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文档简介
2023-2024学年广东省中山纪念中学高考全国统考预测密卷数学试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.函数的大致图象是A. B. C. D.2.已知x,y满足不等式,且目标函数z=9x+6y最大值的变化范围[20,22],则t的取值范围()A.[2,4] B.[4,6] C.[5,8] D.[6,7]3.设等差数列的前n项和为,且,,则()A.9 B.12 C. D.4.从某市的中学生中随机调查了部分男生,获得了他们的身高数据,整理得到如下频率分布直方图:根据频率分布直方图,可知这部分男生的身高的中位数的估计值为A. B.C. D.5.已知函数的图象的一条对称轴为,将函数的图象向右平行移动个单位长度后得到函数图象,则函数的解析式为()A. B.C. D.6.在三棱锥中,,,P在底面ABC内的射影D位于直线AC上,且,.设三棱锥的每个顶点都在球Q的球面上,则球Q的半径为()A. B. C. D.7.已知,满足,且的最大值是最小值的4倍,则的值是()A.4 B. C. D.8.随着人民生活水平的提高,对城市空气质量的关注度也逐步增大,下图是某城市月至月的空气质量检测情况,图中一、二、三、四级是空气质量等级,一级空气质量最好,一级和二级都是质量合格天气,下面叙述不正确的是()A.1月至8月空气合格天数超过天的月份有个B.第二季度与第一季度相比,空气达标天数的比重下降了C.8月是空气质量最好的一个月D.6月份的空气质量最差.9.已知在平面直角坐标系中,圆:与圆:交于,两点,若,则实数的值为()A.1 B.2 C.-1 D.-210.已知函数,则的值等于()A.2018 B.1009 C.1010 D.202011.已知函数,对任意的,,当时,,则下列判断正确的是()A. B.函数在上递增C.函数的一条对称轴是 D.函数的一个对称中心是12.以,为直径的圆的方程是A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若函数的图像与直线的三个相邻交点的横坐标分别是,,,则实数的值为________.14.给出下列四个命题,其中正确命题的序号是_____.(写出所有正确命题的序号)因为所以不是函数的周期;对于定义在上的函数若则函数不是偶函数;“”是“”成立的充分必要条件;若实数满足则.15.若,则_________.16.已知复数z1=1﹣2i,z2=a+2i(其中i是虚数单位,a∈R),若z1•z2是纯虚数,则a的值为_____.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在锐角中,分别是角的对边,,,且.(1)求角的大小;(2)求函数的值域.18.(12分)在平面直角坐标系xOy中,已知平行于x轴的动直线l交抛物线C:于点P,点F为C的焦点.圆心不在y轴上的圆M与直线l,PF,x轴都相切,设M的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程;(2)若直线与曲线E相切于点,过Q且垂直于的直线为,直线,分别与y轴相交于点A,当线段AB的长度最小时,求s的值.19.(12分)已知函数()(1)函数在点处的切线方程为,求函数的极值;(2)当时,对于任意,当时,不等式恒成立,求出实数的取值范围.20.(12分)已知函数(1)若对任意恒成立,求实数的取值范围;(2)求证:21.(12分)如图,三棱锥中,(1)证明:面面;(2)求二面角的余弦值.22.(10分)在锐角中,,,分别是角,,所对的边,的面积,且满足,则的取值范围是()A. B. C. D.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】
利用函数的对称性及函数值的符号即可作出判断.【详解】由题意可知函数为奇函数,可排除B选项;当时,,可排除D选项;当时,,当时,,即,可排除C选项,故选:A【点睛】本题考查了函数图象的判断,函数对称性的应用,属于中档题.2、B【解析】
