2023新教材高中数学第五章三角函数正弦函数余弦函数的图象练习新人教A版必修第一册

5.4三角函数的图象与性质

5.4.1正弦函数、余弦函数的图象

知识，对点练

知识点一正弦函数的图象

1.正弦曲线中最高点与相邻最低点的横坐标差的绝对值是（）

JI3Ji

A.­B.兀C.D.2兀

答案B

解析由正弦函数y=sinx的图象，可知最高点与相邻最低点的横坐标差的绝对值为“，

故选B.

2.用“五点法”作尸2sin2x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是（）

兀3兀兀兀3兀

A.0,―,Ji,—,2JiB.0,―,―,―,Ji

JITI兀2兀

C.0,兀,2兀,3兀,4兀D.0,—,—,—,-Z-

6323

答案B

JI3兀兀兀3兀

解析根据“五点法”，可令2x=0,—,兀，—,2兀，解得x=0,—,—,—,兀，

故选B.

3.函数y=l—sinx,[0,2兀]的大致图象是图中的（）

答案B

解析由y=sinx,x£[0,2兀]的图象，作出y=—sinx,x£[0,2兀]的图象，再画出

p=l—sinx,[0,2兀]的图象，可知B正确.

4.（多选）以下对正弦函数y=sinx的图象描述正确的是（）

A.在王£[24兀，2Ar+2兀]（A£Z）时的图象形状相同，只是位置不同

B.介于直线y=l与直线尸一1之间

C.关于x轴对称

D.与y轴仅有一个交点

答案ABD

解析由正弦函数y=sinx在xG[2An,2kn+2m](AeZ)时的图象可知A,B,D正确,

C不正确.故选ABD.

5.用“五点法"作出函数y=l+2sinx,xe[0,2m]的图象.

解列表

JI3兀

X0TJI2兀

sinx0i0-i0

l+2sinx131-i1

在直角坐标系中描出五点(0,1),仔，3),(Ji,1),『子，一1),(2五，1),然后用光

滑曲线顺次连接起来，就得到y=l+2sinx,xG[0,2“]的图象.如图.

知识点二余弦函数的图象

6.在同一坐标系中，函数y=—cosx的图象与余弦函数y=cosx的图象()

A.只关于x轴对称B.只关于原点对称

C.关于原点、x轴对称D.关于原点、坐标轴对称

答案C

解析作出函数y=cosx与函数y=-cosx的简图(图略)，易知选C.

7.函数y=l+cosx(xG[0,2口])的简图是()

答案D

解析把_7=。05.的图象向上平移1个单位长度即可.

8.函数y=cosx+|cosx|,[0,2兀]的大致图象为()

答案D

2cosx,OWxW5或-Wx<2兀,

解析由题意得p=<一一故选D.

9.函数y=—cosx(x>0)的图象中与p轴距离最近的最高点的坐标为()

A.仔，1)B.(JI,1)C.(0,1)D.(2Ji,1)

答案B

解析作出函数/=一cosx(x>0)的图象，如图所示，由图易知与y轴距离最近的最高点

的坐标为(兀，1).

10.用五点作图法作y=l—cosx,xd[o,2m]的图象时，其中第二个关键点的坐标为

答案停，1）

JI3Jiji

解析五点作图法五个关键点的横坐标分别为0,丁，m,1厂，2m.当时，y=l

—cos-|-=l-故第二个关键点的坐标为，7，1）.

知识点三正、余弦函数图象的应用

11.方程2—x?=cosx的实根个数是（）

A.0B.1C.2D.4

答案C

解析画出y=2-/与y=cosx的图象，观察它们的交点个数即可.

12.在[0,2m]上，正弦曲线与余弦曲线的交点坐标是（）

解析由sinx=cosx知tanx=],[0,2Jt],x=~^x=~7~-

13.函数益—sinx的定义域是（）

JIJI

A.2A兀一万,+—,AeZ

JI

B.2A兀,2kM+~,kRZ

JI

C.2"一万，2",kRZ

D.（一8,H-OO）

答案D

解析•.,一IWsinxWl,.,.cos（sinx）＞0恒成立，，函数的定义域为（一8,十8）.

14.方程xsinx=l的实根个数是（）

A.1B.2C.3D.无数个

答案D

解析作出y=,和尸sinx的图象，可知它们有无数个交点.

X

15.函数p=l+sinx,[0,2兀]的图象与直线尸2的交点个数是（）

A.0B.1C.2D.3

答案B

解析由函数尸1+sinx,[0,2兀]的图象（如图所示），可知其与直线y=2只有1

个交点.

