陕西省榆林市玉林南江第一中学高三数学理期末试题含解析

陕西省榆林市玉林南江第一中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设周期函数是定义在R上的奇函数，若的最小正周期为3，且，

，则的取值范围是

A.

B.

C.

D.参考答案：A略2.设函数,则实数=

(

)A.-4或-2

B.-4或2

C.-2或4

D.-2或2参考答案：B3.随机抛掷一枚质地均匀的骰子，记正面向上的点数为a，则函数f（x）=x2+2ax+2有两个不同零点的概率为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】抛掷一枚质地均匀的骰子包含6个基本事件，由函数f（x）=x2+2ax+2有两个不同零点，得a的取值有2，3，4，5，6，共5种结果，由此能求出函数f（x）=x2+2ax+2有两个不同零点的概率．【解答】解：抛掷一枚质地均匀的骰子包含6个基本事件，由函数f（x）=x2+2ax+2有两个不同零点，得△=4a2﹣8＞0，解得a＜﹣或a＞．又a为正整数，故a的取值有2，3，4，5，6，共5种结果，所以函数f（x）=x2+2ax+2有两个不同零点的概率为．故选：D．4.平面过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,平面,平面ABCD=m,平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为()A、

B、

C、 D、参考答案：D5.已知命题，命题，则下列命题为真命题是

（

）A． B． C．

D．参考答案：C6.已知在的平分线AD交边于点D，且，则AD的长为A. B. C. D.3参考答案：A7.设为等差数列的前项和，若，公差，则k=A．8

B．7

C．6

D．5参考答案：D8.已知，，则A．

a>b>c

B．b>a>c

C．a>c>b

D．c>a>b参考答案：D9.已知定义在实数集R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=f（x﹣1），且当x∈[0，1]时，f（x）=x2，则关于x的方程f（x）=|x|在[﹣1，2]上根的个数是（）A．2 B．4 C．6 D．8参考答案：B【考点】函数奇偶性的性质；抽象函数及其应用．

【专题】函数的性质及应用．【分析】关于x的方程f（x）=|x|在[﹣1，2]上根的个数，即函数y=f（x）和y=|x|的图象交点的个数，在同一坐标系中画出两个函数的图象，可得答案．【解答】解：∵函数f（x）满足f（x+1）=f（x﹣1），即f（x+2）=f（x），故函数是以2为周期的周期函数，又由函数f（x）为定义在实数集R上的偶函数，且当x∈[0，1]时，f（x）=x2，故在[﹣1，2]上，函数y=f（x）和y=|x|的图象如下所示：由图可知：两个函数的图象共有4个交点，故关于x的方程f（x）=|x|在[﹣1，2]上有4个根，故选B．【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的周期性，函数的零点与方程的根，是函数图象和性质的综合应用，难度不大，属于基础题．10.设满足，则=（

）（A）

（B）

（C）

（D）1参考答案：答案:B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设f(x)是R上的奇函数，且f(－1)＝0，当x＞0时，(x2＋1)·f(x)－2x·f(x)＜0，则不等式f(x)＞0的解集为

▲

．参考答案：(－∞,－1)∪(0,1)因为′＝，而(x2＋1)f′(x)－2xf(x)＜0，所以′＜0，令g(x)＝，则函数g(x)在(0，＋∞)单调递减，且也为奇函数，g(－1)＝－g(1)＝0，作出函数g(x)的大致示意图，由图可知g(x)＞0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)，即为不等式f(x)＞0的解集．

12.如图，在△ABC中，AB=AC，BC=2，，，若，则=．参考答案：考点：向量在几何中的应用．专题：计算题；平面向量及应用．分析：以BC的中点O为原点，建立如图所示直角坐标系，可得B（﹣1，0），C（1，0）．设A（0，m），从而算出向量的坐标关于m的式子，由建立关于m的方程，解出m=2．由此算出的坐标，从而可得的值．解答：解：以BC的中点O为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系，如图所示．则B（﹣1，0），C（1，0），设A（0，m），由题意得D（，），E（，），∴=（，），=（1，﹣m），∵，∴×1+×（﹣m）=﹣，解之得m=2（负值舍去）由此可得E（，），=（﹣，），=（﹣1，﹣2）∴=﹣×（﹣1）+×（﹣2）=﹣．故答案为：﹣点评：本题给出等腰三角形的底面长，在已知两个向量的数量积的情况下求另外向量的数量积．着重考查了等腰三角形的性质、向量的数量积公式和向量的坐标运算等知识，属于中档题．13.若过点p（1，）作圆O：x2+y2=1的两条切线，切点分别为A、B两点，则|AB|=．参考答案：【考点】圆的切线方程．【分析】根据题意画出相应的图形，由圆的方程找出圆心坐标和半径r，确定出|OA|与|OB|的长，由切线的性质得到OA与AP垂直，OB与PB垂直，且切线长相等，由P与O的坐标，利用两点间的距离公式求出|OP|的长，在直角三角形AOP中，利用勾股定理求出|AP|的长，同时得到∠APO=30°，确定出三角形APB为等边三角形，由等边三角形的边长相等得到|AB|=|OP|，可得出|AB|的长．【解答】解：由圆的方程x2+y2=1，得到圆心O（0，0），半径r=1，∴|OA|=|OB|=1，∵PA、PB分别为圆的切线，∴OA⊥AP，OB⊥PB，|PA|=|PB|，OP为∠APB的平分线，∵P（1，），O（0，0），∴|OP|=2，在Rt△AOP中，根据勾股定理得：|AP|==，∵|OA|=|OP|，∴∠APO=30°，∴∠APB=60°，∴△PAB为等边三角形，则|AB|=|AP|=．故答案为：．14.如图甲，在中，，，为．垂足，则，该结论称为射影定理．如图乙，在三棱锥中，平面，平面，为垂足，且在内，类比射影定理，探究、、这三者之间满足的关系是

