2020-2021学年江苏省泰州市高二（上）期末数学试卷 （解析版）

2020-2021学年江苏省泰州市高二（上）期末数学试卷

一、选择题（共8小题）.

1.已知命题p：-1W0”，则命题（

A.VxeR,-x-1>0B.Vx£R,-x-1>0

C.VxGR,-x-1^0D.3xGR,-x-1>0

2.已知等差数列｛斯｝前10项的和是310,前20项的和是1220,则数列｛斯｝的通项公式为

A.斯=6〃+2Cln~~6n-2C.斯=4〃+2D.斯=4〃-2

3.在空间四边形0A2C中,0A=a,0B=b,0C=c＞且高=2诬,则证=（）

A-iafb+cB.C豺■7

4.2020年北京时间11月24日我国嫦娥五号探月飞行器成功发射.嫦娥五号是我国探月工

程“绕、落、回”三步走的收官之战，经历发射入轨、地月转移、近月制动、环月飞行、

着陆下降、月面工作、月面上升、交会对接与样品转移、环月等待、月地转移、再入回

收等11个关键阶段.在经过交会对接与样品转移阶段后，若嫦娥五号返回器在近月点（离

月面最近的点）约为200公里，远月点（离月面最远的点）约为8600公里，以月球中心

为一个焦点的椭圆形轨道上等待时间窗口和指令进行下一步动作，月球半径约为1740公

里，则此椭圆轨道的离心率约为（）

A.0.32B.0.48C.0.68D.0.82

5.如果向量：=（2,-1,3）,（-1，4,2）,3=（1，-L共面，则实数m

的值是（）

A.-1B.1C.-5D.5

6.设抛物线y2=8x的焦点为R过点0）的直线与抛物线相交于A,8两点，若［8尸|

=4,则|4尸|=（）

A2

B.3D

7c.V7-f

7.已知正项等比数列｛a”｝的公比为g,前〃项和为8,则“q>l”是“S4+S6-2S5>0”的

）条件

A.充分不必要B.必要不充分

C.充分必要D.既不充分也不必要

8.若0<x<y<z且盯z=l,则下列关系式不一定成立的是（（)

A.lgy+lgz>0B.2,v+2z>4C.x+z2>2D.x2+z>2

二、选择题（共4小题）.

9.已知双曲线C：1,则下列说法正确的是（）

84

A.渐近线方程为y=±•亚xB.焦点坐标为（土2M,0）

C.顶点坐标为（±2&,0）D.实轴长为2后

10.设a,b,cGR,则下列结论正确的有（)

A.若a<b,c<0,贝!Jac>bcB.

a

C.若a<6<0,则工〉」/a+b、2<aW

D.

ab2、2

11.任取一个正整数相，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反

复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1一4一2-1.这就是数学史上

著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数加=3,根据上述运算法，贝IJ得

出3-10-5-16-8-4-2-1,共需经过7个步骤首次变成1（简称为7步“雹程”）.则

下列叙述正确的是（）

A.当根=12时，经过9步雹程变成1

B.当根=2上（依N*）时，经过上步雹程变成1

C.当机越大时，首次变成1需要的雹程数越大

D.若加需经过5步雹程首次变成1,则机所有可能的取值集合为5,32

12.已知过抛物线俨=©焦点厂的直线/与抛物线交于A,B两点，直线交x轴于点

M,直线交x轴于点N,则下列结论正确的有（）

A.\AF\+\BF\=\AF\'\BF\B.\MF\+\NF\^\MF\'\NF\

C.以尸卜|8川的最小值为4D.的最小值为16

三、填空题（共4小题）.

13.已知直三棱柱ABC-AiBiCi中，AB±AC,AB=AC=AAi,点E,F分别为44i,A1C1

的中点，则直线BE和CF所成角的余弦值为.

22

14.椭圆C：岂亍三=1（。>匕>0）的左右焦点为人、色，若C上存在一点P,使得IPBI

=2\PF2\,则C的离心率的范围是.