16.在（0,2兀）内使sinx>|cosx|的x的取值范围是（)

3Ji

解析Ysinx>|cosx|,sinjr>0,(0,兀)，在同一坐标系中画出y=sinx,xG

（JI3几

(0,兀)与y=|cosx|,(0,兀）的图象，观察图象易得万£（了，—

「sinx,x20,

17.已知函数f(x)={则不等式F（x）的解集是.

[x+2,x<0,

答案（一弓，0尸匠+20,^+2^nj（AeN）

解析在同一平面直角坐标系中画出函数f（x）和直线的图象，如图所示.

13兀5兀

由图可知当f(x)>3时，有一7；〈水0或w+20<x—+2AJX(AGN).

22bb

18.求下列函数的定义域.

2

(1)y=7log2^^—1；(2)y=^/2sinx+cosx-1.

Iog2—-—-120，

解(1)为使函数有意义，需满足jsinx

、sinx>0,

J

sinxW],

即《

sinx>0.

(JI~|5兀、

根据函数夕=$111匕x£[0,2兀]的图象，得—U—,兀)

(兀「5兀、

所求函数的定义域为12An,2"+—U2"+—,2"+JII,Aez.

(2)为使函数有意义，需满足2sin'+cosx—1N0,

即2coscosx—1W0,解得一■|wcosxWl.

2JI2n

由余弦函数的图象，知2"“一一丁WK2Am+亍，"GZ,

f2JI2兀

所求函数的定义域为X2"n---+—,kRZ

19.用“五点法”作出函数y=l—2sinx,xG[―m,m]的简图，并回答下列问题：

⑴观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间.

①y>l,②J<1；

(2)若直线尸a与y=l—2sinx,xG[―Ji,口]的图象有两个交点，求a的取值范围.

解列表如下：

JIJI

一JI0JI

X一万~2

sinx0-1010

1—2sinx131-11

描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图.

（1）由图象可知图象在直线y=l上方时y>l,在直线y=l下方时八1,所以①当xd（一

兀，0）时，7>1;②当x£（o,兀）时，y<l.

（2）如图所示，当直线y=a与y=l—2sinx,[—兀，兀]的图象有两个交点时，1<水3

或一l〈a〈l,所以a的取值范围是（一1,1）U（1,3）.

易错特别练

易错点忽视临界点的取舍致误

1—aJI__

方程sinx=「厂在xG彳，口上有两个实数根，求a的取值范围.

易错分析本题的易错之处在于忽略临界点，忽视坐=9时也满足题意，从而错误地

认为坐〈宁〈1，得到错误的取值范围一l〈a〈l—

JI1-Q

正解作出y=sinx,x©至，71与了=一的图象，

由图象可知，当当即一l〈aWl—45时，y=sinx,xd"的图象与y=

NN_J_

1—a1—aJI

〒的图象有两个交点，即方程sinx=〒在xG7，口上有两个实根，所以a的取值范

NNO

围为一IXaWl—

课时综合练

一、单项选择题

1.要得到函数p=—sinx的图象，只需将函数y=cosx的图象（）

JI

A.向右平移三个单位长度

B.向右平移”个单位长度

JI

C.向左平移了个单位长度

D.向左平移Ji个单位长度

答案C

解析因为y=cos（7+j=—sinx,由图象平移变换可知，将y=cosx的图象向左平

JI

移5个单位长度即可得到y=—Sinx的图象，故选C.

2.函数尸Nsinx的定义域为（）

A.[0,n]

B.{第一或第二象限的角}

C.{x|2"WxW(2什1)m,#GZ}

D.(0,Ji)

答案C

解析要使函数y=Nsinx有意义,则需sinx20,由y=sinx的图象可得定义域为

{x|24nW后（24+1）n,AGZ}.

'5Ji、

3.已知点|在余弦曲线上，则勿=（）

A.f

B.

11

CD.

-22

答案B

5几y[3

解析m=cos-^-=—

o2

4.在[0,2兀]上，满足sinxx的取值范围是（）

JI兀5兀-

A.0,B._T,

n2兀--5兀-1

C.—D.Ji

33—

答案C

解析y=彳与y=sinx的图象的两个交点为,・・・x的取值范围为

JI2兀

/3兀兀、

5.如图所示，函数y=cosxItanx|亏且xW万J的图象是（)

解析当OWx〈5时，y=cosx・|tanx|=sinx；当了兀时，y=cosx・|tanx|=—

3it

sinx；当JI<X<亏时，y=cosx・|tanx|=sinx,故其图象为C.

V

6.方程sinx=正的根的个数是()

A.7B.8

C.9D.10

答案A

解析在同一坐标系内画出旷=木和尸sinx的图象如图所示:

，10

()7r\2i/37r

y=sin.r

根据图象可知方程有7个根.