作出可行域,对t进行分类讨论分析目标函数的最大值,即可求解.【详解】画出不等式组所表示的可行域如图△AOB当t≤2时,可行域即为如图中的△OAM,此时目标函数z=9x+6y在A(2,0)取得最大值Z=18不符合题意t>2时可知目标函数Z=9x+6y在的交点()处取得最大值,此时Z=t+16由题意可得,20≤t+16≤22解可得4≤t≤6故选:B.【点睛】此题考查线性规划,根据可行域结合目标函数的最大值的取值范围求参数的取值范围,涉及分类讨论思想,关键在于熟练掌握截距型目标函数的最大值最优解的处理办法.3、A【解析】
由,可得以及,而,代入即可得到答案.【详解】设公差为d,则解得,所以.故选:A.【点睛】本题考查等差数列基本量的计算,考查学生运算求解能力,是一道基础题.4、C【解析】
由题可得,解得,则,,所以这部分男生的身高的中位数的估计值为,故选C.5、C【解析】
根据辅助角公式化简三角函数式,结合为函数的一条对称轴可求得,代入辅助角公式得的解析式.根据三角函数图像平移变换,即可求得函数的解析式.【详解】函数,由辅助角公式化简可得,因为为函数图象的一条对称轴,代入可得,即,化简可解得,即,所以将函数的图象向右平行移动个单位长度可得,则,故选:C.【点睛】本题考查了辅助角化简三角函数式的应用,三角函数对称轴的应用,三角函数图像平移变换的应用,属于中档题.6、A【解析】
设的中点为O先求出外接圆的半径,设,利用平面ABC,得,在及中利用勾股定理构造方程求得球的半径即可【详解】设的中点为O,因为,所以外接圆的圆心M在BO上.设此圆的半径为r.因为,所以,解得.因为,所以.设,易知平面ABC,则.因为,所以,即,解得.所以球Q的半径.故选:A【点睛】本题考查球的组合体,考查空间想象能力,考查计算求解能力,是中档题7、D【解析】试题分析:先画出可行域如图:由,得,由,得,当直线过点时,目标函数取得最大值,最大值为3;当直线过点时,目标函数取得最小值,最小值为3a;由条件得,所以,故选D.考点:线性规划.8、D【解析】由图表可知月空气质量合格天气只有天,月份的空气质量最差.故本题答案选.9、D【解析】
由可得,O在AB的中垂线上,结合圆的性质可知O在两个圆心的连线上,从而可求.【详解】因为,所以O在AB的中垂线上,即O在两个圆心的连线上,,,三点共线,所以,得,故选D.【点睛】本题主要考查圆的性质应用,几何性质的转化是求解的捷径.10、C【解析】
首先,根据二倍角公式和辅助角公式化简函数解析式,根据所求函数的周期性,得到其周期为4,然后借助于三角函数的周期性确定其值即可.【详解】解:.,,的周期为,,,,,..故选:C【点睛】本题重点考查了三角函数的图象与性质、三角恒等变换等知识,掌握辅助角公式化简函数解析式是解题的关键,属于中档题.11、D【解析】
利用辅助角公式将正弦函数化简,然后通过题目已知条件求出函数的周期,从而得到,即可求出解析式,然后利用函数的性质即可判断.【详解】,又,即,有且仅有满足条件;又,则,,函数,对于A,,故A错误;对于B,由,解得,故B错误;对于C,当时,,故C错误;对于D,由,故D正确.故选:D【点睛】本题考查了简单三角恒等变换以及三角函数的性质,熟记性质是解题的关键,属于基础题.12、A【解析】
设圆的标准方程,利用待定系数法一一求出,从而求出圆的方程.【详解】设圆的标准方程为,由题意得圆心为,的中点,根据中点坐标公式可得,,又,所以圆的标准方程为:,化简整理得,所以本题答案为A.【点睛】本题考查待定系数法求圆的方程,解题的关键是假设圆的标准方程,建立方程组,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、4【解析】
由题可分析函数与的三个相邻交点中不相邻的两个交点距离为,即,进而求解即可【详解】由题意得函数的最小正周期,解得故答案为:4【点睛】本题考查正弦型函数周期的应用,考查求正弦型函数中的14、【解析】