15.如图甲是第七届国际数学教育大会（/CME-7）的会徽.它的主题图案是由一连串如图

乙所示的直角三角形演化而成的.设其中的第一个直角三角形。4上是等腰三角形，且

OA1=A1A2=A2A3=A3A4=•••=A7A8=1,它可以形成近似的等角螺线，记0A1,0A2,

0A3,­­,04的长度组成数列｛3｝（吒N*,1W〃W8）,且bn=-J-,贝Uan=

anan<-l

（weN*,1W〃W8）,数列｛瓦｝的前7项和为

图甲图乙

16.已知正实数°,6满足a+26=l,则善-+3的最小值为_____.

1-a1-b

四、解答题（共6小题，满分70分）

2,2

17.已知命题p：实数t满足尸-7af+l2a2<0（a<0）,命题q：实数f满足曲线+———

25+t9+t

=1为椭圆.

（1）若q为真，求实数f的取值范围；

（2）若p是q的充分条件，求实数a的取值范围.

18.在①d=a"2，②瓦=|a〃-10|,③瓦=这三个条件中任选一个，补充在下面

anan+2

问题中，并完成问题的解答.

问题：已知数列｛斯｝是各项均为正数的等差数列，。2=2,且。1+1,。4,成等比数列.

（1）求数列｛小｝的通项公式；

（2）记,求数列｛d｝的前〃项和S".

19.已知点尸（x,y）到定点尸（0,V2）的距离与它到定直线/：y="|五的距离的比是常

数聘，点2的轨迹为曲线£.

（1）求曲线E的方程；

（2）设点。（祖，0）（m>l）,若|PQ的最大值为遥，求实数机的值.

20.2020年11月23日，贵州宣布最后9个深度贫困县退出贫困县序列，这不仅标志着贵

州省66个贫困县实现整体脱贫，这也标志着国务院扶贫办确定的全国832个贫困县全部

脱贫摘帽，全国脱贫攻坚目标任务已经完成.在脱贫攻坚过程中，某地县乡村三级干部

在帮扶走访中得知某贫困户的实际情况后，为他家量身定制了脱贫计划，政府无息贷款

10万元给该农户种养羊，每万元可创造利润。15万元.若进行技术指导，养羊的投资减

少了x（x>0）万元，且每万元创造的利润变为原来的（1+0.25无）倍.现将养羊少投资

的尤万元全部投资网店，进行农产品销售，则每万元创造的利润为0.15（G-0.875%）万

元，其中a>0.

（1）若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润，求x的取值范围；

（2）若网店销售的利润始终不高于技术指导后养羊的利润，求a的最大值.

21.如图，已知在四棱锥P-ABC。中，PAL平面ABC。，四边形48C。为直角梯形，AD

=2AB=2BC=2,PA=1,ZABC=90°.

（1）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；

（2）在线段上是否存在点£,使得二面角E-AC-P的余弦值亨？若存在，指出点

E的位置；若不存在，说明理由.

2

22.已知A,2分别是双曲线氏无2一匚=i的左，右顶点，直线/（不与坐标轴垂直）过

4

点N（2,0）,且与双曲线E交于C,。两点.

（1）若而=3而，求直线/的方程；

（2）若直线AC与8。相交于点P,求证：点尸在定直线上.

参考答案

一、选择题(共8小题).

1.已知命题p：3XGR,-x-1W0”,则命题-p()

A.VxeR,-x-1>0B.VxgR,-x-1>0

C.VxGR,-x-1^0D.3xGR,-x-1>0

【分析】利用含逻辑联结词的否定是将存在变为任意，同时将结论否定，可写出命题的

否定.

解：•命题p：u-x-I,

・、命题-p：VxGR,-x-l>0,

故选：A.

2.已知等差数列｛斯｝前10项的和是310,前20项的和是1220,则数列｛斯｝的通项公式为

()

A.an=6n+2B.an=6n-2C.。〃=4几+2D.an=4n-2

【分析】利用等差数列的求和公式、通项公式即可得出.

