考点50正态分布【理】（解析版）

【2022版】典型高考数学试题解读与变式

考点50正态分布

【考纲要求】

利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.

【命题规律】

在选择题、填空题考查较多，属容易题，分值5分，在解答题中结合其他知识考查属中

等题.

【典型高考试题变式】

正态分布

例1.【2017课标1,理19】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该

生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm).根据长期生产经验，可以认为

这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布.

(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(〃-3b,〃+3b)

之外的零件数，求尸(X21)及X的数学期望；

(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(〃-3cr,〃+3b)之外的零件，就认为这

条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.

(i)试说明上述监控生产过程方法的合理性；

(ii)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

10.10.10.

9.959.969.969.929.98

120104

10.10.10.10.10.

9.919.229.95

2613020405

116/116/116

经计算得元=记号%=9.97,”帮…—(gx,2-16x2)2«0.212,

其中x,为抽取的第i个零件的尺寸，i=1,2,…,16.

用样本平均数工作为〃的估计值。，用样本标准差s作为。的估计值6,利用估计值

判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(。-3d,A+33)之外的数据，用剩下

的数据估计〃和b(精确到0.01).

附：若随机变量Z服从正态分布N(〃,4),则P(〃—3b<Z<〃+3b)=0.9974,

0.997416=0.9592，V0.008«0.09.

【解析】试题分析：(1)根据题设条件知一个零件的尺寸在(〃-3cr,〃+3b)之内的概率为

0.9974,则零件的尺寸在(〃一3b,〃+3(T)之外的概率为0.0026,而X~8(l6,0.0026),

进而可以求出X的数学期望.(2)(i)判断监控生产过程的方法的合理性，重点是考虑一

天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(〃-3cr,〃+3b)之外的零件的概率大还是小，若小

即合理；(ii)根据题设条件算出〃的估计值和o•的估计值，易邨余(。-33,。+33)之外的

数据9.22,算出剩下数据的平均数，即为〃的估计值，剔除(。一33,2+36)之外的数据

9.22,剩下数据的样本方差，即为。的估计值.

试题解析：(1)抽取的一个零件的尺寸在(〃一3b,〃+3b)之内的概率为0.9974,从而零

件的尺寸在(〃一3b,〃+3cr)之外的概率为0.0026,故乂~3(16,0.0026).

因止匕P(X>1)=1-P(X=0)=1-0.9974=0.0408.X的数学期望为

EX=16x0.0026=0.0416.

(2)(i)如果生产状态正常，一个零件尺寸在(〃一3b,〃+3b)之外的概率只有0.0026,

一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(〃一3cr,〃+3b)之外的零件的概率只有0.0408,

发生的概率很小.因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可

能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的.

(ii)由元=9.97,sa0.212,得〃的估计值为衣=9.97,。的估计值为3=0.212,由样

本数据可以看出有一个零件的尺寸在(&-3d,A+33)之外，因此需对当天的生产过程进行

检查.

剔除3-36,4+33)之外的数据9.22,剩下数据的平均数为

p(16x9.97-9.22)=10.02,因此〃的估计值为10.02.

16

X,2=16x0.2122+16x9.972»1591.134,剔除(2—33,。+33)之外的数据9.22,

;=1

剩下数据的样本方差为'(1591.134-9.22z-15x10.022)^0.008,因此。的估计值为

,0.008=0.09.

【考点】正态分布，随机变量的期望和方差.

【名师点睛】数学期望是离散型随机变量中重要的数学概念，反应随机变量取值的平均水

平.求解离散型随机变量的分布列、数学期望时，首先要分清事件的构成与性质，确定离散

型随机变量的所有取值，然后根据概率类型选择公式，计算每个变量取每个值的概率，列出

对应的分布列，最后求出数学期望.正态分布是一种重要的分布，之前考过一次，尤其是正

态分布的3b原则.

【变式1：改变条件】某种品牌摄像头的使用寿命。(单位：年)服从正态分布，且使用

寿命不少于2年的概率为0.8,使用寿命不少于6年的概率为0.2.某校在大门口同时安

装了两个该种品牌的摄像头，则在4年内这两个摄像头都能正常工作的概率为.

