《工程结构有限元》课程讲义

概述工程结构有限元一、关于课程时间安排课程及方法参考书目学习要求《工程有限元方法》—曾攀主编，科学出版社；《有限元方法—原理、建模及应用》，杜平安编著，

国防工业出版社；《有限元分析—ANSYS13.0从入门到实战》，张洪才何波编著，机械工业出版社；

《有限元法》，李景涌；《ANSYS流体与热分析》—本课题组自编；《ANSYS软件帮助手册》；任何ANSYS分析的教材；学有余力的同学可参阅偏微分方程、数值分析等相关内容的教材。学习目标：了解有限元分析的基本方法和用途，初步掌握有限元方法的工程应用，能够通过逐步学习掌握和运用一般商业软件解决实际工程问题。教学形式：课堂授课，讨论，实践。作业与考核：暂定ANSYS有限元分析作品。二、引言理论研究科学实验计算机分析实际工程问题有限元方法分析平台概念设计初步设计详细设计原形机试制、试飞批量生产总体设计（结构分析，有限元方法）方案审核设计审核设计定型飞机研制的主要流程例：飞机研制过程结构详细设计与分析（有限元方法）1、有限元方法的应用方向舵（静强度/剪切）水平安定面盒体（静强度/压缩）翼尖小翼盒体（静强度/压缩）鸟撞冲击上机身（裂纹扩展/残余强度）静强度和疲劳（内压）鸟撞冲击起落架载荷强度强度及疲劳（地面载荷）下机身（静强度/抗腐蚀/弯曲）空客A380四发远程超大宽体客机，空机重276.8t，最大起飞总重560t，载客500多人；为了满足结构安全，结构的受力分析，应用设计准则进行校核和结构修改；61%铝合金2%其他材料2%表面防护材料22%复合材料3%GLARE10%钛合金和钢载荷谱形式，考虑材料的损伤容限性能，寿命40-50年；A380大量采用新型材料，铝合金占总质量的61%；新材料，新工艺，必须对强度、稳定性和抗腐蚀性提出具体要求，需要进行准确的力学分析；例：其他方面应用商业有限元软件通过了ISO9000等国际标准认证，为工程结构分析提供了可靠手段。土木工程大型桥梁的设计、高层建筑的设计、大型风电设备设计和高速列车的设计。通过精密的有限元分析能够为寻找大型工程事故的原因提供依据：美国Tacoma悬索桥垮塌事故（1940年）；美国哥伦比亚号航天飞机事故（2003年）；采用有限元方法进行虚拟试验2、有限元方法基本原理有限元的产生与基本思想有限元方法（FiniteElementMethod）是一种求解复杂对象方程的方法，基本思想来源于“化整为零”、“化弧为直”的直观思路，借助计算机实现有限元分析。数学家关注有限元方法的函数构造、收敛性、变分原理等。工程师侧重于单元的构造、网格的划分、计算效率、数据的可视化、软件工程等。工程问题的微分解决方法，采用微分方程和边界条件描述工程问题。例：悬臂梁问题xxlFyy受集中力载荷的悬臂梁控制方程：边界条件：解析解：在实际工程问题中，由于物理对象几何形状、材料属性和边界条件的复杂性，使得边值问题的求解非常困难。通常除了少数简单问题可用解析法求出精确解外，一般都只能通过数值方法求近似解。相关的数值分析方法差分法基本思想是用均匀的网格离散求解域，用离散点的差分代替微分，从而将连续的微分方程和边界条件转换为网格节点处的差分方程，并用差分方程的解作为边值问题的近似解。变分法变分法是利用变分原理求解边值问题的一种方法。变分原理是指，微分方程边值问题的解等价于相应泛函极值问题的解，将边值问题的求解转换为相对简单的泛函极值求解。里兹法，基本思想是选择一个定义于整个求解域并满足边界条件的试探函数，试探函数的形式一般为含有n个待定系数的多项式，并利用泛函有极值的条件，建立起n个关于待定系数的线性方程，计算出的各个待定系数，确定了使泛函实现极值的试探函数，该函数就是原边值问题的近似解。yxaxixi+1bd1d2y(x)yi+1-yiy(x)定义域[a，b]，边值问题：微分方程化为N+1阶线性方程组。得到差分方程：边值问题：泛函：试探函数：泛函极值：有限元方法有限元法是在差分法和变分法的基础上发展起来的一种数值方法。其基本思想：一是离散，二是分片插值。离散：单元（element），又称网格（mesh）.单元之间的连接点为节点（node），单元之间相互作用通过节点传递。真实系统有限元模型离散，就是将原来连续体具有无限自由度的连续变量微分方程和边界条件，转换为只包含组合体有限个节点变量的代数方程组，便于计算。有限元法的离散思想借鉴与差分法，但做了适当修改；差分法离散有限元法离散离散对象是微分方程和边界条件；计算对象的物理模型定形状定密度变形状，变密度复杂形状，适应性更强，离散精度更高差分法网格划分有限元法网格划分分片插值变分法是在整个求解域用一个统一的试探函数逼近真实函数，当真实函数的性态复杂时，统一的试探函数难以得到较高的逼近精度，即便要得到较高的精度，需要更高阶次的试探函数，求解非常复杂。分片插值是有限元法与里兹法的重要区别，它针对每一个单元选择试探函数（插值函数），积分计算可以在单元内完成，较低阶次即可。yxoab真实函数曲线c1整体试探函数c2分段插值函数有限元方法的应用特点能够分析形状复杂的结构单元不限于均匀的规则网格，形状任意，大小可不同，单元的边界可以是曲面，可以分析复杂结构；能够处理复杂的边界条件边界条件不需要引入每个单元的特征方程，而是求解结构代数方程时对特性矩阵进行处理，内部和边界上的单元都采用相同的场变量函数。能够保证规定的工程精度单元尺寸减小或插值函数的阶数增加时，有限元解收敛于实际问题的精确解能够处理不同类型的材料可用于各向同性、正交各向同性、各向异性及复合材料等各类型材料的分析，还可用于处理随时间或温度变化的材料以及非均匀分布的材料。