有理数典型例题

数怎么不够用了典型例题例1如果向东走8千米记作＋8千米，向西走5千米记作－5千米，那么以下各数分别表示什么？〔1〕＋4千米；〔2〕千米；〔3〕0千米解：〔1〕＋4千米表示向东走4千米．〔2〕千米表示向西走千米．〔3〕0千米表示原地未动．说明：〔1〕用正数和负数可以表示意义相反的量．〔2〕正数前面可以加上“＋”号，一般地，正数前面的“＋”号可省略不写，但有时为了强调，习惯上在正数前面要加上“＋”号．〔3〕0除了表示一个也没有外，还是正数与负数的分界；这里在实际问题中有确定的意义．例2用有理数表示下面各量．〔1〕如果收入200元记作＋200元，那么如何表示支出100元？〔2〕如果海平面以下100米记作－100米，那么如何表示海平面以上1000米？〔3〕如果向南行100米记作＋100米，那么向北行200米如何表示？〔4〕如果比标准重量重10千克记作＋10千克，那么比标准重量少5克应如何表示？分析该题中每两个量都是意义相反的两个量，为了区别意义相反的量我们应用不同符号的数来表示．解〔1〕支出100元表示为－100元；〔2〕海平面以上1000米应表示为＋1000米；〔3〕向北行200米表示为－200米；〔4〕比标准重量少5克表示为－5克．注意〔1〕一个量是用正数表示，还是用负数表示是人们规定的，但在表示中也应尊重人们在多年生活中形成的习惯．如：零上温度一般规定为正；海平面以上一般规定为正等；〔2〕正数前面的“＋”号是可以省略不写的．例3判断正误〔正确的打√，错误的打×〕．〔1〕-a一定是负数．〔〕〔2〕零是自然数．〔〕〔3〕没有最小的正有理数．〔〕解：〔1〕×〔2〕√〔3〕√说明：应紧扣互为相反数、负数、零、正有理数的概念来解此类题，主要是应想到我们已经学到了代数领域了．应时时注意到字母a可能为：负数、零、正数．例4〔1〕在知识竞赛中，如果＋10表示加10，那么扣20分怎样表示？〔2〕某人转动转盘，如果用＋5表示沿用逆时针方向转了5圈，那么沿顺时针方向转了12圈怎样表示？〔3〕在某次乒乓球质量检测中，一只乒乓球超出标准质量0.02克记作＋0.02，那么－0.03克表示什么？解：〔1〕扣20分记作－20分；〔2〕顺时针方向转了12圈记作－12圈；〔3〕－0.03克表示乒乓球的质量低于标准质量0.03克．说明：通过三个实例说明如何用正负数表示这种具有相反意义的量．例5把以下各数填在相应的括号内：-16，26，-12，-0.92，，0，，0.1008，-4.95〔思考：小数是分数吗!〕．正数集合{}；负数集合{}；整数集合{}；正分数集合{}；负分数集合{}；分析：根据正数、负数、整数和分数的定义，严格区别．注意零既不是正数，也不是负数，但是整数．解：正数集合{26，，，0.1008，……}；负数集合{-16，-12，-0.92，-4.95，……}；正分数集合{，，0.1008，……}；负分数集合{-0.92，-4.95，……}．说明：用大括号表示集合时，要注意省略号的使用．如“正数集合”指的是包含所有正数的一个“集体”，因为是“所有的”，而具体填时仅能填写一局部，所以后面应加省略号．习题精选一、选择题1．下面说法中正确的选项是〔〕．A．一个数前面加上“－”号，这个数就是负数B．0既不是正数，也不是负数C．有理数是由负数和0组成D．正数和负数统称为有理数2．如果海平面以上200米记作＋200米，那么海平面以上50米应记作〔〕．A．－50米B．＋50米C．可能是＋50米，也可能是－50米D．以上都不对3．下面的说法错误的选项是〔〕．A．0是最小的整数B．1是最小的正整数C．0是最小的自然数D．自然数就是非负整数二、填空题1．如果后退10米记作－10米，那么前进10米应记作________；2．如果一袋水泥的标准重量是50千克，如果比标准重量少2千克记作－2千克，那么比标准重量多1千克应记为________；3．