【答案】-

4

【解析】由题意知尸(全2)=0.8,P(26)=0.2,所以P(CV2)=P《>6)=0.2.

所以正态分布曲线的对称轴为，=4.即P(交4)=；,即每个摄像头在4年内都能正常工

作的概率为今

所以两个该品牌的摄像头在4年内都能正常工作的概率为aX；=；.

【变式2：改编条件】某食品店为了了解气温对销售量的影响，随机记录了该店1月份

中5天的日销售量y(单位：千克)与该地当日最低气温x(单位：°C)的数据，如下表:

X258911

y1210887

(1)求出y与x的回归方程$=+

(2)判断y与x之间是正相关还是负相关；若该地1月份某天的最低气温为6C,请

用所求回归方程预测该店当日的销售量；

(3)设该地1月份的日最低气温X〜N(4，/),其中〃近似为样本平均数亍，o-2

近似为样本方差S2,求P(3.8<X<13.4).

人人7x.y.-rixy人

附：①回归方程9=法+力中，b=乙1———一，a=y-hx.

(2)V10»3.2,>/32»1.8,若X〜NJ,。?)，则P(〃一。<X<〃+cr)=0.6826,

P(〃-2b<X<〃+2b)=0.9544.

1"351”45

【解析】(1)因为令〃=5,x=-Yx,.=—=7,'=-£)，,=上=9,

5«M5

所以2(%—呵=287—5x7x9=—28,-n(%)2=295-5x72=50

1=1

A-28

所以。=—=—0.56

50

所以6=夕一％=9—(—0.56)x7=12.92(或者•：装)

所以所求的回归方程是9=-0.56x+12.92

(2)由刃=-0.56<0知y与x之间是负相关,

将x=6代入回归方程可预测该店当11的销售量夕=-0.56x+12.92=9.56(千克)(或者

239

------).

25

(3)由(1)知〃=5=7,

乂由cr2=s2=，(2-7)2+(5-7)2+(8-7)2+(9-7)2+(11-7)2=10得cr=3.2

从而

P(3.8<X<13.4)二尸(〃一b<X<〃+2cr)=P(〃一b<X<〃)+<X<〃+2cr)

(〃-b<X<〃+b)+gp(〃-2b<X<〃+2b)=0.8185.

【变式3：改编条件和结论】(2022全国•高三月考(理))为普及传染病防治知识，增

强学生的疾病防范意识，提高自身保护能力，校委会在全校学生范围内，组织了一次传染病

及个人卫生相关知识有奖竞赛(满分100分)，竞赛奖励规则如下：得分在［70,80)内的学生

获三等奖，得分在［80,90)内的学生获二等奖，得分在［90,100］内的学生获一等奖，其它学

生不得奖.教务处为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取了100名学生的竞赛成绩，

并以此为样本绘制了如图所示的频率分布表.

竞赛成绩[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

人数61218341686

(1)从该样本中随机抽取2名学生的竞赛成绩，求这2名学生恰有一名学生获奖的概

率；

(2)若该校所有参赛学生的成绩X近似地服从正态分布N(64,225),利用所得正态分

布模型解决以下问题：

①若该校共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中超过79分的学生人数(结

果四舍五入到整数)；

②若从所有参赛学生中(参赛学生人数大于10000)随机抽取4名学生进行座谈，设其

中竞赛成绩在64分以上的学生人数为J,求随机变量J的分布列和数学期望.

附：若随机变量X服从正态分布,则P(〃-b<XM〃+b)x0.6827,

尸(〃一2<T<X4〃+2o•卜0.9545,P(〃-3cr<X<^+3cr)«0.9973.

【答案】(1)葛14；(2)①1587；②分布列见解析，数学期望为2.

【分析】(1)由题得共30人获奖，70人没有获奖，再利用古典概型的概率公式求解；

(2)①该校所有参赛学生的成绩X近似地服从正态分布N(64,225),利用正态分布求解；

②随机变量&〜B（4,再利用二项分布写出分布列，求出数学期望得解.