解：设等差数列｛〃“｝的公差为d,

V10tzi+45J=310,20m+190d=1220,

解得：。1=4,d=6,

・••斯=4+6(〃-1)=6〃-2.

故选：B.

3.在空间四边形04BC中，0A=a,0B=b,0C=c)且京=2谣,则证=()

A.-4a-ib+cB--4b+cc-cD--?a+4b-c

OoooOOOO

【分析】直接利用空间向量的线性运算的应用求出结果.

解：空间四边形0ABe中，0A=a,QB=b,0C=c-

如图所示:

o

所以AB=OB-OA=b-软，AM=1-AB=^-(b-a)-

oo

则册=水+疝=;卷―*—•2f1

(b-a)3b+ya，

所以而=0C-币i=c

oo

故选：A.

4.2020年北京时间11月24日我国嫦娥五号探月飞行器成功发射.嫦娥五号是我国探月工

程“绕、落、回”三步走的收官之战，经历发射入轨、地月转移、近月制动、环月飞行、

着陆下降、月面工作、月面上升、交会对接与样品转移、环月等待、月地转移、再入回

收等11个关键阶段.在经过交会对接与样品转移阶段后，若嫦娥五号返回器在近月点（离

月面最近的点）约为200公里，远月点（离月面最远的点）约为8600公里，以月球中心

为一个焦点的椭圆形轨道上等待时间窗口和指令进行下一步动作，月球半径约为1740公

里，则此椭圆轨道的离心率约为（）

A.0.32B.0.48C.0.68D.0.82

【分析】将椭圆中的c与椭圆形轨道中的数量关系一一对应，建立模型，再求解即可.

解：实轴长2a=200+8600+2X1740=12280,

.,.«=6140,

焦星巨2c=2〃一（200+1740）X2=12280-3880=8400,

4200,

•・・离心率清

故选：c.

5.如果向量彳=(2,-1,3),(-L4,2),1=(1,-1,m)共面，则实数m

的值是()

A.-1B.1C.-5D.5

【分析】由各量共面，可知存在x,y,使得Z=xE+yB列出方程组，求出实数机的值.

解：：向量之=(2,-1,3),芯=(-1,4,2),c=(1，-1，m)共面，

存在x,y,使得a=xb+yc，

(2,-1,3)=(-x+y,4x-y,2x+my),

r-x+y=2

17

.'J4x-y=-l,解得＞=7，rn=l.

2x+my=3

・,・实数机的值是1.

故选：B.

6.设抛物线俨="的焦点为「过点M(l,0)的直线与抛物线相交于A,8两点，若田F|

=4,则依尸|=()

Pl5

A.yB.3C.V7D.多

【分析】由|8方|=4可求得5坐标，从而求得直线的方程，联立抛物线与直线A3的

方程，求得5坐标即可.

解：不妨设5在四象限，因为|8F|=4,所以冲十g=4,・,・切=2,

：.B(2,-4),

.-4-0

••kAB~kBF=~Z-~二—4，

2T

・•・直线A3的方程为尸-4(x-1),

'2_

联立1y=8x,可得y2+2y_8=0,

y=-4x+4

•»yA9ys=-8,•・班=2,

11R

・・・切=卷，贝NA尸|=哇+2=^.

故选：D.

7.已知正项等比数列｛为｝的公比为g,前〃项和为S”,则“q>l”是“S4+S6-2S5>0”的

（）条件

A.充分不必要B.必要不充分

C.充分必要D.既不充分也不必要

【分析】先根据等比数列的性质可求出q的范围，然后根据充分条件、必要条件的定义

可判定.

解：因为S4+S6-2S5>0,

所以Se-_S4,即

所以aiq4（^-1）>0,

因为。闻4>0,所以q>l.

“q>l”能推出“S4+S6-2S5>0”，满足充分性，

“S4+S6-2S5>0”能推出“q>l"，满足必要性，

所以“4>1”是"4+S6-2S5>0”的充分必要条件.

