊥AG于P，根据△ABQ∽△ACG，求得C（20，0），再根据水流所在抛物线经过点D（0，24）和B（12，24），可设抛物线为，把C（20，0），B（12，24）代入抛物线，可得抛物线的解析式，最后根据点E的纵坐标为10.2，得出点E的横坐标，据此可得点E到洗手盆内侧的距离．【解析】如图所示，建立直角坐标系，过A作AG⊥OC于G，交BD于Q，过M作MP⊥AG于P，由题可得，AQ=12，PQ=MD=6，故AP=6，AG=36，∴Rt△APM中，MP=8，故DQ=8=OG，∴BQ=12﹣8=4，由BQ∥CG可得，△ABQ∽△ACG，∴，即，∴CG=12，OC=12+8=20，∴C（20，0），又∵水流所在抛物线经过点D（0，24）和B（12，24），∴可设抛物线为，把C（20，0），B（12，24）代入抛物线，可得：，解得：，∴抛物线为，又∵点E的纵坐标为10.2，∴令y=10.2，则，解得x1=，x2=（舍去），∴点E的横坐标为，又∵ON=30，∴EH=30﹣（）=．故答案为：．点睛：本题以水龙头接水为载体，考查了二次函数的应用以及相似三角形的应用，在运用数学知识解决问题过程中，关注核心内容，经历测量、运算、建模等数学实践活动为主线的问题探究过程，突出考查数学的应用意识和解决问题的能力，蕴含数学建模，引导学生关注生活，利用数学方法解决实际问题．考点：二次函数的应用；代数几何综合题；综合题．（三）对销售问题的考查．例3．（2017江苏省扬州市）农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：（1）请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定p与x之间的函数表达式；（2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？（3）若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元（a＞0）的相关费用，当40≤x≤45时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求a的值．（日获利=日销售利润﹣日支出费用）【答案】（1）p=﹣30x+1500；（2）这批农产品的销售价格定为40元，才能使日销售利润最大；（3）a=2．【分析】（1）首先根据表中的数据，可猜想y与x是一次函数关系，任选两点求表达式，再验证猜想的正确性；（2）根据题意列出日销售利润w与销售价格x之间的函数关系式，根据二次函数的性质确定最大值即可；（3）根据题意列出日销售利润w与销售价格x之间的函数关系式，并求得抛物线的对称轴，再分两种情况进行讨论，依据二次函数的性质求得a的值．【解析】（1）假设p与x成一次函数关系，设函数关系式为p=kx+b，则，解得：k=﹣30，b=1500，∴p=﹣30x+1500，检验：当x=35，p=450；当x=45，p=4150；当x=50，p=0，符合一次函数解析式，∴所求的函数关系为p=﹣30x+1500；（2）设日销售利润w=p（x﹣30）=（﹣30x+1500）（x﹣30）即w=﹣30x2+2400x﹣45000，∴当x=﹣=40时，w有最大值3000元，故这批农产品的销售价格定为40元，才能使日销售利润最大；（3）日获利w=p（x﹣30﹣a）=（﹣30x+1500）（x﹣30﹣a），即w=﹣30x2+（2400+30a）x﹣（1500a+45000），对称轴为x=﹣=40+a，分两种情况讨论：①若a＞10，则当x=45时，w有最大值，即w=2250﹣150a＜2430（不合题意）；②若a＜10，则当x=40+a时，w有最大值，将x=40+a代入，可得w=30（a2﹣10a+100），当w=2430时，2430=30（a2﹣10a+100），解得a1=2，a2=38（舍去）．综上所述：a=2．点睛：本题主要考查了二次函数的综合应用，解题时要利用图表中的信息，学会用待定系数法求解函数解析式，并将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题．考点：二次函数的应用；分类讨论；最值问题；二次函数的最值；压轴题；代数综合题．（四）对运用二次函数求实际问题中的最值的考查．例4．（2017浙江省台州市）交通工程学理论把在单向道路上行驶的汽车看成连续的流体，并用流量、速度、密度三个概念描述车流的基本特征，其中流量q（辆/小时）指单位时间内通过道路指定断面的车辆数；速度v（千米/小时）指通过道路指定断面的车辆速度，密度k（辆/千米）指通过道路指定断面单位长度内的车辆数．