湖北省黄冈市武穴鄂东中学高三数学理模拟试卷含解析

湖北省黄冈市武穴鄂东中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图所示，已知一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为

.参考答案：2.图l是某县参加2010年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为、、…、(如表示身高(单位：)在[150，155)内的学生人数)．图2是统计图l中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180(含160，不含180)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是A．

B．

C．

D．参考答案：B略3.定义在R上的函数f（x）满足：f'（x）＞1﹣f（x），f（0）=6，f′（x）是f（x）的导函数，则不等式exf（x）＞ex+5（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞） B．（﹣∞，0）∪（3，+∞） C．（﹣∞，0）∪（1，+∞） D．（3，+∞）参考答案：A【考点】导数的运算；其他不等式的解法．【分析】构造函数g（x）=exf（x）﹣ex，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解【解答】解：设g（x）=exf（x）﹣ex，（x∈R），则g′（x）=exf（x）+exf′（x）﹣ex=ex[f（x）+f′（x）﹣1]，∵f'（x）＞1﹣f（x），∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵exf（x）＞ex+5，∴g（x）＞5，又∵g（0）=e0f（0）﹣e0=6﹣1=5，∴g（x）＞g（0），∴x＞0，∴不等式的解集为（0，+∞）故选：A．4.设函数f（x）=sin（2x+）（x∈[0，]），若方程f（x）=a恰好有三个根，分别为x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），则x1+2x2+x3的值为（）A．π B． C． D．参考答案：C【考点】正弦函数的图象．【分析】由x∈[0，]求出2x+的范围，由正弦函数的图象画出函数的大致图象，由函数的图象，以及正弦图象的对称轴求出x1+x2、x2+x3的值，即可求出x1+2x2+x3的值．【解答】解：由题意x∈[0，]，则2x+∈[，]，画出函数的大致图象：由图得，当时，方程f（x）=a恰好有三个根，由2x+=得x=，由2x+=得x=，由图知，点（x1，0）与点（x2，0）关于直线对称，点（x2，0）与点（x3，0）关于直线对称，∴x1+x2=，x2+x3=，即x1+2x2+x3=+=，故选C．【点评】本题考查正弦函数的图象，以及正弦函数图象对称性的应用，考查整体思想，数形结合思想．5.已知M是△ABC内的一点，且，∠BAC=，若△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为，x，y，则的最小值为(

)A．16 B．18 C．20 D．24参考答案：B【考点】基本不等式；平面向量数量积的运算．【专题】不等式的解法及应用；平面向量及应用．【分析】由，∠BAC=，利用数量积运算可得，即bc=4．利用三角形的面积计算公式可得S△ABC==1．已知△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为，x，y．可得，化为x+y=．再利用基本不等式==即可得出．【解答】解：∵，∠BAC=，∴，∴bc=4．∴S△ABC===1．∵△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为，x，y．∴，化为x+y=．∴===18，当且仅当y=2x=时取等号．故的最小值为18．故选：B．【点评】本题考查了数量积运算、三角形的面积计算公式、基本不等式等基础知识与基本技能方法，属于中档题．6.设，，，则A.

B.

C.

D.参考答案：C，，。因为，所以，即。选C.7.在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=2，AC=BC=1，记A1B1的中点为E，平面C1EC

与AB1C1的交线为l，则直线l与AC所成角的余弦值是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】异面直线及其所成的角．【分析】取AB中点D，连结CD，ED，ED∩AB1=F，连结EF，则C1F即为平面C1EC与AB1C1的交线l，以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用利用向量法能求出直线l与AC所成角的余弦值．【解答】解：取AB中点D，连结CD，ED，ED∩AB1=F，连结EF，则C1F即为平面C1EC与AB1C1的交线l，以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），C（0，0，0），C1（0，0，2），B1（0，1，2），F（），=（），=（1，0，0），设直线l与AC所成角为θ，则cosθ===．∴直线l与AC所成角的余弦值为．故选：C．8.已知F是椭圆C：的右焦点，点P在椭圆C上，线段PF与圆相切于点Q，且PQ=2QF，则椭圆C的离心率等于（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】椭圆的简单性质．【分析】设椭圆的左焦点为F1，确定PF1⊥PF，|PF1|=b，|PF|=2a﹣b，即可求得a=b，根据椭圆的离心率即可得到所求．【解答】解：设椭圆的左焦点为F1，连接F1，设圆心为C，则∵，则圆心坐标为（，0），半径为r=，∴|F1F|=3|FC|∵PQ=2QF，∴PF1∥QC，|PF1|=b∴|PF|=2a﹣b∵线段PF与圆（其中c2=a2﹣b2）相切于点Q，∴CQ⊥PF∴PF1⊥PF∴b2+（2a﹣b）2=4c2∴b2+（2a﹣b）2=4（a2﹣b2）∴a=b，则=，∴e===，故选A．9.（5分）（2015?嘉兴二模）在△ABC中，“sinA＞cosB”是“△ABC为锐角三角形”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】：简易逻辑．【分析】：根据充分条件和必要条件的定义结算三角函数的性质进行判断即可．解：若B为钝角，A为锐角，则sinA＞0，cosB＜0，则满足sinA＞cosB，但△ABC为锐角三角形不成立，若△ABC为锐角三角形，则A，B，π﹣A﹣B都是锐角，即π﹣A﹣B＜，即A+B＞，B＞﹣A，则cosB＜cos（﹣A），即cosB＜sinA，故“sinA＞cosB”是“△ABC为锐角三角形”的必要不充分条件，故选：B【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据三角形的性质是解决本题的关键．10.定义在R上的函数f（x）满足：f′（x）﹣f（x）=x?ex，且f（0）=，则的最大值为（）A．0 B． C．1 D．2参考答案：D【考点】导数的运算．【专题】综合题；函数思想；综合法；导数的概念及应用．【分析】先构造函数，F（x）=，根据题意求出f（x）的解析式，即可得到=，再根据根的判别式即可求出最大值．【解答】解：令F（x）=，则F′（x）===x，则F（x）=x2+c，∴f（x）=ex（x2+c），∵f（0）=，∴c=，∴f（x）=ex（x2+），∴f′（x）=ex（x2+）+x?ex，∴=，设y=，则yx2+y=x2+2x+1，∴（1﹣y）x2+2x+（1﹣y）=0，当y=1时，x=0，当y≠1时，要使方程有解，则△=4﹣4（1﹣y）2≥0，解得0≤y≤2，故y的最大值为2，故的最大值为2，故选：D．【点评】本题考查了导数和函数的关系以及函数的值域问题，关键是构造函数和利用根的判别式求函数的值域，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知定义在R上的函数的图象关于点对称，且满足，又，，则