故选：C.

8.若0<尤<y<z且盯z=l,则下列关系式不一定成立的是（（）

A.1gy+lgz>0B.2V+2Z>4C.x+z2>2D.x2+z>2

【分析】由已知可得yz>l,由对数的性质即可判断选项人由己知可得y+z>y+^>2,

y

由基本不等式即可判断选项B；由己知可得无=」->士，由基本不等式即可判断选项C；

yzz"

利用特殊值法即可判断选项D.

解：由OVxVyVz且孙z=l,可得OV%V1,yz>l,

所以/gy+/gz=/gyz>/gl=O,故A正确；

由OVxVyVz且孙z=1,可得OVxVl,yz>l,

所以z>工，y+z>y+^->2,

yy

所以2y+2Z>242y・2z=242rhz>4,故B正确；

由OVxVyVz且孙z=l,可得yz>z2,

yzyzz

1G~F

所以1+z2>~y+z2>2jz=2,故C正确；

zVz

143

由OVxVyVz且孙z=l,可取工=万，丁=石，z=万,

454

7

此时x2+z=—<2,故D错误.

4

故选：D.

二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）

9.己知双曲线C：/__工：=1,则下列说法正确的是（）

84

A.渐近线方程为y=士亚xB.焦点坐标为（±2，§,0）

C.顶点坐标为（±26，0）D.实轴长为2e

【分析】由双曲线的方程可得。，b,c的值，进而可判断各选项的正误.

22

解：对于双曲线C：三--工一=1,

84

所以°=2e，6=2,c=2«,

所以双曲线C的渐近线方程为y=土与=

a

焦点坐标为（±2近，0）,顶点坐标为（±2近，0）,实轴长为4&,

因此选项错误，3C选项正确,

故选：BC.

10.设°,b,CER,则下列结论正确的有（

A.若a<b,c<0,则ac>bcB.。+工22

a

2-2

C.若a<b<0,则工〉」D.（哈2<a+b

ab2、-2-

【分析】直接利用不等式的基本性质和作差法的应用求出结果.

解：对于A：若a<b,c<0,则故A正确;

对于8：当。为正数时，ad>2才成立，故B错误；

a

对于C：由于。<6<0,所以工:L上亘>0,故工〉」，故C正确，

ababab

对于D-.根据平方平均值和算数平均值的关系，产声〉等*所以

22

（―）2<a+b,故。正确；

'2J飞2

故选：ACD.

11.任取一个正整数相，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反

复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1-4-2-1.这就是数学史上

著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数机=3,根据上述运算法，则得

出3-10-5-16-8-4-2-1,共需经过7个步骤首次变成1（简称为7步“雹程”）.则

下列叙述正确的是（）

A.当根=12时，经过9步雹程变成1

B.当机=2左（依N*）时，经过上步雹程变成1

C.当机越大时，首次变成1需要的雹程数越大

D.若加需经过5步雹程首次变成1,则根所有可能的取值集合为5,32

【分析】根据冰雹猜想今年模拟运算即可.

解：当机=12时，12f6f5fl6f8f4f2fl共9步雹程变成1,则A正确；

当m=2k（依N"）时，2*-2*-」2-2-2*一3一…—22-2-1经过左步雹程变成1,则B

正确；

当机=12时有9步雹程变成1,当机=16时16-8-4-2-1有4步雹程变成1,故C错；

若m需经过5步雹程首次变成1则1—2—4—8—16—5或1-2-4<-8-16—32两种情况，

故。正确

故选：ABD.

12.已知过抛物线俨=以焦点厂的直线/与抛物线交于A,2两点，直线AM，/交x轴于点

M,直线8N，/交x轴于点N,则下列结论正确的有（）

A.\AF\+\BF\=\AF\-\BF\B.\MF\+\NF\^\MF\>\NF\

C.⑷中出目的最小值为4D.|MF|qNF|的最小值为16

【分析】A设直线斜率和交点坐标，联立方程组，把等式用斜率表示判断；8把等式用斜

率表不判断；C把乘积用斜率表不判断；。把乘积用斜率表不判断.

