福建省三明市八字桥中学高三数学文联考试题含解析

福建省三明市八字桥中学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设向量a与b的夹角为θ，a＝(2,1)，a＋2b＝(4,5)则cosθ等于

()

A.

B.

C.

D.参考答案：D2.已知,那么 （）A． B．

C． D．参考答案：C3.已知函数的零点均在区间内，则圆的面积的最小值是 A．4 B． C．9 D．以上都不正确参考答案：B∵，当或时，成立，且∴对恒成立，∴函数在R上单调递增，又∵，，∴函数的唯一零点在[-1,0]内，函数的唯一零点在[-5，-4]内，由题意可知：b-a的最小值为1，∴圆的面积的最小值为。4.对任意实数x，定义[x]为不大于x的最大整数(例如[3.4]＝3，[－3.4]＝－4等)，设函数f(x)＝x－[x]，给出下列四个结论：①f(x)≥0；②f(x)<1；③f(x)是周期函数；④f(x)是偶函数．其中正确结论的个数是A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：C由题意有[x]≤x<[x]＋1，∴f(x)＝x－[x]≥0，且0≤f(x)<1，∴①②正确．∵f(x＋1)＝x＋1－[x＋1]＝x＋1－([x]＋1)＝x－[x]＝f(x)，∴f(x)为周期函数．∵f(－0.1)＝－0.1－[－0.1]＝－0.1－(－1)＝0.9，f(0.1)＝0.1－[0.1]＝0.1－0＝0.1≠f(－0.1)，∴f(x)不是偶函数，故选C.5.若，则a，b，c的大小关系是（

）

A、

B、

C、D、参考答案：A略6.是展开式的常数项为（）A．120 B．40 C．﹣40 D．80参考答案：B【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】化=，利用展开式公式求出展开式的常数项．【解答】解：==?（x2+1）?（32x10﹣80x8+80x6﹣40x4+10x2﹣1），所以其展开式的常数项为?1?80x6+?x2?（﹣40x4）=80﹣40=40．故选：B．7.下列关于函数的命题正确的是（

）(A)函数在区间上单调递增(B)函数的对称轴方程是（）(C)函数的对称中心是（）（）(D)函数以由函数向右平移个单位得到参考答案：B略8.已知双曲线的左右焦点分别为，为双曲线的中心，是双曲线右支上的点，的内切圆的圆心为，且圆与轴相切于点，过作直线的垂线，垂足为，若为双曲线的离心率，则(

)A.

B.

C.

D.与关系不确定参考答案：C9.已知a＞0，x，y满足约束条件，且的最小值为1，则a＝(

)

A. B. C.1 D.2参考答案：【知识点】简单的线性规划

E5【答案解析】B

解析：直线的斜率为正数，经过定点，画出可行域如图：由，得，表示斜率为，在轴上的截距为的直线系，平移直线，当其经过可行域内的点B时，截距最小，最小，由，得点，代入可得：，故选：B【思路点拨】先根据约束条件画出可行域，由，得z的几何意义是直线的斜率，平移直线z=2x+y，当过可行域内的点B时取得最小值，解出点B的坐标，从而得到值即可。10.执行如图所示的程序框图，则输出的所有的点A.都在函数的图象上B.都在函数的图象上C.都在函数的图象上D.都在函数的图象上参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.定义在上的函数的单调增区间为，若方程恰有6个不同的实根，则实数的取值范围是

.参考答案：【知识点】函数与方程B9【答案解析】a解析：解：解：∵函数f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0）的单调增区间为（﹣1，1），∴f'（x）＞0的解集为（﹣1，1），即f'（x）=3ax2+2bx+c＞0的解集为（﹣1，1），∴a＜0，且x=﹣1和x=1是方程f'（x）=3ax2+2bx+c=0的两个根，即﹣1+1=，，解得b=0，c=﹣3a．∴f（x）=ax3+bx2+cx=ax3﹣3ax=ax（x2﹣3），则方程3a（f（x））2+2bf（x）+c=0等价为3a（f（x））2﹣3a=0，即（f（x））2=1，即f（x）=±1．要使方程3a（f（x））2+2bf（x）+c=0恰有6个不同的实根，即f（x）=±1．各有3个不同的根，∵f（x）=ax3+bx2+cx=ax3﹣3ax=ax（x2﹣3），∴f'（x）=3ax2﹣3a=3a（x2﹣1），∵a＜0，∴当f'（x）＞0得﹣1＜x＜1，此时函数单调递增，当f'（x）＜0得x＜﹣1或x＞1，此时函数单调递减，∴当x=1时，函数取得极大值f（1）=﹣2a，当x=﹣1时，函数取得极小值f（﹣1）=2a，∴要使使方程3a（f（x））2+2bf（x）+c=0恰有6个不同的实根，即f（x）=±1各有3个不同的根，此时满足f极小（﹣1）＜1＜f极大（1），即2a＜1＜﹣2a，即，即a，故答案为：a．【思路点拨】根据题意求方程，利用数形结合的方法可求a的取值范围.12.已知函数f（x）=，则f（f（﹣2））=