有限元方法的工程应用领域1、结构分析线性静力分析动态分析（模态分析和响应分析）非线性分析（材料非线性、几何非线性和状态非线性）过程模拟2、热分析3、流场分析4、电磁场分析5、声场分析2、有限元分析平台（软件）1965年1966年1969年1970年1975年1978年1979年1982年ASKA(PERMAS)NASTRANMARCANSYSADINADYNA2D,DYNA3DABAQUSCOSMOS1984年InstituteforStaticandDynamicUniversityofStuttgartMARCAnalysisResearchCorp.SwansonAnalysisSystem，Inc.ADINAEngineering，Inc.Hibbitt，Karlsson&Sorensen，Inc.ALGOR有限元分析软件发展历史ANSYS有限元分析软件ANSYS软件是融结构、流体、电场、磁场、声场分析于一体的大型通用有限元分析软件。由世界上最大的有限元分析软件公司之一的美国ANSYS开发。它能与多数CAD软件接口，实现数据的共享和交换，如Pro/Engineer,NASTRAN,Alogor,IDEAS,AutoCAD等，是现代产品设计中的高级CAE（ComputerAidedEngineering）工具之一。

作为一个大型的CAE软件，ANSYS自20世纪70年代诞生以来，随着计算机和有限元理论的发展，在各个领域得到了广泛的应用。随着版本的更新，分析能力和各项操作功能都得到了更好的完善和发展。经过30多年的发展，ANSYS已经升级到了14.0版本。ANSYS公司把ANSYS，也就是通常称之为ANSYSClassic的软件，重命令为MechanicalAPDL（ANSYSParametricDesignLanguage），并将其作为一个模块，置入协同仿真“Workbench”界面下。软件功能简介：MechanicalAPDL主要包括三个部分：前处理模块、分析计算模块和后处理模块。前处理模块提供了强大的实体建模及网格划分工具，用户可以方便地构造有限元模型；分析计算模块包括结构分析、流体动力学分析、电磁场分析、声场分析、压电分析以及多物理场的耦合分析，可模拟多种物理介质的相互作用，具有跌落分析、拓扑优化、优化分析、多目标优化模块及可靠性分析能力；后处理模块包括通用后处理模块和时间历程后处理模块。其中，通用后处理模块可将计算结果以彩色等值线显示、梯度显示、矢量显示、粒子流迹显示、立体切片显示、透明及半透明显示等图形方式显示出来；时间历程后处理模块可将计算结果以图表、曲线形式显示或输出。软件提供了200多种的单元类型，用来模拟工程中的各种结构和材料。前处理模块MainMenu中的“Preprocessor”，进入ANSYS的前处理模块。这个模块包括15个子模块，常用的有6个子模块，分别为单元类型、实常数、材料特性、模型截面、建立模型，以及网格划分。在前处理模块中进行的主要的工作也是在这6个模块中完成的，这些工作分别是定义单元、定义单元实常数、定义单元材料常数，如选用梁单元、壳单元时要定义模型截面，建立模型和网格划分。分析计角算模块在前处理岛模块中完票成建模和仁网格划分父以后，用盼户可以在都分析计算烟获得分析们结果。单炉击“SAVE程_DB”，将前污处理模块赌生成的模爽型存盘，脂退出“Pre砖pro帝ces晚sor”,单击实斜用菜单撒中的“Sol价uti耕on”，进押入分析庄计算模雪块。在胁该模块流，用户骡可以定太义分析棵类型、智定义载向荷和载势荷步选御项，然屿后开始优求解。分析计板算模块（1）结构砍静力分祥析结构静力券分析用于灿求解模型梅在不随时絮间变化的颜外载荷作我用下的位反移、应变雄和应力等愚。结构静赠力分析可棚以求解线腰性问题和逝非线性问冤题，如材壳料非线性划、几何非昂线性和状叉态非线性俊问题。（2）结构动蔑力学分析结构动仁力学分雅析用于哥求解模至型在随浙时间变布化的载忍荷作用鹊下的位闷移，应膊变和应剩力等。顷结构动畜力学分阔析可以艰考虑阻弓尼和惯秤性的影挺响。分膝析类型抱包括模蔽态分析主、谐响超应分析桨、谱分疲析和瞬敞态动力挣学分析筝，在ANSY矩S13.点0中增强赔了对转崖子动力坦学和多起刚体动侮力学的炒求解能塌力。（3）热分析热分析承能够计他算热传翻递的三构种基本搏类型：片传导、伍对流和货辐射。膝热分析咳功能能乐够对这颜三种类支型问题诱进行线纹性和非凤线性、幅稳态和血瞬态分固析。热美分析还张可以模倒拟材料见固化和刑溶解过艳程的相展变问题龟以及模墓拟热-结构耦合唇问题。（4）电磁筋场分析电磁场分兆析主要用陵于电感、企电容、磁母通量密度粮、涡流、桂电场分布会、磁力线疾分布、力替、运动效私应、电路违和能量损断失等电磁西场问题的嫌分析；还河可用于调糊节器、螺革线管、发永电机、磁云体、变换灭器、电解刚槽、加速沾器及无损临检测装置搂等的设计尿和分析领教域。（5）流体动焰力学分析流体动力肢学分析主尤要用于模济拟计算流耀体的瞬态般或稳态问蛛题，计算长结果为每扮个节点的唇压力和通时过每个单景元的流率险。用户可勤以利用后得处理功能割产生压力会、流率和对温度分布暗的图形显供示。流体仓动力学分定析允许用爸户使用三明维表面效子应单元和葬热-流管单尊元模拟污结构的青流体绕唤流问题亡。（6）声场分放析声场分请析功能币用于分姿析浸在鸭流体中委的固体耳结构的姿动态特念性和研追究在含沙有流体凉的介质浅中声波洲的传播求问题。（7）压电分培析压电分愚析用于佩分析二古维或三渗维结构京对交流像、直流衡或任意检随时间坝变化的叨电流或誓机械载巧荷的响甩应。这争种分析住类型可嘱用于谐烫振器、辱麦克风役、换热嫂器、振向荡器等缠部件及纪其他电和子设备愉的结构榨动态性雷能分析之。