湖南省永州市园艺中学高三数学文下学期期末试卷含解析

湖南省永州市园艺中学高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.圆和圆的位置关系是（）A．相离 B．相交 C．内切 D．外切参考答案：B【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】求出两圆的圆心坐标和半径大小，利用两点的距离公式算出两个圆心之间的距离，再比较圆心距与两圆的半径之和、半径之差的大小关系，可得两圆的位置关系．【解答】解：∵圆x2+y2﹣8x+6y+9=0的标准方程为（x﹣4）2+（y+3）2=16，∴圆x2+y2﹣8x+6y+9=0的圆心是C2（4，﹣3），半径=4．又∵圆x2+y2=9的圆心是C1（0，0），半径r2=3．∴|C1C2|=5，∵|r1﹣r2|=1，r1+r2=7，∴|r1﹣r2|＜|OC|＜r1+r2，可得两圆相交．故选B．2.设集合是

A．{3，0}

B．{3，2，0}

C．{3，1，0}

D．参考答案：C因为，所以，即，所以，所以，即，所以，选C.3.已知点是曲线上的一个动点，则点到直线的距离的最小值为（

）A、

B、

C、

D、参考答案：B4.设集合，则C中元素的个数是（）A.3

B.4

C.5

D.6参考答案：【知识点】集合中元素个数的最值．A1

【答案解析】B

解析：∵a∈A，b∈B，∴a=1，或a=2或a=3，b=4或b=5，则x=b﹣a=3，2，1，4，即B={3，2，1，4}．故选：B．【思路点拨】根据集合C的元素关系确定集合C即可．5.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C＝120°，c＝a，则()A．

B．C．

D．a与b的大小关系不能确定参考答案：D6.定义一种运算：a?b＝已知函数f(x)＝2x?(3－x)，那么函数y＝f(x＋1)的大致图象是()图2－3参考答案：B7.已知（其中为虚数单位），，则以下关系中正确的是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略8.是有零点的

（

）A.充分不必要条件

B.充要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：C9.若正实数x，y满足x+y=2，则的最小值为（） A．1 B． 2 C． 3 D． 4参考答案：考点： 基本不等式．专题： 不等式的解法及应用．分析： 利用基本不等式的性质即可得出．解答： 解：∵正实数x，y满足x+y=2，∴=1，当且仅当x=y=1时取等号．故选：A．点评： 本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．10.若是上周期为5的奇函数，且满足，则A

-1

B1

C-2

D2

参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知向量，满足，与的夹角为，则在上的投影是

参考答案：112.已知“|x﹣a|＜1”是“x2﹣6x＜0”的充分不必要条件，则实数a的取值范围为

．参考答案：[1，5]【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】分别求出不等式的等价条件，利用“|x﹣a|＜1”是“x2﹣6x＜0”的充分不必要条件，确定实数a的取值范围．【解答】解：由“|x﹣a|＜1”得﹣1＜x﹣a＜1，即a﹣1＜x＜a+1．由“x2﹣6x＜0”得0＜x＜6．要使“|x﹣a|＜1”是“x2﹣6x＜0”的充分不必要条件，则，解得，即1≤a≤5，故实数a的取值范围为[1，5]．故答案为：[1，5]．13.

已知、是椭圆和双曲线

的公共顶点。是双曲线上的动点,是椭圆上的动点（、都异于、），且满足，其中，设直线、、、的斜率分别记为、、、,,则________.

参考答案：-514.如果一个正方形的四个点都在三角形的三边上，则该正方形是该三角形的内接正方形，那么面积为4的锐角的内接正方形面积的最大值为

参考答案：15.在边长为1的正方形ABCD中,E、F分别为BC、DC的中

点，则__________.参考答案：略16.设双曲线的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F做x轴的垂线交双曲线于B，C两点，若A1B⊥A2C，则双曲线的离心率为．参考答案：【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】求得B和C点坐标，根据直线的斜率公式可得k1×k2=﹣1，即可求得=1，根据双曲线的离心率公式，即可求得双曲线的离心率．【解答】解：由题意可知：左、右顶点分别是A1（﹣a，0），A2（a，0），当x=c时，代入双曲线方程，解得：y=±，设B（c，），C（c，﹣），则直线A1B的斜率k1==，直线A2C的斜率k2==﹣，由A1B⊥A2C，则k1×k2=﹣1，即×=1，则=1，双曲线的离心率e===，故答案为：．17.已知（为自然对数的底数），函数，则__________.参考答案：7三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分)地震、海啸、洪水、森林大火等自然灾害频繁出现，紧急避险常识越来越引起人们的重视．某校为了了解学生对紧急避险常识的了解情况，从七年级和八年级各选取100名同学进行紧急避险常识知识竞赛.下图1和图2分别是对七年级和八年级参加竞赛的学生成绩按，分组，得到的频率分布直方图.(Ⅰ)分别计算参加这次知识竞赛的两个年级学生的平均成绩；(注：统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表)(Ⅱ)完成下面列联表，并回答是否有99%的把握认为“两个年级学生对紧急避险常识的了解有差异”？

