计数原理复习课复习课市公开课一等奖省赛课微课金奖

排列组合、二项式定理复习课第1页名称内容分类原理分步原理定义相同点不一样点一、两个原理区分与联络：做一件事或完成一项工作方法数直接（分类）完成间接（分步骤）完成做一件事，完成它能够有n类方法，第一类方法中有m1种不一样方法，第二类方法中有m2种不一样方法…，第n类方法中有mn种不一样方法，那么完成这件事共有

N=m1+m2+m3+…mn种不一样方法做一件事，完成它能够有n个步骤，做第一步中有m1种不一样方法，做第二步中有m2种不一样方法……，做第n步中有mn种不一样方法，那么完成这件事共有

N=m1·m2·m3·…·mn种不一样方法.第2页例1.书架上放有3本不一样数学书,5本不一样语文书,6本不一样英语书,(1)若从这些书中任取一本,有多少种不一样选法?(2)若从这些书中取数学书、语文书、英语书各一本,有多少种不一样选法?(3)若从这些书中取不一样科目标书两本,有多少种不一样选法?第3页例2如图，某电子器件是由三个电阻组成回路,其中有6个焊接点A，B，C，D，E，F，假如某个焊接点脱落，整个电路就会不通。现发觉电路不通了,那么焊接点脱落可能性共有（）63种（B）64种（C）6种（D）36种分析:由加法原理可知由乘法原理可知2×2×2×2×2×2-1=63第4页（1）5名同学报名参加4项活动（每人限报1项），共有种不一样报名方法（2）5名同学争夺4项竞赛冠军，冠军取得者共有种可能基础练习第5页二、排列和组合区分和联络：名称排列组合定义种数符号计算公式关系性质区分

从n个不一样元素中取出m个元素，按一定次序排成一列从n个不一样元素中取出m个元素，把它并成一组全部排列个数全部组合个数先选后排只选不排第6页解排列组合问题遵照普通标准:有序----;无序---2.分类---;分步---3.现有分类又有分步:4.现有排列又有组合:5.先后6.正难7.分类排列组合加法乘法先分类再分步先选后排要不重不漏则反特殊普通第7页排列组合应用题惯用方法1、基本原理法2、特殊优先法3、捆绑法4、插空法

5、间接法6、穷举法

第8页1．对有约束条件排列问题，应注意以下类型：⑴一些元素不能在或必须排列在某一位置；⑵一些元素要求连排（即必须相邻）；⑶一些元素要求分离（即不能相邻）；2．基本解题方法：（１）有特殊元素或特殊位置排列问题，通常是先排特殊元素或特殊位置，称为优先处理特殊元素（位置）法（优先法）；特殊元素,特殊位置优先安排策略（２）一些元素要求必须相邻时，能够先将这些元素看作一个元素，与其它元素排列后，再考虑相邻元素内部排列，这种方法称为“捆绑法”；相邻问题捆绑处理策略（３）一些元素不相邻排列时，能够先排其它元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法”；不相邻问题插空处理策略第9页例题：（排队问题）

有3名男生和4名女生，若分别满足下

列条件，则共有多少种不一样排法？第10页1．排成前后两排，前3人后4人：__________________________解：（多排问题单排法处理）.

与无任何限制排列相同，

有种．依据分步计数原理：

7×6×5×4×3×2×1＝7！＝5040．第11页2．甲站在正中间：___________

(变式)7位同学站成一排，其中甲不站在首位:解一：共有A61A66=4320。解二：共有A61A66=4320。解三：

A77-A66=7A66-A66=4320。位置分析法第12页方法三：先不考虑特殊计算全部可能，再去掉不符合条件

用三种方法完成：有3名男生和4名女生，若甲不站在中间也不站在两端，则共有多少种不一样排法？1234567方法一：先安排特殊位置（中间，两端）方法二：先安排特殊元素（甲）3.甲不站在中间也不站在两端，第13页4．甲不在排头、乙不在排尾：_________________________________第14页5．甲、乙必须相邻：_____________要求某几个元素必须排在一起问题,能够用捆绑法来处理问题.即将需要相邻元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.相邻问题捆绑法变．甲、乙、丙三人都相邻：