解：抛物线y=4x的焦点为尸（1,0）,准线方程为尤=-1,

设直线/方程为x=B+l（左WO）,A（xi,yi）,B（X2,"），M（a,0）,N（b,0）,

x\—ky\+i,无2=什2+1,xi+xi—k（yi+y2）+2,

1丫2一°1

-------=--,------=--=>a—xi+kyi—2kyi+l,b—X2+k\2—2ky2+1,

Xj-akX2-bk

（2.

y=4.T

<'-=y2-46-4=0=>yi+y2=4攵，yiy2=-4；

kx=ky+l

对于A,\AF\=Xi+l=kyi+2,\BF\=X2+1=kyi+2.

|AF|+|3F|=XI+X2+2=A;(yi+》2)+4=4R+4,

\AF\•\BF\=(—+”)+4=-4N+2左・4女+4=43+4,

所以A对；

2

对于氏\MF\+\NF\=\a-\\+\b-1|=2|刘+21y2|=2|yi-y2|=2^(yt+y2)-4yjy2=

8Vk2+r

\MF\'\NF]^\a-l\'\b-l|=4|^iy2|=16,所以8错；

对于C,因为|4尸卜|8川=4尼+4,人力0,所以C错；

对于。，因为|力用•|NF]=|a-1|=4比”|=16,所以。对.

故选：AD.

三、填空题(共4小题，每小题5分，满分20分)

13.已知直三棱柱ABC-A13cl中，ABLAC,AB=AC=A4i,点E,尸分别为A4i,A1C1

9

的中点，则直线BE和C「所成角的余弦值为[.

一5一

【分析】建立坐标系求出点的坐标，利用向量法进行求解即可.

解:「在直三棱柱ABC-All。中，ABLAC,：.ZBAC=90°,

设AB=AC=A4i=2,E,P分别为AAi,4cl的中点，

...以A为原点，为x轴，AC为y轴，A4i为z轴，建立空间直角坐标系，

B(2,0,0),£(0,0,1),C(0,2,0),Bi(2,0,2),Ci(0,2,2),F(0,

1,2),

BE=(-2,0,1),而=(0,-1,2),

设异面直线BE与直线CF所成角为0,

|BEICFIIV4+1'Vm5

9

・,・直线BE与直线CF所成角的余弦值是

b

2

故答案为：—.

b

14.椭圆C：号三=1(a>6>0)的左右焦点为人、F2,若C上存在一点P,使得|PB|

/bz

=2|尸尸2|,则c的离心率的范围是—暂，1)_.

【分析】设尸点的横坐标为X,根据|PF1|=2|P@|,利用椭圆的第二定义，可得无关于e

的表达式，进而根据x的范围确定e的范围.

解：设尸点的横坐标为x

•：\PFI\=2\PF2\,

...根据椭圆的第二定义，可得a+ex=2(a-ex)

J.3ex=a

•."W。，*.ex^ea

.1v.>1

33

VO<e<l,Aee[y,1).

故答案为:[j,1).

15.如图甲是第七届国际数学教育大会(ICME-7)的会徽.它的主题图案是由一连串如图

乙所示的直角三角形演化而成的.设其中的第一个直角三角形04A2是等腰三角形，且

0A1=A1A2=A2A3=A3A4==A?A8=1,它可以形成近似的等角螺线，记OA\,0A1,

0A3,…，04的长度组成数列｛斯｝(〃CN*,1W〃W8),且仇=~，则斯=_«

an+anM一

(吒N*,1W后8),数列｛瓦｝的前7项和为2班-1

Vn+1-可得其前〃项和Sn.

解：由。1=1,〃2=&,。3=w，的=2=JW，可以猜想数列｛斯｝的通项公式为：斯=«

（其中〃EN*）；

在数列｛a｝中，因为bn=+：=/J/[=4n+l-4，

ananMVnNn+1

-h-

所以其前〃项和为：Sn—（^2~Vs~V2^+（V4+—（Vn+lVn）

=Vn+l_L

所以Si=^J7+1~1—2^/2-1.

