第四章幂函数指数函数与对数函数（4大知识归纳6大题型突破）

第四章幂函数、指数函数与对数函数（知识归纳+题型突破）一、幂函数的图象与概念1、幂函数的概念与图象（1）定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．（2）幂函数的特征：=1\*GB3①xα的系数是1；=2\*GB3②xα的底数x是自变量；=3\*GB3③xα的指数α为常数．只有满足这三个条件，才是幂函数．形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等函数都不是幂函数．（3）幂函数的图象同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y=x12的图象(如图2、幂函数的性质（1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；（2）如果α＞0，幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增；（3）如果α＜0，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴；（4）在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴．二、指数函数的图象与性质1、指数函数的概念（1）定义：一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数．（2）注意事项：指数函数的底数规定大于0且不等于1的理由：=1\*GB3①如果，当=2\*GB3②如果，如，当时，在实数范围内函数值不存在．=3\*GB3③如果，是一个常量，对它就没有研究的必要．2、指数函数的图象与性质图象性质定义域值域过定点单调性在上是增函数在上是减函数奇偶性非奇非偶函数指数函数y=ax(a>0且a(1)在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底大图高”；(2)在y轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底大图低”.三、对数函数的概念1、对数函数的概念（1）定义：函数（，且）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为．（2）特殊的对数函数=1\*GB3①常用对数函数：以10为底的对数函数.=2\*GB3②自然对数函数：以无理数e为底的对数函数.2、对数函数的图象与性质a＞10＜a＜1图象性质定义域(0，＋∞)值域R过定点过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0函数值的变化当0＜x＜1时，y＜0；当x＞1时，y＞0当0＜x＜1时，y＞0；当x＞1时，y＜0单调性是(0，＋∞)上的增函数是(0，＋∞)上的减函数【小结】（1）当时，图象呈上升趋势；当时，图象呈下降趋势，又当时，a越大，图象向右越靠近x轴；时，a越小，图象向右越靠近x轴.（2）对数函数y=logax与y=log1ax(a>0且a≠1)的图象关于（3）单调性相同的对数函数，它们位于直线x=1右侧部分的图象满足“底大图低”的规律.利用此性质可比较不同对数函数的底数大小，具体方法如下：作直线y=1与各个对数函数的图象，在第一象限内，从左到右，对数函数的底数逐渐增大.四、指数、对数型复合函数的单调性、值域求法1、指数型复合函数单调性的求法（1）形如y=afx当a>1时，函数u=f(x)的单调递增(减)区间即为函数y=afx的单调递增(减)区间；当0<a<1时，函数u=f(x)的单调递减(增)区间即为函数y=af（2）形如y=f(ax)(a>0且通过内层函数u=ax的值域确定外层函数y=f(u)的定义域，在此定义域内讨论外层函数的单调区间，2、指数型复合函数值域的求法（1）形如（，且）的函数求值域换元法：令，将求原函数的值域转化为求的值域，但要注意“新元”的范围（2）形如（，且）的函数求值域换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域.3、对数型复合函数单调性的求法（1）“定义域优先”原则：单调区间是定义域的子集.求函数的单调区间时一定要先求其定义域.（2）与对数函数有关的函数的单调性的判断方法形如y=logaf(x)(a>0且a≠1)的复合函数，当a>1时，y=logaf(x)的单调性与y=f(x)的单调性相同；当0<a<1时，y=logaf(x)的单调性与y=f(x)的单调性相反.形如y=f(logax)(a>0且a≠1)的复合函数，一般用复合函数单调性的规律判断，先令t=logax，然后只需研究t=logax与y=f(t)4、对数型复合函数值域的求法（1）形如（，且）的函数求值域换元法：令，先求出的值域，再利用的单调性，再求出的值域.（2）形如（，且）的函数的值域换元法:令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域.题型一：幂函数、指数函数与对数函数的概念例1.1已知y＝m2[解]由题意得解得所以m＝－3，n＝.例1.2若函数是指数函数，则等于（