【解析】解：（1）由样本频率分布表可知，样本中获一等奖的6人，获二等奖的8人，

获三等奖的16人，共30人获奖，70人没有获奖，

故从该样本中随机抽取2名学生的竞赛成绩，这2名学生恰有一名学生获奖的概率P

cioo33

（2）该校所有参赛学生的成绩X近似地服从正态分布N（64,225）,

①:|1+0=79,

1-0.6827

：.P(X>79)=0.15865,

2

・•・估计参赛学生中超过79分的学生人数为0.15865x10000-1587.

②•.举=々，.•./>（X>64）=1,即从所有参赛学生中随机抽取1名学生，该生竞赛成

绩在64分以上的概率为3，••.随机变量匕〜8（4,3），

P9=k）=&（；>（；严（仁0,1,2,3,4）,

所以？（&=0）=c：g）°（；）4=A，2（<=D=c：（gy（g）3=；,

P«=2)=*)2(景=|,Pg)=C：(1)3(i)'=l,P(§=4)=C：(1)4(1)°=^,

.•比的分布列为：

001234

1£3I

P

16484记

故E«)=4x-=2.

2

【数学思想】

①数形结合思想.

②转化与化归思想.

【温馨提示】

①曲线与x轴之间面积为1.正态曲线关于直线x="对称，从而在关于x=“对称的区

间上概率相同.

@P（X<a）-1-P（X>a）,P（X$一a）=尸（如+a）.

【典例试题演练】

一、单选题

1.（2022四川•高三期中（理））已知随机变量且P（X＜（））=P（XNa）,

则（X2+62）P--T的展开式中的常数项为（）

A.25B.-25D.—5

【答案】B

【分析】先由正态分布的概率情况求出。=2,然后由二项式定理展开式的通项公式可

得答案

【解析】由随机变量X~N（1,〃），且尸（X＜0）=P（X2a）,则。=2,

的展开式的通项公式为:

6,62r

7；+1=C^-|--j=（-iyC；x-,O<r<6,re7V,令6-2r=-2,解得r=4,令

6-2r=0,解得r=3,所以（丁+2）的展开式中的常数项为：

魂-2戏=-25,故选B.

2.（2022吉林•长春外国语学校高三期中（理））已知服从正态分布的随机变

量在区间b,〃+cr）,（M-2b,〃+2＜T）和（〃-3cr，M+3cr）内取值的概率分别为68.3%,

95.4%和99.7%.某校为高一年级1000名新生每人定制一套校服，经统计，学生的身高

（单位：cm）服从正态分布N（165,52）,则适合身高在155-175cm范围内的校服大约要定

制（）

A.683套B.954套C.972套D.997套

【答案】B

【分析】根据正态分布可得身高在155~175cm范围内的概率为95.4%,即可求出答案.

【解析】因为学生的身高（单位：cm）服从正态分布N（165,5z）,

所以身高在155T75cm范围内即在（〃一2cr,〃+2b）内取值，概率为95.4%,

所以身高在155~175cm范围内的校服大约要定制1000x95.4%=954套.

故选B.

3.（2022山东•安丘市普通教育教学研究室高三月考）设随机变量€服从正态分布

N（3,4）,若产《＜2。—3）=尸代＞。+2）,则。的值为（）

74

A.-B.—C.3D.5

33

【答案】A

【分析】根据正态分布的对称性，即得解

【解析】由题意，根据正态分布的对称性，得2a-3：。+2=3.a故选人.

23

4.(2022河南♦高三月考(理))已知随机变量X,Y,Z满足X~N(3,，)，Y〜N(l,〃),

Z=K1,且尸(X>4)=0.1,则「(Al)的值为()

A.0.1B.0.2

C.0.8D.0.9

【答案】C

【分析】根据给定条件可得随机变量X和y所对的正态密度曲线的形状相同，进而得

出产&>2)=P(X>4),再求出尸(z>i)即可计算作答.

【解析】因随机变量X,y满足X〜M3,4),Y〜N(l,a2),则随机变量X和y所对

的正态密度曲线的形状相同，它们的对称轴分别为％=3和x=l,

因此，p(y>2)=p(x>4)=o.i,而2=匕1,则p(z>i)=p(y-i>i)=p(y>2)=o.i,

于是得P(Z2<1)=尸(-1<Z<1)=1-0.1X2=0.8,所以「(/〈I)的值为0.8.故选C.