参考答案：1略12.①存在α∈(0，)使sinα＋cosα＝；②存在区间(a，b)使y＝cosx为减函数且sinx＜0；③y＝tanx在其定义域内为增函数；④y＝cos2x＋sin(－x)既有最大、最小值，又是偶函数；⑤y＝|sin(2x＋)|的最小正周期为π，以上命题错误的为________(填序号)．参考答案：①②③⑤

13.已知函数f（x）对于任意的x∈R，都满足f（﹣x）=f（x），且对任意的a，b∈（﹣∞，0]，当a≠b时，都有＜0．若f（m+1）＜f（2），则实数m的取值范围是

．参考答案：（﹣3，1）．【考点】函数单调性的性质．【分析】由题意可得函数f（x）为偶函数，在（﹣∞，0]上是减函数，故由不等式可得﹣2＜m+1＜2，由此求得m的范围．【解答】解：由f（﹣x）=f（x），可得函数f（x）为偶函数．再根据对任意的a，b∈（﹣∞，0]，当a≠b时，都有＜0，故函数在（﹣∞，0]上是减函数．故由f（m+1）＜f（2），可得﹣2＜m+1＜2，解得﹣3＜m＜1，故答案为：（﹣3，1）．14.若方程仅有一解，则实数a的取值范围上

。参考答案：15.观察下列数表:根据此数表的规律，则第7行的第4个数是

参考答案：50略16.已知函数的值为=

．参考答案：0【考点】3T：函数的值．【分析】推导出f（）=alog2+blog3+2=4，从而得到alog22008+blog32008=﹣2，由此能求出f（2008）．【解答】解：∵函数，∴f（）=alog2+blog3+2=4，∴﹣alog22008﹣blog32008+2=4，即alog22008+blog32008=﹣2，∴f（2008）=alog22008+blog32008+2=﹣2+2=0．故答案为：0．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．17.设常数，若的二项展开式中项的系数为-10，则a=________．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，多面体ABCDPE的底面ABCD是平行四边形，AD=AB=2=0，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=2EC=2．（1）若棱AP的中点为H，证明：HE∥平面ABCD；（2）求二面角A﹣PB﹣E的大小．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【专题】计算题；规律型；数形结合；转化思想；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）取AD的中点G，连接HE，HG，GC，证明四边形EHGC是平行四边形，推出HE∥GC，即可证明HE∥平面ABCD．（2）法一：如图，取PB的中点M，连接AC，DB交于点F，连接ME，MF，作FK⊥PB于点K，∠AKF是二面角A﹣PB﹣D的平面角，通过Rt△PDB～Rt△FKB，求出，得到二面角A﹣PB﹣E的大小就是二面角A﹣PB﹣D的大小与直二面角D﹣PB﹣E的大小之和，求解二面角A﹣PB﹣E的大小．法二：DA，DC，DP两两互相垂直，建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示，设PA的中点为N，连接DN，求出平面PAB的一个法向量，平面PBE的法向量，通过向量的数量积求解，二面角A﹣PB﹣E的大小．【解答】（本小题满分12分）解：（1）∵底面ABCD是平行四边形，AD=AB=2，，∴底面ABCD是边长为2的正方形，取AD的中点G，连接HE，HG，GC，根据题意得HG=EC=1，且HG∥EC∥PD，则四边形EHGC是平行四边形，…所以HE∥GC，HE?平面ABCD，GC?平面ABCD，故HE∥平面ABCD…（2）法一：如图，取PB的中点M，连接AC，DB交于点F，连接ME，MF，作FK⊥PB于点K，容易得到∠AKF是二面角A﹣PB﹣D的平面角，…，Rt△PDB～Rt△FKB，易得，从而，所以…由于点M是PB的中点，所以MF是△PDB的中位线，MF∥PD，且，MF=EC，且MF∥EC，故四边形MFCE是平行四边形，则ME∥AC，又AC⊥平面PDB，则ME⊥平面PDB，ME?平面PBE，所以平面PBE⊥平面PDB，所以二面角A﹣PB﹣E的大小就是二面角A﹣PB﹣D的大小与直二面角D﹣PB﹣E的大小之和…故二面角A﹣PB﹣E的大小为…法二：由（1）知，DA，DC，DP两两互相垂直，建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示，设PA的中点为N，连接DN，则D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），E（0，2，1），P（0，0，2），N（1，0，1），易知DN⊥PA，DN⊥AB，所以DN⊥平面PAB，所以平面PAB的一个法向量为…设平面PBE的法向量为，因为，，由得，取z=2，则x=1，y=1，所以为平面PBE的一个法向量．