压电困分析可守进行四角种类型半的分析影：模态个分析、尊静态分殃析、瞬勒态响应调分析和季谐响应牢分析。后处理模碑块ANSY敢S软件的雕后处理亭过程包苦括两个浸部分：调通过后头处理模竭块POS劳T1和时间历皱程后处理折模块POS围T26。通过用陡户界面，苍可以很容剥易获得求店解过程的颈计算结果张并对其进泳行显示。命这些结果惭可能包括庸位移、应讽变、应力共、温度、化速度和热冻流等，输乏出形式可游以有图形赚显示和数丑据列表两省种。后处理廉模块（1）通用后场处理模块POS筑T1单击主菜赠单中的“Gen溜era疫lP俭ost除pro愤c”选项农即可进双入通用荷后处理揪模块。患这个模依块对前泳面的分扮析结果炊能以图住形形式须显示和结输出。腔例如，建计算结戴果为应路力，在贺模型上稿的变化震情况可妨用等值倘线图表怕示，不住同的等贱值线颜灭色代表么不同的推应力值构。（2）时间历拔程响应后拢处理模块POS陪T26单击主菜详单中的“Time璃Hist佣Pos堵tpro”选项即技可进入时塞间历程响杜应后处理横模块。这栏个模块用抓于检查在喜一个时间推段或子步脱历程中的禾结果，如懒节点位移彩、应力或疼支反力。尾这些结果融能通过绘再制曲线或饲列表查看泊。绘制一辽个或多个咳变量随频化率或其他蚀变量的曲袭线，有助昼于形象地幕表示分析财结果。另榴外，POST麦26还可以拉进行曲个线的代猛数运算杏。平面问损题有限元职方法工程结构蜘有限元线性弹性产平面问题倘的静力分弟析是力学徐特性分析柴中最简单希、最基本弃的形式。蓝线性是指桶结构的应贞力与应变祝的关系（铲本构关系贯）呈线性蚊变化，是命一类易于讯求解的问甲题，也是锈非线性问对题求解的次基础。弹廊性是指结堪构在外力茧拆除后能鉴够完全恢硬复原有形牢状的特性思，弹性问挡题的求解挣也是塑性五问题计算较的基础。秤静力分析员则是指结缎构所受外懒力是不随秘时间变化跨的恒力，翼其有关的抓概念和方嫩法也可推悼广应用到酬动态分析墙。一、弹性璃力学有关茶知识回顾1、弹性力纳学的物理链量（载荷汽、应力、际应变和位泛移）载荷载荷是贱外界作父用在弹狱性体上个的力，渗又称为语外力。强包括体穴力、面雷力和集铃中力三向种形式自。体力：体内的起力（重声力和惯叹性力）捡。面力：表面上娱的力（返压力）辱。集中力炕：作用于某倒一点。应力弹性体逗内某一关点作用跟于某个载截面单茂位面积脏上的内首力，反阿应了内崭力在截攻面上的西分布密捆度。（Pa=N腹/m2）正应力食，切应力应变外力作用不下，弹性愁体将产生储变形，因歪此微分体滥棱边的长忙度以及它拴们之间的通夹角将发拒生变化。辛各棱边单掉位长度的念伸缩量为食正应变，管各棱边之闹间的直角惹改变则称佳为剪应变碧。应变无催量纲。位移2、弹性力学嫂的基本方丽程平衡方程（3个方程通）弹性体受腊力后发生茅一定的变廊形，然后明处于新的从平衡状态渔，需要满菠足下列平衡方程壤：弹性力学骑基本方程挖描述弹性虎体应力、潮应变、位犹移以及外贫力之间的艰关系，包剖括平衡方勇程、几何呀方程和物避理方程。几何方程（6个方程准）几何方程脏描述几何疗量应变和鉴位移之间某的关系。u,v,橡w为某点三穴个方向的渐位移。物理方程（6个方程）物理方程夹描述应力惯分量与应辣变分量之构间的关系治，这种关浊系与材料瞧的物理特杀性有关。E为材料的垫弹性模量漂，G为剪切卧弹性模寨量；μ为泊松比赞；D为弹性矩阵[D]为弹性矩港阵总结三类方程破共包括15个方程奏，含有6个应力狐分量，6个应变截分量和3个位移谦分量，拨共15个未知樱量，可湾以求解铁。实际求解壮时，并不览同时求出痕全部未知凭量，先求忌一部分基住本未知量于。根据基本楼未知量的蓝选法不同叫，产生了首三种不同屿的解题方拨法——位移法、谜应力法和垦混合法。企位移法以3个位移都分量作猛为基本眠位置量耻，目前匙有限元如法主要难采用这储种方法。3、虚位堡移原理虚位移：虚位移是指在并约束条系件允许地的范围婶内弹性锹体可能溪发生的熊任意微彩小位移腐。它与电时间无猎关，与笛弹性体蛛所受的公外载无哄关。而雾弹性体揪在外载误作用下读产生的个实位移裙是可能累的虚位刺移。虚应变（井应变能）张：弹性体在平衡状罢态下发生河虚位移时铺，外力要项做虚功，殊弹性体内偷将产生虚枪应变，虚少应变能。应变能虚位移原准理又称虚功轧原理，是坑最基本的六能量原理热。叙述为晒：如果疼在虚位赶移发生伸之前弹猎性体是螺平衡的灭，那么旗在虚位重移发生养时，外越力在虚获位移上舞所做的稿虚功就掉等于弹著性体的浴虚应变虫能。上式为虚司位移原理径的一般表棍达式。对焦于虚位移炭原理，在袋虚位移发龙生过程中宽，原有的赏外力、应奏力、温度宗及速度应触保持不变头。外力的哀形式有集件中力，体南力和表面滴力。4、平面问灯题定义（葛应力问题气和应变问裙题）平面应繁力问题当满足雀以下两兴个条件鸭时，可之认为平隔面应力百问题：（1）几何馒条件：排厚度尺严寸远远窄小于截虏面尺寸乘，即结溪构形状遭呈薄板草形。（2）载荷峰条件：即载荷平蝇行与板顺平面且劈燕沿厚度宪方向均岛匀分布德，垂直雁于板面盆不受任酬何外力萍作用。平面应毙变问题几何条件魄：沿厚度窝方向的截前面形状和穴大小相同飞且厚度尺冠寸远远大跟于截面尺吨寸，即结掠构呈等截避面的细长死形。载荷条件准：载荷垂术直于厚度徐方向（平拔行横截面愁）且沿厚惧度均匀分擦布，两个奥断面不受勾力。结构离刷散单元分洁析总刚集成载荷移置约束处理求解线宽性方程升组计算其箱他物理桂量结果处理免与显示单元，节腰点单元刚阵总纲矩耻阵节点载荷泰列阵消除奇异存后的总刚璃矩阵节点位联移位移，应营力，应变二、桌平面问盘题有限再元法有限元分享析流程1、结构瞧离散（乱网格划最分）离散单元节点连续体——组合体单元节点节点自由奏度——基本未淡知量（6个自由度贼）2.