7.函数y=lncos

答案A

解析由余弦函数的图象，可知当一时，0<cosxWl,所以y=lncosxWO,故

选A.

8.若函数y=2cosx（0W后2m）的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形，则这个

封闭图形的面积是（）

A.4B.8

C.2JtD.4Ji

答案D

解析作出函数y=2cosx,xd[0,2m]的图象，函数y=2cosx,xe[0,2口]的图象与

直线尸2围成的平面图形为如图所示的阴影部分.

利用图象的对称性可知该阴影部分的面积等于矩形以8c的面积，又•••勿=2,OC=2JI,

••S阴影部分=S矩形OABC=2X2JI=4n.

二、多项选择题

9.对于余弦函数y=cosx的图象，下列说法正确的是（）

A.向左右无限延伸

B.与尸sinx的图象形状相同，只是位置不同

C.与x轴有无数个交点

D.关于x轴对称

答案ABC

解析由余弦函数y=cosx的图象可知A,B,C正确，y=cosx的图象关于y轴对称，D

错误.故选ABC.

10.下列函数的图象相同的是（）

A.y=sirur^y=sin（n+.¥）

C.了=51,11矛与y=cos（一王）

D.y=sin（2n+x）与尸sinx

答案BD

解析y=sin（n+x）=—sinx,故A中两函数的图象不同；y=cos（x—~?=sinx,y

=cos15一，=sinx,故B中两函数的图象相同；y=cos（—王）=cosx,故C中两函数图象不

同；y=sin（2JI+x）=sinx,故D中两函数的图象相同.故选BD.

11.已知f{x}=sin卜+5”式才)=cos^——=—sinx,下列结论正确的是()

A.Ax)与g(x)的图象相同

B.g(x)与力(x)的图象关于x轴对称

ji

C.将f(x)的图象向左平移了个单位长度，得到尔x)的图象

JI

D.将f(x)的图象向右平移了个单位长度，得到g(x)的图象

答案BCD

解析广(x)=sinQ+3=cosx,g(x)=cos(x—”j=sinx,故广(x)与g(x)的图象不同，

A错误；g(x)=sinx,力(x)=—sinx,则g(x)与力(x)的图象关于x轴对称，B正确；(十万^

(兀itAJI

=$111卜+5+句=—sinx,故将广(x)的图象向左平移了个单位长度，得到力(x)的图象，C

JI

正确;=sinx=g(x),故将f(x)的图象向右平移了个单位长度，得到g(x)的图象,

D正确.故选BCD.

12.关于函数f(x)=l+cosx,共玲，2nJ的图象与直线尸位为常数)的交点情况,

下列说法正确的是()

A.当伙0或222时，有0个交点

B.当t=0或t<2时，有1个交点

C.当0〈遥时，有2个交点

D.当0〈伙2时，有2个交点

答案AB

解析画出函数f(x)在R,2m)上的图象，如图所示.对于A,当伙0或后2时，有

。个交点，故正确；对于B,当t=0或时，有1个交点，故正确；对于C,当力=5时,

只有1个交点，故错误；对于D,当时，只有1个交点，故错误.故选AB.

三、填空题

13.若sinx=20+l且xGR,则0的取值范围是.

答案[—1,0]

解析,•*sin^^[—1,1],:.—lW2/z?+l」L故一IWmWO.

14.函数y=cosx+4,[0,2兀]的图象与直线y=4的交点坐标为.

答案仔，4),仔,4)

解析作出函数y=cosx+4,xG[0,2m]的图象(图略)，容易发现它与直线y=4的交

点坐标为仔，4),『三，4).

15.函数p=sinx,[0,2兀]的图象与直线夕=一，的交点为/(xi,%),B(X2,㈤，则

矛1+X2=,IX2-X\I=.

_.2n

答案3兀丁

o

解析作出函数y=sinx与y=一3在[0,2兀]上的图象，如图所示.则矛I+X2=2X^^=

17兀11兀、11兀7兀।

31t.令sinx=-I，由xG[0,2n],得x尸-『丁或x尸丁,^=—故』一荀1

4兀2兀

=~=~

16.已知函数_f(x)=sinx+2|sinx|,[0,2兀]的图象与直线有且仅有两个不同

的交点，则A的取值范围是.

答案(1,3)

13sinx,[0,兀],

解析F(x)=sinx+2|sinx|=彳的图象如图.若使F(x)的图

[—sinx,兀,2兀」

象与直线尸A有且仅有两个不同的交点，根据图象可得A的取值范围是(1,3).

四、解答题

A/31

17.根据p=cosx的图象解不等式：一■^-WcosxWg,[0,2兀].

解函数p=cosx