要素需求函数成本函数利润函数与供给函数

要素需求函数成本函数利润函数与供给函数§1.要素需求函数§2.短期成本函数和长期成本函数§3.学习曲线与成本次可加性§4.利润函数与供给函数本章要点第2页,共58页，2024年2月25日，星期天§1.要素需求函数一、要素需求函数的推导

说明，利润最大化的条件为要素的使用要达到其边际产量的价值=要素价格。第3页,共58页，2024年2月25日，星期天

由上述条件可导出要素的需求函数：

例：

求关于x1和x2需求函数：第4页,共58页，2024年2月25日，星期天第5页,共58页，2024年2月25日，星期天用成本最小化求要素需求函数

拉氏函数为：第6页,共58页，2024年2月25日，星期天

注意：在第1种方法中，一般要求生产函数是规模报酬递减的。由成本最小化导出要素的需求函数的方法更具有一般性。第7页,共58页，2024年2月25日，星期天二、要素价格变化对要素需求量的影响

定义：

当生产函数严格为凹时，利润极大化问题有解。

求上式关于x1、x2、r1、r2和p的全微分，可得：第8页,共58页，2024年2月25日，星期天

后两式可写作：

用克莱姆法则解dx1和dx2,第9页,共58页，2024年2月25日，星期天第10页,共58页，2024年2月25日，星期天r1对x1的影响第11页,共58页，2024年2月25日，星期天r2对x1的影响

可见，上式取决于f12的符号。f12

是指x2增加后对x1的边际产量的作用。f1为资本的边际产出。第12页,共58页，2024年2月25日，星期天p对x1的影响第13页,共58页，2024年2月25日，星期天§2.短期成本函数和长期成本函数一、成本函数的定义

上述最小化问题的解称为条件（产出量给定时求要素需求）要素需求函数。则成本函数为：第14页,共58页，2024年2月25日，星期天二、短期成本函数

成本函数可表示为：

若生产函数为：

1.平均成本（AC或ATC）与边际成本（MC）的关系第15页,共58页，2024年2月25日，星期天

在平均成本的最低点,AC=MC。

同理可证，在AVC的最低点,AVC=MC。第16页,共58页，2024年2月25日，星期天SMCAFCTFC短期成本曲线综合图ATC切线STCAVCOQCOCQ切线TVCEFMC先通过AVC的最低点，然后再通过MC的最低点。因为当AVC最低时，AFC还在下降，AC未达到最低。第17页,共58页，2024年2月25日，星期天

2.成本函数的二阶性质利润最大化的一阶条件利润最大化的二进制阶条件边际成本递增第18页,共58页，2024年2月25日，星期天三、长期成本函数

若生产函数为：

则短期成本函数可表示为：

p、r1和r2给定时，x1和x2是q函数。此时

r1和r2给定时，第19页,共58页，2024年2月25日，星期天STC1STC2STC3LTC140300900qbcdaC厂商打算供应140T，他会选用STC1这个规模。现假设供应的产量为300T，显然在300-650T之间的范围内，第二个规模更适用。以下依次类推。A.LTC曲线代表每一产量水平上都选取一最优的生产规模，此生产规模上对应的STC曲线与LTC曲线相切。B.LTC是STC曲线的包络线。C.LTC曲线比STC平缓。

长期总成本的定义：每一产量水平上所能达到的最低总成本。第20页,共58页，2024年2月25日，星期天

说明当k变化时，企业充分利用了k的潜力。即找出最佳k和q的关系。

由上式解得：长期成本函数第21页,共58页，2024年2月25日，星期天

例：

若一组短期成本函数由下式决定：

即企业在不同阶段的短期成本函数，求长期成本函数。第22页,共58页，2024年2月25日，星期天§3.学习曲线和成本次可加性一、学习曲线如果厂商的生产规模并未发生变化，而其平均生产成本却长时期地连续下降，那又该如何解释呢?由于厂商能够在生产过程中不断获取有关经验，提高生产效率，因而其平均生产成本通常会随厂商累积产出的增长而下降。形成这种现象的具体原因是存在学习效应，又称为“干中学”（learningbydoing）。第23页,共58页，2024年2月25日，星期天1.工人对设备和生产技术有一个学习与熟悉的过程，生产实践越多，他们的经验就越丰富，技术就越熟练，完成一定生产任务所需的时间也就越短。

2.厂商的产品设计、生产工艺、生产组织会在长期的生产过程中得到完善，走向成熟，这将使产品的成本降低。

3.厂商的协作者(如原料供应厂家)和厂商合作的时间越长，他们对厂商的了解越全面，其提供的协作就可能越及时、有效，从而降低厂商的平均生产成本。

第24页,共58页，2024年2月25日，星期天学习曲线的形状QABC100120160100020003000

O式中AC是累积产量为Q时厂商的平均生产成本，a,b乃是大于零的常数。

a的经济涵义是第一单位产出的平均成本，b则反映厂商学习效应的大小：b越大，平均成本下降的速度越快(即学习曲线越陡)，学习效应越显著；反之，平均成本下降很慢，学习曲线比较平缓，学习效应不显著。