参考答案：考点：合情推理与演绎推理试题解析：因为作则，又有相同的底BC，

所以，

故答案为：15.若角600°的终边上有一点，则a的值是_____________.参考答案：【分析】可根据在角的终边上得出，然后根据诱导公式即可得出结果【详解】因为若角的终边上有一点，所以，即，答案为.【点睛】本题考查三角函数的相关性质，主要考查角的终边上的点的坐标，考查诱导公式，考查计算能力，是简单题16.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若，，，，则球O的表面积为______参考答案：36π【分析】直三棱柱中，底面是直角三角形，可以补成长方体，求出长方体的对角线，就可以求出外接球的直径，最后求出球的表面积。【详解】直三棱柱中，底面是直角三角形，可以补成长方体，如下图所示：,所以球的直径为6，球的表面积为。【点睛】本题考查了利用补形法求直三棱柱外接球的表面积。17.．随机变量，若，则______________参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在实数集中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”．类似的，我们在复数集上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“”．定义如下：对于任意两个复数，（），当且仅当“”或“且”．按上述定义的关系“”，给出如下四个命题：①若，则；②若，，则；③若，则，对于任意，；④对于复数，若，则.其中所有真命题的个数为

A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：B19.如图：ABCD是菱形，SAD是以AD为底边等腰三角形，，，且二面角S﹣AD﹣B大小为120°，∠DAB=60°．（1）求证：AD⊥SB；（2）求SC与SAD平面所成角的正弦值．参考答案：【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）取AD的中点E，连SE，BE，证明AD⊥平面SBE，即可证明：AD⊥SB；（2）过S作SO⊥直线BE，垂足为O，证明∠SEB为二面角的平面角，再求SC与SAD平面所成角的正弦值．【解答】（1）证明：取AD的中点E，连SE，BE，由题意知△ABD为正三角形，∴SE⊥AD，BE⊥AD．又SE∩BE=E，∴AD⊥平面SBE，SB?平面SBE，∴AD⊥SB．（2）解：过S作SO⊥直线BE，垂足为O，由（1）知平面ABCD⊥平面SBE，则SO⊥平面ABCD，连OE，则AD⊥OE．∴∠SEB为二面角的平面角，∠SEO=60°，∴．∵BC∥SAD，C到SAD距离为B到SAD距离，由B作SE垂直BO1，由（1）知平面ASD⊥平面SBE，平面BO1⊥平面SAD，BE=3，．OE=3，EB=3，∴OABD是平行四边形，O在直线CD上，SC2=SO2+OC2=27+48=75，．设线面角为α，，∴SC与平面SAD所成角的正弦值为．20.已知函数(1）

当时，恒成立，求实数的取值范围。(2）

当时，讨论函数的单调性。参考答案：（1）当时，恒成立的定义域为（0，+∞）令，则,

因为，由得，且当时，；当时，.所以在上递增，在上递减.所以，故

(2）的定义域为（0，+∞），当时，＞0，故在（0，+∞）单调递增；当0＜＜1时，令=0，解得.则当时，＞0；时，＜0.故在单调递增，在单调递减.21.如右图，已知与圆相切于点，经过点的割线交圆于点，的平分线分别交于点.(Ⅰ)证明：；

(Ⅱ)若，求的值.参考答案：略22.（本小题满分14分）已知数列{an}中，a1＝，点（n，2an＋1－an）（n∈N*）在直线y＝x上，???（Ⅰ）计算a2，a3，a4的值；???（Ⅱ）令bn＝an＋1－an－1，求证：数列{bn}是等比数列；???（Ⅲ）设Sn、Tn分别为数列{an}、{bn}的前n项和，是否存在实数λ，使得数列{}为等差数列？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．参考答案：（Ⅰ）由题意，2an＋1－an＝n，又a1＝，所以2a2－a1＝1，解得a2＝，同理a3＝，a4＝．

（3分）（Ⅱ）因为2an＋1－an＝n，所以bn＋1＝an＋2－an＋1－1＝－an＋1－1＝，b-n＝an＋1－an－1＝an＋1－（2an＋1－n）－1＝n－an＋1－1＝2bn＋1，即＝又b1＝a2－a1－1＝－，所以数列{bn