5.(2022江苏•南京市中华中学高三月考)已知随机变量X服从正态分布Ma，4)且

P(x>2)=0.5,则实数〃=()

A.0B.1C.2D.4

【答案】C

【分析】利用概率之和为1和正态曲线的对称性即可求解.

【解析】因为随机变量X服从正态分布N(a,4),所以曲线关于x="对称，且

P[x>a)=0.5,由t(x>2)=0.5,可知a=2.故选C.

6.(2022山东.广饶一中高三月考)设随机变量J~N(0,l),已知①(-1.96)=0.025,则

P(阳<1.96)=()

A.0.95B.0.05C.0.975D.0.425

【答案】A

【分析】g服从标准正态分布，利用标准正态分布的对称性可求得其概率.

【解析】P{|<|<1.96)=2[1-<-1.96)]=2(1-0.025)=0.950.

故选A.

7.(2022河北邢台•高三月考)已知随机变量J服从正态分布N(3,4),若

P(J>2c+l)=PC<2c-l),则。的值为(〉

A.-B.2C.1D.工

?2

【答案】A

【分析】利用正态分布的对称性求得C的值.

【解析】由正态分布的对称性知，（2c+l）-3=3-（2c-l）,得c=；3.

故选A.

8.（2022河北沧州•高三月考）某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高X（单位：

cm）的情况，得出X~N（100/02）,随机测量一株水稻，其株高在（110,120）（单位：cm）

范围内的概率为（）

（附：若随机变量，则尸<〃+b）=0.6826,

P（〃-2b<X<〃+2cr）=0.9544）

A.0.0456B.0.1359C.0.2718D.0.3174

【答案】B

【分析】根据正态分布曲线的的特点和曲线所表示的意义代入数据计算可得.

【解析】由题意得尸(90<X<110)=0.6826,尸(80<X<120)=0.9544,所以

P(110<X<120)=：

695440.6826=Q1359故选B.

9.（2010•福建•厦门双十中学一模（理））已知三个随机变量的正态密度函数

〃制=7^-二k（xeR,i=l,2,3）的图象如图所示，则（)

J27rbi

B.4>〃2=〃3,CT,=<T2<%

C.必=〃2<4，历<%=4D.M<42=〃3,2=%<%

【答案】D

【分析】根据正态密度数中"和。的意义判断.

【解析】因为正态密度函数人（x）和力（x）的图象关于同一条直线对称，所以生=4.

又人（X）的图象的对称轴在£（x）的图象的对称轴的右边，所以M<外=4.

因为b越大，曲线越“矮胖”.b越小，曲线越“瘦高”，

由图象，可知正态密度函数工（X）和&（X）的图象一样“瘦高”，力（X）的图象明显“矮胖”,

所以故选D.

10.(2022广东深圳•高三月考)设随机变量X~N(02*),若P(X>2)=0.2,则

P(X>—1.可等于()

A.0.5B.0.9C.0.8D.0.7

【答案】C

【分析】利用正态分布的对称性求解.

【解析】因为随机变量X~N(O.2,S2),且P(X>2)=0.2,

所以P(X>—16)=1—P(X>2)=0.8,故选C.

11.(2022全国•高三专题练习(理))医用口罩由口罩面体和拉紧带组成，其中口罩面

体分为内、中、外三层.内层为亲肤材质(普通卫生纱布或无纺布)，中层为隔离过滤层(超

细聚丙烯纤维熔喷材料层)，外层为特殊材料抑菌层(无纺布或超薄聚丙烯熔喷材料层).国

家质量监督检验标准中，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在生

产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率x:7V(0.9372,0.01392).若生产状态正常，

有如下命题：

甲：PU<0.9)<0.5；

乙：x的取值在(0.93,0.9439)内的概率与在(0.9372,0.9511)内的概率相等；

丙：尸(x<0.9)=P(x>0.9744)；

T：记J表示一天内抽取的50只口罩中过滤率大于〃+2b的数量，则?情之1)>0.6.