为配合大数据治堵行动，测得某路段流量q与速度v之间关系的部分数据如下表：（1）根据上表信息，下列三个函数关系式中，刻画q，v关系最准确的是（只填上正确答案的序号）①q=90v+100；②q=；③．（2）请利用（1）中选取的函数关系式分析，当该路段的车流速度为多少时，流量达到最大？最大流量是多少？（3）已知q，v，k满足q=vk，请结合（1）中选取的函数关系式继续解决下列问题．①市交通运行监控平台显示，当12≤v＜18时道路出现轻度拥堵．试分析当车流密度k在什么范围时，该路段将出现轻度拥堵；②在理想状态下，假设前后两车车头之间的距离d（米）均相等，求流量q最大时d的值．【答案】（1）③；（2）v=30时，q达到最大值，q的最大值为1800；（3）①84＜k≤96；②流量q最大时d的值为．【分析】（1）利用函数的增减性即可判断；（2）利用配方法，根据二次函数的性质即可解决问题；（3）①求出v=12或18时，定义的k的值即可解决问题；②由题意流量q最大时d的值=流量q最大时k的值；点睛：本题考查二次函数的应用、最值问题等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．考点：二次函数的应用；二次函数的最值；最值问题．学科@网例5有一家苗圃计划植桃树和柏树，根据市场调查与预测，种植桃树的利润（万元）与投资成本x（万元）满足如图①所示的二次函数；种植柏树的利润（万元）与投资成本x（万元）满足如图②所示的正比例函数=kx．（1）分别求出利润（万元）和利润（万元）关于投资成本x（万元）的函数关系式；（2）如果这家苗圃以10万元资金投入种植桃树和柏树，桃树的投资成本不低于2万元且不高于8万元，苗圃至少获得多少利润？最多能获得多少利润？【答案】（1），；（2）苗圃至少获得4万元利润，最多能获得8万元利润．试题解析：（1）把（4，1）代入中得：16a=1，a=，∴．把（2，1）代入=kx中得：2k=1，k=，∴；（2）设种植桃树的投资成本x万元，总利润为W万元，则种植柏树的投资成本（10﹣x）万元，则W===，由图象得：当2≤x≤8时，当x=4时，W有最小值，W小=4，当x=8时，W有最大值，W大=（8﹣4）2+4=5．答：苗圃至少获得4万元利润，最多能获得8万元利润．考点：二次函数的应用；一元一次不等式的应用；一次函数的应用；二次函数的最值；最值问题．（五）有关二次函数的面积问题．例6（2017浙江省温州市）小黄准备给长8m，宽6m的长方形客厅铺设瓷砖，现将其划分成一个长方形ABCD区域Ⅰ（阴影部分）和一个环形区域Ⅱ（空白部分），其中区域Ⅰ用甲、乙、丙三种瓷砖铺设，且满足PQ∥AD，如图所示．（1）若区域Ⅰ的三种瓷砖均价为300元/m2，面积为S（m2），区域Ⅱ的瓷砖均价为200元/m2，且两区域的瓷砖总价为不超过12000元，求S的最大值；（2）若区域Ⅰ满足BC=2：3，区域Ⅱ四周宽度相等．①求AB，BC的长；②若甲、丙两瓷砖单价之和为300元/m2，乙、丙瓷砖单价之比为5：3，且区域Ⅰ的三种瓷砖总价为4800元，求丙瓷砖单价的取值范围．【答案】（1）24；（2）①AB=4，CB=6；②丙瓷砖单价3x的范围为150＜3x＜300元/m2．【分析】（1）根据题意可得300S+（48﹣S）200≤12000，解不等式即可；（2）①设区域Ⅱ四周宽度为a，则由题意（6﹣2a）：（8﹣2a）=2：3，解得a=1，由此即可解决问题；②设乙、丙瓷砖单价分别为5x元/m2和3x元/m2，则甲的单价为（300﹣3x）元/m2，由PQ∥AD，可得甲的面积=矩形ABCD的面积的一半=12，设乙的面积为s，则丙的面积为（12﹣s），由题意12（300﹣3x）+5x•s+3x•（12﹣s）=4800，解得s=，由0＜s＜12，可得0＜＜12，解不等式即可；【解析】（1）由题意300S+（48﹣S）200≤12000，解得S≤24，∴S的最大值为24．（2）①设区域Ⅱ四周宽度为a，则由题意（6﹣2a）：（8﹣2a）=2：3，解得a=1，∴AB=6﹣2a=4，CB=8﹣2a=6．②设乙、丙瓷砖单价分别为5x元/m2和3x元/m2，则甲的单价为（300﹣3x）元/m2，∵PQ∥AD，∴甲的面积=矩形ABCD的面积的一半=12，设乙的面积为s，则丙的面积为（12﹣s），由题意12（300﹣3x）+5x•s+3x•（12﹣s）=4800，解得s=，∵0＜s＜12，∴0＜＜12，∴x＞50，∴3x＞150，又∵3x＜300，∴150＜3x＜300，∴丙瓷砖单价3x的范围为150＜3x＜300元/m2．点睛：本题考查不等式的应用、矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程或不等式解决实际问题，属于中考常考题型．