单元分宝析位移函数单元应变恨和应力单元刚泛度矩阵yxO单元编寄号e；节点编号i,偿j册,m；坐标分室别(xi,yi),(请xj,yj),(摧xm,ym)；位移分量(ui,vi),尼(uj,vj),恭(um,vm)；位移函数按照有限键元法分片体插值的思遗想，首先椅假设一种若函数来近充似表示单祥元内部的竟真实位移技分布，该攻函数即为渔真实位移傅的插值函易数，称位芳移函数，称位移模式尝。多项式的虹项数越多芝，逼近精集度越高；项数的岔多少应爱根据单平元自由抓度数确看定；3节点三角芹形有6个自由度坟，确定6个待定系数；一般形式三角形计单元Gram忍er法则，鲁求解6个待定系道数A为三角形镜的面积节点两透个方向殖位移其中，Ni，Nj，Nm为单元晚内各质暖点坐标曾函数，肉称为形还函数。[N]称为形购函数矩锡阵；{q}e为单元节爽点的位移他列阵。单元位移鹅的插值表旷达式表明午：知道了腔节点的位痒移，就可卧以通过形挣函数插值通出单元内晋任意一点炮的位移。Ni的物理编意义:当节点i在某坐斤标方向倡发生单制位位移宿而其他河节点不庙动时，家单元内误的位移饮分布形盏状。形函数是选单元内各腹点坐标的死函数，并奴不是节点拒位移的函止数，其表证达式与单项元的位移五函数有关廊，因此不市同类型单址元的形函款数是不同驳的。形函数据至有以下3条性质：1、Ni在i节点上的糟值为1，而在仓其他节顿点处为0；2、在单元膀的任一点覆处，3个形函数顷之和等于1；3、单元坟每一条眉边上的突形函数霞只与该宣边上的狗节点位娇置有关考，而与态其他节幅点的位赞置无关肥。选择位洁移函数圾，应注恭意以下页几个条连件：1、包括常溉数项——刚体位咳移；2、包括帖一次项——常应变；3、尽量保泳证位移的丛连续性——跨单元连释续，变形滥后不脱离泡、不嵌入耽；4、几何偏各向同孕性——互换性，颠巴斯卡三搅角形。型函数性答质总结单元应变和应惑力根据上侵面分析魄求出的臭单元位也移函数便，根据窃几何方盏程和物须理方程求出单锣元应变和锁应力。平面问题贷的几何方章程：简记为：[B]称为应者变距阵包，其中算每个子椒矩阵为[Bl]应变矩阵[B]的每个非荒零元素均将由节点坐条标决定，辩由于节点统坐标为定店值，所以帅矩阵[B]为常数矩尚阵，因此3节点三芽角形单类元是常军应变单府元。这封是由于加单元线诵性位移起函数所毕引起的遥。平面问题惩的物理方溜程：平面应力制问题单元刚抢度矩阵单元分析辫的目的是浇建立单元购的刚度矩衰阵（单刚票）。建立单刚磨的方法有侧直接法、睛变分法等体。下面利冰用变分原递理中的虚清位移原理肆来建立。单元节田点上的泳力为Fi,Fj,Fm,他们在x,y方向的追分量在单元睬节点处浓发生的毒虚位移相应的浆虚应变直为：则节点力染在虚位移块上所作的作虚功为：单元内存硬储的应变迎能为：由于所以节点的位袋移仅与节垮点的坐标风有关，因脊此根据虚种位移原谈理，有考虑到正虚位移蕉的任意结性，约鞭分处理孤：由于三蹄角形单铺元为常祝应变和丈常应力造单元，惨且厚度t为常数豆，设单元面监积为A，则：简写为：单元刚度鸽矩阵：单元节催点力与条节点位野移关系犁的单元季特性方弯程将矩阵[D]，[B]的表达猜式带入卸，可以屠得到单暑元刚度厨矩阵的亲分块表绝达形式衬：其中每个吧分块阵的盾表达式为转：是前面陪引入的君由节点堡坐标决辉定的常药数。可见，浓刚度矩也阵与单坝元的材趣料（弹兴性模量土、泊松船比）有初关，又歪与单元饼的厚度赴、面积领和形状恨有关。刚度矩寻阵的物树理意义单元刚阵宽每个分块哭阵的物理蚀意义为：局当在一个待节点处产寻生单位位腰移而其他蓄节点位移笨为零时，殖在该节点间上需要的系力的大小呀。单元刚发度阵的每片个元素反葬映了单元急在某个方给向上的刚叮度大小。单元刚笋阵具有蚂以下两杯个特性名：1、对称胁性——功的互距等原理2、奇异依性，在舒无约束季条件下郑，单元克可以做茧刚体运们动总纲集成？通过单纳元分析摄得到了运单元特耻性方程提，根据歼该式还录不能求旬出。因狭为节点甜力包括籍单元之兵间的作鸦用力，涉属于内短力，是廉未知的钱。由于徐内力成芦对出现垃，它们膊大小相听等，方快向相反直。因此饼如果将肿单元组注装一起誉，便能榆消除这盏些成对桂的内力浓，最终数只剩下闲已知的妥外力，硬这便是霞总刚集觉成的目糊的。总刚集万成的任络务是将进所有单劫元的刚永度矩阵界集成为桃整个结项构的刚议度矩阵嘱，称为脸总刚度洽矩阵，讽简称总敬刚，最妥后形成蹦整个结妹构的平涝衡方程童。总刚集较成原理单元分析沙时已对单墙元的每一厦个节点建夸立了平衡唐方程。表明：单尚元任一节狼点发生位缓移，都将崖在节点i处产生节旗点力，且置力的大小宪等于各个渗节点位移饲所引起的勇力的叠加况。例：整体结构锦中，几个送单元共同岭作用与一老个节点，僻根据线性垮叠加原理雁，该节点梯上的节点队力为所有唉单元引起连的节点力良之和。设经作用在节颗点i上的载荷滑为{Ri}，则平茎衡方程约为：如果节朗点i由e个单元共氧有则：对于结构构中的所有济节点1、2、3……n（n为结构卷离散后易的节点驰总数）偿，有简记为：式中：{q}=万{q1，q2，…qn}T是模型中土所有节点炼组成的列另阵，称为倦节点位移灯列阵。{R}假={R1，R2，…，Rn}T是作用在权节点上的磨所有载荷蹄组成的列茅阵，成为值节点载荷牧列阵；[K]就是要悄求的总腰刚矩阵插：整个结银构的平杂衡方程躁，称为报结构的愿有限元书方程，锣或刚度剥方程例：前式中撒第一个胳求和表视示按节周点编号闲顺序依蛋次形成[K]中的某匙一行。达对于节爸点1，它只云通过单腊元1与节点2，3相关，办而与节蹲点4，5，6不直接相裕关，因境此有，k14=k15=k16=0，k11=k111，k12=k112，k13=k113，其中上标召表示单元恒标号。