成绩小于60分人数成绩不小于60分人数合计七年级

八年级

合计

附：.0.100.050.0102.7063.8416.635临界值表：

参考答案：解：(Ⅰ)七年级学生竞赛平均成绩(45×30+55×40+65×20+75×10)÷100=56(分)，八年级学生竞赛平均成绩﹙45×15+55×35+65×35+75×15﹚÷100=60(分).……………6分(Ⅱ)

成绩小于60分人数成绩不小于60分人数合计七年级7030100八年级5050100合计12080200…………8分∴，∴有99%的把握认为“两个年级学生对紧急避险常识的了解有差异”.略19.（本小题满分14分）已知椭圆：上的一动点到右焦点的最短距离为，且右焦点到右准线的距离等于短半轴的长．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)过点(，)的动直线交椭圆于、两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点，使得无论如何转动，以为直径的圆恒过定点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：解：(Ⅰ)设椭圆的焦距为，则由题设可知，解此方程组得，.

所以椭圆C的方程是.

………5分(Ⅱ)解法一：假设存在点T（u,v）.若直线l的斜率存在，设其方程为，将它代入椭圆方程，并整理，得

设点A、B的坐标分别为，则

……7分因为及所以

……10分当且仅当恒成立时，以AB为直径的圆恒过定点T，所以解得此时以AB为直径的圆恒过定点T（0，1）.

……12分当直线l的斜率不存在，l与y轴重合，以AB为直径的圆为也过点T（0，1）.综上可知，在坐标平面上存在一个定点T（0，1），满足条件.

……14分解法二：若直线l与y轴重合，则以AB为直径的圆是若直线l垂直于y轴，则以AB为直径的圆是

由解得.由此可知所求点T如果存在，只能是（0，1）.

……8分事实上点T（0，1）就是所求的点.证明如下：当直线l的斜率不存在，即直线l与y轴重合时，以AB为直径的圆为，过点T（0，1）；当直线l的斜率存在，设直线方程为，代入椭圆方程，并整理，得设点A、B的坐标为，则

……11分因为，

所以，即以AB为直径的圆恒过定点T（0，1）.

……13分综上可知，在坐标平面上存在一个定点T（0，1）满足条件.

……14分略20.已知定点，，满足的斜率乘积为定值的动点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程;(2)过点的动直线与曲线的交点为，与过点垂直于轴的直线交于点，又已知点,试判断以为直径的圆与直线的位置关系，并证明。参考答案：解：(1)设，得.(2)设代入得得当时,,,又得,PD的中点，圆M的半径.圆心M到时直线PF距离，当.综上，直线PF与BD为辅直径的圆M相切。略21.如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=CC1，平面BAC1⊥平面ACC1A1，∠ACC1=∠BAC1=60°，AC1∩A1C=O．（Ⅰ）求证：BO⊥平面AA1C1C；（Ⅱ）求二面角A﹣BC1﹣B1的余弦值．参考答案：【考点】MT：二面角的平面角及求法；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推导出BO⊥AC1，由此利用平面ABC1⊥平面AA1C1C，能证明BO⊥平面AA1C1C．（Ⅱ）以O为坐标原点，建空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）依题意，四边形AA1C1C为菱形，且∠AA1C1=60°∴△AA1C1为正三角形，又∠BAC1=60°，∴△BAC1为正三角形，又O为AC1中点，∴BO⊥AC1，∵平面ABC1⊥平面AA1C1C，平面ABC1∩平面AA1C1C=AC1，∵BO?平面AA1CC1，∴BO⊥平面AA1C1C．…解：（Ⅱ）以O为坐标原点，建空间直角坐标系，如图，令AB=2，则，C1（0，1，0）∴，设平面BB1C1的一个法向量为，由得，取z=1，得…又面ABC1的一个法向量为∴

…故所求二面角的余弦值为…22.“大众创业，万众创新”是李克强总理在本届政府工作报告中向全国人民发出的口号．某生产企业积极响应号召，大力研发新产品，为了对新研发的一批产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据（i=1,2，…，6），如表所示：试销单价x（元）456789产品销量y（件）q8483807568已知．（Ⅰ）求出q的值；（Ⅱ）已知变量x，y具有线性相关关系，求产品销量y（件）关于试销单价x（元）的线性回归方程；（Ⅲ）用表示用（Ⅱ）中所求的线性回归方