对①,根据周期的定义判定即可.对②,根据偶函数满足的性质判定即可.对③,举出反例判定即可.对④,求解不等式再判定即可.【详解】解:因为当时,所以由周期函数的定义知不是函数的周期,故正确;对于定义在上的函数,若,由偶函数的定义知函数不是偶函数,故正确;当时不满足则“”不是“”成立的充分不必要条件,故错误;若实数满足则所以成立,故正确.正确命题的序号是.故答案为:.【点睛】本题主要考查了命题真假的判定,属于基础题.15、【解析】
因为,所以.因为,所以,又,所以,所以..16、-1【解析】
由题意,令即可得解.【详解】∵z1=1﹣2i,z2=a+2i,∴,又z1•z2是纯虚数,∴,解得:a=﹣1.故答案为:﹣1.【点睛】本题考查了复数的概念和运算,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)【解析】
(1)由向量平行的坐标表示、正弦定理边化角和两角和差正弦公式可化简求得,进而得到;(2)利用两角和差余弦公式、二倍角和辅助角公式化简函数为,根据的范围可确定的范围,结合正弦函数图象可确定所求函数的值域.【详解】(1),,由正弦定理得:,即,,,,又,.(2)在锐角中,,..,,,,函数的值域为.【点睛】本题考查三角恒等变换、解三角形和三角函数性质的综合应用问题;涉及到共线向量的坐标表示、利用三角恒等变换公式化简求值、正弦定理边化角的应用、正弦型函数值域的求解等知识.18、(1),(2).【解析】
根据题意设,可得PF的方程,根据距离即可求出;点Q处的切线的斜率存在,由对称性不妨设,根据导数的几何意义和斜率公式,求,并构造函数,利用导数求出函数的最值.【详解】因为抛物线C的方程为,所以F的坐标为,设,因为圆M与x轴、直线l都相切,l平行于x轴,所以圆M的半径为,点,则直线PF的方程为,即,所以,又m,,所以,即,所以E的方程为,,设,,,由知,点Q处的切线的斜率存在,由对称性不妨设,由,所以,,所以,,所以,.令,,则,由得,由得,所以在区间单调递减,在单调递增,所以当时,取得极小值也是最小值,即AB取得最小值此时.【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系,以及利用导数求函数最值的关系,考查了运算能力和转化能力,属于难题.19、(1)极小值为,极大值为.(2)【解析】
(1)根据斜线的斜率即可求得参数,再对函数求导,即可求得函数的极值;(2)根据题意,对目标式进行变形,构造函数,根据是单调减函数,分离参数,求函数的最值即可求得结果.【详解】(1)函数的定义域为,,,,可知,,解得,,可知在,时,,函数单调递增,在时,,函数单调递减,可知函数的极小值为,极大值为.(2)可以变形为,可得,可知函数在上单调递减,,可得,设,,可知函数在单调递减,,可知,可知参数的取值范围为.【点睛】本题考查由切线的斜率求参数的值,以及对具体函数极值的求解,涉及构造函数法,以及利用导数求函数的值域;第二问的难点在于对目标式的变形,属综合性中档题.20、(1);(2)见解析.【解析】
(1)将问题转化为对任意恒成立,换元构造新函数即可得解;(2)结合(1)可得,令,求导后证明其导函数单调递增,结合,即可得函数的单调区间和最小值,即可得证.【详解】(1)对任意恒成立等价于对任意恒成立,令,,则,当时,,单调递增;当时,,单调递减;有最大值,.(2)证明:由(1)知,当时,即,,,令,则,令,则,在上是增函数,又,当时,;当时,,在上是减函数,在上是增函数,,即,.【点睛】本题考查了利用导数解决恒成立问题,考查了利用导数证明不等式,考查了计算能力和转化化归思想,属于中档题.21、(1)证明见解析(2)【解析】
(1)取中点,连结,证明平面得到答案.(2)如图所示,建立空间直角坐标系,为平面的一个法向量,平面的一个法向量为,计算夹角得到答案.【详解】(1)取中点,连结,,,,,为直角,,平面,平面,∴面面.(2)如图所示,建立空间直角坐标系,则,可取为平面的一个
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