考点：一元一次不等式的应用；二次函数的应用；矩形的性质；最值问题．三讲方法——方法点睛一、转化思想————实际问题中的最优化问题转化为求二次函数的最值问题．1、方案设计最优问题：费用最低？利润最大？储量最大？等等．2、面积最优化问题：全面观察几何图形的结构特征，挖掘出相应的内在联系，列出包含函数，自变量在内的等式，转化为函数解析式，求最值问题．二、建模思想————从实际问题中发现、提出、抽象、简化、解决、处理问题的思维过程．1、建立图像模型：自主建立平面直角坐标系，构造二次函数关系式解决实际问题．2、方程模型和不等式模型：根据实际问题中的数量关系，列出方程或不等式转化为二次函数解决问题．3、根据实际问题情境抽象出二次函数模型．三、分类讨论的思想————二次函数与其他知识的综合题时经常用到．四练实题——随堂小练1．（2017临沂，第13题，3分）足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表：下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t=；③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m，其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】B．【分析】由题意，抛物线的解析式为y=ax（x﹣9），把（1，8）代入可得a=﹣1，可得y=﹣t2+9t=﹣（t﹣4.5）2+20.25，由此即可一一判断．考点：二次函数的应用．2．（2017天门，第13题，3分）飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是，则飞机着陆后滑行的最长时间为秒．【答案】20．【分析】将，化为顶点式，即可求得s的最大值，从而可以解答本题．【解析】解：=，∴当t=20时，s取得最大值，此时s=600．故答案为：20．考点：二次函数的应用；最值问题；二次函数的最值．3．（2017辽宁省沈阳市，第15题，3分）某商场购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可销售出400件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，当销售量单价是元/时，才能在半月内获得最大利润．【答案】35．【分析】设销售单价为x元，销售利润为y元，求得函数关系式，利用二次函数的性质即可解决问题．【解析】设销售单价为x元，销售利润为y元．根据题意，得：y=（x﹣20）[400﹣20（x﹣30）]=（x﹣20）（1000﹣20x）=﹣20x2+1400x﹣20000=﹣20（x﹣35）2+4500，∵﹣20＜0，∴x=35时，y有最大值，故答案为：35．考点：二次函数的应用；二次函数的最值；最值问题．4．（2017德州，第22题，10分）随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根高为2米的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水平距离为1米处达到最高，水柱落地处离池中心3米．（1）请你建立适当的平面直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数解析式；（2）求出水柱的最大高度的多少？【答案】（1）（0≤x≤3）；（2）．【分析】（1）以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为，代入（0，2）和（3，0）得出方程组，解方程组即可，（2）求出当x=1时，y=即可．【解析】（1）如图所示：以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为：，代入（0，2）和（3，0）得：，解得：，∴抛物线的解析式为：；即（0≤x≤3）；（2）（0≤x≤3），当x=1时，y=，即水柱的最大高度为m．考点：二次函数的应用；最值问题；二次函数的最值．5．（2017济宁，第18题，7分）某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元）有如下关系：y=﹣x+60（30≤x≤60）．设这种双肩包每天的销售利润为w元．（1）求w与x之间的函数解析式；（2）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？