对于节四点2，它与节百点6不直接痒相关，北而与其赶他节点内均相关卫。其中御和节点3是通过单余元1，2相关的侦，即当莲节点3产生位移遗时，它将透通过单元1在节点2处产生节微点力，因狮此k23=k123+k223，简记为k23=k1+223，这就示是对围号绕一个蜓节点的充所有单抗元求和禽。同理，可男以依次形隆成对应节眯点3,4,越5,6的刚阵既元素。避得到总智纲矩阵详。总纲形成拘过程总纲矩阵流可以按两愧步进行集吹成。（1）扩阶馒将各个单任元刚阵按多节点总数n扩大为n*n阶方阵块着，并将单蝇刚元素送采入该单元仅节点对应织的节点总典码的行和所列，其余词元素为0。（2）叠加粒扩阶后的遮单元刚阵安具有相同提的阶数和社节点排列铁顺序，将豆各单元刚集阵按式进岭行叠加，陷即相同位烂置的元素庭相加，就幸可以得到遇总刚矩阵驼。总刚矩尽阵的特乞点：对称性暂：总刚矩阵塞由单元刚脑阵叠加形陡成的，所蚀以他与单越元刚阵一待样也是对染称阵，计酬算时可以绳节省存储启量；稀疏性首：在某一节查点的矩阵宇元素中，惧与该节点独无关的节块点所对应残的元素为雄零；带状性娇：非零元慢素集中已在对角泉线附近扇；奇异性幼：结构不加华任何约束不或约束不表足时，其孙总刚矩阵座是奇异阵腹，方程的香解不唯一。载荷移置载荷移置碰遵循能量政等效原则座，即原载惜荷与移置矩产生的节帝点载荷在购虚位移上乳所做的虚榨功相等。谢对于给定淹的位移函输数，这种派移置的结嘴果是唯一垃的。通过总汇刚形成此了有限播元方程[K]学{q}碗={R颜}，其中列草阵{R}的元素为绍节点载荷舍，是集中见力。但载丝式荷除了集距中力外，秀还有面力消和体力，召即使是集愧中力也不烈一定作用熟在节点上煤。因此需包要将各种降载荷转换替为节点载迅荷，这就鞭是载荷移日置的目的拦和任务。集中力的锻移置可见，载部荷移置的币结果仅与宾单元形函辉数有关，猛当形函数细确定后，供移置的结勇果是唯一钓的。面力的移乒置（等效阳为集中力匪）体力的事移置约束条件虽然通咏过总刚喊集成和匪载荷移烛置求出估了矩阵[K]和{R}，但还版是不能缓够求解顷有限元肠结构方核程，因宪为还没眯有考虑念结构的辣几何约健束。当肯结构不炕受约束挎或约束笨不足时毕，它在寨外力的狠作用下盈会产生拼刚体运洲动，数呼学上表藏现为[K]是奇异阵向，方程有股无穷多解扰。约束处含理方法墨主要有帮两种：边界位移调为零的处陷理方法；边界位移畜为已知值费的处理方土法；求解线性稳方程组计算其他役物理量计算结娱果处理结果显示扛、打印、屡分析等。算例1：建立几饶何模型杆件系抗统有限元方荣法工程结恶构有限拾元“杆”华及“梁盲”是最俘基本的酸承力结棚构件，餐将众多积的杆或脸梁按照禽设计的扛需要进姻行连接雁和组合贞，将得犁到具有奴特定造妇型和承桃力功能厉的结构究，人们辫常说的护框架、缩慧网架、棚型架等雁就是这谷类结构帆。由杆饼及梁组旱成的结唇构具有视一个特壁征，就互是在构夏间之间搜进行连向接（铰吨接、焊礼接或螺使栓连接坊），将刑这类连唯接称为肠“节屠点”，垃可以看抗出这类董节点具炎有“自快然离散庭化”的突特征。一、简单钉弹簧系统历的力学分刚析过程弹簧（spr漫ing）是一种贴最简单的可承受轴力紧的结构件肉，可以直乓接基于力趣的平衡进脏行分析，环并直接建酸立弹簧构哈件（单元每）的平衡娇方程。k1k2F2l1l2BACk1k2213u1u2u312k121u1u21l1FR1FI223u32l2k2FR2FI2F21.单元1的受力分指析2.单元2的受力分施析+由于两端渗固定，即u1=u3=0，上式烫化简为快：例：基于弹簧沙类比推导宿杆件的平献衡原理对弹簧的悦力-位移关影系与杆姻拉伸过漫程进行牢比较，推导出净杆的力证与变形灵的关系域；u1u2lE,A二、杆输结构的阻力学分伐析过程oxy12312F以一个次相互垂宴直的平乏面2杆结构论的分析阻为例，杯展示有终限元分单析的全高过程：E(1)=E(2)=2*肥107PaA(1)=A(2)=2*炕10-4m2l(1)=l(2)=0熊.1mF歇=吉100备N，α=30°1.结构离刚散化该结构由2根杆件组秆成，由于启为铰接方丹式，它所葱承受的力鲜的方向是寒沿轴线的荡，它可以戚自然离散众为两个杆向单元，这违类单元的匆特征是仅绑有2个端点。2.各个单元旋研究（建施立单元刚亏度矩阵）每个离散涛单元具有具相同的特冻征，即都巩具有2个节点所的杆单清元，可架以看成盈杆件的盘拉伸问兼题，基谷于节点饿的平衡庭关系式列，可以忙写成矩乏阵形式元：21232单元刚度贱矩阵节点位询移列阵节点力列眯阵3.离散单元考的组装（寄总纲集成帖）由于单元1是基于x方向进行陡描述的，照而单元2是基于y方向进曲行描述歌的，也示就是说炸，它们盗都是基怖于局部共坐标系赛表达的剩，要进怕行组装测和集成项，必须肉将两个劫单元的握节点位违移进行卸扩充，草使其具箭有公共索的节点冲位移，坟即需要牙化为整绕体坐标笑上的表委达。对1单元拓展对2单元拓展总刚度激方程引入边椒界条件u1=v1=0，u3=v3=04.求解节点搅位移将相关的垄参数带入夜上式，将峡外力分解减为Fx2=Fc班osα，Fy2=Fs薄inα，则有：求解结果韵为：u2=2.敞165粥*10-3m，v2=1.幻玉25*丙10-3m。加上柿原位移答边界条估件，u1=v1=u3=v3=0，各单过元的节帮点位移免为：5.求解支矿反力将求得的绒节点位移吴再带入总啊刚度方程墙中，可以和求出支反券力：以上是一引个简单结原构有限元疏方法求解精的完整过吗程，对于花复杂结构悟，其求解节过程以及扎步骤完全庙相同，可隐以看出每士一个处理筹步骤都具脊有标准化毅和规范性丽的特征，嗽因而可以策在计算机敏上通过编吨程来自动蓬实现。三、杆单钉元及坐标需变换1.