车轮如果逆时针旋转一周记为＋1，那么顺时针旋转两周应记为______.三、判断题１．0是有理数．〔〕２．有理数可以分为正有理数和负有理数两类．〔〕３．一个有理数前面加上“＋”就是正数．〔〕４．0是最小的有理数．〔〕四、解答题1．写出5个数〔不许重复〕，同时满足下面三个条件．〔1〕其中三个数是非正数；〔2〕其中三个数是非负数；〔3〕5个数都是有理数．2．如果我们把海平面以上记为正，用有理数表示下面问题．一架飞机飞行高于海平面9630米；〔2〕潜艇在水下60米深．3．如果每年的12月海南岛的气温可以用正数去表示，那么这时哈尔滨的气温应该用什么数来表示？4．某种上市股票第一天跌0.71％，第二天涨1.25％，各应怎样表示？5．如果海平面以上我们规定为正，地面的高度是否都可以用正数为表示？6．一学生参加一次智力竞赛，其中考五个题，记分标准是这样定的，如果答对一题得1分，答错或不答都扣1分，该生得了3分，问其答对了几个题？数轴习题精选一、选择题1．一个数的相反数是它本身，那么这个数是〔〕A．正数B．负数C．0D．没有这样的数2．数轴上有两点E和F，且E在F的左侧，那么E点表示的数的相反数应在F点表示的数的相反数的〔〕A．左侧B．右侧C．左侧或者右侧D．以上都不对3．如果一个数大于另一个数，那么这个数的相反数〔〕A．小于另一个数的相反数B．大于另一个数的相反数C．等于另一个数的相反数D．大小不定二、填空题1．如果数轴上表示某数的点在原点的左侧，那么表示该数相反数的点一定在原点的________侧；2．任何有理数都可以用数轴上的________表示；3．与原点的距离是5个单位长度的点有_________个，它们分别表示的有理数是_______和_______；4．在数轴上表示的两个数左边的数总比右边的数___________．三、判断题1．在数轴离原点4个单位长度的数是4．〔〕2．在数轴上离原点越远的数越大．〔〕3．数轴就是规定了原点和正方向的直线．〔〕4．表示互为相反数的两个点到原点的距离相等．〔〕四、解答题1．写出符合以下条件的数〔1〕大于而小于1的整数；〔2〕大于－4的负整数；〔3〕大于－0.5的非正整数．2．在数轴上表示以下各数，并把各数用“＜”连结起来．〔1〕7，－3.5，0，－4.5，5，－2，3.5；〔2〕－500，－250，0，300，450；〔3〕0.1，，0.9，，1，0．3．找出以下各数的相反数〔1〕－0.05〔2〕〔3〕〔4〕－10004．如图，说出数轴上A、B、C、D四点分别表示的数的相反数，并把它们分别用标在数轴上．5．在数轴上，点A表示的数是－1，假设点B也是数轴上的点，且AB的长是4个单位长度，那么点B表示的数是多少？绝对值典型例题例1求以下各数的绝对值，并把它们用“＞”连起来．，，0，－1.2分析首先可根据绝对值的意义，即正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0来求出各数的绝对值．在比拟大小时可以根据“两个负数比拟大小，绝对值大的反而小”比拟出，其他数的比拟就容易了．解说明：利用绝对值只是比拟两个负数．例2求以下各数的绝对值：〔1〕－38；〔2〕0.15；〔3〕；〔4〕；〔5〕；〔6〕．分析：欲求一个数的绝对值，关键是确定绝对值符号内的这个数是正数还是负数，然后根据绝对值的代数定义去掉绝对值符号，(6)题没有给出a与b的大小关系，所以要进行分类讨论．解：〔1〕|-38|＝38；〔2〕|+0.15|＝0.15；〔3〕∵＜0，∴||＝－；〔4〕∵b＞0，∴3b＞0，|3b|＝3b；〔5〕∵＜2，∴-2＜0，|-2|＝-(-2)＝2-；〔6〕说明：分类讨论是数学中的重要思想方法之一，当绝对值符号内的数(用含字母的式子表示时)无法判断其正、负时，要化去绝对值符号，一般都要进行分类讨论．