天津天慈中学 高三数学理上学期期末试卷含解析

天津天慈中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知，且是虚数单位，，则（

）A．4

B．

C．

D．参考答案：C2.已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上递减，若不等式2f（﹣ax+lnx+1）+f（ax﹣lnx﹣1）≥3f（l）对x∈[1，3]恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[2，e] B．[，+∞） C．[，e] D．[，]参考答案：D【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由条件利用函数的奇偶性和单调性，可得0≤ax﹣lnx≤2对x∈[1，3]恒成立．即a≥且a≤对x∈[1，3]恒成立．求得相应的最大值和最小值，从而求得a的范围．【解答】解：∵定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上递减，∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，若不等式2f（﹣ax+lnx+1）+f（ax﹣lnx﹣1）≥3f（l）对x∈[1，3]恒成立，即f（ax﹣lnx﹣1）≥f（1）对x∈[1，3]恒成立．∴﹣1≤ax﹣lnx﹣1≤1对x∈[1，3]恒成立，即0≤ax﹣lnx≤2对x∈[1，3]恒成立，即a≥且a≤对x∈[1，3]恒成立．令g（x）=，则g′（x）=，在[1，e）上递增，（e，3]上递减，∴g（x）max=．令h（x）=，h′（x）=＜0，在[1，3]上递减，∴h（x）min=．综上所述，a∈[，]．故选D．【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于中档题．3.函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】3O：函数的图象．【分析】∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，函数的图象应在x轴的上方，在令x取特殊值，选出答案．【解答】解：∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，∴函数的图象应在x轴的上方，又f（0）=ln（0+1）=ln1=0，∴图象过原点，综上只有A符合．故选：A4.函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为(

) A． B． C．0 D．参考答案：B考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后的解析式，利用其为偶函数即可求得答案．解答： 解：令y=f（x）=sin（2x+φ），则f（x+）=sin=sin（2x++φ），∵f（x+）为偶函数，∴+φ=kπ+，∴φ=kπ+，k∈Z，∴当k=0时，φ=．故φ的一个可能的值为．故选B．点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查三角函数的奇偶性，属于中档题．5.对于函数和区间，如果存在，使得，则称是函数与在区间上的“互相接近点”。现给出两个函数：①；②；③；④。则在区间上存在唯一“相互接近点”的是

（

）A.①②

B.③④

C.②④

D.①③参考答案：【知识点】函数的最值及其几何意义；命题的真假判断与应用．B3A2【答案解析】D

解析：对于①：由f（x）﹣g（x）=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，显然，当x=1时，取得最小值1，符合题意，显然只有x=1符合“相互接近点”定义，所以①符合题意；对于②：由f（x）﹣g（x）=﹣x﹣2=，则当x＞0时，|f（x）﹣g（x）|恒成立，故x＞0时不存在“相互接近点”，所以②不符合题意；对于③：令h（x）=x﹣lnx，则h′（x）=1﹣，令h′（x）＞0，则x＞1，令h′（x）＜0，得0＜x＜1，所以函数h（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）递增，所以x=1时，h（x）min=h（1）=1，故当x＞0时，存在唯一的“相互接近点”，故③符合题意；对于④：因为当x＞0时，e﹣x＞0，则e﹣x+1＞1，而此时，故f（x）﹣g（x）＞1当x＞0时恒成立，故在（0，+∞）不存在“相互接近点”，所以④不符合题意．故选D．【思路点拨】由“互相接近点”的概念可知，只要是能找到一个x0，使得|f（x0）﹣g（x0）|≤1即可，因此只需构造函数h（x）=f（x）﹣g（x），利用单调性求其最大值或最小值和1比较，则问题即可解决．6.函数y＝sin(2x＋)图象的对称轴方程可能是()A．x＝－

B．x＝－

C．x＝

D．x＝参考答案：D7.抛物线的准线方程是(

)A．

B．

C．

D．参考答案：C8.已知数列{an}为各项均为正数的等比数列，Sn是它的前n项和，若，且，则=（

）A.32 B.31 C.30 D.29参考答案：B【分析】根据已知求出，再求出公比和首项，最后求.【详解】因为，所以.因为，所以.所以，所以.故选：B【点睛】本题主要考查等比数列的通项的基本量的计算，考查等比中项的应用，考查等比数列的前n项和的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9.函数在区间（）内的图象是(

