山东省聊城市十八里铺镇农场中学高三数学理下学期期末试卷含解析

山东省聊城市十八里铺镇农场中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.袋子中有四张卡片，分别写有“瓷、都、文、明”四个字，有放回地从中任取一张卡片，将三次抽取后“瓷”“都”两个字都取到记为事件A，用随机模拟的方法估计事件A发生的概率.利用电脑随机产生整数0，1，2，3四个随机数，分别代表“瓷、都、文、明”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取卡片三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：232321230023123021132220001231130133231031320122103233

由此可以估计事件A发生的概率为（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】事件A即为表中包含数字0和1的组，根据表中数据，即可求解【详解】事件A包含“瓷”“都”两字，即包含数字0和1，随机产生的18组数中，包含0,1的组有021,001,130,031,103，共5组，故所求概率为，故选C【点睛】本题考查古典概型，熟记概率计算公式即可，属基础题。2.已知两个非零向量e1，e2不共线，设向量若A、B、D三点共线，则实数k的值为

A．3

B．—3 C．—2 D．2参考答案：A3.已知向量＝（2，1），＝（1，3），则向量2﹣与的夹角为（）A．45° B．105° C．40° D．35°参考答案：A【解答】解：向量＝（2，1），＝（1，3），∴2﹣＝（3，﹣1），∴（2﹣）＝6﹣1＝5，||＝，|2﹣|＝，设量2﹣与的夹角为θ，∴cosθ＝＝＝，∵0°≤θ≤180°，∴θ＝45°，4.设函数y=x2与y=的图象交点为（x0，y0），则x0所在区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）参考答案：B【考点】56：二分法求方程的近似解．【分析】利用方程的解与函数的零点的关系，结合零点判定定理求解即可．【解答】解：函数y=x2与y=的图象交点为（x0，y0），x0方程x2=的解，就是函数f（x）=x2﹣的零点．∵f（2）=22﹣1=3＞0，f（1）=1﹣2=﹣1＜0，∴f（1）?f（2）＜0．由零点判定定理可知：方程的解在（1，2）内．故选：B．5.设，且，则

(

)A

B

10

C

20

D

100参考答案：A6.已知向量＝（4，2），＝（6，），且∥，则等于（

）A．3

B．

C．12

D．

参考答案：A略7.一光源P在桌面A的正上方，半径为2的球与桌面相切，且PA与球相切，小球在光源P的中心投影下在桌面产生的投影为一椭圆，如图所示，形成一个空间几何体，且正视图是Rt△PAB，其中PA=6，则该椭圆的短轴长为（）

A．6 B．8 C． D．3参考答案：C【考点】椭圆的简单性质．【分析】由原空间几何体作出其左视图，求解三角形可得左视图底边长，即椭圆的短轴长．【解答】解：由题中空间几何体可得其左视图为等腰三角形如图，其中PG=PA=6，OG为球的半径为2，则PO=4，又OM=2，可得∠OPM=30°，∴∠CPD=60°，则△CPD为正三角形，又PG=6，在Rt△PGD中可得GD=6×．∴该椭圆的短轴长为2GD=4．故选：C．【点评】本题以中心投影及中心投影作图法，考查了椭圆的简单性质，同时考查了椭圆的基本量，属于中档题．8.已知复数，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点在A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：D9.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：

广告费用x(万元)4235销售额y(万元)49263954根据上表可得回归方程＝x＋中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为()A．63.6万元B．65.5万元C．67.7万元D．72.0万元参考答案：B10.已知i为虚数单位，若复数（1+ai）（2+i）是纯虚数，则实数a等于（）A．2 B． C． D．﹣2参考答案：A【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】计算题．【分析】利用复数的运算法则进行化简，然后再利用纯虚数的定义即可得出．【解答】解：∵复数（1+ai）（2+i）=2﹣a+（1+2a）i是纯虚数，∴，解得a=2．故选A．【点评】熟练掌握复数的运算法则、纯虚数的定义是解题的关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知变量满足，若目标函数（其中）仅在点处取得最大值，则a的取值范围是__________.

