江西省抚州市黎川县黎川一中片区八校联考2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（含答案）

－2024学年度第二学期期中考试初二数学试题一、填空题（每题3分，共18分）1．近年来，中国自主品牌的发展取得了举世瞩目的成就，在以下国家核电、中国高铁、中国航天、中国华能这四个企业标志中，中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．如图，∠A=∠D=90°，AC=DB，以下能作为△ABC与△DCB全等的依据是（）A．AAS B．SSS C．HL D．SASD3．在下列不等式组中，无解的是（）A． B． C． D．4．如图，△ABC是等腰直角三角形，DE是过点C的直线，BD⊥DE，AE⊥DE，则△BDC通过下列变换能与△ACE重合的是（）A．绕点C逆时针旋转90度 B．沿AB的垂直平分线翻折C．绕AB的中点M顺时针旋转90度 D．沿DE方向平移5．如图，直线y=－x+1与y=k+b（k≠0且k，b为常数）的交点坐标为（－1，2）则关于x的不等式－x+1>kx+b的解集为（）A．x>－1 B．x<－1 C．x>2 D．x<26．如图，已知AD为△ABC的高线，AD=BC，以AB为底边作等腰Rt△ABE，且点E在△ABC内部，连接ED，EC，延长CE交AD于F点，下列结论：①△ADE≌△BCE，②CE⊥DE，③BD=AF，④S△BDE=S△ACE，其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（每题3分，共18分）7．点A（－2，3）与点B关于原点中心对称，则点B的坐标为_____．8．用反证法证明“x<3”时，首先应假设_____．9．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=50，CD⊥AB于D，则∠DCB的度数为_____．10．一组学生在校门口拍一张合影，已知冲一张底片需要0.6元，洗一张照片需要0.4元，每人都得到一张照片，每人平均分摊的钱不超过0.5元，那么参加合影的同学至少有_____人．11．如图，等边△ABC和等边的边长都是4，点B，C，在同一条直线上，点P在线段上，则AP+BP的最小值为_____．12．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，且交线段AC于点P，使其中只有一个是等腰三角形，则AP=_____．三、解答题（共84分）13．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．14．如图所示，在△ABC中，∠A=90，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE垂直平分BC，（1）求∠C的度数：（2）当AD=2时，求BC的长度．15．如图所示，点P的坐标为（1，3），把点P绕坐标原点O逆时针旋转90°后得到点Q．（1）求点Q的坐标；（2）若把点Q向右平移a个单位长度，再向下平移a个单位长度，得到的点M（m，n）落在第四象限，求a的取值范围．16．如图在网格中，三角形ABC的顶点都在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）（1）在图1中，作∠ABC的平分线BD，交AC于点D．（2）在图2中，作∠BAC的平分线AE，交BC于点E．17．关于x的两个不等式：①与②1－2x>0．（1）若两个不等式的解集相同，求a的值．（2）若不等式①的解都是②的解，求a的取值范围．18．如图，在△ABC中，AB=AC，D为AC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE=DF，连接BD，点G在BC的延长线上，且CD=CG．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）若BF=3，求CG的长．19．按照“双减政策”，为丰富课后托管服务内容，鼓励学生参与体育锻炼活动，某校准备从某商店一次性购买若干个篮球和排球，两种球的售价分别为篮球每个160元，排球每个120元．（1）若学校从该商店一次性购买篮球和排球共60个，总费用不超过8640元，那么学校最多可以购买多少个篮球？（2）若该商店到厂家批发购进篮球和排球共100个，按售价全部售出，厂家批发价分别为篮球每个130元，排球每个100元，要使商店的利润不低于2580元，且购进排球数量不少于篮球数量的，商店有哪几种进货方案？20．类比学习：一动点沿着数轴先向右平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，相当于向右平移1个单位长度．