【答案】（1）w=﹣x2+90x﹣1800；（2）当x=45时，w有最大值，最大值是225；（3）该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元．【分析】（1）每天的销售利润W=每天的销售量×每件产品的利润；（2）根据配方法，可得答案；（3）根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．考点：二次函数的应用；二次函数的最值；最值问题．6．（2017山东省青岛市，第22题，10分）青岛市某大酒店豪华间实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每间价格比淡季上涨．下表是去年该酒店豪华间某两天的相关记录：（1）该酒店豪华间有多少间？旺季每间价格为多少元？（2）今年旺季来临，豪华间的间数不变．经市场调查发现，如果豪华间仍旧实行去年旺季价格，那么每天都客满；如果价格继续上涨，那么每增加25元，每天未入住房间数增加1间．不考虑其他因素，该酒店将豪华间的价格上涨多少元时，豪华间的日总收入最高？最高日总收入是多少元？【答案】（1）该酒店豪华间有50间，旺季每间价格为800元；（2）该酒店将豪华间的价格上涨225元时，豪华间的日总收入最高，最高日总收入是42025元．【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程组，进而求得该酒店豪华间的间数和旺季每间的价格；（2）根据题意可以求得总收入和上涨价格之间的函数解析式，然后化为顶点式即可解答本题．【解析】（1）设淡季每间的价格为x元，酒店豪华间有y间，根据题意得：，解得，，∴x+x=600+×600=800．答：该酒店豪华间有50间，旺季每间价格为800元；（2）设该酒店豪华间的价格上涨x元，日总收入为y元，y=（800+x）（50﹣）=，∴当x=225时，y取得最大值，此时y=42025．答：该酒店将豪华间的价格上涨225元时，豪华间的日总收入最高，最高日总收入是42025元．考点：二次函数的应用；销售问题；二次函数的最值；最值问题．7．（2017江苏省泰州市，第23题，10分）怡然美食店的A、B两种菜品，每份成本均为14元，售价分别为20元、18元，这两种菜品每天的营业额共为1120元，总利润为280元．（1）该店每天卖出这两种菜品共多少份？（2）该店为了增加利润，准备降低A种菜品的售价，同时提高B种菜品的售价，售卖时发现，A种菜品售价每降0.5元可多卖1份；B种菜品售价每提高0.5元就少卖1份，如果这两种菜品每天销售总份数不变，那么这两种菜品一天的总利润最多是多少？【答案】（1）60；（2）316．【分析】（1）由A种菜和B种菜每天的营业额为1120和总利润为280建立方程组即可；（2）设出A种菜多卖出a份，则B种菜少卖出a份，最后建立利润与A种菜少卖出的份数的函数关系式即可得出结论．【解析】（1）设该店每天卖出A、B两种菜品分别为x、y份，根据题意得：，解得：.∴x+y=60．答：该店每天卖出这两种菜品共60份；（2）设A种菜品售价降0.5a元，即每天卖（20+a）份；总利润为w元因为两种菜品每天销售总份数不变，所以B种菜品卖（40﹣a）份，每份售价提高0.5a元．w=（20﹣14﹣0.5a）（20+a）+（18﹣14+0.5a）（40﹣a）=﹣a2+12a+280=﹣（a﹣6）2+316当a=6，w最大，w=316．答：这两种菜品每天的总利润最多是316元．考点：二次函数的应用；二元一次方程组的应用；二次函数的最值；最值问题．8．（2017河北，第26题，12分）某厂按用户的月需求量x（件）完成一种产品的生产，其中x＞0，每件的售价为18万元，每件的成本y（万元）是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不变，浮动价与月需求量x（件）成反比，经市场调研发现，月需求量x与月份n（n为整数，1≤n≤12），符合关系式x=2n2﹣2kn+9（k+3）（k为常数），且得到了表中的数据．（1）求y与x满足的关系式，请说明一件产品的利润能否是12万元；（2）求k，并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损；（3）在这一年12个月中，若第m个月和第（m+1）个月的利润相差很大，求m．【答案】（1），不可能；（2）不存在；（3）1或11．【分析】（1）设，将表中相关数据代入可求得a、b，根据12=18﹣（），则=0可作出判断；（2）将n=1、x=120代入x=2n2﹣2kn+9（k+3）可求得k的值，先由18=求得x=50，根据50=2n2﹣26n+144可判断；（3）第m个月的利润W=x（18﹣y）=18x﹣x（）=24（m2﹣13m+47），第（m+1）个月的利润为W′=24[（m+1）2﹣13（m+1）+47]=24（m2﹣11m+35），分情况作差结合m的范围，由一次函数性质可得．