故答案是：yfn；2^/2"1•

16.已知正实数a,b满足a+2b=1,则詈-+兴的最小值为五」.

1-a1-b—v”2一

l-2b!b?+兴-利用基本不等式的性质即可得出.

【分析】由

2bTb2bl~b/

解：V«>0,b>0,a+2b=l,

：.a^l-2b>Q^b<—,：.l-b>0,

2

.a工b_l-2bb_1-bib1HTb_b_1_r1

l-a1-b2b1-b2b1-b2V2b1-b22

当且仅当圣=限时，取得最小值加弓.

故答案为：，弓弓■.

四、解答题(共6小题，满分70分)

2,2

17.已知命题p：实数/满足产-7W+12〃2Vo(〃<0),命题q：实数/满足曲线△——+上一

25+t9+t

=1为椭圆.

（1）若g为真，求实数r的取值范围；

（2）若p是q的充分条件，求实数a的取值范围.

【分析】（1）根据椭圆性质，通过方程组求解；（2）根据充分条件概念，通过解不等

式组求解.

'25+t>0

解：（1）因为q为真，所以<9+t>0,解得>-9；

、25+t卉9+t

故实数f的取值范围是re（-9,+8）.

(2)p：实数t满足fl-lat+12a2<0(a<0)QG-3a)4a)<0且a<0=4a<f

<3a且a<0；

-9<4

因为〃是9的充分条件，即夕今夕，所以•,解得-a<0.

3a<0

g

故实数0的取值范围是由N°）.

18.在①6“=斯②仇=|3-10|,③劣=这三个条件中任选一个，补充在下面

anan+2

问题中，并完成问题的解答.

问题：已知数列｛斯｝是各项均为正数的等差数列，02=2,且。1+1,。4,。8成等比数歹！J.

（1）求数列｛。〃｝的通项公式；

（2）记,求数列｛瓦｝的前“项和S”.

【分析】（1）直接利用等差和等比数列的性质求出数列的通项公式；

（2）利用裂项相消法和乘公比错位相减法的应用求出数列的和.

解：⑴数列｛斯｝是各项均为正数的等差数列，02=2,且01+1,。4,。8成等比数列.

设公差为d,a2—ai+d=2,

则(ai+3d)2=(ai+1)(a1+7d)

解得ai=d=l.

所以an=n.

nn

(2)选①时，bn—an*2=n*2,

所以Sn=lX2+2X22+…切・2”①，

23

2Sn=lX2+2X2+-tn-2同②,

①-②得：-Sn=(21+22+“・+2n)-n・2-l,

整理得Sn=(n-1)・21tH+2.

选②时，bn=\n-10|,

当〃W10时，bn=n-10,

所以Sn』Q£F）

n2-19n+180

当〃>10时，Sn=(9+8+-+0)+[1+2+…+(n-10)]=

2

n(19-n)

~2~(n<10)

所以S:

n2-19n+180

(n>10)

2

b1111

选③时，n2'nn+2),

anan+2

所以Sn蒋11111、3n2+5n

至巧一豆+…n+1n+2，4(n+l)(n+2)

19.已知点尸（x,y）到定点尸（0,衣）的距离与它到定直线/：>=微近的距离的比是常

点P的轨迹为曲线E.

（1）求曲线E的方程;

（2）设点。（m,0）（相>1）,若|尸。|的最大值为遥，求实数机的值.

【分析】（1）由题意列关于尤，y的等式，整理可得曲线E的方程;

（2）写出两点间的距离公式，利用配方法对机分类讨论求最值.

x2+(y—/2)2

解:（1）根据题意可得，―'―§

ly-^V2I

2

化简得乂2江-=i，

3

2

曲线E的方程为乂2上=1；

3

⑵|PQI=V(x-m)2+y2=v(x-m)2+(3-3X2)

①当学<-1,即m>2时，|PQ18飞+1=近，

解得m=&-l(舍)；

=2=

②当学》T,即1<，后2时,|PQlmin^|'in+3V6'

解得m=-\/2.