）参考答案：D10.下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．y=cosxB．y=e﹣xC．y=﹣x2+1D．y=lg|x|参考答案：C【分析】逐项分析各函数的奇偶性与单调性进行判断．【解答】解：对于A，y=cosx在（0，+∞）上是周期函数，不符合题意；对于B，f（﹣x）=ex，f（x）=e﹣x=，∴y=e﹣x不是偶函数，不符合题意；对于C，y=﹣x2+1开口向下，对称轴为y轴，∴y=﹣x2+1是偶函数且在（0，+∞）上单调递减，符合题意；对于D，当x＞0时．y=lg|x|=lgx，在（0，+∞）上是增函数．不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了基本初等函数单调性与奇偶性的判断，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知抛物线y=2x2上两点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线y=x+m对称，且x1x2=﹣，那么m的值为．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先假设出直线AB的方程为y=﹣x+b，然后代入到抛物线方程中消去y得到两根之和、两根之积，再由x1x2=﹣可求出b的值从而确定直线AB的方程，再设AB的中点坐标M，根据A，B，M坐标之间的关系可得M的坐标，然后代入到直线y=x+m求出m的值．【解答】解：设直线AB的方程为y=﹣x+b，代入y=2x2得2x2+x﹣b=0，∴x1+x2=﹣，x1x2==﹣．∴b=1，即AB的方程为y=﹣x+1．设AB的中点为M（x0，y0），则x0==﹣，代入y0=﹣x0+1，得y0=．又M（﹣，）在y=x+m上，∴=﹣+m．∴m=．【点评】本题主要考查直线和抛物线的位置关系问题，解决该题的关键是充分利用对称条件．属中档题12.已知（﹣）5的展开式中含x的项的系数为30，则实数a=．参考答案：﹣6【考点】二项式系数的性质．【分析】根据二项式展开式的通项公式，列出方程即可求出r与a的值．【解答】解：（﹣）5展开式的通项公式为：Tr+1=??=（﹣a）r??，令=，解得r=1；所以展开式中含x项的系数为：（﹣a）?=30，解得a=﹣6．故答案为：﹣6．【点评】本题考查了二项式展开式的通项公式与应用问题，是基础题目．13.运行右面框图输出的S是254，则①应为_____________.参考答案：略14.若实数、满足，则的最大值为

。参考答案：9

15.已知m=3sinxdx，则二项式（a+2b﹣3c）m的展开式中ab2cm﹣3的系数为

．参考答案：﹣6480【考点】二项式系数的性质；定积分．【分析】求定积分得到m=6，再利用二项式定理求得展开式中ab2cm﹣3的系数即可．【解答】解：∵m=3sinxdx=﹣3cosx=6，∴二项式（a+2b﹣3c）6=[（2b﹣3c）+a]6展开式中含ab2c3的项为?a?（2b﹣3c）5；对于（2b﹣3c）5，含b2c3的项为?（2b）2?（﹣3c）3，故含ab2c3的项的系数为?22??（﹣3）3=﹣6480．故答案为：﹣6480．16.阅读右面的程序框图，则输出的=

．

参考答案：3017.连续抛掷一枚硬币三次，则出现两次正面一次反面的概率为_____________.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知二次函数的二次项系数为，满足不等式的解集为（1，3），且方程有两个相等的实根，求的解析式.参考答案：设所以即的解集为（1，3），所以方程的两根为，所以………①

…………②

又方程，即有两个相等的实根，所以………③

解由①②③构成的方程组得，（舍）或所以.

(也可设求解）19.已知数列{an}为等比数列，an＞0，a1=2，2a2+a3=30．（Ⅰ）求an；（Ⅱ）若数列{bn}满足，bn+1=bn+an，b1=a2，求bn．参考答案：【考点】8H：数列递推式．【分析】（I）设等比数列{an}的公比为q＞0，由a1=2，2a2+a3=30．可得2×2q+2×q2=30，解得q．（II）bn+1=bn+an，b1=a2，可得：n≥2时，bn﹣bn﹣1=an﹣1=2×3n﹣2，b1=6．利用bn=b1+（b2﹣b1）+（b3﹣b2）+…+（bn﹣bn﹣1）即可得出．【解答】解：（I）设等比数列{an}的公比为q＞0，∵a1=2，2a2+a3=30．∴2×2q+2×q2=30，解得q=3．∴an=2×3n﹣1．（II）∵bn+1=bn+an，b1=a2，∴n≥2时，bn﹣bn﹣1=an﹣1=2×3n﹣2，b1=6．∴bn=b1+（b2﹣b1）+（b3﹣b2）+…+（bn﹣bn﹣1）=6+2[3﹣1+30+…+3n﹣2]=6+2×=+3n﹣2．20.、(本小题满分12分)如图，动点与两定点、构成，且直线的斜率之积为4，设动点的轨迹为。（Ⅰ）求轨迹的方程；（Ⅱ）设直线与轴交于点，与轨迹相交于点，且，求的取值范围。参考答案：21.(本小题满分13分)已知函数，（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的最大值和最小值。参考答案：（Ⅰ）.…………4分（Ⅱ），

……………8分因为，所以，

……………9分

当，即时，的最大值为；

…………11分当，即时，的最小值为.

…………13分22.20．（本小