例3一个数的绝对值是6，求这个数．分析根据绝对值的意义我们可以知道，绝对值是6的数应该是．说明：互为相反数的两个数的绝对值相等．例4计算以下各式的值〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕分析这些题中都带有绝对值符号，我们应先计算绝对值再进行其他计算．解〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕说明：在去掉绝对值之后，要注意能简算的要简算，如〔2〕题．例5数的绝对值大于，那么在数轴上表示数的点应在原点的哪侧？分析确定表示的点在原点的哪侧，其关键是确定是正数还是负数．由于负数的绝对值是它的相反数正数，所以可确定是负数．解由于负数的绝对值是它的相反数，所以负数的绝对值大于这个负数；又因为0和正数的绝对值都是它本身，所以是负数，故表示数的点应在原点的左侧．说明：只有负数小于其本身的绝对值，而0和正数都等于自己的绝对值．绝对值习题精选一、选择题1．如果，那么〔〕A．B．C．D．2．下面说法中正确的选项是〔〕A．假设，那么B．假设，那么C．假设，那么D．假设，那么3．下面说法中正确的选项是〔〕A．假设和都是负数，且有，那么B．假设和都是负数，且有，那么C．假设，且，那么D．假设都是正数，且，那么4．数轴上有一点到原点的距离是5，那么〔〕A．这一点表示的数的相反数是5B．这一点表示的数的绝对值是5C．这一点表示的数是5D．这一点表示的数是－5二、填空题1．某数的绝对值是，那么是______或_______；2．绝对值最小的有理数是________；3．一个数的相反数是8，那么这个数的绝对值是_________；4．数轴上有一点到原点的距离是3，那么这点所表示的数的绝对值是________，这点所表示的数是________．三、判断题1．有理数的绝对值总是正数．〔〕2．有理数的绝对值就等于这个有理数的相反数．〔〕3．两个有理数，绝对值大的数反而小．〔〕4．两个正有理数，绝对值大的数较小．〔〕5．〔〕四、解答题1．求以下各数的绝对值，并把它们用“＜”连起来－2.37，0，，－385.7．2．把以下一组数用“＞”连起来－999，，，0.01，．3．计算以下各式的值〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕4．如图，比拟和的绝对值的大小．5．计算下面各式的值〔1〕－〔－2〕；〔2〕－〔＋2〕．水位的变化典型例题例1小明业余时间进行飞镖训练，上周日训练的平均成绩是8.5环，而这一周训练的平均成绩变化如下表：正号表示比前一天提高，负号表示比前一天下降〔1〕问本周哪一天的平均成绩最高，它是多少环？〔2〕问本周哪一天的平均成绩最低，它是多少环？〔3〕本周日的成绩和上周日的成绩比是提高了，还是下降了，其变动的环数是多少？分析这题的关键问题是求出本周每天训练的平均环数，而要求出一天的平均环数只需知道前一天的平均环数，而上周日的平均环数。解本周训练每天的平均环数如下：周一：8.5＋1＝9.5；周二：9.5＋0.2＝9.9；周三：9.7＋〔－0.5〕＝9.2；周四：9.2＋0.3＝9.5；周五：9.5＋0.2＝9.7；周六：9.7＋〔－0.7〕＝9；周日：9＋〔－0.1〕＝8.9。由此可知本周二和本周五训练的平均成绩最高，是9.7环，本周日训练的平均成绩最低，是8.9环，本周日的平均成绩和上周日的平均成绩比是提高了，提高了〔8.9－8.5＝0.4〕0.4环。说明：此题中正数和负数的标准是以前一天的平均环数为标准，而不是都以上周日的平均环数为标准；注意在计算类似于这样的题时首先要把正、负的标准弄清楚。例2下表是一个水文站在雨季在某条河一周内水位变化情况的记录．