河南省三门峡市第一中学高三数学理上学期期末试卷含解析

河南省三门峡市第一中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，在正方体中，是的中点，为底面内一动点，设与底面所成的角分别为（均不为．若，则动点的轨迹为哪种曲线的一部分（

）.(A)直线

(B)圆

(C)椭圆

(D)抛物线参考答案：B【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理.【知识内容】图形与几何/空间图形/空间直线与平面的位置关系;图形与几何/曲线与方程/曲线与方程的概念.【正确选项】B【试题分析】在正方体中，平面,,所以,因为，所以，即,因为为的中点，所以,设正方体边长为2，以DA方向为轴，线段DA的垂直平分线为轴建立如图所示的坐标系，则,因为，所以，化简得，所以动点的轨迹为圆的一部分.2.角的弧度表示为（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：C3.对于一切实数&当变化时，所有二次函数.的函数值恒为非负实数，则的最小值是（）A.2

B.3

C.

D.

参考答案：B4.过抛物线：的焦点的直线与抛物线C交于，两点，与其准线交于点，且，则A．

B．

C．

D．1参考答案：B5.已知双曲线x2﹣=1与抛物线y2=8x的准线交于点P，Q，抛物线的焦点为F，若△PQF是等边三角形，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意，x=﹣2，等边三角形的边长为，将（﹣2，）代入双曲线，可得方程，即可求出m的值．【解答】解：由题意，x=﹣2，等边三角形的边长为，将（﹣2，）代入双曲线，可得=1，∴，故选：B．6.已知双曲线的一条渐近线与圆相交于两点，且，则此双曲线的离心率为A．

B．

C．

D．参考答案：C7.已知函数，如果对于任意的，恒成立，则实数k的取值范围是（

）A．

B．(－∞,1]

C.

D．参考答案：B原问题等价于对任意的，，即函数的图像恒不在函数的上方，令，则，函数单调递增，且，则单调递增，即函数切线的斜率随着自变量的增大而增大，函数图像下凸，函数在处的切线为，且，函数在处的切线方程为，如图所示，观察可知，函数中k的取值范围是.本题选择B选项.

8.在△ABC中，I是△ABC的重心，AB、AC的边长分别为2、l，∠BAC=60°，则=

A．

B．

C．

D．参考答案：A9.设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为,如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D略10.已知向量a，b满足，则向量b在向量a方向上的投影是

A．

B．-1

C．

D．1参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知直三棱柱的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱,,分别交于三点,,,若为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为

参考答案：建立空间直角坐标系,设当且仅当时取等号.12.在数列中，若存在一个确定的正整数，对任意满足，则称是周期数列，叫做它的周期．已知数列满足，（），，当数列的周期为时，则的前项的和________．参考答案：1324由，得，，因为数列的周期为时，所以，即，解得或。当时，数列为，所以。当时，数列为，所以，综上。13.已知随机变量服从正态分布，若，则______．参考答案：试题分析：由正态分布的图象可知,故,故.考点：正态概率分布的运算．14.下表是某厂1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据，月份1234用水量4.5432.5

由其散点图可知，用水量与月份之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是

▲

．参考答案：答案：

15.若直角三角形的顶点是A（－1，0）、B（1，0），则直角顶点C（x，y）的轨迹方程为

．参考答案：答案：

16.已知是单位圆上（圆心在坐标原点）任一点，将射线绕点逆时针旋转到交单位圆于点，则的最大值为

．参考答案：【知识点】三角函数的定义；两角和与差的三角函数.

C1

C5【答案解析】

解析：设则,所以=，所以的最大值为.【思路点拨】利用以原点为圆心的圆上点的坐标，与过此点的半径所在射线的和x轴的正半轴所成的角的关系，得关于的函数，求此函数的最大值即可.17.若在平面直角坐标系内过点且与原点的距离为的直线有两条，

则的取值范围是___________．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ=，曲线C的参数方程为．（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；（2）过点M平行于直线l1的直线与曲线C交于A、B两点，若|MA|?|MB|=，求点M轨迹的直角坐标方程．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标方程的互化，直接写出直线l的普通方程，消去参数可得曲线C的直角坐标方程；（2）设点M（x0，y0）以及平行于直线l1的直线参数方程，直线l1与曲线C联立方程组，通过|MA|?|MB|=，即可求点M轨迹的直角坐标方程．通过两个交点推出轨迹方程的范围，【解答】解：（1）直线l的极坐标方程为θ=，所以直线斜率为1，直线l：y=x；曲线C的参数方程为．消去参数θ，可得曲线…（2）设点M（x0，y0）及过点M的直线为由直线l1与曲线C相交可得：，即：，x2+2y2=6表示一椭圆…取y=x+m代入得：3x2+4mx+2m2﹣2=0由△≥0得故点M的轨迹是椭圆x2+2y2=6夹在平行直线之间的两段弧…【点评】本题以直线与椭圆的参数方程为载体，考查直线与椭圆的综合应用，轨迹方程的求法，注意轨迹的范围的求解，是易错点．19.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程ρ=2sin（θ+）．倾斜角为，且经过定点P（0，1）的直线l与曲线C交于M，N两点（Ⅰ）写出直线l的参数方程的标准形式，并求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）求的值．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）由倾斜角为，且经过定点P（0，1）的直线l的参数方程为：．曲线C的极坐标方程ρ=2sin（θ+），展开：ρ2=2×（sinθ+cosθ），利用互化公式可得直角坐标方程．（II）把直线l的参数方程代入圆C的方程为：t2﹣t﹣1=0，可得+=+==即可得出．【解答】解：（I）由倾斜角为，且经过定点P（0，1）的直线l的参数方程为：，化为：．曲线C的极坐标方程ρ=2sin（θ+），展开：ρ2=2×（sinθ+cosθ），可得直角坐标方程：x2+y2=2x+2y．（II）把直线l的参数方程代入圆C的方程为：t2﹣t﹣1=0，t1+t2=1，t1t2=﹣1．∴+=+====．20.(本小题满分12分)已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．是椭圆的右顶点与上顶点，直线与椭圆相交于两点．（1）求椭圆的方程；

（2）当四边形面积取最大值时，求的值．参考答案：(1)由题意知：＝

∴，∴.……2分又∵圆与直线相切，∴，∴，

……3分故所求椭圆C的方程为

………4分（2）设，其中，将代入椭圆的方程整理得：，故．①

………5分又点到直线的距离分别为，．

………7分所以四边形的面积为

………9分，

………11分当，即当时，上式取等号．所以当四边形面积的最大值时，=2.

………12分21.已知函数.（1）在下面给出的直角坐标系中作出函数的图象，并由图象找出满足不等式的解集；（2）若函数的最小值记为m，设，且有，试证明：.参考答案：（1）因为，所以作出图象如图所示，并从图可知满足不等式的解集为.（2）证明：由图可知函数的最小值为，即.所以，从而，从而.当且仅当时，等号成立，即，时，有最小值，所以得证.22.（本小题满分14分）已知平行四边形，，，，为的中点，把三角形沿折起至位置，使得，是线段的中点．（1）求证：；（2）求证：面面；（3）求二面角的正切值．参考答案：（1）见解析；(2)见解析；（3）【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．G4G5G7解析：(1)证明：取的中点，连接,为中点，且,为平行四边形边的中点，且，且四边形是平行四边形,平面，平面平面………4分（3）

取的中点，连接，，，为的中点为等边三角形，即折叠后也为等边三角形，且在中，，，根据余弦定理，可得在中，，，，，即又，所