2023-2024学年广东省四会中学、广信中学高二（下）第一次月考数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年广东省四会中学、广信中学高二（下）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列求导正确的是(

)A.(1x)′=1x2 2.已知函数y=f(x)，其导函数y=f

A.在x=0处取极小值 B.在x=2处取极小值

C.在(0,3.某班4个同学分别从3处风景点中选择一处进行旅游观光，则不同的选择方案是(

)A.A43种 B.C43种 C.434.春节档电影《热辣滚烫》通过讲述主人公的成长与蜕变，展示了热情与坚韧如何成为人生道路上最强大的动力.它鼓励观众保持对生活的热爱和坚持，相信只要不放弃，就能够找到属于自己的光芒，实现梦想.甲、乙、丙等七人相约到电影院看电影《热辣滚烫》，恰好买到了七张连号的电影票.若甲、乙两人必须相邻，且丙坐在七人的正中间，则不同的坐法的种数为(

)A.192 B.240 C.96 D.485.用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若f′(x)是f(x)的导函数，f′′(x)是f′(x)的导函数，则曲线yA.0 B.12 C.1 D.6.函数y=(2xA. B.

C. D.7.已知关于x的不等式exsinx−coA.(−∞,eπ2] B.8.若函数f(x)=ex−ax2A.e2<a<e B.e2二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.若(x−1)A.a0=1

B.a3=2010.身高各不相同的六位同学A、B、C、D、E、F站成一排照相，则说法正确的是(

)A.A、C、D三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种站法

B.A与C同学不相邻，共有A44⋅A52种站法

C.A、C、D三位同学必须站在一起，且A只能在C与D的中间，共有144种站法

D.11.已知函数f(x)=(x−1)eA.f′(x)>0恒成立

B.函数g(x)的极小值为0

C.若函数y=g(三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.计算3A53+4C613.(1+1x)(114.已知偶函数f(x)的定义域是(−∞,0)∪(0,+四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题15分)

在(1x−2x)n的展开式中，第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的4倍．

(1)求n的值．16.(本小题15分)

男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1名．现选派5人外出参加比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？

(1)男运动员3名，女运动员2名；

(2)队长中至少有1人参加；

17.(本小题15分)

已知f(x)=ax3−bx+4，f(x)在x=2处取得极小值−43．

(18.(本小题15分)

在暑假期间，小明同学到某乡镇参加社会调查活动.小明利用所学知识帮一苹果农户解决年利润最大问题.经小明调查，对苹果精包装需要投入年固定成本3万元，每加工x万斤苹果，需要流动成本C(x)万元.当苹果年加工量不足10万斤时，C(x)=12x2−9ln(x+1)；当苹果年加工量不低于10万斤时，C(x)=8x+10019.(本小题17分)

已知函数f(x)=ax−1−lnx(a∈R)．

(1)讨论函数的单调性；

(2)答案和解析1.【答案】D

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于A，(1x)′=(x−1)′=−x−2=−1x2，A错误；

对于B，(cosx)′2.【答案】A

【解析】解：由图像可知，当x<0，2<x<4时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，

当0<x<2，x>4时，f′(x)<0，函数f3.【答案】D

【解析】解：由题意每位同学都有3种选择，共有34种选择方法．

故选：D．

利用分步计数乘法定理即可求解．

4.【答案】A

【解析】解：甲、乙、丙等七人恰好买到了七张连号的电影票，

若甲、乙两人必须相邻，且丙坐在七人的正中间，

若丙在正中间(4号位)，甲、乙两人只能坐12，23或56，67号位，有4种情况，

考虑到甲、乙的顺序有A22种情况，剩下的4个位置其余4人坐，有A44种情况，

故不同的坐法的种数为C41A25.【答案】C

【解析】解：根据题意，可得f′(x)=1−ex，f′′(x)=−ex，得f′(0)=6.【答案】C

【解析】解：设f(x)=(2x−sinx)⋅2−|x|，则f(−x)=−f(x)，

则f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除B选项，

又f7.【答案】C

【解析】解：∀x∈(0,π2),exsinx−cosx−a>0⇔a<exsi8.【答案】B

【解析】解：由题f(x)=ex−ax2=0在区间(0,+∞)无解，

即a=exx2在区间(0,+∞)无解，

设g(x)=exx2，则g′(x)=ex⋅x2−ex⋅2xx4=exx3(x−2)，

所以当x∈(0,2)时，g′(x)<0，g(x)单调减，

当x∈(2,+∞)时，g′(x)>0，g(x)单调增，

又g(2)=e9.【答案】AC【解析】解：根据(x−1)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6，