）A．或 B． C． D．【答案】C【分析】根据指数函数的定义求解即可.【详解】因为函数是指数函数，所以.故选：C例1.3下列函数，其中为对数函数的是（

）A．y=log12(-x) B．y=2log4【解题思路】利用对数函数定义，逐项判断作答.【解答过程】函数y=log12(-x)，函数y=lnx是对数函数，函数y=log(a2+a)x的底数含有参数a，而a的值不能保证a故选：C.例1.4若指数函数的图像经过点，则其解析式为．【答案】【分析】设指数函数的解析式为，(且)，代入计算即可得解.【详解】设指数函数的解析式为，(且)，因指数函数fx的图像经过点，则，即，则其解析式为.故答案为：.【巩固练习】1.现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据幂函数的定义逐个辨析即可【详解】幂函数满足形式，故，满足条件，共2个故选：B2.若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝3f(2)，则f【解析】设f(x)＝xα，∵f(4)＝3f(2)，∴4α＝3×2α，解得α＝log23，∴f＝log23＝.3.下列函数为指数函数的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据指数函数的定义，逐项判定即可求解.【详解】根据指数函数的定义知，可得函数不是指数函数；函数不是指数函数；函数是指数函数；函数不是指数函数.故选：C.4.给出下列函数：①；②；③；④.其中指数函数的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】依据指数函数的概念来判断.【详解】对于①，函数的自变量在底数位置，不在指数位置，故不是指数函数；对于②，函数的底数，故不是指数函数；对于③，函数中的指数式的系数不为，故不是指数函数；对于④，函数的底数满足，符合指数函数的定义，是指数函数.故选：A.5.给出下列函数：①y=log23x2；②y=log3其中是对数函数的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解题思路】根据对数函数的特征判断即可得答案.【解答过程】①②不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量x；③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数．故选:A.题型二：幂函数、指数函数与对数函数的图像例2.1幂函数，，，在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（

）A．，，， B．，，，C．，，， D．，，，【答案】D【分析】根据幂函数的指数的大小与曲线的位置关系（可在直线右侧）比较从而得出结论．【详解】由于在第一象限内直线的右侧，幂函数的图象从上到下相应的指数由大变小，即“指大图高”，故幂函数在第一象限内的图象为，在第一象限内的图象为，在第一象限内的图象为，在第一象限内的图象为．故选：D．例2.2如图所示，函数的图像是（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】，时，时，.故选：B.例2.3如图（1）（2）（3）（4）中，不属于函数y=log15x，y=logA．（1） B．（2） C．（3） D．（4）【解题思路】根据对数函数的性质判断即可.【解答过程】因为log1∴（3）是y=log17x，（4）是y=log15∴（1）是y=log故选：B．例2.4如图（1）（2）（3）（4）中，不属于函数y=log15x，y=logA．（1） B．（2） C．（3） D．（4）【解题思路】根据对数函数的性质判断即可.【解答过程】因为log1∴（3）是y=log17x，（4）是y=log15∴（1）是y=log故选：B．例2.5函数y=1-ax与y=logax（其中a>1A．

B．

C．

D．

【解题思路】判断函数的单调性，结合各选项中图象，即可判断出答案.【解答过程】对于A，因为a>1，故y=1-ax为R上的减函数，其图象应下降，对于B，a>1时，y=1-ax为R上的减函数，y=logax对于C，a>1时，y=logax为(0,+对于D，a>1时，y=logax为(0,+故选：B.【巩固练习】如图，下列3个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是（

）A．①，②，③ B．①，②，③C．①，②，③ D．①，②，③【答案】A【分析】根据幂函数的图象与性质，逐个判定，即可求解.【详解】由函数是反比例函数，其对应图象为①；函数的定义域为，应为图②；因为的定义域为且为奇函数，故应为图③.故选：A.已知幂函数（且p与q互质）的图像如图所示，则（

）A．p、q均为奇数且 B．p为奇数，q为偶数且C．p为奇数，q为偶数且 D．p为偶数，q为奇数且【答案】D【分析】根据图像的对称性及形状结合幂函数的图像特征可直接解答.【详解】由图像知函数为偶函数，所以p为偶数，且由图像的形状判定，又因为p与q互质，所以q为奇数，故选：D.3.函数(是自然底数)的大致图像是（

）A．B．C． D．【答案】C【详解】解析，函数为偶函数，且过，，函数在上递增，在上递减，故C符合.故选：C.4.函数的部分图象大致为（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】解：因为定义域为，又，所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除B；当时，，，所以，所以，故排除D；当时，因为，所以，即，故排除C；故选：A5.已知图中曲线C1，C2，C3，C4分别是函数y=logA．a4<aC．a2<a【解题思路】利用对数的性质logaa=1【解答过程】由对数的性质logaa=1有：loga1a1结合图像有：a2>a1>a4>a故选：B.6.如图，直线x=m(m>1)依次与曲线y=logax、y=logbx及x轴相交于点A、点B及点A．1<b≤2a-1 B．b>2a-1C．1<b≤2a D．b>2a【解题思路】根据函数图像的位置关系，写出各点的坐标，再根据题中几何关系列关于a，b的等式进而求解出参数b的取值范围.【解答过程】根据题意，A，B，C三点的坐标分别为A(m,又B是线段AC的中点，即AB=BC，所以loga计算得：logam=2logbm=2又由图知，a，b∈(1,+∞)，b-(2a-1)=a2选项B正确，选项ACD错误故选：B.题型三：幂函数、指数函数与对数函数相关的定义域例函数的定义域为.【答案】【分析】结合指数幂的运算性质化简表达式，即可求解【详解】由可知其定义域为.故答案为：例3.2函数的定义域是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据函数解析式有意义可得出关于实数的不等式组，由此可解得函数的定义域.【详解】因为，则有，解得且，因此的定义域是．故选：B.例3.3数y=2-xlog2A．{x∣0<x<2}B．{x∣0<x<1或1<x<2}C．{x∣0<x≤2}D．{x∣0<x<1或1<x≤2}【解题思路】由题意列出不等式组解出即可.【解答过程】由题意得2-x≥0x>0log2x≠0，∴故定义域为{x∣0<x<1或1<x≤2}，故选：D.【巩固练习】1.若要使有意义，则取值范围是.【答案】【分析】由题可得，由即得.【详解】∵，要使有意义，则，即，∴.故答案为：.2.若函数则函数y＝f(4x－3)的定义域是()A．(－∞，＋∞) B．C． D．【答案】D【分析】先求出，根据幂函数的定义域求解即可.【详解】幂函数，,所以，所以，所以函数的定义域是，故选D.3.下列各组函数中，定义域相同的一组是（