【解析】（1）由题意，设，由表中数据可得：，解得：，∴，由题意，若12=18﹣（），则=0，∵x＞0，∴＞0，∴不可能；（2）将n=1、x=120代入x=2n2﹣2kn+9（k+3），得：120=2﹣2k+9k+27，解得：k=13，∴x=2n2﹣26n+144，将n=2、x=100代入x=2n2﹣26n+144也符合，∴k=13；由题意，得：18=，解得：x=50，∴50=2n2﹣26n+144，即n2﹣13n+47=0，∵△=（﹣13）2﹣4×1×47＜0，∴方程无实数根，∴不存在；（3）第m个月的利润为W，W=x（18﹣y）=18x﹣x（）=12（x﹣50）=24（m2﹣13m+47），∴第（m+1）个月的利润为W′=24[（m+1）2﹣13（m+1）+47]=24（m2﹣11m+35），若W≥W′，W﹣W′=48（6﹣m），m取最小1，W﹣W′取得最大值240；若W＜W′，W﹣W′=48（m﹣6），由m+1≤12知m取最大11，W﹣W′取得最大值240；∴m=1或11．考点：二次函数的应用；一元二次方程的应用；分类讨论；最值问题；压轴题．9．（2017浙江省嘉兴市，第24题，12分）如图，某日的钱塘江观潮信息如图：按上述信息，小红将“交叉潮”形成后潮头与乙地之间的距离s（千米）与时间t（分钟）的函数关系用图3表示，其中：“11：40时甲地‘交叉潮’的潮头离乙地12千米”记为点A（0，12），点B坐标为（m，0），曲线BC可用二次函数（b，c是常数）刻画．（1）求m的值，并求出潮头从甲地到乙地的速度；（2）11：59时，小红骑单车从乙地出发，沿江边公路以0.48千米/分的速度往甲地方向去看潮，问她几分钟后与潮头相遇？（3）相遇后，小红立即调转车头，沿江边公路按潮头速度与潮头并行，但潮头过乙地后均匀加速，而单车最高速度为0.48千米/分，小红逐渐落后．问小红与潮头相遇到落后潮头1.8千米共需多长时间？（潮水加速阶段速度，v0是加速前的速度）．【答案】（1）m=30，0.4千米/分钟；（2）小红5分钟与潮头相遇；（3）26．【分析】（1）由题意可知：经过30分钟后到达乙地，从而可知m=30，由于甲地到乙地是匀速运动，所以利用路程除以时间即可求出速度；（2）由于潮头的速度为0.4千米/分钟，所以到11：59时，潮头已前进19×0.4=7.6千米，设小红出发x分钟，根据题意列出方程即可求出x的值，（3）先求出s的解析式，根据潮水加速阶段的关系式，求出潮头的速度达到单车最高速度0.48千米/分钟时所对应的时间t，从而可知潮头与乙地之间的距离s，设她离乙地的距离为s1，则s1与时间t的函数关系式为s1=0.48t+h（t≥35），当t=35时，s1=s=，从而可求出h的值，最后潮头与小红相距1.8千米时，即s﹣s1=1.8，从而可求出t的值，由于小红与潮头相遇后，按潮头速度与潮头并行到达乙地用时6分钟，共需要时间为6+50﹣30=26分钟．【解析】（1）由题意可知：m=30；∴B（30，0），潮头从甲地到乙地的速度为：=0.4千米/分钟；（2）∵潮头的速度为0.4千米/分钟，∴到11：59时，潮头已前进19×0.4=7.6千米，设小红出发x分钟与潮头相遇，∴0.4x+0.48x=12﹣7.6，∴x=5，∴小红5分钟与潮头相遇；（3）把（30，0），C（55，15）代入，解得：b=﹣，c=﹣，∴，∵v0=0.4，∴，当潮头的速度达到单车最高速度0.48千米/分钟，此时v=0.48，∴0.48=，∴t=35，当t=35时，=，∴从t=35分（12：15时）开始，潮头快于小红速度奔向丙地，小红逐渐落后，当小红仍以0.48千米/分的速度匀速追赶潮头．设她离乙地的距离为s1，则s1与时间t的函数关系式为s1=0.48t+h（t≥35），当t=35时，s1=s=，代入可得：h=﹣，∴s1=，最后潮头与小红相距1.8千米时，即s﹣s1=1.8，∴=1.8．解得：t=50或t=20（不符合题意，舍去），∴t=50，小红与潮头相遇后，按潮头速度与潮头并行到达乙地用时6分钟，∴共需要时间为6+50﹣30=26分钟，∴小红与潮头相遇到潮头离她1.8千米外共需要26分钟．考点：二次函数的应用；压轴题．10．（2017浙江省湖州市，第23题，10分）湖州素有鱼米之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了20000kg淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同，放养10天的总成本为30.4万元；放养20天的总成本为30.8万元（总成本=放养总费用+收购成本）．