当x=0时，a0=(−1)6=1，故A正确；10.【答案】AB【解析】解：对于A，6个人全排列有A66种方法，A、C、D全排列有A33种方法，

则A、C、D从左到右按高到矮的排列有A66A33=120种方法，A正确；

对于B，先排列除A与C外的4个人，有A44种方法，4个人排列共有5个空，

利用插空法将A和C插入5个空，有A52种方法，则共有A44A52种方法，B正确；

对于C，A、C、D必须排在一起且A在C、D中间的排法有2种，

将这3人捆绑在一起，与其余3人全排列，有A44种方法，则共有2A44=48种方法，C错误；

对于D，6个人全排列有A66种方法，当A在排头时，有A55种方法，当B在排尾时，有A5511.【答案】CD【解析】解：由函数f(x)=(x−1)ex+kx，因为f(1)=1，可得k=1，所以f(x)=(x−1)ex+1x，

对于A中，由f′(x)=(x2−x+1)ex−1x2，因为f′(−2)=7e−2−14<0，

所以f′(x)>0不恒成立，所以A不正确；

对于B中，由g(x)=xf(x)=(x−1)ex+1，x≠0，可得g′(x)=xex，x≠0，

其中g(0)的值不能确定，所以g(x)的极小值不一定为0，所以B错误；

对于C中，由g′(x)=xex，x≠0，

当x<0时，可得g′(x)<0；当12.【答案】1303【解析】解：3A53+4C63313.【答案】21

【解析】解：(1+1x)(1+x)6=(1+x)6+1x⋅(1+x)6，

(1+14.【答案】(−【解析】解：当x>0时，由2f(x)+xf′(x)>2，

得2xf(x)+x2f′(x)−2x>0，即[x2(f(x)−1)]′15.【答案】解：(1)因为在(1x−2x)n的展开式中，第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的4倍，

所以Cn2=4Cn1，即n(n−1)2=4n，结合n为正整数，可得n=9；

(2)二项式(1x【解析】(1)根据二项式展开式的通项公式，建立关于n的方程，解之即可得到本题的答案；

(2)根据题意求出(1x−2x16.【答案】解：(1)分两步完成：

第一步，选3名男运动员，有C63种选法；

第二步，选2名女运动员，有C42种选法．

由分步乘法计数原理可得，共有C63C42=120(种)选法．

(2)从10人中任选5人有C105种选法，

其中不选队长的方法有C85种．

所以“至少有1名队长”的选法有C105−C8【解析】(1)本题是一个分步计数问题，首先选3名男运动员，再选2名女运动员，利用乘法原理得到结果；

(2)求得10人中任选5人的选派方法，以及没有队长的选派方法，利用对立事件的性质求解即可；

17.【答案】解：(1)由题意知f′(x)=3ax2−b，

因为f(x)在x=2处取得极小值−43，

则f(2)=8a−2b+4=−43f′(2)=12a−b=0，解得a=13，b=4，经检验，满足题意，

所以a=13，b=4，

所以f(x)=13x3−4x+4；

(2)由题意知f(x)=13x3−4x+4，f′(x)=【解析】(1)求出f′(x)，由题意可得f′(2)=0f(2)=−43，由此即可求出答案；18.【答案】解：(1)根据题意知，当0<x<10时，f(x)=7x−3−[12x2−9ln(x+1)]=7x−3−12x2+9ln(x+1)；

当x≥10时，f(x)=【解析】(1)根据题意，利用年利润=年销售收入−流动成本−年固定成本，计算利润函数f(x)；

(2)19.【答案】解：(1)f′(x)=