局部坐标拣系中的单虽元描述杆单元魄是最基菊本、最盗简单的叔单元，食前面讨叔论的弹槽簧的基漠本构建柏实际上朱就是杆浑单元。它有两个脂端节点，尽沿单元轴乔线的局部腔坐标系中仰，仅有连张个节点位挡移，两个腊节点位移袭作为基本筒变量。节点力列览阵：节点位辜移列阵关：N（x）称为很形状函布数矩阵骂：应变-应力关系急矩阵由弹性砍力学中酸的物理写方程，思即胡克岔定律，白计算杆豆单元的配应力为组：应力-位移关系缎矩阵例：杆单元中及形状函数抄的性质对于杆单举元的形状男函数，讨蚁论它的性宰质解答：由前式衰可知，稍杆单元萍的形状适函数为石：N1(x)是当节点1的位移为可单位1时、节点2的位移羽为零时论的单元科位移场苏函数。N2(x)是当节北点2的位移眨为单位1、节点1的位移为形零时的单籍元位移场刺函数例：杆单元省刚度矩征阵的性爱质对于杆馆单元刚瞧度矩阵谷，讨论醒它的性恳质解答：由前面讨胀论可知，赔杆单元的绕刚度矩阵形为：式中,k11=k22=EA/丹l，k12=k21=-E朝A/l。显然，单冈元矩阵是劲对称的，夺它的各个熔系数有如陶下性质：单元刚度甚矩阵中各转行（或列怀）系数之炮和为零；单元刚度艺矩阵的行栋列式为零饲，奇异性液；2.平面问题税中杆单元纷的坐标变劳换12o局部坐标顶系；整体坐标受系；坐标变慕化整体坐标帽系局部坐颂标系坐标变期换矩阵为了推浴导整体多坐标系夸下杆单型元的刚验度方程压，将节垮点位移吓坐标变佣换关系叨式带入讲原来基蜂于局部柱坐标系锡的单元滥刚度方蚁程，有奖：其中，愁为核整体坐标滚系下的单岸元刚度矩慨阵；伶为孤整体坐标椒系下的节睁点列阵。四、梁单棒元及坐标庙变换1.平面梁致的基本嘱力学方汪程对于一个蹈杆件，除剖承受轴向胁载荷外，免还可以承弹受横向载安荷以及弯铺矩，则称炉这类杆件庙为梁。l厚度:t通过特征建蠢模方法推赞导该问刘题的基阿本方程仗，细长梁攀、微元冬体。上图：茶厚度较纸小，外谣载沿厚挨度方向崭无变化县。平衡方程—dx斯_h_倾t微元体，膜力和力矩浊平衡(a)微段上舰的受力务分布(b)微段上等侦效的合成蚀力几何方程中性层变形层考虑梁谦的纯弯蹈变形，总由变形斯后的几亿何关系款，可得脚到y处纤维抗层的应烫变为：对于梁的外挠度函数v(x,忌y=0)秧,它的曲骆率的计臂算公式吸为物理方程对于纯示弯曲梁种，主要鸣考虑沿x方向的应慈力和应变流，因此，长仅采用单森向的胡克筋定律对以上方员程进行整剂理，最后纹得到描述呜平面梁弯赖曲问题的基本方畏程如下坊：y方向的妇平衡方也程x方向的问平衡方落程物理方仔程几何方程边界条远件对于前图粥中所示简境支梁，它居的边界为蛇梁的两端像。两端的吧位移彩边界条线件：两端的力行（弯矩）抖边界条件例平面梁肠问题的虏解析求封解可以针对围基于“特基征建模”盟简化方法榆得到的基洪本方程进滴行直接求穴解，如图捐所示的均境匀分布简拖支梁问题踩，其方程奔为：位移边葛界条件美：弯矩边界递条件：对常微档分方程速，待定卫系数法穗：由四个保边界条逆件求得党待定系社数：最大挠度昂出现在梁辞的中点处江：2.梁问题窗求解的雷最小势举能原理下面给间出平面敬梁问题粱求解的苹最小势若能原理文，若梁鼓的挠度晕为则计算革平面梁阻的应变旱能为：定义简支丑梁的外力穗势为：定义该销问题的落势能为：若抚满足问已题的位移恶边界条件糠，则它称恶为许可位盐移，也为试函数，真实的铅位移场肠使结构情的总势脾能最小寨值，即最小势屠能原理基本表慢达式例简支梁最朽小势能原馆理的求解以平面幕简支梁这的弯曲防问题为球例，取弦满足位肿移边界怠条件的挎许可位侵移场喝为：求解：首先验内证位移饶场，满延足边界呆条件，酿计算平踩面简支丙梁弯曲功问题的骄应变能U为：相应的外旁力势为：则总势能菌最小值，膨有：解出c1后，有似的表达勇式核：3.只有弯毫曲的平志面梁单搅元节点1节点2E槽A特Ilv1v2x两端为刚笛性连接承受轴梦力、弯暴矩下面研究竹在局部坐块标系中的捎纯弯梁单芒元（beam哗ele道ment），如袜图，长帮度l，弹性艳模量E，横截皮面的惯晚性矩I。节点的位发移列阵：节点力插列阵：单元位患移的表绕达由于有4个节点弹条件，原可设定谅纯弯梁揪单元的娱挠度位佳移场为佛：形函数矩拾阵单元应变或场的表达基于纯洋弯梁的这几何方伙程式，，将挠鉴度v的表达荒式代入珍：B称为几何弦函数矩阵堡，（应变吓矩阵）单元应力勇场的表达基于梁邮的物理删方程，啄代入得州：S称为单消元的应聚力函数惭矩阵，隙（应力夺矩阵）单元势能究的始表达单元的势名能：应变能：其中刚员度矩阵汁，即外力势：单元的刚树度方程基于前筛面的应铅变能和可外力势要的方程使，计算爽单元的抄势能为从：由最小势猫能原理，甩将是对翅取一籍阶极小值威，可得到臭单元刚度汇方程为：4.局部坐标帖系中的空冒间梁单元空间梁单毙元，有2个节点，这没个节点拆有3个平移船自由度固以及3个转动蓄自由度杂；长度l，弹性荐模量E，横截面怪的惯性矩Iz，Iy，横截面剃的扭转惯茫性矩J。（1）对应于森图中的节梦点位移（u1,u2）这是单崖元的轴溪向位移争，它实碧际上是练杆单元蓬的特性带，有对撒应于杆拨单元的活刚度矩卫阵为：（2）对应于族图中的节从点位移（θx1,θx2）这是杆受絮扭转时的晶情形，如仁果将扭转坑角类似于第拉伸杆的围位移，则妖它的分析脱结果与拉欧伸杆类似墓，所推导欲的刚度矩涂阵为：（3）对应阔于图中xOy平面内屡的节点办位移（v1,θz1,v2,θz2）这是梁采在xOy平面内肥的纯弯凉曲情形愉，对应哑的刚度离矩阵：（4）对应旋图中xOz平面内的算节点位移换（w1,θy1,w2,θy2）这是梁铜在xOz平面内的浪纯弯曲情格形，可得洪到类似的阶刚度矩阵巴，但所对岛应的节点耐位移是不父同的，并浊采用绕y轴的惯好性矩。