）A．y=ax与y=logaB．y=2lnxC．y=lgxD．y=x2【解题思路】求出相应函数的定义域即可判断.【解答过程】y=ax的定义域为R，y=logaxy=2lnx的定义域为0,+∞，y=lnxy=lgx的定义域为0,+∞，y=lgxy=x2的定义域为R，y=lgx2故选：C.4.已知函数fx=log2xA．-9,0 B．-9,+∞ C．-∞,-9【解题思路】根据对数的运算性质化简fx【解答过程】fx故fx的值域为-9,+故选：B．题型四：幂函数、指数函数与对数函数过定点问题例4.1下列说法正确的是（

）A．若幂函数过点，则B．函数表示幂函数C．若表示递增的幂函数，则D．幂函数的图像都过点，【答案】AC【分析】利用幂函数的定义、性质，逐项分析判断作答.【详解】对于A，设，则，即，解得，，A正确；对于B，函数不是幂函数，B错误；对于C，是幂函数，则，解得或，当时，在上单调递减，不符合题意，当时，是R上的增函数，符合题意，因此，C正确；对于D，幂函数不过点，D错误.故选：AC例4.2函数且的图象必经过点．【答案】【分析】根据指数运算的性质进行求解即可.【详解】因为当时，，所以函数且的图象必经过点，故答案为：例4.3已知函数（且）的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中实数m，n满足，则的最小值为______．【答案】4【详解】∵函数且的图象恒过定点，可得，∵点在一次函数的图象上，∴，∵，所以，当且仅当时取得等号.【巩固练习】1.下列结论正确的是（

）A．幂函数的图象一定过原点B．时，幂函数是增函数C．幂函数的图象会出现在第四象限D．既是二次函数，又是幂函数【答案】B【分析】利用幂函数的简单性质判断即可．【详解】解：幂函数图象不一定过原点，例如，函数的图象不经过原点，故A不正确；当时，幂函数，，在定义域内均为增函数，故B正确；由函数的定义及幂函数在第一象限均有图象可知，幂函数的图象不会出现在第四象限，故C不正确；函数是二次函数，但是不是幂函数，幂函数得形如，故D不正确.故选：B.函数的图像恒过定点______.【答案】【详解】，令，得，，函数的图象恒过定点，故答案为：.函数的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中，则的最小值为_________．【答案】【详解】令，可得，此时，所以函数图象恒过定点，因为点A在直线上，所以，所以，所以，当且仅当，即时等号成立.综上，的最小值为.故答案为：.题型五：幂函数、指数函数与对数函数的性质例5.1下列函数中，在其定义域上单调递增且值域为的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分别求出每个选项的单调性和值域即可得出答案.【详解】对于A，在定义域上单调递增且值域为，故A不正确；对于B，在定义域上单调递增值域为，故B正确；对于C，由双勾函数的图象知，在上单调递增，在上单调递减，故C不正确；对于D，的值域为，故D不正确.故选：B.例5.2函数的单调递减区间为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】先求定义域，再利用复合函数的同增异减可得函数单调递减区间.【详解】，解得即函数的定义域为，因为函数在定义域内是单调递增函数，要求函数的单调递减区间，即求函数在上的单调减区间由于其开口向下，且对称轴为，故减区间为故选：A.例5.3函数y=log13(6-x-x2A.[-12,+∞) B.[-12,2)【答案】B