（1）设每天的放养费用是a万元，收购成本为b万元，求a和b的值；（2）设这批淡水鱼放养t天后的质量为m（kg），销售单价为y元/kg．根据以往经验可知：m与t的函数关系为；y与t的函数关系如图所示．①分别求出当0≤t≤50和50＜t≤100时，y与t的函数关系式；②设将这批淡水鱼放养t天后一次性出售所得利润为W元，求当t为何值时，W最大？并求出最大值．（利润=销售总额﹣总成本）【答案】（1）a的值为0.04，b的值为30；（2）①；②放养55天时，W最大，最大值为180250元．【分析】（1）由放养10天的总成本为30.4万元；放养20天的总成本为30.8万元可得答案；（2）①分0≤t≤50、50＜t≤100两种情况，结合函数图象利用待定系数法求解可得；②就以上两种情况，根据“利润=销售总额﹣总成本”列出函数解析式，依据一次函数性质和二次函数性质求得最大值即可得．②由题意，当0≤t≤50时，W=20000（t+15）﹣（400t+300000）=3600t，∵3600＞0，∴当t=50时，W最大值=180000（元）；当50＜t≤100时，W=（100t+15000）（﹣t+30）﹣（400t+300000）=﹣10t2+1100t+150000=﹣10（t﹣55）2+180250，∵﹣10＜0，∴当t=55时，W最大值=180250（元）．综上所述，放养55天时，W最大，最大值为180250元．点睛：本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式，根据相等关系列出利润的函数解析式及二次函数的性质是解题的关键．考点：二次函数的应用；分段函数；二次函数的最值；最值问题．11．（2017浙江省绍兴市）某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），已知计划中的建筑材料可建围墙的总长度为50m．设饲养室为长为x（m），占地面积为．（1）如图，问饲养室为长x为多少时，占地面积y最大？（2）如图，现要求在图中所示位置留2m的门，且仍使饲养室占地面积最大．小敏说：“只要饲养室长比（1）中的长多2m就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确．【答案】（1）x=25；（2）小敏的说法不正确．【分析】（1）根据题意用含x的代数式表示出饲养室的宽，由矩形的面积=长×宽计算即可；（2）由（1）可知y是x的二次函数，根据二次函数的性质分析即可．【解析】（1）∵=，∴当x=25时，占地面积y最大；（2）=，∴当x=26时，占地面积y最大．即当饲养室长为26m时，占地面积最大．∵26-25=1≠2，∴小敏的说法不正确．考点：二次函数的应用；最值问题．12．（2017金华）甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O点正上方1m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y（m）与水平距离x（m）之间满足函数表达式，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m．（1）当a=时，①求h的值；②通过计算判断此球能否过网．（2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到点O的水平距离为7m，离地面的高度为m的Q处时，乙扣球成功，求a的值．【答案】（1）①h=；②能；（2）a=．【分析】（1）①将点P（0，1）代入即可求得h；②求出x=5时，y的值，与1.55比较即可得出判断；（2）将（0，1）、（7，）代入代入即可求得a、h．【解析】（1）①当a=时，，将点P（0，1）代入，得：×16+h=1，解得：h=；②把x=5代入，得：=1.625，∵1.625＞1.55，∴此球能过网；（2）把（0，1）、（7，）代入，得：，解得：，∴a=．考点：二次函数的应用． 学科@网五练原创——预测提升1．某旅游景点的收入受季节的影响较大，有时候出现赔本的经营状况．因此，公司规定：若无利润时，该景点关闭．经跟踪测算，该景点一年中的利润W（万元）与月份x之间满足二次函数W=﹣x2+16x﹣48，则该景点一年中处于关闭状态有（）月．A．5B．6C．7D．8【答案】A【解析】试题分析：令W=0，解得x=4或12，求出不等式-x2+16x-48＞0的解即可解决问题．试题解析：由W=-x2+16x-48，令W=0，则x2-16x+48=0，解得x=12或4，