用实数加法表示为3+（－2）=1．若坐标平面上的点有如下平移：沿x轴方向平移的数量为a（向右为正，向左为负，平移个单位长度），沿y轴方向平移的数量为b（向上为正，向下为负，平移个单位长度），则把有序数对叫做这一平移的“平移量”，“平移量”与“平移量”的加法运算法则为．解决问题：（1）计算：；（2）动点P从坐标原点O出发，先按照“平移量”）平移到点A，再按照“平移量”平移到点B；若先把动点P按照“平移量”平移到点C，再按照“平移量”平移，最后的位置还是点B吗？在图①中画出四边形OABC．（3）如图②所示，一艘船从码头O出发，先航行到湖心岛码头P（2，3），再从码头P航行到码头Q（5，5），最后回到出发点O．请用“平移量”加法算式表示它的航行过程．21．已知一次函数．（1）若关于的方程的解为负数，求的取值范围；（2）若关于的不等式组的解集为，求a，b的值．（3）在（2）的条件下，若等腰三角形的两边分别为a和，直接写出该三角形的面积．22．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，，AB=BC，E是AB的中点，CE⊥BD．（1）求证：△ABD≌△BCE；（2）求证：AC是线段ED的垂直平分线．（3）△DBC是等腰三角形吗？请说明理由．23．某研究性学习小组在学习第三章第4节《简单的图案设计》时，发现了一种特殊的四边形，如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，我们把这种四边形称为“等补四边形”．如何求“等补四边形”的面积呢？探究一：（1）如图2，已知“等补四边形”ABCD，若∠A=90°，将“等补四边形”ABCD绕点A顺时针旋转90°，可以形成一个直角梯形（如图3）．若BC=4cm，CD=2cm，则“等补四边形”的面积为______cm2探究二：（2）如图4，已知“等补四边形”ABCD，若∠A=120°，将“等补四边形”绕点A顺时针旋转120°，再将得到的四边形按上述方式旋转120°，可以形成一个等边三角形（如图5）．若BC=6cm，CD=4cm，求“等补四边形”ABCD的面积．探究三：（3）由以上探究可知，对一些特殊的“等补四边形”，只需要知道BC，CD的长度，就可以求它的面积．那么如图6，已知“等补四边形”ABCD，连接AC，若BC=m，CD=n，∠ACD=30°，试求出“等补四边形”ABCD的面积（用含m，n的代数式表示）．2023-2024学年度第二学期期中考试初二数学试卷参考答案及评分细则题号123456答案ACDCBD4．C解析：∵△ABC是等腰直角三角形，DE是过点C的直线，BD⊥DE，AE⊥DE，∴AB=AC，∠ADC=∠CEA=∠BCA=90°，∵∠DCB+∠BCA+∠ECA=180°，∴∠DBC+∠DCB=∠ECA+∠DCB=90°，∴∠DBC=∠ECA，∴，∴BD=CE，CD=AE，A、绕点C旋转后，CD与AE不重合，即△BDC与△ACE不重合，故选项A不符合题意；B、△BDC与△ACE不关于AB的中垂线对称，则沿AB的中垂线翻折后BD与AE不重合，故选项B不符合题意；C、因为△ABC是等腰直角三角形，所以CM⊥AB，所以绕中点M逆时针旋转90度，则△ACE与△BDC重合，故选项C符合题意；D、先沿DE方向平移△BDC，使点E与点D重合后，BD与AE不重合，故选项D不符合题意；故选：C．6．D解析：∵AD为ABC的高线，∴∠CBE+∠ABE+∠BAD=90°，∵RtABE是等腰直角三角形，∴∠ABE=∠BAE=∠BAD+∠DAE=45°，AE=BE，∴∠CBE+∠BAD=45°，∴∠DAE=∠CBE，在DAE和CBE中，∴ADE≌BCE（SAS）；故①正确；②∵ADE≌BCE，∴∠EDA=∠ECB，∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠EDC+∠ECB=90°，∴∠DEC=90°，∴CE⊥DE；故②正确；③∵∠BDE=∠ADB+∠ADE，∠AFE=∠ADC+∠ECD，∴∠BDE=∠AFE，∵∠BED+∠BEF=∠AEF+∠BEF=90°，∴∠BED=∠AEF，在AEF和BED中，∴AEF≌BED（AAS），∴BD=AF；故③正确；④∵AD=BC，BD=AF，∴CD=DF，∵AD⊥BC，∴FDC是等腰直角三角形，∵DE⊥CE，∴EF=CE，∴S△AEF=S△ACE，∵AEF≌BED，∴S△AEF=S△BED，∴S△BDE=S△ACE．故④正确；综上①②③④都正确，故选D．题号789101112答案25°681或3或3.6（第12题每答对1个得1分）10．6解析：设参加合影的同学有x人，根据题意可得：0.6+0.4x≤0.5x，解得：x≥6，∴参加合影的同学至少有6人．故答案为6．11．