(参考数据：若x~N(〃,4)9>0),则P(M-b<xV〃+b)a0.6827,

—2cr<x<+2cr)«0.9545,P(/z—3cr<x<//+3cr)»0.9973；0.9850a0.364)

其中假命题是()

A.甲B.乙C.丙D.丁

【答案】B

【分析】根据尸(x<0.9)<P(x<0.9372)=0.5可判断甲；根据两个区间长度相等，对称

轴落在区间@93,0.9439)可判断乙；根据概率的对称性可判断丙；求出1只口罩的的过滤率

大于4+2。的概率，再由二项分布的概率以及对立事件的概率即可判断丁，进而可得正确

答案.

【解析】由x：N(0.9372,0.0139)知，〃=0.9372,<7=0.0139,

对于甲：由正态分布曲线可得：PU<0.9)<P(x<0.9372)=0.5,故甲为真命题；

对于乙：0.9439-0.93=0.0139,0.9511-0.9372=0.0139两个区间长度均为1个。,但

A>0.93,由正态分布性质知，落在(0.93,0.9439)内的概率大于落在

(0.9372,0.9511)内的概率，故乙是假命题；

09+09744

对于内：由二一-——=0.9372知，内正确；

对于丁：I只口罩的的过滤率大于〃+2（r的概率p=二^q=0.02275,久8（50,p）,

所以>1-（1-002严，

1-（1-O.O2）50=1-O.9850»1-0.364=0.636>0.6,故丁是真命题.

故选B.

12.（2022福建•高三月考）2018年元旦期间，某高速公路收费站的三个高速收费口每

天通过的小汽车数X（单位：辆）均服从正态分布N（600,b2）.若尸（500<X4700）=0.6,

假设三个收费口均能正常工作，则这三个收费口每天通过的小汽车数至少有一个超过700

辆的概率为（）

,1c12-61r64

A.---B.C.---D.

125125125125

【答案】C

【分析】先求出产（x>700）=",再求出这三个收费口每天通过的小汽车数至少有一个

超过700辆的概率即得解.

【解析】根据正态曲线的对称性，每个收费口每天通过的小汽车数超过700辆的概率

P（X>700）=^［l-P（500<X<700）］=^x（l-0.6）=0.2=-,

所以这三个收费口每天通过的小汽车数至少有一个超过700辆的概率

故选C.

13.（2022山东•济宁一中高三开学考试）湖南省湘西州泸溪县柳柑为历代朝廷贡品，历

史悠久，曾荣获湖南省优质水果评比“金质奖”等荣誉，据统计，泸溪梗柑的果实横径（单位:

mm）服从正态分布N（70,25）,则果实横径在（60,75］的概率为（）

附：若,JIlJP（〃一cr<X4〃+b）=0.6827,

尸（〃一2b<X4〃+2。）=0.9545

A.0.6827B.0.8186C.0.8413D.0.9545

【答案】B

【分析】由已知得〃=70,。=5,再根据正态分布的性质计算可得选项.

【解析】因为泸溪梗柑的果实横径（单位：mm）服从正态分布N（70,25）,所以

=70,<T=5,所以P（65<X475）=0.6827,P（60<X<80）=0.9545,

所以尸（60<X475）=0.9545-09545~06827=0.8186,故选B.

14.(2022江苏苏州•高三开学考试)己知随机变量J服从正态分布N(0,l),如果

P(^<l)=0.84,则P(-l<?40)为()

A.0.34B.0.68C.0.15D.0.07

【答案】A

【分析】根据正态分布的性质，先求得尸(4>1)=1-2©41)，再由概率区间的对称性,

尸(-l<j40)=g(l-2PC>l)),从而求得结果.

【解析】由题意得：P(^>l)=l-P(^<l)=l-0.84=0.16,所以

P(-l<"0)=；(l-0.16x2)=0.34.故选A.

二、填空题

15.(2022四川.成都七中高三期中(理))已知某品牌电子元件的使用寿命X(单位：

天)服从正态分布N(98,64).

K1~~□—।

B

(1)一个该品牌电子元件的使用寿命超过100天的概率为；

(2)由三个该品牌的电子元件组成的一条电路(如图所示)在100天后仍能正常工作

(要求K能正常工作，A,8中至少有一个能正常工作，且每个电子元件能否正常工作相

互独立)的概率为.