第25页,共58页，2024年2月25日，星期天

若考虑两个时期1，2。其产量分别为q1,q2。第一期的成本为C1(q1),第二期的成本为C2(q2,q1)。“学习效应”是指。即第一期的产出量越多，则第二期的生产成本会降下来。

有时学习曲线也可用要素的使用量来表示：

例：设有一公司，在累积产量达到20时，测得总用工为200小时；在累积产量达到40时，测得总用工时为360小时，试估计学习曲线。第26页,共58页，2024年2月25日，星期天

从L1式中解出A：

因此，学习曲线为：第27页,共58页，2024年2月25日，星期天

1.反映规模报酬递增的若干成本变化二、成本函数的次可加性与规模报酬

考虑只生产一种产品，设C(q)的为企业生产q产量的（最优）总成本。假定成本函数除零点外二阶可微。第28页,共58页，2024年2月25日，星期天

（1）若对所有可能的产出量q，C''(q)<0，则边际成本严格递减。

（2）若对所有的产出量q1和q2，0<q1<q2，下式成立，则平均成本严格递减。

（3）若对所有的产出量qi，下式成立，则成本函数严格次可加（在一个有限的产量变动范围内，共同生产一组产量的总和比分别生产它们节约成本）。第29页,共58页，2024年2月25日，星期天

2.两个定理【定理1】边际成本在任何地方都递减意味着平均成本也如此。第30页,共58页，2024年2月25日，星期天

边际成本递减，则q点的边际成本必定是范围内边际成本最小值。于是边际成本必小于平均成本。

由于边际成本递减，边际成本小于平均成本，因此，严格递减的边际成本必导致递减的平均可变成本。因此，第31页,共58页，2024年2月25日，星期天【定理2】平均成本在任何地方都递减意味着生产是次可加的。

平均成本在任何地方都递减表示：第32页,共58页，2024年2月25日，星期天

由（1）式可得到：

边际成本在任何地方严格递减的条件最强，意味着平均成本严格递减和严格次可加，但逆命题不一定成立。第33页,共58页，2024年2月25日，星期天§4.利润函数和供给函数

利润最大化问题：供给函数投入品需求函数第34页,共58页，2024年2月25日，星期天一、利润函数的定义

利润函数是下列最大值函数：

利润函数一定是指最大利润是存在的，且它只依赖于产出价格和要素价格。

利润函数只有在规模报酬递减时才存在。第35页,共58页，2024年2月25日，星期天

假设生产技术是规模报酬递增的。最大利润为（在p和r给定时）：

规模报酬递增意味着：

两边乘p，同减去：第36页,共58页，2024年2月25日，星期天二、利润函数的性质

（1）对于p递增；（2）对于r递减；（3）对于(p,r)是一次齐次的(k=1)；（4）对于(p,r)是凸的；（5）当(p,r)>>0时，(p,r)是可导的，并且有霍太林引理：第37页,共58页，2024年2月25日，星期天

（因y已是保证利润最大的最优产出选择，因此有：）

（因xi已是保证利润最大的最优产出选择，因此有：）第38页,共58页，2024年2月25日，星期天第39页,共58页，2024年2月25日，星期天第40页,共58页，2024年2月25日，星期天

利润函数是关于(p,r)的凸函数。第41页,共58页，2024年2月25日，星期天

（因y已是保证利润最大的最优产出选择，因此有：）

（因xi已是保证利润最大的最优产出选择，因此有：）第42页,共58页，2024年2月25日，星期天三、供给函数的求法

1.从利润函数求供给函数

由霍太林引理，已知生产函数：第一步，求出利润函数；第二步，利润函数对p求一阶偏导，得出供给函数。第43页,共58页，2024年2月25日，星期天

例：

已知生产函数为，r1和r2分别为x1与k（固定投入）的价格，p为产品价格。求：

利润函数：

供给函数：第44页,共58页，2024年2月25日，星期天

x1*代入π方程，得：

由霍太林引理，求供给函数：

此即短期利润函数。第45页,共58页，2024年2月25日，星期天

2.从生产函数直接求供给函数

（如果生产函数是严格凹函数,则利润最大化问题有解。先求出条件要素需求函数，再将其代入生产函数，可得到供给函数。）

例：

已知企业的生产函数为：

已知固定投入F=16，求短期供给函数。第46页,共58页，2024年2月25日，星期天

解：把F代入生产函数，得：

由利润最大化的一阶条件，得：第47页,共58页，2024年2月25日，星期天

代入原生产函数，得到短期供给函数：

显然，若r给定且不变，则供给函数就只表示供给量与产品价格之间的关系。第48页,共58页，2024年2月25日，星期天

3.从成本函数求供给函数

若利润最大化问题有解，则一阶条件为：

例：

已知企业的短期成本函数为：

求企业的短期供给函数为。第49页,共58页，2024年2月25日，星期天四、生产者剩余

1.短期生产者剩余

企业参与市场交易与不参市场交易相比的福利改进。第50页,共58页，2024年2月25日，星期天生产者剩余第51页,共58页，2024年2月25日，星期天

1.长期生产