（5）将各分册刚度矩阵贞进行组合神形成完整篇的单元刚丑度矩阵5.空间梁郑单元的状坐标变炊换6.梁单元中貌分布力的如处理作用在封梁单元骆上的各朝种分布已力都将萝等效在尸单元的些节点上烂，等效求的数值亦将根据爆外力势断的计算巡寿得到，勿即计算拉分布力键作用下搜的外力引势为：3.5边界条见件的处茫理在建立了屡结构的有特限元方程黄后，需要辞对一些节直点上的给井定位移进竿行处理，核介绍几种歉常用的处佩理方法。1、消元法对该系暂统取极告小值，叔有：即得到抱处理边闷界条件庄后的方棕程为：基于以份上方程参，可以呈求出q2,q3,…,qN。该方狗法称为沉消元法湿。消元法的锈特点：（1）可以精棉确处理边躬界条件（2）矩阵奶的维数桑降低，划但这对影于大规妹模计算擦来说，抵将带来汤矩阵中悄编号次幸序的改对变，不无便于计预算机处寇理。例题：找杆-梁组合结托构的有限变元分析有一杆-梁组合结羊构如图所陶示，AC为粱件牵，材料群为钢材活，弹性缘瑞模量EAC=20信7GP汗a，横截劳面为矩吩形，尺极寸为40mm梳*40m何m;BD为杆件，维材料为铝给材，弹性脊模量EBD=69G竿Pa，横截肤面的面逆积为78.5分4mm2。对该结蔑构进行受涨力分析ABCD300供cm300舒cm200c涝mF=1致0kN12v1v2v3v2v4234123杆梁梁解答：害对于该胀组合体船进行离奴散，得滋到2个梁单回元和1个杆单漂元，所肝划分的眼单元及槽节点如蜘上图。脉首先计录算各个钉单元的绸刚度矩间阵。对于单元1和单元2，它们墓对应的欧刚度矩纯阵式相萝同的，私只是所番对应的融节点位透移不同册，即：单元单元12v2v3v1v2对于单码元怕，刚颈度矩阵睡为：3对各个香单元刚追度矩阵险进行组麦装，得塑到的总沫刚度方剃程为：位移边界乘条件为v1=0,阔v4=0,对其进行寨处理（划怎分相应的熄行和列），然后求势出其他节危点的位移闲。代入上澡式求得仍支反力数：例2假小型铁岗路钢桥鸽的求解有一座容小型铁灵路桥由平截面积蜻均为3250招mm2的钢制缴杆件组白装而成斤。一辆歼火车停播在桥上阔，其载温荷施加雄在桥梁敏两侧的亮桁架上脊，单侧嫌的桁架嚼如图所宪示，等尤效的载胃荷为F1及F2,材料的紫弹性模槐量E=2.河1*105Mpa，泊松比0.3，密度780戚0kg仙/m3。试计算袭位置R处由于叠载荷作孩用而沿洞水平方抖向移动子的距离糟以及支糊反力，闷同时，用分析各土个节点屑的位移义和单元塞应力。a=3.舱6ma=3慌.6ma=3.圈6mb=3铲.11遵8mF1=2乘10kNF2=贴280扔kN建模要点祸：这是一劣个平面须内的桁矛架结构茅，可以季采用平远面杆模领型。在ANS尘YS环境中龟，设置忍静力分海析类型足、采用限单元类云型为LIN国K1，输入相正应的实常笨数及材料绩参数。根据坐标判直接生成饰关键点，残由关键点理连成线，免通过复制班构建整个顷桁架模型闸，然后通塘过合并命塑令将多余耕的关键点茎合并，最碑后划分单针元。施加位坦移约束益，施加造外力，袋进行计规算。在后处理懂中，通过夹命令</ES石HAPE策>对线形单研元（如杆享、梁）按咐实体效果呆进行显示唤。在后处梯理中，尸定义线章形单元名的节点毕轴力(<ET六ABLE质>)，画出线会形单元的性轴力图（<PLL样S>）,打印单欲元的支惑反力结味果（<PRR演SOL>）通过命令<*ge敌t>获取指定犁节点上的道支反力，走通过<*st焦atus呼>显示参泊量值。GUI：1）进入ANSY壤S2)设置不显步示日期和艇事件3）选择穗单元类筹型ANSY米Sma要inm拜enu:堵pre劈燕proc贪esso精r-el极emen纠tty疗pe-a穿dd/e宅dit/勇dele寨te-a室dd-l自ink:筒2Ds拦par足1-ok4)定义材料蚁参数Ans搅ys接mai坟nm劝enu蒸:pr吐epr膨oce胡sso鬼r-m独ate垂ria场lp箭rop妖s-m疗ate曾ria腹lm巧ode厘ls-尺mat完eri倍al汇mod谢els泰av槽ail确abl赢e-s习tru唉ctu勉ral糟-li耀nea执r-e匆las磁tic液-is飞otr族opi毁c-e债x:2狡.10坟e11衡,pr辽xy:封0.3辜-ok虚-de初nsi蒜ty-傅den步s:7姐.8e芳3-o接k5)定义实井常数Ansy劳sma烈inm屠enu:服pre裤proc明esso唱r-re糕alc逆onan军s-ad蜂d/ed猎it/d网elet禾e-ad皂d-ty林pe1喝lin找k1-o旷k-re酷alc聪onst洋ran苍set慕no:1巴,are唇a:3.怕25e-锐3-ok赠-clo级se6)定义水平筛杆间长度盐和杆的高悟度Util傅ity纳menu械:par贺amet广ers-织scal纤arp侄aram姥eter垒s,se盐lect韵ion:晃a=3.湿6-ac安cept描-sca藏ler酸para中mete近rs,s词elec冈tion走:b=3甘.118我-acc槐ept-寨clos雾e7）生成几何务模型Step喷1生成3个关键膀点：Ansy平sma移inm阻enu:旨pre童proc支esso钻r-mo吐deli乔ng-c冬reat斜e-ke汁ypoi捕nts-买ina烘ctiv的ecs堪-按次序袋输入3个特征秒点，（0,0做,0），（a/2炕,B,贿0）,(a,停0,0)逢-can边celSte访p2建立3条线：Ansy高sma似inm萌enu:宪pre龟proc侮esso戴r-mo谊deli爽ng-c都reat胞e-li天nes-许line甚s-st锄raig屠htl陷ine-用鼠标选幕择关键点1和2形成线1，选择欺关键点1和3形成线2，选择关拌键点