．参考答案：0考点：函数的值．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由分段函数f（x）=，由内向外依次求函数值即可．解答： 解：∵f（x）=，∴f（﹣2）=（﹣2）2+2×（﹣2）=0，f（f（﹣2））=f（0）=20﹣0﹣1=0；故答案为：0．点评：本题考查了分段函数的应用，由内向外依次求函数值，属于基础题．13.等比数列中，，公比，若，则的值为

参考答案：1614.如果函数是奇函数，则f（x）=．参考答案：2x+3【考点】函数奇偶性的性质．【分析】首先在（﹣∞，0）内设出自变量，根据（0，+∞）里的表达式，得出f（﹣x）=﹣2x﹣3=﹣f（x），最后根据函数为奇函数，得出f（x）=﹣f（﹣x）=2x+3即可．【解答】解：设x＜0，得﹣x＞0根据当x＞0时的表达式，可得f（﹣x）=﹣2x﹣3∵f（x）是奇函数∴f（x）=﹣f（﹣x）=2x+3故答案为：2x+315.函数的最小正周期是

。参考答案：略16.设，且恒成立，则的最大值为__________。参考答案：417.设是非零实数，，若则————参考答案：解析：已知

………………（1）

将（1）改写成

.

而.

所以有

.

即,也即

将该值记为C。则由（1）知，

。于是有，.

而三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为、、，且各轮问题能否正确回答互不影响．

（1）求该选手被淘汰的概率；（2）该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数数期望．（注：本小题结果可用分数表示）参考答案：解析：解法一：（1）记“该选手能正确回答第轮的问题”的事件为，则，，，∴该选手被淘汰的概率．（2）的可能值为，，，．的分布列为123．解法二：（1）记“该选手能正确回答第轮的问题”的事件为，则，，．该选手被淘汰的概率．19.（12分）在直三棱柱中，（1）求证：（2）求二面角的大小；（3）求点

参考答案：解析：（1）∵平面是正方形，∴又∵∴由三垂线定理的：

………………4’（2）过点C做过点∴在直角△中，∴在Rt△CHD中，∴二面角

………………8’（3）∵，∴点。设，则

………12’

20.已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），其中a＞0．（Ⅰ）若函数f（x）在（0，+∞）上有极大值0，求a的值；（提示：当且仅当x=1时，lnx=x﹣1）；（Ⅱ）令F（x）=f（x）+a（x﹣1）+（0＜x≤3），其图象上任意一点P（x0，y0）处切线的斜率k≤恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）讨论并求出函数f（x）在区间[，e]上的最大值．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求f（x）的导数，讨论导数的正负，可得f（x）的单调区间，利用函数f（x）在（0，+∞）上有极大值0，即可求a的值；（Ⅱ）切线的斜率即为函数在切点处的导数，让f′（x0）≤恒成立即可，再由不等式恒成立时所取的条件得到实数a范围，即得实数a的最小值．（Ⅲ）分类讨论，利用函数的单调性，结合函数的定义域，求出函数f（x）在区间[，e]上的最大值．【解答】解：（Ⅰ）当x∈时，f'（x）＞0，当x∈时，f'（x）＜0故函数f（x）在上单调递增，在上单调递减，因此函数f（x）在（0，+∞）上有极大值∴lna=a﹣1，解得a=1…（Ⅱ），于是有在（0，3]上恒成立，所以，当x0=1时，取最大值，所以；（Ⅲ）∵…①若，即，则当时，有f'（x）≥0，∴函数f（x）在上单调递增，则f（x）max=f（e）=1﹣ea+a．②若，即，则函数f（x）在上单调递增，在上单调递减，∴．③若，即a≥e，则当时，有f'（x）≤0，函数f（x）在上单调递减，则．综上得，当时，f（x）max=1﹣ea+a；当时，f（x）max=﹣lna﹣1+a；当a≥e时，．…21.如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，，，过A，B分别作CD的垂线，垂足分别为E，F，已知，，将梯形ABCD沿AE，BF同侧折起，使得平面平面，平面平面，得到图2.（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积.参考答案：（1）见证明；（2）【分析】（1）设，取中点，连接，证得，且，得到四边形为平行四边形，得出，利用线面平行的判定定理，即可证得平面.（2）证得，得到点到平面的距离等于点到平面的距离，再利用锥体的体积公式，即可求解.【详解】（1）设，取中点，连接，∵四边形为正方形，∴为中点，∵为中点，∴且，因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又∵平面平面，∴平面平面，同理，平面，又∵，，∴，∴，且，∴四边形为平行四边形，∴，∵平面，平面，∴平面.（2）因为，平面，平面，所以∴点到平面的距离等于点到平面的距离.∴三棱锥的体积公式，可得.【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，以及三棱锥的体积的计算，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，以及合理利用等体积法求解三棱锥的体积，准确计算是解答的关键