广西壮族自治区百色市乐业县中学高二数学文期末试题含解析

广西壮族自治区百色市乐业县中学高二数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.电子钟一天显示的时间是从到，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四数字之和为的概率为、

、

、

、参考答案：C2.已知双曲线的焦点、实轴端点分别恰好是椭圆的长轴端点、焦点，则双

曲线的渐近线方程为

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略3.一个几何体的三视图如右图所示，则它的体积为（A）

（B）

（C）20

（D）40参考答案：B4.若，且，则下列不等式中，恒成立的是A.

B.

C.

D.参考答案：C5.设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为()A．

B．

C．D．参考答案：C略6.某校共有高一、高二、高三学生共有1290人，其中高一480人，高二比高三多30人.为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为

（

）A.84

B.78

C.81

D.96参考答案：B7.焦点在y轴上的椭圆的离心率为，则m的值为(

)A.

B．2

C.D．4参考答案：C略8.以下三个命题：①分别在两个平面内的直线一定是异面直线；②过平面的一条斜线有且只有一个平面与垂直；③垂直于同一个平面的两个平面平行．其中真命题的个数是A．0

B．1

C．2

D．3参考答案：B9.对下列三种图像，正确的表述为（

）A．它们都是流程图

B．它们都是结构图

C.（1）、（2）是流程图，（3）是结构图

D．（1）是流程图，（2）、（3）是结构图参考答案：C10.已知的三边长成公差为的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长是

A.

B.

C.

D.参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数在处有极值，则该函数的极小值为

▲

.参考答案：3略12.等比数列中，公比，且，则_____________．参考答案：．13.某地区有小学150所，中学75所，大学25所．现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取________所学校。参考答案：1814.已知,则不等式的解集___

_____.参考答案：15.若存在两条直线都是曲线的切线则实数a的取值范围是（

）参考答案：（4,+∞）【分析】先令，由题意，将问题转化为至少有两个不等式的正实根，根据二次函数的性质结合函数的单调性，即可得出结果.【详解】令，由存在两条直线都是曲线的切线，可得至少有两个不等式的正实根，即有两个不等式的正实根，且两根记作，所以有，解得，又当时，曲线在点，处的切线分别为，，令，由得（不妨设），且当时，，即函数在上是单调函数，所以，所以直线，是曲线的两条不同的切线，所以实数的取值范围是.故答案为【点睛】本题主要考查由曲线的切线方程求参数的问题，熟记导数的几何意义、灵活掌握用导数研究函数单调性的方法即可，属于常考题型.16.已知F为抛物线的焦点，E为其标准线与x轴的交点，过F的直线交抛物线C于A，B两点，M为线段AB的中点，且，则

．参考答案：8F（1，0）为抛物线C：y2=4x的焦点，

E（-1，0）为其准线与x轴的交点，

设过F的直线为y=k（x-1），

代入抛物线方程y2=4x，可得

k2x2-（2k2+4）x+k2=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则中点解得k2=1，则x1+x2=6，由抛物线的定义可得|AB|=x1+x2+2=8.