【解答】

解：要使函数有意义，则6-x-x2>0，解得-3<x<2，

故函数的定义域是(-3,2)，

令t=-x2-x+6=-(x+12)2+254，

则函数t在(-3,-12)上单调递增，在例5.4已知函数f(x)=log22x-log2x．

(1)解不等式f(x)≥2；【答案】解：(1)由f(x)⩾2可得log22x-log2x-2≥0

，

即(log2x-2)(log2x+1)≥0，

∴log2x≥2或log2x≤-1，

解得x≥4或0<【解析】本题考查函数的单调性与单调区间，考查对数函数及其性质，属于中档题．

(1)结合对数函数性质直接计算即可；

(2)根据题意，进行求解．例5.5已知奇函数在R上为增函数，则（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【分析】为奇函数，则，解出，验证奇偶性和单调性即可.【详解】解：因为在R上为奇函数，则，即，解得或.时，，函数定义域为R，由函数和都在R上为增函数，所以在R上为增函数，且，满足函数为奇函数；时，，在R上为减函数，不合题意.所以.故选：A.【巩固练习】1.下列函数中，在其定义域上单调递增且值域为的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分别求出每个选项的单调性和值域即可得出答案.【详解】对于A，在定义域上单调递增且值域为，故A不正确；对于B，在定义域上单调递增值域为，故B正确；对于C，由双勾函数的图象知，在上单调递增，在上单调递减，故C不正确；对于D，的值域为，故D不正确.故选：B.2.下列函数中，既是奇函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是

(

)A.f(x)=1x B.f(x)=x3+x

【答案】B【解答】

解：对于A，函数f(x)=1x是奇函数，在0,+∞上单调递减，故A不符合题意；

对于B，f(x)=x3+x为奇函数，

又y=x3,y=x在R上单调递增，

所以f(x)在R上单调递增，故B符合题意;

对于C，f-x3.若为奇函数，则（

）A．1 B．0 C． D．【答案】D【分析】由奇函数性质求参数，再由奇偶性定义验证即可.【详解】由解析式知：函数定义域为R，又为奇函数，所以，故，由，为奇函数，满足题设.所以.故选：D4.已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由复合函数的单调性分析可知，内层函数在上为增函数，结合二次函数的单调性可得出关于实数的不等式，解之即可.【详解】令，则二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，因为外层函数为上的减函数，函数在区间上单调递减，所以，函数在上为增函数，所以，，解得.故选：A.5.函数的单调递增区间是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为在R上单调递减函数，由复合函数单调性可知，只需求出的单调递减区间，其中单调递减区间为，故的单调递增区间是.故选：D6.函数y=log2(-x2【答案】(-3,-1)

【解答】

解：由-x2-2x+3>0，得-3<x<1．

由函数t=-x2-2x+3对称轴为x=-1，

得函数t=-x27.若函数f(x)=ax2-x+1在(1,3)上单调递减，则函数y=log【答案】(-∞,0)

【解答】

解：设y=at，t=x∵函数f(x)=∴y=at在∴函数y=loga令x2-2x>0，解得∴函数y=loga题型六：幂函数、指数函数与对数函数的值域问题例6.1下列函数中，定义域和值域不相同的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据一次函数、反比例函数、幂函数和分段函数的性质，逐个选项进行判断即可得到答案.【详解】对于A：函数的定义域为，值域也为，不符合题意；对于B：函数的定义域和值域都为，不符合题意；对于C：的定义域和值域都为，不符合题意；对于D：的定义域为；当时，；当时，；所以值域为，定义域和值域不相同，符合题意；故选：D．例6.2幂函数的图象过点，则函数的值域是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，带点计算可得，得到，令转化为二次函数的值域求解即可.【详解】设，代入点得，则，令，函数的值域是.故选：C.例6.3函数的值域是．【答案】【分析】利用换元法，结合二次函数的性质即可求解，【详解】令则，由于在单调递减,单调递增，所以，故的值域为.故答案为:.例6.4若关于的不等式在区间上恒成立，则的取值范围为____________【答案】【详解】，设，则原题即化为在上恒成立，所以，因在上为增函数，所以，所以例6.5已知函数fx(1)若a=2，求函数fx(2)若函数fx在1,+∞上单调递增，求【解题思路】（1）根据二次函数的性质及对数函数的性质，即可求解；（2）根据复合函数单调性结合条件可得-a2≤1且【解答过程】（1）由题知fx∵x2∴fx即函数fx的值域为-1,+（2）因为函数fx在1,+∞上单调递增，又函数所以u=x2+ax+3在1,+∞上单调递增，且u>0所以-a2≤1解得a≥-2，即a的取值范围为a≥-2.【巩固练习】1.幂函数与幂函数（

）A．定义域相同 B．值域相同 C．单调性相同 D．是同一函数【答案】B【分析】求出函数定义域，根据幂函数性质性即可解决.【详解】由题知，定义域为，单调性递增，值域为，，定义域为,为偶函数，单调性先减后增，值域为，