(参考公式：若X~N(〃,〃)，贝IJP(〃一0.25cr<X4M+0.25b)=0.2)

【答案】0.4

【分析】由题设可知M=98,b=8,利用正态分布的对称性求电子元件的使用寿命超过

100天的概率，应用独立事件的乘法公式、互斥事件的加法公式求电路在100天后仍能正常

工作的概率.

【解析】由题设知：〃=98,。=8,

・•・P(X>100)=——匕--------------------L=0.4.

由题意，要使电路能正常工作的概率P=52x：2x2：+2!x(l—25)x2；+25x=2x(l—2：)=3芸2.

555555555125

32

故答案为：。4,.

16.(2022吉林长春.模拟预测(理))某校数学建模社团对校外一座山的高度〃(单位：

m)进行测量，方案如下：如图，社团同学朝山沿直线行进，在前后相距。米两处分别观测

山顶的仰角a和夕（。＞〃），多次测量相关数据取平均值后代入数学模型求解山高，这个社

团利用到的数学模型/?=；多次测量取平均值是中学物理测量中常用的减小误

差的方法之一，对物理量进行n次测量，其误差々近似满足为使误差%在

（-050.5）的概率不小于0.9973,至少要测量.次参考数据：若占

a米

【答案】.诉asina需sinB(也,可以,,写,成„a‘atann…a-tan3/?72

【分析】再中由正弦定理可得AC,在放"仪）中求解即可；由正态分布的3b

原则建立不等式3b40.5求解即可.

ACaA-asina

【解析】（1）在△44C中=,AC=--------------

sina---sin(万一a)------------sin(4一a)

qsinasinJ3

在用ZVIC。中,h=ACsin[3=

sin(6一a)

atana•tan(3

（结果还可以是)

tan/?-tana

(2)由于尸(—3b<£,,=3cr)=0.9973,因此3b=<0.5,

所以“272,

故至少要测量72次.

asinasinJ3atana•tan(5

故答案为:（也可以写成);72

sin("_a)tan夕一tana

【点睛】关键点点睛：在解决正态分布问题中，需要理解3b原则，学会利用3b原则求

解相关问题，属于中档题.

17.（2020•黑龙江实验中学高三月考（理））在哈市高二的联考中，这些学生的数学成

绩€服从正态分布N（110,100）,随机抽取10位学生的成绩，记X表示抽取的10位学生成绩

在（80,140）之外的人数，则P（XN1）=,X的数学期望EX=

附：若随机变量Z服从正态分布N（〃,b2）,则P（M-2b<Z<M+2b）=0.9544,

「（〃-3cr<Z<〃+3cr）=0.9974,O.954410=0.6271.O.997410=0.9743.

【答案】0.02570.026

【分析】由已知可得〃=110,<r=10,计算P（80<4<140）,从而数学成绩在（80,140）之

外的概率为1-0.9974=0.0026,得到X~8（1000026）,得到尸（X21）；利用二项分布的期

望公式求期望.

【解析】••,数学成绩4服从正态分布N（110,100）,.•.〃=110,。=10,

•.•8（）=〃-3b,14（）=〃+3b,二P（80<g<140）=P（〃-3b<Z<〃+3cr）=0.9974,

从而数学成绩在（80,140）之外的概率为：1—0.9974=0.0026,故X~3（10,0.0026）,

P（X>l）=l-P（X=0）=l-O.997410=1-0.9743=0.0257:

.♦.X的数学期望EX=10x0.0026=0.026.故答案为：0.0257；0.026.

18.（2022山东师范大学附中高三期中）已知随机变量，且

P（€<-1）=2a）,则L+/一（0<x<a）的最小值为.

xa-x

【答案】9

141（14、

【分析】根据正态曲线的对称性求得“，再由一+——=一一+——（x+a-力，结合

xa-xa\xa-x）

基本不等式即可得出答案.

【解析】因为随机变量J~N（0,〃），且P（j4-l）=P（*a）,

所以。=1,则X+1-％=1,

因为Ovxvl,所以i-x>o,

当且仅当」1—X=产A-x，即》=I:时，取等号，

x1-x3

14

所以一+----的最小值为9.

xa-x

故答案为：9.

