陕西省西安市东方美术中学高三数学理月考试题含解析

陕西省西安市东方美术中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，M={1，3，5，7}，N={5，6，7}，则A.{5，7}

B.{2，4}

C.{2,4,8}

D.{1,3,5,7}参考答案：B2.复数,则 （

）A. B.

C.

D.参考答案：C3.给出下列命题：①“当x∈R时，sinx+cosx≤1”是必然事件；②“当x∈R时，sinx+cosx≤1”是不可能事件；③“当x∈R时，sinx+cosx＜2”是随机事件；④“当x∈R时，sinx+cosx＜2”是必然事件其中正确命题的个数是(

)A、0

B、1

C、2

D、3参考答案：B4.已知、是两条不同的直线,是两个不同的平面，则下列命题中假命题是(

)A．若，,则

B．若，,则C．若，,则

D．若，,,,则参考答案：C5.若则实数的取值范围是（

）A．；B.；C.；D.参考答案：B6.若函数分别是上的奇函数、偶函数，且满足，则有（

）A． B．C． D．参考答案：D略7.（09年聊城一模理）一支足球队每场比赛获胜（得3分）的概率为，与对手踢平（得1分）的概率为，负于对手（得0分）的概率为，已知该足球队进行一场比赛得分的期望是1，则的最小值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：答案：A8.（5分）已知定义在实数集R上的函数f（x）满足f（1）=3，且f（x）的导数f′（x）在R上恒有f′（x）＜2（x∈R），则不等式f（x）＜2x+1的解集为（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣1，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）参考答案：A【考点】：利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【专题】：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】：令F（x）=f（x）﹣2x﹣1，从而求导可判断导数F′（x）=f′（x）﹣2＜0恒成立，从而可判断函数的单调性，从而可得当x＞1时，F（x）＜F（1）=0，从而得到不等式f（x）＜2x+1的解集．解：令F（x）=f（x）﹣2x﹣1，则F′（x）=f′（x）﹣2，又∵f（x）的导数f′（x）在R上恒有f′（x）＜2，∴F′（x）=f′（x）﹣2＜0恒成立，∴F（x）=f（x）﹣2x﹣1是R上的减函数，又∵F（1）=f（1）﹣2﹣1=0，∴当x＞1时，F（x）＜F（1）=0，即f（x）﹣2x﹣1＜0，即不等式f（x）＜2x+1的解集为（1，+∞）；故选A．【点评】：本题考查了导数的综合应用及利用函数求解不等式的方法应用，属于中档题．9.

；参考答案：10.取棱长为的正方体的一个顶点，过从此顶点出发的三条棱的中点作截面，依次进行下去，对正方体的所有顶点都如此操作，所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体，则此多面体：①有12个顶点；②有24条棱；③有12个面；④表面积为；⑤体积为。以上结论正确的是

(

)A．①②⑤

B．①②③C．②④⑤

D．②③④⑤参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.不透明盒子里装有大小质量完全相同的2个黑球，3个红球，从盒子中随机摸取两球，颜色相同的概率为．参考答案：0.4【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再求出取到的球颜色相同包含的基本事件个数，由此能求出取到的球颜色相同的概率．【解答】解：一个盒子里装有2个黑球，3个红球，随机取出两个球，基本事件总数n==10，取到的球颜色相同包含的基本事件个数m==4，∴取到的球颜色相同的概率P==0.4．故答案为0.4．12.△ABC中，AB=，cosB=，点D在边AC上，BD=，且=λ（+）（λ＞0）则sinA的值为．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算．【专题】数形结合；向量法；平面向量及应用．【分析】根据=λ（+），容易判断点D为AC的中点，由三角形的中线长定理和余弦定理，可得AC，BC的长，再由正弦定理，可得sinA．【解答】解：如图，过B作BE⊥AC，垂足为E，取AC中点F，连接BF，则=λ（+）（λ＞0）=λ（+）=；∴和共线，∴D点和F点重合，∴D是AC的中点，由中线长定理可得，BD===，又AC2=AB2+BC2﹣2AB?BC?cosB，即为AC2=+BC2﹣?BC?，解方程可得BC=2，AC=，由正弦定理可得=，可得sinA===．故答案为：．【点评】本题考查向量加法的平行四边形法则，共线向量基本定理，余弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题．13.（极坐标与参数方程选做题）若直线的极坐标方程为，圆C:

(为参数)被直线截得的劣弧长为

.参考答案：略14.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为．参考答案：【考点】LG：球的体积和表面积；L7：简单空间图形的三视图．【分析】根据三视图得出空间几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O﹣ABCD，正方体的棱长为2，A，D为棱的中点，利用球的几何性质求解即可．【解答】解：根据三视图得出：该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O﹣ABCD，正方体的棱长为2，A，D为棱的中点根据几何体可以判断：球心应该在过A，D的平行于底面的中截面上，设球心到截面BCO的距离为x，则到AD的距离为：2﹣x，∴R2=x2+（）2，R2=12+（2﹣x）2，解得出：x=，R=，该多面体外接球的表面积为：4πR2=π，故答案为：．15.某几何体的三视图如图所示,主视图和左视图是长为3，宽为2的矩形，俯视图是边长为2的正方形，则该几何体的体积为_________．参考答案：8略16.已知，则

▲

．参考答案：令=﹣1，解得x=，即f（﹣1）=，故答案为：

17.若点在直线上,则=

．参考答案：－2三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知为等差数列，且.（Ⅰ）求数列的通项公式及其前项和；（Ⅱ）若数列满足求数列的通项公式.参考答案：解（Ⅰ）设等差数列的首项和公差分别为，则，解得.

