高中数学新教材选择性必修第二册《5.1导数的概念及其意义》课件

第五章

§5.1变化率与导数5.1.1变化率问题

5.1.2导数的概念学习目标1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.知识点一函数的平均变化率假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐标系.A是出发点，H是山顶.爬山路线用函数y＝f(x)表示.自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y＝f(x)表示此时旅游者所在的高度.设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2).思考1若旅游者从点A爬到点B，自变量x和函数值y的改变量分别是多少？答案

自变量x的改变量为x2－x1，记作Δx，函数值的改变量为y2－y1，记作Δy.思考2怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？梳理函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率(2)实质：

的增量与

的增量之比.(3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢.(4)几何意义：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函数y＝f(x)的图象上两点，则平均变化率

表示割线P1P2的

.函数值自变量斜率思考2当Δt趋近于0时，思考1中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？知识点二瞬时速度思考1物体的路程s与时间t的关系是s(t)＝5t2.试求物体在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度.梳理瞬时速度(1)物体在

的速度称为瞬时速度.(2)一般地，设物体的运动规律是s＝s(t)，则物体在t0到t0＋Δt这段时间内某一时刻极限知识点三函数在某点处的导数f′(x0)或1.在平均变化率中，函数值的增量为正值.(

)2.瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量.(

)3.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx的正、负无关.(

)[思考辨析判断正误]×√×类型一函数的平均变化率解

在x＝1附近的平均变化率为在x＝2附近的平均变化率为在x＝3附近的平均变化率为由于k1<k2<k3，所以在x＝3附近的平均变化率最大.跟踪训练1

(1)已知函数y＝f(x)＝x2＋2x－5的图象上的一点A(－1，－6)及邻近一点B(－1＋Δx，－6＋Δy)，则

＝____.Δx(2)如图所示是函数y＝f(x)的图象，则函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为___；函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为___.∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2－(1＋Δx)－(12－1)＝Δx＋(Δx)2，命题角度2平均变化率的几何意义例2过曲线y＝f(x)＝x2－x上的两点P(1,0)和Q(1＋Δx，Δy)作曲线的割线，已知割线PQ的斜率为2，求Δx的值.又∵割线PQ的斜率为2，∴1＋Δx＝2，∴Δx＝1.跟踪训练2甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图所示，则在[0，t0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v甲，v乙的关系是

A.v甲>v乙

B.v甲<v乙C.v甲＝v乙

D.大小关系不确定解析设直线AC，BC的斜率分别为kAC，kBC，由平均变化率的几何意义知，s1(t)在[0，t0]上的平均变化率v甲＝kAC，s2(t)在[0，t0]上的平均变化率v乙＝kBC.因为kAC<kBC，所以v甲<v乙.√类型二求瞬时速度∴物体在t＝1处的瞬时变化率为3.即物体在t＝1s时的瞬时速度为3m/s.例3某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1s时的瞬时速度.引申探究

1.若例3中的条件不变，试求物体的初速度.解

求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度.∴物体在t＝0时的瞬时变化率为1，即物体的初速度为1m/s.2.若例3中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9m/s.解

设物体在t0时刻的瞬时速度为9m/s.则2t0＋1＝9，∴t0＝4.则物体在4s时的瞬时速度为9m/s.跟踪训练3一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t＝2s时的瞬时速度为8m/s，求常数a的值.解

质点M在t＝2时的瞬时速度即为函数在t＝2处的瞬时变化率.∵质点M在t＝2附近的平均变化率为类型三导数定义的应用√跟踪训练4已知f(x)＝3x2，f′(x0)＝6，求x0.又f′(x0)＝6，∴6x0＝6，即x0＝1.1.设函数y＝f(x)＝x2－1，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为

A.2.1 B.1.1C.2 D.012345√A.18m/s是物体从开始到3s这段时间内的平均速度B.18m/s是物体从3s到(3＋Δt)s这段时间内的速度C.18m/s是物体在3s这一时刻的瞬时速度D.18m/s是物体从3s到(3＋Δt)s这段时间内的平均速度12345√3.设函数f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，则a等于

A.2 B.－2C.－3 D.312345√因为f′(1)＝3，所以a＝3.4.如图，函数y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间上，平均变化率最大的一个区间是________.解析

由平均变化率的定义可知，函数y＝f(x)在区间[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]上平均变化率分别为

结合图象可以发现函数y＝f(x)的平均变化率最大的一个区间是[x3，x4].12345[x3，x4]123455.一物体的运动方程为s(t)＝7t2－13t＋8，则t0＝__时该物体的瞬时速度为1.1＝14t0－13＝1，得t0＝1.理解平均变化率要注意以下几点：规律与方法(3)函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势.自变量的改变量Δx取值越小，越能准确体现函数的变化情况.利用导数定义求导数：(2)函数在x0处的导数f′(x0)只与x0有关，与Δx无关.(3)导数可以描述事物的瞬时变化率，应用非常广泛.