2和3形成线3-o律kStep巷3复制线Ans油ys痰mai疑nm堪enu氏:pr卵epr削oce剧sso啄r-m纺ode慢lin米g-c没opy圣-li宪nes等-pi笛ck弃all肢-nu猛mbe称ro牵fc啦opi培es:食3,米x-o锈ffs汗et假in绪act撞ive都cs林a-泻app扔ly-用鼠标英单击选殃择线2和线5（先通只过plo廊tct蹦rls罚-nu疗mbe趴rin腿g-l亿ine淹:on祥-ok来显示出弊线的编号魔）-app挥ly-n规umbe缘瑞rof彼cop衣ies:疤2,x-烛offs伤eti慈nac登tive执cs:语a/2,弦y-of轨fset梨in角acti丘vec瞎s:b-匹okStep幕4对模型堡进行合酱并Ansy轿sma兔inm菜enu:转prep哄roce蔬ssor竖-num谷beri头ngc救trls恩-mer灯gei宣tems打-typ详eof图ite陶mto辉be醋merg音e:al见l-okSte吵p5设置所有货的线上划断分单元的络个数：Ans骨ys敲mai川nm诉enu烫:pr长epr红oce朋sso溉r-m俘esh牵ing麻-si蚕ze学cnt刚rls泰-ma拖nua遮lsi斤ze-吧lin嫂es-塞all封li按nes关-no玩.o太fe祸lem语ent昏di雾vis蒸ion辈s:从1-o仁kStep朋6对所有选神择的线进颤行单元划萄分：Ansy最sma睬inm践enu：mai测nm源enu握-pr心epr趣oce蛮sso暮r-m览esh辈ing鹊-me帝sh-扶lin具es-燃pic塞ka搭ll8）对模贩型施加跪边界条复件Step搞1对关键点1、9施加固崭定边界遭条件Ans充ys歇mai艘nm诞enu氏:s起olu暮tio所n-d营efi饿ne供loa弦ds-卖app蛋ly-手str灾uct准ura药l-d乒isp即lan闯cem盼ent由-on现ke传yp称oin肢t-弹出选择贯菜单，选州择关键点1（左端哄点）--d戒ofs群to抱be片co嫁nst航rai碗ned陡:a疾ll天dof沈-ap增ply彻-弹出选爆择菜单庆，选择月关键点芹（右端库点）OK-D裕OFSto态be舞con辟str蹲ain嘱ed：UY-拼OKStep野2对关键点3、6施加Y方向的尘集中力舍：Ansy择sma茫inm唤enu:祖solu同tion敏-def寨ine筛load醉s-ap乞ply-尼stru雁ctur肝al-f耻orce摘/mom秤ent-凑onk拿eypo纠ints既-弹出选来择菜单障，选择问关键点3-ok土-dir葡ect削off仅orce矩/mom蒜:FY,义valu肆e：-21历0e3约-ap满ply服-以同样树的方式盏选择关析键点6，施加Y方向的难集中力泳：-28远0e3榜-ok9)分析计算Ans妇ys绳mai涌nme结nu：solu垂tion麦-sol政ve-c颗urre妖ntl朗s-ok尸-sol篇utio全nis尘don草e!cl染ose/秒stat嗓usc沉omma瓶nd10)结果的蛾一般显杂示（1）变形位以移的显示Ansy课sma要inm树enu:菜gene屯ral苗post归proc摘-plo约tre诱sult忘s-de拣form锅eds戚hap-稻sele造ctd拥ef+u煎ndef搭orme四d-ok（2）对线形各单元（杆剖、梁）按盈实体效果评进行显示胳（以3倍比例喜）Uti诸lit挽ym雹enu最-pl披otc课trl泰s-s凡tyl响e-s听ize醋an摊ds急hap如e-e咽sha表pe,膜[]o翁n,s裂cal者e:3县-ok（3）显示Y方向的位喇移图Mai喜nm愁enu拍-ge追ner梢al状pos慢tpr罚oc-处plo漫tr巩esu抛lts吸-co蛇nto额ur口plo钟t-n勒oda瞎ls营olu但-do蚊fs敢olu使tio宣n,Y测-co课mpo齿nen短to锯fd棍isp宿lac杆eme延nt-鬼ok（4）将所显直示的图形剂存入一个得文件中Uti叨lit回ym培enu唐:p凤lot鸣ctr周ls-周har别dc呼opy归-to盐fi在le-泛col届or纽奉jpe聚g,叨rev查ers歇ev仓ide租o,p典ort蹈rai劈燕t,s某ave槽to旨[br暗idg忽e]-浙ok11)线形单元尘内力结果页的显示和晴打印（1）内力结捡果的显示对于线誉形单元筋，若要编计算和贴显示它芦的内力守，需要蓬按照以弊下步骤焰操作:Ste保p1定义线妨形单元I,J节点的轴沸力：ANS斑YS僚mai奏nme利nu：gen记era坚lp所ost怨pro唱c-e仇lem垮ent桶ta朱ble堂-de欢fin得et谈abl摄e-a氏dd-鸭lab痛br篮idg愉e_I稀,It村em,康com宣p:b聋ys斗equ撞enc睁en都um:习SM之ISC检,1-距App珠ly-倾lab洲:b卫rid提ge_财j,i孝tem饱,co答mp:墨by格seq挥uen始ce碍num捡:sm摄isc军,1-充ok-异clo争seStep肚2画出线凯形单元催的受力军图Ans嫂ys表mai却nm卸enu奸:g它ene亏ral潮po迫stp漫roc唯-pl堵ot美res扔ult起s-c临ont政our朽pl瞒ot-载lin惩ee茎lem受re拴s-l铁abI愤:br边idg族e_I钉,La种bJ:姿bri醋dge本_j,暂fac恨e:0伞.5-每ok11)打印单页元的计专算结果打印单差元的轴啦向力：Uti董lit奴ym欧enu气:l寨ist映-re追sul纳ts-眠ele很men伪ts章olu倚tio困n-e江lem必ent救so栗lut侧ion设