------------------------------------2分∴,

------------------------------------4分

------------------------------------6分（Ⅱ）①②-----------------------------------7分①-②得

------------------------------------8分∴,

------------------------------------10分

------------------------------------11分∴

------------------------------------12分19.设数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2﹣an，（n=1，2，3，…）（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}满足b1=1，且bn+1=bn+an，求数列{bn}的通项公式；（Ⅲ）cn=，求cn的前n项和Tn．参考答案：【考点】8E：数列的求和；8M：等差数列与等比数列的综合．【分析】（Ⅰ）在题目给出的递推式中取n=1求出a1，取n=n+1得到第二个递推式，两式作差后整理即可说明给出的数列是等比数列，则通项公式可求；（Ⅱ）把（Ⅰ）中求出的an代入递推式bn+1=bn+an，然后利用累加法可求数列{bn}的通项公式；（Ⅲ）把（Ⅱ）中求出的bn代入cn=，整理后利用错位相减法求cn的前n项和Tn．【解答】解：（Ⅰ）由Sn=2﹣an①当n=1时，S1=2﹣a1，∴a1=1．取n=n+1得：Sn+1=2﹣an+1②②﹣①得：Sn+1﹣Sn=an﹣an+1即an+1=an﹣an+1，故有2an+1=an（n=1，2，3，…），∵a1=1≠0，∴an≠0，∴（n∈N*）．所以，数列{an}为首项a1=1，公比为的等比数列．则an=（n∈N*）．（Ⅱ）∵bn+1=bn+an，∴，则，，，…．将以上n﹣1个等式累加得：==．∴=．（Ⅲ）由．Tn=c1+c2+c3+…+cn．得：③④③﹣④得：==．∴．20.（12分）已知f（x）=xlnx，g（x）=﹣x+a．（1）当a=2时，求函数y=g（x）在[0，3]上的值域；（2）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（3）证明：对一切x∈（0，+∞），都有xlnx＞成立．参考答案：考点： 利用导数研究函数的单调性；二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值．专题： 计算题．分析：（1）当a=2时，由g（x）=，x∈[0，3]，利用二次函数的性质求出它的值域．（2）利用函数f（x）的导数的符号，分类讨论f（x）单调性，从而求出f（x）的最小值．（3）令h（x）==﹣，通过h′（x）=的符号研究h（x）的单调性，求出h（x）的最大值为h（1）=﹣．再由f（x）=xlnx在（0，+∞）上的最小值为﹣，且f（1）=0大于h（1），可得在（0，+∞）上恒有f（x）＞h（x），即．解答： 解：（1）当a=2时，g（x）=，x∈[0，3]，当x=1时，；当x=3时，，故g（x）值域为．（2）f'（x）=lnx+1，当，f'（x）＜0，f（x）单调递减，当，f'（x）＞0，f（x）单调递增．

①若，t无解；

②若，即时，；

③若，即时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，f（x）min=f（t）=tlnt，所以f（x）min=．

（3）证明：令h（x）==﹣，h′（x）=，当0＜x＜1时，h′（x）＞0，h（x）是增函数．当1＜x时．h′（x）＜0，h（x）是减函数，故h（x）在（0，+∞）上的最大值为h（1）=﹣．而由（2）可得，f（x）=xlnx在（0，+∞）上的最小值为﹣，且当h（x）在（0，+∞）上的最大值为h（1）时，f（x）的值为ln1=0，故在（0，+∞）上恒有f（x）＞h（x），即．点评： 本题主要考查利用导数研究函数的单调性，二次函数的性质，函数的恒成立问题，属于中档题．21.已知数列{an}满足an=2an-1-2n+5，（n∈N且n≥2），a1=1，（I）若bn=an-2n+1，求证数列{bn}（n∈N*）是常数列，并求{an}的通项；（II）若Sn是数列{an}的前n项和，又cn=（-1）nSn，且{Cn}的前n项和Tn＞tn2在n∈N*时恒成立，求实数t的取值范围。参考答案：（1）由已知中数列{an}满足an=2an-1-2n+5（n∈N+且n≥2），a1=1．我们易得到an-2n+1=2[an-1-2（n-1）+1]，又由bn=an-2n+1，可得bn=2bn-1，且b1=0，进而易判断出数列{bn}（n∈N+）是常数列，即bn=0，再由bn=an-2n+1，即可给出数列{an}的通项公式；

（2）由（1）中结论，我们易得数列{an}为等差数列，进而易得到Sn的表达式，根据cn=（-1）nSn，求出对应的{cn}后，分n为奇数和偶数两种情况分别求出Tn解对应的不等式式，即可求出实数t的取值范围．

解答：解：（1）由an=2an-1-2n+5知：an-2n+1=2[an-1-2（n-1）+1]，而a1=1

于是由bn=an-2n+1，可知：bn=2bn-1，且b1=0

从而bn=0，故数列{bn}是常数列．

于是an=2n-1．（5分）

（2）Sn是{an}前n项和，则Sn=1+3+5+…+（2n-1）=n2，cn=（-1）nn2当n为奇数时，即n=2k-1，Tn=T2k-1=-12+22-32+42+…+（2k-2）2-（2k-1）2=-k（2k-1）=-当n为偶数时，Tn=T2k=T2k-1+（2k）2=．∴Tn=．由Tn＞tn2恒成立，则需＞tn2恒成立．只需n为奇数时恒成立．∴（n