第15页6．甲、乙不能相邻：_______________________________cbade乙甲相离问题插空法元素相离问题可先把没有位置要求元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端第16页变．甲、乙、丙三人都不相邻：____________________________

解：先将其余四个同学排好有A44种方法，此时他们留下五个“空”，再将甲、乙和丙三个同学分别插入这五个“空”有A53种方法，所以一共有A44

A53

＝1440种．小结：对于不相邻问题，惯用“插空法”（特殊元素后考虑）．第17页7．男女生各站在一起：

______________________

解：将甲、乙、丙三个男同学“捆绑”在一起看成一个元素，另外四个女同学“捆绑”在一起看成一个元素，一共有2个元素，先捆后松

∴一共有排法种数：（种）.第18页8．甲、乙两人之间须相隔１人：______________________9．甲、乙两人中间恰有3人：________________________第19页10．男女各不相邻(即男女相间、4女互不相邻)：__________________插空法．先排好男生，然后将女生插入其中四个空位，共有种排法.第20页11．甲在乙右边：________________定序问题百分比法第21页12．从左到右，4名女生按甲、乙、丙、丁次序不变(即只排男生)：_____________________方法1：(百分比法)

方法2：构想有7个位置，先将男生排在其中任意3个位置上，有种排法；余下4个位置排女生，因为女生位置已经指定，所以她们只有一个排法.故本题结论为（种）.第22页多排问题直排策略

8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丁在后排,共有多少排法解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,能够把椅子排成一排.先在前4个位置排甲乙两个特殊元素有____种,再排后4个位置上特殊元素有_____种,其余5人在5个位置上任意排列有____种,则共有_________种.前排后排普通地,元素分成多排排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究.第23页二、注意区分“恰好”与“最少”例：从6双不一样颜色手套中任取4只，其中恰好有一双同色手套不一样取法共有（）(A)480种（B）240种（C）180种（D）120种解：第24页练习：从6双不一样颜色手套中任取4只，其中最少有一双同色手套不一样取法共有____种解：第25页例1．6本不一样书，按以下要求各有多少种不一样选法：（1）分给甲、乙、丙三人，每人2本；例题解读：解：（1）依据分步计数原理得到：种分配问题第26页例1．6本不一样书，按以下要求各有多少种不一样选法：(2)分为三份，每份2本；解析：(2)分给甲、乙、丙三人，每人两本有种方法，这个过程能够分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有x种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有种方法．依据分步计数原理所以．

可得：例題解读：所以，分为三份，每份两本一共有15种方法所以．平均分成m组要除以第27页例1．6本不一样书，按以下要求各有多少种不一样选法：（3）分为三份，一份1本，一份2本，一份3本；（4）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本；解：（3）这是“不均匀分组”问题，一共有种方法．（4）在（3）基础上再进行全排列，所以一共有种方法．例题解读：第28页例1．6本不一样书，按以下要求各有多少种不一样选法：（5）分给甲、乙、丙三人，每人最少1本解：（5）能够分为三类情况：①“2、2、2型”分配情况，有种方法；②“1、2、3型”分配情况，有种方法；③“1、1、4型”，有种方法，所以，一共有90+360+90＝540种方法．例题解读：多个分给少个时，采取先分组再分配策略第29页1将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队,有多少分法？2.某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级两个班级且每班安排2名，则不一样安排方案种数为______

第30页环排问题线排策略例6.5人围桌而坐,共有多少种坐法?

解：围桌而坐与坐成一排不一样点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人A并从此位置把圆形展成直线其余4人共有____