5.1.2导数的几何意义学习目标1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义.2.会求简单函数的导函数.3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程.知识点一导数的几何意义如图，Pn的坐标为(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4)，P的坐标为(x0，y0)，直线PT为在点P处的切线.思考1割线PPn的斜率kn是多少？思考2当点Pn无限趋近于点P时，割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系？答案

kn无限趋近于切线PT的斜率k.梳理

(1)切线的定义：设PPn是曲线y＝f(x)的割线，当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线y＝f(x)

的切线.(2)导数f′(x0)的几何意义：导数f′(x0)表示曲线y＝f(x)在点

处的切线的斜率k，即k＝

＝

.(3)切线方程：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为___________________________.在点P处(x0，f(x0))f′(x0)y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)思考已知函数f(x)＝x2，分别计算f′(1)与f′(x)，它们有什么不同.知识点二导函数f′(1)是一个值，而f′(x)是一个函数.梳理对于函数y＝f(x)，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，则当x变化时，f′(x)便是一个关于x的函数，我们称它为函数y＝f(x)的导函数(简称导数),即f′(x)＝y′＝

.特别提醒：

区别联系f′(x0)f′(x0)是具体的值，是数值在x＝x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值f′(x)f′(x)是函数f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数1.函数在一点处的导数f′(x0)是一个常数.(

)2.函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值.(

)3.直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点.(

)[思考辨析判断正误]√√×类型一求切线方程解

将x＝2代入曲线C的方程得y＝4，∴切点P(2,4).∴k＝

＝4.∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.跟踪训练1曲线y＝x2＋1在点P(2,5)处的切线与y轴交点的纵坐标是_____.－3∴k＝

＝4.∴曲线y＝x2＋1在点(2,5)处的切线方程为y－5＝4(x－2)，即y＝4x－3.∴切线与y轴交点的纵坐标是－3.命题角度2曲线过某点的切线方程例2求过点(－1,0)与曲线y＝x2＋x＋1相切的直线方程.解

设切点为(x0，

＋x0＋1)，当x0＝－2时，切线斜率k＝－3，过(－1,0)的切线方程为y－0＝－3(x＋1)，即3x＋y＋3＝0.故所求切线方程为x－y＋1＝0或3x＋y＋3＝0.解得x0＝0或x0＝－2.当x0＝0时，切线斜率k＝1，过(－1,0)的切线方程为y－0＝x＋1，即x－y＋1＝0.跟踪训练2求函数y＝f(x)＝x3－3x2＋x的图象上过原点的切线方程.∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)故所求切线方程为x－y＝0或5x＋4y＝0.类型二利用图象理解导数的几何意义例3已知函数f(x)的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是

A.0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2)B.0<f′(2)<f(3)－f(2)<f′(3)C.0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)D.0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3)√f′(2)为函数f(x)的图象在点B(2，f(2))处的切线的斜率，f′(3)为函数f(x)的图象在点A(3，f(3))处的切线的斜率，根据图象可知0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2).跟踪训练3若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是

√解析

依题意，y＝f′(x)在[a，b]上是增函数，则在函数f(x)的图象上，各点的切线的斜率随着x的增大而增大，观察四个选项的图象，只有A满足.例4已知曲线f(x)＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线g(x)＝1－x3在x＝x0处的切线互相平行，求x0的值.类型三求切点坐标解对于曲线f(x)＝x2－1，对于曲线g(x)＝1－x3，跟踪训练4直线l：y＝x＋a(a≠0)和曲线C：f(x)＝x3－x2＋1相切，则a的值为____，切点坐标为__________.解析

设直线l与曲线C的切点为(x0，y0)，又点(x0，f(x0))在直线y＝x＋a上，将x0＝1，y0＝1.代入得a＝0，与已知条件矛盾，舍去.1.如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么

A.f′(x0)>0 B.f′(x0)<0C.f′(x0)＝0 D.f′(x0)不存在12345√123452.设曲线f(x)＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于

√所以2a＝2，所以a＝1.3.已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是

A.f′(xA)>f′(xB)B.f′(xA)<f′(xB)C.f′(xA)＝f′(xB)D.不能确定解析

由导数的几何意义，知f′(xA)，f′(xB)分别是切线在点A，B处切线的斜率，由图象可知f′(xA)<f′(xB).12345√4.已知曲线y＝f(x)＝2