综上所述，实数机的值为我.

20.2020年11月23日，贵州宣布最后9个深度贫困县退出贫困县序列，这不仅标志着贵

州省66个贫困县实现整体脱贫，这也标志着国务院扶贫办确定的全国832个贫困县全部

脱贫摘帽，全国脱贫攻坚目标任务已经完成.在脱贫攻坚过程中，某地县乡村三级干部

在帮扶走访中得知某贫困户的实际情况后，为他家量身定制了脱贫计划，政府无息贷款

10万元给该农户种养羊，每万元可创造利润0.15万元.若进行技术指导，养羊的投资减

少了无(尤>0)万元，且每万元创造的利润变为原来的(1+0.25X)倍.现将养羊少投资

的尤万元全部投资网店，进行农产品销售，则每万元创造的利润为。」5(A-0.875%)万

元，其中a>0.

(1)若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润，求x的取值范围；

(2)若网店销售的利润始终不高于技术指导后养羊的利润，求a的最大值.

【分析】(1)直接由题意列不等式，求解得答案；

(2)写出网店销售利润及技术指导后养羊的利润，列不等式，分离参数a,再由基本不

等式求得a的范围，即可得到。的最大值.

解：(1)由题意，得0.15(1+0.25%)(10-%)20.15X10,

整理得：N-6xW0,解得0WxW6,

又x>0,故0<xW6.

...尤的取值范围是(0,6］；

(2)由题意知,网店销售利润为0.15(a-0.875x)尤万元，

技术指导后，养羊的利润为0.15(1+0.25无)(10-x)万元,

则0,15(a-0.875%)xW0.15(1+0.25%)(10-x)恒成立，

又0<尤<10,/.—-+1.5，

8x

.•.0<aW6.5,即a的最大值为6.5.

21.如图，已知在四棱锥P-ABC。中，PA，平面ABC。，四边形ABC。为直角梯形，AD

=2AB=2BC=2,PA=1,ZABC=90°.

(1)求直线尸8与平面PC£)所成角的正弦值；

(2)在线段PB上是否存在点E,使得二面角E-AC-P的余弦值乎？若存在，指出点

E的位置；若不存在，说明理由.

【分析】(1)以A为原点建立空间直角坐标系，求得平面尸。的法向量7,设直线

与平面尸8所成的角为a,由sina=|cos<F5，^>|,得解；

(2)设正=人而，入00,1],写出点E的坐标，求得平面ACE和平面PAC的法向量[

和门2，由IcosVn],口2>1=二厂，可得关于人的方程，解之即可.

O

解：(1)以A为原点，AB,AD,4尸所在直线分别为x,»z轴，建立如图所示的空间

直角坐标系，

则A(0,0,0),8(1,0,0),。(0,2,0),C(1,1,0),尸(0,0,1),

；・CP=(-1，-1，1)，CD=(-1，I,0)，PB=(1，0，-1),

,m•r*p=nf-Y—v+z=0

设平面PCD的法向量为1r=(x,y,z),则丫t，即1，

,m'CD=0l-x+y=0

令％=1,则y=l,z=2,・・・7=(1，1，2),

设直线PB与平面PCD所成的角为a,

PB』।।1_2_V3

则sina=|cosVpg,ir>l=l|PB|-|m|V2XV6|-V

故直线PB与平面PCD所成角的正弦值为返.

6

（2）假设线段PB上存在点E,使得二面角E-AC-尸的余弦值喙，

设施=入而，入曰0,1],则E（A,0,1-A）,

AAE=（入，0,1-入），正=（1,1,0）,屈=（0,0,1）,

_,fniwAE=0（入X]+（l-入）zi=0

设平面ACE的法向量为=（xi,y\,zi）,则，_,_1r，即《

[ni-AC=0