19.（2022广西桂林•模拟预测（理））已知随机变量X服从正态分布N（2,〃），若

P（X<3）=0.8,则P（X<1）=.

【答案】0.2

【分析】根据随机变量X服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可

求得P(X41).

【解析】：随机变量X服从正态分布N(2Q2),

二正态曲线的对称轴是x=2.

又P(X<3)=0.8,AP(X>3)=0.2,

由对称性可知，

P(X<l)=P(X>3)=0.2.

故答案为：0.2.

20.(2022山东师范大学附中高三月考)已知随机变量若尸(X<3)=0.9,

则尸(一1<X<1)=.

【答案】0.4

【分析】根据正态分布的性质可求出尸再利用对称性即可求出.

【解析】尸(X<3)=0.9,

P(1<x<3)=P(x<3)-P(x>1)=0.9-0.5=0.4,

二P(-l<x<l)=P(l<x<3)=0.4.

故答案为：0.4.

21.(2022广东龙岗♦高三期中)已知随机变量X~N(0,/)，且尸(X>a)=九a>0,则

P(-a<X<a)=.

【答案】1-2/77

【分析】根据正态分布区间的对称性直接计算即可.

【解析】由X~N(0,a2),且P(X>a)=m,a>0,则P(X<-a)=m,所以

P(-a<X<a)=l-2m,故答案为：l-2m.

22.(2022广东湛江.高三月考)某学校有100人参加暑期社会实践，实践结束时的综合

能力测试成绩X近似服从正态分布N010,〃)，若尸(1004X<110)=0.35,则综合能力测

试成绩在120分以上的人数大约为.

【答案】15

【分析】根据正态分布的性质进行求解即可.

【解析】因为X近似服从正态分布N(110,4),P(100<X<110)=0.35,

所以P(110MXM120)=P(100<X<110)=0.35,由正态分布的对称性可知：

P(X>120)=0.5-P(110<X<120)=0.5-0.35=0.15,

所以综合能力测试成绩在120分以上的人数大约为0.15x100=15,

故答案为：15

23.(2022福建・福州三中高三月考)已知随机变量自服从正态分布N(〃,4),若

P(J>2-m)=P(^<4+m)(mGR),则〃=.

【答案】3

【分析】利用正态分布的性质即求.

【解析】依题意可知〃=(2一〃?)；(4+”1=3.故答案为：3.

24.(2022重庆市第十一中学校高三月考)上次月考刚好有900名学生参加考试，学生

的数学成绩4~N(105,K)2),且尸(954*105)=0.34,则上次月考中数学成绩在115分以上

的人数大约为.

【答案】144

【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，求出上次月考中数学成绩在115分以

上的概率，即可求解.

【解析】•••学生的数学成绩1M105,102),且P(95融105)=0.34,

.•.尸(105领g115)=0.34,

.-.^>115)=0.5-0.34=0.16,则该上次月考中数学成绩在115分以上的人数大约为

900x0.16=144人.

故答案为：144.

25.(2011・广东•一模(理))在某项测量中，测量结果J服从正态分布N(1Q2)C>0).若

4在(0,1)内取值的概率为0.4,则《在(0,2)内取值的概率为.

【答案】0.8

【分析】利用正态分布的对称性求解即可

【解析】因为正态分布的平均数为1,所以P(l<4<2)=尸(0<4<1)=0.4

所以尸(0<J<2)=P(0<J<l)+尸(1<。<2)=0.8,故答案为：0.8

26.(2022江苏•高三开学考试)《中国制造2025》提出，坚持“创新驱动、质量为先、

绿色发展、结构优化、人才为本”的基本方针，通过“三步走”实现制造强国的战略目标：第

一步，到2025年迈入制造强国行列；第二步，到2035年中国制造业整体达到世界制造强国

阵营中等水平；第三步，到新中国成立一百年时，综合实力进入世界制造强国前列.今年，

尽管受新冠疫情影响，但我国制造业在高科技领城仍显示出强劲的发展势头.某市质检部门

对某新产品的某项质量指标随机抽取100件检测，由检测结果得到如图所示的频率分布直方

图.