所以从图形可知，二面角A﹣PB﹣E是钝角，所以二面角A﹣PB﹣E的大小为…【点评】本题考查二面角的平面镜的求法，直线与平面平行于垂直的判定与性质的应用，考查空间想象能力以及计算能力．19.如图，多面体中，四边形是菱形，,，相交于，∥，点在平面ABCD上的射影恰好是线段的中点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成角（锐角）的余弦值．参考答案：解：（Ⅰ）取AO的中点H，连结EH，则EH⊥平面ABCD∵BD在平面ABCD内，∴EH⊥BD

┄┄┄┄┄2分又菱形ABCD中，AC⊥BD且EH∩AC=H，EH、AC在平面EACF内∴BD⊥平面EACF，即BD⊥平面ACF

┄┄┄┄┄5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知EH⊥平面ABCD，以H为原点，如图所示建立空间直角坐标系H-xyz

┄┄┄┄┄┄┄6分∵EH⊥平面ABCD，∴∠EAH为AE与平面ABCD所成的角，即∠EAH＝45°，又菱形ABCD的边长为4，则

各点坐标分别为,E(0,0,)……7分易知为平面ABCD的一个法向量，记=，=,=

∵EF//AC，

∴

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分设平面DEF的一个法向量为

（注意：此处可以用替代）即＝

,令，则，∴

┄┄…………9分∴平面DEF与平面ABCD所成角（锐角）的余弦值为.

┄┄┄┄┄┄12分20.如图所示，在四棱锥S—ABCD中，SA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，其中AB∥CD，∠ADC＝90°，AD＝AS＝2，AB＝1，CD＝3，点E在棱CS上，且CE＝λCS．（1）若，证明：BE⊥CD；（2）若，求点E到平面SBD的距离．参考答案：（1）证明：因为，所以，在线段CD上取一点F使，连接EF，BF，则EF∥SD且DF＝1．因为AB＝1，AB∥CD，∠ADC＝90°，所以四边形ABFD为矩形，所以CD⊥BF．又SA⊥平面ABCD，∠ADC＝90°，所以SA⊥CD，AD⊥CD．因为AD∩SA＝A，所以CD⊥平面SAD，所以CD⊥SD，从而CD⊥EF．因为BF∩EF＝F，所以CD⊥平面BEF．又BE平面BEF，所以CD⊥BE．（2）解：由题设得，，又因为，，，所以，设点C到平面SBD的距离为h，则由VS—BCD＝VC—SBD得，因为，所以点E到平面SBD的距离为．21.如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，CC1⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，点E，F分别是AB，B1C1的中点，且∠DAB=60°，AA1=AB=2．（I）求证：EF∥平面AB1D1；（II）求三棱锥A﹣CB1D1的体积．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【专题】转化思想；分割补形法；空间位置关系与距离．【分析】（I）如图，连接A1C1交B1D1于O点，连接OF，OA．利用三角形的中位线定理、平行四边形的判定可得AOFE是平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可证明．（II）连接AC交BD于点M，连接D1M，B1M．可得=，=+，由于四边形BACD是菱形，BB1⊥平面ABCD，可得平面BDD1B1⊥平面ABCD，AM⊥平面BDD1B1，即可得出=．【解答】证明：（I）如图，连接A1C1交B1D1于O点，连接OF，OA．∵，，∴．∴AOFE是平行四边形，∴EF∥OA，而EF?平面AB1D1，OA?平面AB1D1；∴EF∥平面AB1D1．（II）连接AC交BD于点M，连接D1M，B1M．则=，=+=2，∵四边形BACD是菱形，∴AC⊥BD．∵BB1⊥平面ABCD，∴平面BDD1B1⊥平面ABCD，∴AM⊥平面BDD1B1，∴==×2×2=，∴=．【点评】本题考查了空间线面位置关系及其判定、三棱