∴不等式-x2+16x-48＞0的解为，4＜x＜12，

∴该景点一年中处于关闭状态有5个月．

故选A．考点：本题考查二次函数的应用，二次不等式与二次函数的关系等知识，解题的关键是学会解二次不等式，属于中考常考题型．2．某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车．已知在甲、乙两地的销售利润y（单位：万元）与销售量x（单位：辆）之间分别满足：，，若该公司在甲，乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为A．30万元B．40万元C．45万元D．46万元【答案】D【解析】设在甲地销售x辆，则在乙地销售(15−x)量，根据题意得出：W=y1+y2=−x2+10x+2(15−x)=−x2+8x+30，∴最大利润为：(万元)，故选D.3．一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为()A．5元B．10元C．0元D．3600元【答案】A【解析】设每件需降价的钱数为x元，每天获利y元，则

y＝(135－x－100)(100＋4x)

即：y＝－4(x－5)2＋3600

∵－4<0，∴当x＝5元时，每天获得的利润最大．4．如图，在梯形ABCD中，AB鈥?/鈥塁D，AB=7，CD=1，AD=BC=5．点M，N分别在边AD，BC上运动，并保持MN鈥?/鈥堿B，ME鈯B，NF鈯B，垂足分别为E，F．四边形MEFN面积的最大值是（）A．493B．73C．49【答案】C【解析】如图，分别过D，C两点作DG⊥AB于点G，CH⊥AB于点H．

∵AB∥CD，

∴DG=CH，DG∥CH．

∴四边形DGHC为矩形，GH=CD=1．

∵DG=CH，AD=BC，∠AGD=∠BHC=90°，

∴△AGD≌△BHC（HL），

∴AG=BH=（AB-GH）=3．

∵在Rt△AGD中，AG=3，AD=5，

∴DG=4．

∵MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，

∴∠MEF=90°，

∴ME=NF，ME∥NF，

∴四边形MEFN为矩形．

∵AB∥CD，AD=BC，∴∠A=∠B．

∵ME=NF，∠MEA=∠NFB=90°，

∴△MEA≌△NFB（AAS）．

∴AE=BF，

设AE=x，则EF=7-2x，

∵∠A=∠A，∠MEA=∠DGA=90°，

∴△MEA∽△DGA，

∴，

∴ME=x，

S矩形MEFN=ME•EF=x（7-2x）=-（x-）2+．

当x=时，ME=＜4，

∴四边形MEFN面积的最大值为．

故选C．5．某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件．当每件的定价为________元时，该服装店平均每天的销售利润最大．【答案】22【解析】设定价为x元，

根据题意得：y=（x-15）[8+2（25-x）]

=-2x2+88x-870

∴y=-2x2+88x-870，

=-2（x-22）2+98

∵a=-2<0，

∴抛物线开口向下，

∴当x=22时，y最大值=98．

故答案为：22．6.国际风筝节在潍坊市举办，王大伯决定销售一批风筝，经市场调研：蝙蝠型风筝进价每个为10元，当售价每个为12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，请回答以下问题：（1）用表达式表示蝙蝠型风筝销售量y（个）与售价x（元）之间的函数关系（12≤x≤30）；（2）王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为多少？（3）当售价定为多少时，王大伯获得利润最大，最大利润是多少？【解析】试题分析：（1）设蝙蝠型风筝售价为x元时，销售量为y个，根据“当售价每个为12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个”，即可得出y关于x的函数关系式；