其中，水位上升用正数表示，水位下降用负数表示．注：①表中记录的数据为每天12时的水位与前一天12时水位的变化量．②上周日12时的水位高度为2米．〔1〕请你通过计算说明本周末水位是上升了还是下降了．〔2〕用折线图表示本周每天的水位，并根据折线图说明水位在本周内的升降趋势．分析计算这七天水位变化量的和，看结果是正、还是负，假设是正，说明周末水位上升了；假设是负；说明水位下降了．解〔1〕∴本周末水位下降了．〔2〕如下图．说明：本例是有理数的加法和统计图知识交汇综合题．水位的变化习题精选1．小胖去年年末称体重是75千克，今年一月份小胖开始减肥，下面是小胖今年上半年体重的变化情况：负数表示比上月减少，正数表示比上月增加〔1〕小胖1～6月中哪个月的体重最重，是多少？〔2〕小胖1～6月中哪个月的体重最轻，是多少？〔3〕小胖6月份的体重较比去年年末是增加了还是减少了，是多少？2．某校初一抽出5名同学测量体重，小明体重是55千克，其他4名同学的体重和小明体重的差数如下表：比小明重记为正，比小明轻记为负〔1〕哪几名同学的体重比小明重，重多少？〔2〕哪几名同学的体重比小明轻，轻多少？〔3〕写出最重和最轻的两个同学的体重，并说明这两名同学之间的体重相差多少？3．某百货商场的某种商品预计在今年平均每月售出500千克，一月份比预计平均月售出额多10千克记为＋10千克，以后每月销售量和其前一个月销售量比拟，其变化如下表〔前11个月〕：〔1〕每月的销售量是多少？〔2〕前11个月的平均销售是多少？〔3〕要到达预计的月平均销售量，12月份还需销售多少千克？有理数的乘法典型例题例1计算：〔1〕〔－2〕×〔－7〕；〔2〕．分析〔1〕和〔2〕都是两个有理数相乘，我们根据法那么先来确定乘积的符号，再把绝对值相乘．解〔1〕〔－2〕×〔－7〕＝＋〔2×7〕＝14．〔2〕．说明：〔1〕为了使结果不出现过失，初学者做题时，中间的步骤是必要的．〔2〕我们不必死记法那么，只需知道两个数相乘如何确定符号，其他就和小学的乘法一样了．例2计算：时，应首先〔〕A．把小数化为分数，或者把分数化为小数B．利用符号法那么确定乘积的符号C．把带分数化为假分数D．考虑怎样使用乘法结合律或者交换律分析有理数乘法与小学所学乘法的区别在于符号，初学者进行有理数乘法运算最容易出现的错误也在于符号，发生错误的同学往往并不是没记住有理数乘法的运算法那么，而在于重视符号的意识不强，所以初学者一定要把确定乘积的符号作为大事，放在首位，也就是说，完成有理数乘法运算要分两步走：先是确定乘积的符号，然后再计算乘积的绝对值．解选B．说明进行两个以上有理数相乘的运算，首先确定乘积的符号，这样做不但有减少运算错误使运算简化的作用，与此同时，也能起到培养良好的学习习惯的作用．就此题来讲，如果不先确定乘积的符号，可能在运算过程中就必须确定三次符号〔头两个因数相乘，积的符号；与第三个因数相乘，积的符号；与第四个因数相乘，积的符号〕，这样就增加了运算步骤．例3计算：分析这类题目只不过比小学做过的题目多了一个符号问题，应该先确定乘积的符号，之后再考虑怎样运算更简便些．此题中，由于“81”是9〔第一个因数的分母〕的倍数，“72”是12的倍数，可以使用乘法交换律与结合律简化运算．解说明：〔l〕如果运算根底较好，那么完全可以不使用交换律与结合律，而把带分数化为假分数，把小数化为分数形式后进行约分．〔2〕上面约分过程中没有把分母中的100与某个分子约分，是为了把结果化为小数时方便，这是思维灵活性的表现．概括以上内容，就是“符号正负先定好，灵活准确做计算”．例4计算：〔1〕；〔2〕17.6×〔－10〕×〔－0.5〕．分析〔1〕和〔2〕是三个以上有理数相乘，我们可以根据乘法法那么两个两个相乘，最后求出结果，在进行有理数的乘法时，过去学过的结合律和交换律仍是适用的．解〔1〕〔2〕17.6×〔－10〕×〔