种排法即

ABCEDDAABCE（5-1)！普通地,n个不一样元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.假如从n个不一样元素中取出m个元素作圆形排列共有第31页练习题6颗颜色不一样钻石，可穿成几个钻石圈60设六颗颜色不一样钻石为a,b,cd,e,f.与围桌而坐情形不一样点是a,b,c,d,e,f与f,e,d,c,b,a在围桌而坐中是两种排法，即在钻石圈中只是一个排法,即把钻石圈翻到一边,所求数为：[(6－1)!]/2＝60要考虑“钻石圈”能够翻转特点第32页混合问题，先“组”后“排”例对某种产品6件不一样正品和4件不一样次品,一一进行测试，至区分出全部次品为止，若全部次品恰好在第5次测试时全部发觉,则这么测试方法有种可能？解：由题意知前5次测试恰有4次测到次品，且第5次测试是次品。故有：种可能。第33页练习：1、某学习小组有5个男生3个女生，从中选3名男生和1名女生参加三项竞赛活动，每项活动最少有1人参加，则有不一样参赛方法______种.解：采取先组后排方法:2、3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检,每校分配1名医生和2名护士,不一样分配方法共有多少种?解法一：先组队后分校（先分堆后分配）解法二：依次确定到第一、第二、第三所学校去医生和护士.第34页小集团问题先整体局部策略例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字五位数其中恰有两个偶数夹1,５这两个奇数之间,这么五位数有多少个？解：把１,５,２,４看成一个小集团与３排队共有____种排法，再排小集团内部共有_______种排法，由分步计数原理共有_______种排法.31524小集团小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进行处理。第35页１.计划展出10幅不一样画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画,排成一行陈列,要求同一品种必须连在一起，而且水彩画不在两端，那么共有陈列方式种数为_______2.5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻排法有_______种第36页正难则反总体淘汰策略例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为大于10偶数,不一样取法有多少种？解：这问题中假如直接求大于10偶数很困难,可用总体淘汰法。这十个数字中有5个偶数5个奇数,所取三个数含有3个偶数取法有____,只含有1个偶数取法有_____,和为偶数取法共有_________再淘汰和小于10偶数共___________符合条件取法共有___________9013015017123125127024143026+-9+有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它反面往往比较简捷,能够先求出它反面,再从整体中淘汰.第37页我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记最少有一人在内抽法有多少种?练习题第38页实际操作穷举策略例15.设有编号1,2,3,4,5五个球和编号1,23,4,5五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，而且恰好有两个球编号与盒子编号相同,.有多少投法

解：从5个球中取出2个与盒子对号有_____种还剩下3球3盒序号不能对应，利用实际操作法，假如剩下3,4,5号球,3,4,5号盒3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种装法3号盒4号盒5号盒345第39页十五.实际操作穷举策略例15.设有编号1,2,3,4,5五个球和编号1,23,4,5五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，而且恰好有两个球编号与盒子编号相同,.有多少投法

解：从5个球中取出2个与盒子对号有_____种还剩下3球3盒序号不能对应，利用实际操作法，假如剩下3,4,5号球,3,4,5号盒3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种装法,同理3号球装5号盒时,4,5号球有也只有1种装法,由分步计数原理有2种第40页对于条件比较复杂排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到结果练习题同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张他人贺年卡，则四张贺年卡不一样分配方式有多少种？(9)第41页

例：如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不一样颜色中某一个,允许同一个颜色使用屡次,但相邻区域必须涂不一样颜色,不一样涂色方案有多少种？涂色问题第42页解法一:

按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成,第一步,m1=3种,第二步,m2=2种,第三步,m3=1种,第四步,m4=1种,所以依据乘法原理,得到不一样涂色方案种数共有N=3×2×1×1=6种。解法二:

3种颜色4块区域，则必定有两块同色，只能A、D同色，把它们看成一个整体元素，所以涂色方法有：第43页

例3：如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不一样颜色中某一个,允许同一个颜色使用屡次,但相邻区域必须涂不一样颜色,不一样涂色方案有多少种？

若用2色、4色、5色等,结果又怎样呢？涂色问题第44页4、某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如右图）现要栽种4种不一样颜色花，每部分栽种一个且相邻部分不能栽种一样颜色花，不一样栽种方法有______种.（以数字作答）

所以，共有48+48+24=120种.解法：从题意来看6部分种4种颜色花，又从图形看知必有2组同颜色花，从同颜色花入手分类求（2）③与⑤同色，则②④或⑥④同色，所以共有

=48种；（3）②与④且③与⑥同色，则共

=24种

（1）②与⑤同色，则③⑥也同色或④⑥也同色，所以共有=48种；第45页六、分清排列、组合、等分算法区分例1:(1)今有10件不一样奖品,从中选6件分给甲一件,乙二件和丙三件,有多