（2）设王大伯获得的利润为W，根据“总利润=单个利润×销售量”，即可得出W关于x的函数关系式，代入W=840求出x的值，由此即可得出结论；

（3）利用配方法将W关于x的函数关系式变形为W=-10（x-20）2+1000，根据二次函数的性质即可解决最值问题．试题解析：

（1）设蝙蝠型风筝售价为x元时，销售量为y个，

根据题意可知：y=180-10（x-12）=-10x+300（12≤x≤30）．

（2）设王大伯获得的利润为W，则W=（x-10）y=-10x2+400x-3000，

令W=840，则-10x2+400x-3000=840，

解得：x1=16，x2=24，

答：王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为16元．

（3）∵W=-10x2+400x-3000=-10（x-20）2+1000，

∵a=-10＜0，

∴当x=20时，W取最大值，最大值为1000．

答：当售价定为20元时，王大伯获得利润最大，最大利润是1000元．考点：本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系找出y关于x的函数关系式；（2）根据数量关系找出W关于x的函数关系式；（3）利用二次函数的性质解决最值问题．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系找出函数的关系式是关键．7．某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团的人数每增加一人，每人的单价就降低10元．当一个旅行团的人数是______人时，这个旅行社可以获得最大的营业额．【答案】55【解析】设旅游团人数为x，旅行社营业额为y

那么根据题意可得y与x间的函数关系为:y=x[800-10(x-30)]

展开并化简可得:y=-10x²1100x

根据二次函数的性质可知此二次函数开口向下并且△=1100²-4*(-10)*0＞0，又可见此二次函数有两个不相等的实数根，所以此二次函数有最大值，也就是说该旅行社的营业额有最大值，且当x=-b/2a时有最大值，所以x=-1100/-20=55

所以当旅行团人数为55人时旅行社可以获取最大营业额。8.“丹棱冻粑”是眉山著名特色小吃，产品畅销省内外，现有一个产品销售点在经销时发现：如果每箱产品盈利10元，每天可售出50箱；若每箱产品涨价1元，日销售量将减少2箱．（1）现该销售点每天盈利600元，同时又要顾客得到实惠，那么每箱产品应涨价多少元？（2）若该销售点单纯从经济角度考虑，每箱产品应涨价多少元才能获利最高？【答案】（1）每箱产品应涨价5元；

（2）每箱产品应涨价7.5元才能获利最高．【解析】（1）设每箱应涨价x元，

则每天可售出（50-2x）箱，每箱盈利（10+x）元，

依题意得方程：（50-2x）（10+x）=600，

整理，得x2-15x+50=0，

解这个方程，得x1=5，x2=10，

∵要使顾客得到实惠，∴应取x=5，

答：每箱产品应涨价5元．（2）设利润为y元，则y=（50-2x）（10+x），

整理得：y=-2x2+30x+500，

配方得：y=-2（x-7.5）2+612.5，

当x=7.5元，y可以取得最大值，

∴每箱产品应涨价7.5元才能获利最高．9.经统计分析，某市跨河大桥上的车流速度v（千米/小时）是车流密度x（辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到220辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为80千米/小时，研究表明：当20≤x≤220时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（1）求大桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度；（2）在交通高峰时段，为使大桥上的车流速度大于40千米/小时且小于60千米/小时，应控制大桥上的车流密度在什么范围内？（3）车流量（辆/小时）是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，即：车流量=车流速度×车流密度．求大桥上车流量y的最大值．【解析】（1）设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v=kx+b，由题意，得，

解得：，

∴当20≤x≤220时，v=x+88，

当x=100时，v=×100+88=48（千米/小时）；（2）由题意，得，

解得：70＜x＜120．

∴应控制大桥上的车流密度在70＜x＜120范围内；（3）设车流量y与x之间的关系式为y=vx，

当0≤x≤20时

y=80x，

∴k=80＞0，

∴y随x的增大而增大，

∴x=20时，y最大=1600；

当20≤x≤220时

y=（x+88）x=（x-110）2+4840，

∴当x=110时，y最大=4840．

∵4840＞1600，

∴当车流密度是110辆/千米，车流量y取得最大值时4840辆/小时．10．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行