频率

0.030

0.025

0.020

0.015

0.010

01020304050质量指标

由频率分布直方图可以认为，该产品的质量指标值Z服从正态分布其中〃近

似为样本平均数工，〃近似为样本方差S2.设X表示从该种产品中随机抽取10件，其质量

指标值位于(11635.4)的件数，则X的数学期望=一.(精确到0.01)

注：①同一组数据用该区间的中点值作代表，计算得样本标准差Sall.9；②若

Z~N(M，b2),则P(〃-b<Z<〃+cr)=0.6826,P(/I-2CT<Z<//+2<r)=0.9544.

【答案】6.83

【分析】计算元，由所给条件判断Z~N(23.5,11.92),从而得到P(11.6<Z<35.4)的概

率，由抽取每一件的概率抽取10件的期望值.

【解析】计算得T=5xO.15+15xO.25+25xO.3+35xO.2+45xO.l=23.5,

由条件Z~N(23.5,11.92),从而P(1L6<Z<35.4)=0.6826.

故从该种产品中随机抽取1件，其质量指标值位于(11635.4)的概率是0.6826,

所以抽取10件的期望值为：所以E(X)=10x0.6826=6.826=6.83.故答案为：6.83.

27.(2022湖北•高三开学考试)已知随机变量X~N(0,/),且P(X<a)=m,a>0,

则P(-a<X<a)=.(用机表示)

【答案】2m-\

【分析】利用正态分布的性质可得正确的结果.

［解析】因为X~N(0,4),故P(X<0)=g,则P(0<X<a)=m-^,故

P(-a<X<a)=2(〃?-g)=2m-l.故答案为：2m-\.

三、解答题

28.(2022广东广雅中学高三月考)正态分布有极其广泛的实际背景，生产与科学实验

中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述.例如，同一种生物体的身长、

体重等指标.随着“绿水青山就是金山银山”的观念不断的深入人心，环保工作快速推进，很

多地方的环境出现了可喜的变化.为了调查某水库的环境保护情况，在水库中随机捕捞了

100条鱼称重.经整理分析后发现，鱼的重量X(单位：kg)近似服从正态分布X~N(2Q2),

(1)若从水库中随机捕捞一条鱼，求鱼的重量在［2.5,3.5］内的概率；

(2)从捕捞的100条中随机挑出6条鱼测量体重，6条鱼的重量情况如表.

重量范围(单位：

[0.5,1.5)[1.5,2.5)[2.5,3.5]

kg)

条数132

①为了进一步了解鱼的生理指标情况，从6条鱼中随机选出3条，记随机选出的3条鱼

中体重在［2.5,3.5］内的条数为X,求随机变量X的分布列和数学期望；

②若将选剩下的94条鱼称重微标记后立即放生，两周后又随机捕捞1000条鱼，发现其

中带有标记的有2条.为了调整生态结构，促进种群的优化，预备捕捞体重在［2.5,3.5］内的

鱼的总数的40%进行出售，试估算水库中鱼的条数以及应捕捞体重在［2.5,3.5］内的鱼的条

数.

【答案】(1)0.22；(2)①分布列见详解;1；②47000；4136.

【分析】(1)根据正态分布曲线的对称性有

P(2.5<x<3.5)="(0.5<x<1.5)=P(x<1.5)-P(x<0.5),计算后即可得出答案；

(2)①随机变量X的所有可能取值为0,1,2,根据超几何分布的概率求法求出各种

情况的概率，可得到其分布列，再由公式求出数学期望；

②设水库中共有N条鱼，根据题意有卷=罟，先求出N,又由(1)可知

P(2.5<x<3.5)=0.22,从而可求出应捕捞体重在［2.5,3.5］内的鱼的条数.

【解析】(1)解：已知鱼的重量%(单位：kg)近似服从正态分布X~N(2Q2),

由正态分布的对称性可知，

P(2.5<x<3.5)=P(0.5<x<1.5)=P(x<1.5)-P(x<0.5)=0.26-0.04=0.22,

所以从水库中随机捕捞•条鱼，鱼的重量在［2.5,3.5］内的概率