8解析：如图，连接，∵和都是边长为4的等边三角形，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴当点P与点C重合时，点A与点关于对称，的值最小，正好等于的长，∴的最小值为，故答案为：8．12．1或3或3.6解析：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，∴AC==5，沿过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，有三种情况：如图①所示，AB=AP=3；如图②所示，AB=BP=3，且P在AC上时，作△ABC的高BD，则BD==2.4，∴AD=DP==1.8，∴AP=2AD=3.6；如图③所示，CB=CP=4，∴AP=AC-CP=5-4=1；综上所述：AP的值为3或3.6或1，故答案为：1或3或3.6．13．解:解不等式①，得：x＜2…………………1分解不等式②，得：x≥－1………3分∴原不等式组的解集是：－1≤x＜2……………4分解集在数轴上表示为：……………6分14．解：（1）∵垂直平分，∴DB＝DC，∴，……………1分∵的平分线交于点，∴∠ABD＝∠DBE，……………2分∵，∴，…………3分（2）由（1）得：∠ABD＝30°，在Rt△ABD中，∵，AD＝2，∴BD＝2AD＝4，……………4分∴AB＝BD2−AD2=42∴在Rt△ABC中，BC＝2AB＝43．……………6分15．解：（1）如图所示，过点P作轴于A，过点Q作轴于B，∴，∴，由旋转的性质得：，…………………1分∴，∴，∴，……………2分∴，∵点P的坐标为，∴OB＝PA＝3，QB＝OA＝1，∴点Q的坐标为，

……………3分（2）∵点向右平移a个单位长度，向下平移a个单位长度后，得到点M∴点M的坐标为，……………4分∵点M在第四象限，∴，…………5分∴．因此a的取值范围为．……………6分16．解:（1）如图所示，BD即为所求；……………3分（2）如图所示，AE即为所求．……………6分17．解：（1）解不等式①，得：；……………1分解不等式②，得：．∵两个不等式的解集相同，∴，……………2分解得．因此a的值为23；（2）∵不等式①的解都是②的解，∴，……………5分解得．因此a的取值范围为．……………6分18．（1）证明：∵DE⊥AB，，∴，∵D为的中点，∴，在与中，，∴，……………2分∴，∴，……………3分∵，∴，∴是等边三角形；……………4分（2）解：由（1）知，是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∴，∵，∴，∵，D为的中点，∴∠DBC＝12∠ABC＝30°＝∠G∴，……………5分又∵，∴，……………6分∵，∴，∴，……………7分∴．……………8分19．解：（1）设学校购买篮球个，排球个，依题意得：，……………2分解得，因此学校最多可购买篮球36个．……………3分（2）设商店到厂家购进篮球个，则排球是个，依题意得：，……………5分解得：，……………7分因为为整数，所以，59，60，所以商店有三种进货方案：①购进篮球58个，排球42个；②购进篮球59个，排球41个；③购进篮球60个，排球40个．……………8分20．解：（1）{3，1}+{1，2}={4，3}；……………2分(2)画图如下：最后的位置仍是B．……………5分（其中画图正确得2分）（3）从O出发，先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，可知平移量为{2，3}，同理得到P到Q的平移量为{3，2}，从Q到O的平移量为{-5，-5}，故有{2，3}+{3，2}+{-5，-5}={0，0}．……………8分21．解：（1）关于x的方程的解为负数，即的解为负数，解得……………1分∴……………2分解得；……………3分（2）∵关于x的不等式组的解集为，即的解集为，解不等式①得：解不等式②得：，∴……………4分∴……………5分解得∴a的值为5，b的值为6；……………6分或……………9分（答对一个得2分，两个全对得3分）解析：∵，当腰为时，底边长为，如图所示，作底边上的高，∴，∴∴,当腰为6，底边长为时，∴，∴∴,综上所述，该三角形的面积为或．22．（1）证明：∵BD⊥EC，∠ABC＝90°，∴∠1+∠3＝90°，∠2+∠3＝90°，∴∠1＝∠2，……………1分∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC＝180°，∵∠ABC＝90°，∴∠BAD＝90°＝∠ABC，……………2分又∵AB＝BC，∴△BAD≌△CBE（ASA），……………3分证明：由（1）得：△BAD≌△CBE∴AD＝BE，∵E是AB中点，∴BE＝AE，∴AD＝AE，……………4分在△BAD中，∵AB＝BC，∠ABC＝90°，∴