参考答案：12.在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数）．在极坐标系中，的方程为，则与的交点的个数为_____________.参考答案：113.已知集合,，若=，R，则的最小值为

.参考答案：略14.设a，b，m，n∈R，且a2+b2=5，ma+nb=5，则的最小值为

．参考答案：考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：根据柯西不等式（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2当且仅当ad=bc取等号，问题即可解决．解答：解：由柯西不等式得，（ma+nb）2≤（m2+n2）（a2+b2）∵a2+b2=5，ma+nb=5，∴（m2+n2）≥5∴的最小值为故答案为：点评：本题主要考查了柯西不等式，解题关键在于清楚等号成立的条件，属于中档题．15.在区间上随机取一个数，则的概率为

．参考答案：略16.函数f（x）=cosx－log8x的零点个数为

。参考答案：3由得，设，作出函数的图象，由图象可知，函数的零点个数为3个。17.已知单位向量的夹角为，若，如图，则叫做向量的坐标，记作，有以下命题：①已知，则；②若，则；③若，则；④若，，且三点共线，则。

上述命题中正确的有．（将你认为正确的都写上）参考答案：②④略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，等腰梯形ABCD中,E,F为CD的三等分点，以AE为折痕把△ADE折起，使点D到达点P的位置，且PE与平面ABCE所成角的正切值为．（1）证明:平面PCE⊥平面PAE；（2）求二面角的余弦值．参考答案：（1）见解析（2）【分析】（1）根据折叠前后关系可得再根据线面垂直判定定理可得，最后根据面面垂直判定定理得结果，（2）作，垂足为O，则易得平面，过O作，交于G.以O为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，设立各点坐标，列方程组解得各面法向量，利用向量数量积解得法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果.【详解】（1）证明：依题意得，所以，因为，所以平面平面．（2）假设，由（1）过P作，垂足为O，则平面，过O作，交于G.以O为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，

则

设平面的法向量为，则

即令，得为平面的一个法向量.同理可得平面的一个法向量为，，所以二面角的余弦值为．【点睛】本题考查空间直线、平面垂直的判定与性质、二面角的求解及空间向量的坐标运算基础知识；考查空间想象能力、推理论证及运算求解能力；考查化归与转化思想、函数与方程思想．19.（本小题满分10分）《选修4——5:不等式选讲》已知函数，，且的解集为.（I）求的值；（II）若，且求证:.参考答案：24.(I)，.当m＜1时，，不等式的解集为，不符题意.当时，①当时，得，.②当时，得，即恒成立.③当时，得，.综上的解集为.由题意得，.

…………5分(II),,,,由(1)知,

…………10分20.（本题满分12分）已知数列{}为等比数列，（Ⅰ）求数列{}的通项公式；（Ⅱ）设是数列{}的前项和，证明参考答案：（I）设等比数列{an}的公比为q，则a2=a1q,a5=a1q4.

依题意，得方程组解此方程组，得a1=2,q=3.

故数列{an}的通项公式为an=2·3n－1.（II）21.(本小题满分14分)设函数

(Ⅰ)求的单调区间；

(Ⅱ)当时，若方程在上有两个实数解，求实数t的取值范围；

(Ⅲ)证明：当m>n>0时，.

参考答案：解析：（Ⅰ）①时，

∴在（—1，+）上是增函数

……………1分②当时，在上递增，在单调递减.…………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在上单调递增，在上单调递减又

∴∴当时，方程有两解

………………8分（Ⅲ）要证：只需证只需证：设，

则

………………10分由（Ⅰ）知在单调递减

………………12分∴，即是减函数，而m>n∴，故原不等式成立。

………………14分22.某校举行中学生“日常生活小常识”知识比赛,比赛分为初赛和复赛两部分，初赛采用选手从备选题中选一题答一题的方式进行；每位选手最多有5次答题机会，选手累计答对3题或答错3题即终止比赛，答对3题者直接进入复赛，答错3题者则被淘汰.已知选手甲答对每个题的概率均为，且相互间没有影响.（1）求选手甲进入复赛的概率；（2）设选手甲在初赛中答题的个数为，试求的分布列和数学期望.参考答案：(1）设选手甲答对每个题的概率为，则，设“选手甲进入复赛”为事件，则选手甲答了3题都对进入复赛概率为：；