17.函数在处的切线方程是

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.．已知函数f（x）=|x+2|﹣|x+a|（1）当a=3时，解不等式f（x）≤；（2）若关于x的不等式f（x）≤a解集为R，求a的取值范围．参考答案：【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（1）将a=1代入f（x），得到关于f（x）的分段函数，求出不等式的解集即可；（2）求出f（x）的最大值，得到|a﹣2|≤a，解出即可．【解答】解：（1）当a=3时，f（x）=|x+2|﹣|x+3|，或或，即或或φ或或x≥﹣2，故不等式的解集为：；（2）由x的不等式f（x）≤a解集为R，得函数f（x）max≤a，∵||x+2|﹣|x+a||≤|（x+2）﹣（x+a）|=|2﹣a|=|a﹣2|（当且仅当（x+2）（x+a）≥0取“=”）∴|a﹣2|≤a，∴或，解得：a≥1．19.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，Sn=n2+n． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设{}的前n项和为Tn，求证Tn＜1． 参考答案：【考点】数列与不等式的综合；等差数列的前n项和． 【专题】计算题；等差数列与等比数列． 【分析】（1）利用公式an=Sn﹣Sn﹣1（n≥2），得当n≥2时an=2n，再验证n=1时，a1=2×1=2也适合，即可得到数列{an}的通项公式． （2）裂项得=﹣，由此可得前n项和为Tn=1﹣＜1，再结合∈（0，1），不难得到Tn＜1对于一切正整数n均成立． 【解答】解：（1）当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n2+n﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）]=2n． ∵n=1时，a1=2×1=2，也适合 ∴数列{an}的通项公式是an=2n． （2）==﹣ ∴{}的前n项和为Tn=（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=1﹣= ∵0＜＜1 ∴1﹣∈（0，1），即Tn＜1对于一切正整数n均成立． 【点评】本题给出等差数列模型，求数列的通项并求前n项和对应数列的倒数和，着重考查了等差数列的通项与前n项和、数列与不等式的综合等知识，属于中档题． 20.已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率，原点到过点A（﹣a，0），B（0，b）的直线的距离是．（1）求椭圆C的方程；（2）设动直线l与两定直线l1：x﹣2y=0和l2：x+2y=0分别交于P，Q两点．若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【专题】方程思想；分类法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和点到直线的距离公式，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）讨论直线l的斜率是否存在，当直线l的斜率存在时，设直线，联立直线方程和椭圆方程，运用判别式为0，再联立直线方程组，求得P，Q的坐标，求得PQ的长，求出OPQ的面积，化简整理，可得最小值．【解答】解：（1）因为，a2﹣b2=c2，所以a=2b．因为原点到直线AB：的距离，解得a=4，b=2．故所求椭圆C的方程为+=1．（2）当直线l的斜率不存在时，直线l为x=4或x=﹣4，都有．当直线l的斜率存在时，设直线，由消去y，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣16=0．因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点，所以△=64k2m2﹣4（1+4k2）（4m2﹣16）=0，即m2=16k2+4．①又由可得；同理可得．由原点O到直线PQ的距离为和，可得．②将①代入②得，．当时，；当时，．因，则0＜1﹣4k2≤1，，所以，当且仅当k=0时取等号．所以当k=0时，S△OPQ的最小值为8．综上可知，当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，△OPQ的面积取得最小值8．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的性质：离心率公式和点到直线的距离，考查三角形的面积的最小值，注意讨论直线的斜率是否存在，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，属于中档题．21.某班级共派出n+1个男生和n个女生参加学校运动会的入场仪式，其中男生甲为领队．入场时，领队男生甲必须排第一个，然后女生整体在男生的前面，排成一路纵队入场，共有En种排法；入场后，又需从男生（含男生甲）和女生中各选一名代表到主席台服务，共有Fn种选法．（1）试求En和Fn；（2）判断lnEn和Fn的大小（n∈N+），并用数学归纳法证明．参考答案：【考点】数学归纳法．【分析】（1）根据领队男生甲必须排第一个，然后女生整体在男生的前面，排成一路纵队入场，可得En；根据从男生（含男生甲）和女生中各选一名代表到主席台服务，可得Fn；（2）lnEn=2lnn!，Fn=n（n+1），猜想2lnn!＜n（n+1），再用数学归纳法证明，第2步的证明，利用分析法进行证明．【解答】解：（1）根据领队男生甲必须排第一个，然后女生整体在男生的前面，排成一路纵队入场，可得；根据从男生（含男生甲）和女生中各选一名代表到主席台服务，可得…4分（2）因为lnEn=2lnn!，Fn=n（n+1），所以lnE1=0＜F1=2，lnE2=ln4＜F2=6，lnE3=ln36＜F3=12，…，由此猜想：当n∈N*时，都有lnEn＜Fn，即2lnn!＜n（n+1）…6分下用数学归纳法证明2lnn!＜n（n+1）（n∈N*）．①当n=1时，该不等式显然成立．②假设当n=k（k∈N*）时，不等式成立，即2lnk!＜k（k+1），则当n=k+1时，2ln（k+1）!=2ln（k+1）+2lnk!＜2ln（k+1）+k（k+1），要证当n=k+1时不等式成立，只要证：2ln（k+1）+k（k+1）≤（k+1）（k+2），只要证：ln（k+1）≤k+1…8分令f（x）=lnx﹣x，x∈（1，+∞）