2023年高中数学题库函数的单调性与最值

2.2函数的单调性与最值

一、填空题

1.函数/V)=log2(V—4x—5)的单调增区间为.

解析由题意知4x—5>0,解得x〈一1或x〉5,即函数/1(x)=log2(x2—4x—

5)的定义域为(—8,-l)U(5,+8),根据外层函数为单调增函数，而内层函

数—4x—5=(x—2尸一9在(5,+8)上单调递增，所以所求函数的单调增

区间为(5,+8).

答案(5,十8)

2.下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是.(填所有对的的编号)

2

①尸一x+l；②尸丑；③尸V-4x+5；©y=-

X

解析y=-x+1在R上递减；在R+上递增；—4x+5在(-8,2］

2

上递减，在［2,+8)上递增，y=-在R+上递减.

答案②

3.定义在R的奇函数F(x)单调递增，且对任意实数a,6满足f(a)+f(6—1)

=0,则a+Z?=.

解析：f(x)为奇函数，；./1(—X)=—f(x)

F(a)=一—tj)

又•••F(x)单调递增

...a=l——力即a+力=1.

答案1

4.若函数f(x)=f+(a?—4a+l)x+2在区间(-8,1］上是减函数，则a的取

值范围是.

解析由于F(x)是二次函数且开口向上，

所以要使/Xx)在(一8,1］上是单调递减函数，

52-4方+1

则必有一一-一三1,即a?—4a+3W0,解得lWaW3.

答案［1,3］

5.下列函数：①y=/；②y=|x|+l；③y=—*+1；④y=2-"，既是偶函数

又在(0,+8)单调递增的函数序号是.

解析y=V是奇函数，y=-V+1与y=2一国在(0,+8)上是减函数.

答案②

6.已知F(x)是定义在(一1,1)上的奇函数，且f(x)在(一1,1)上是减函数，不等

式f(l—x)+f(l—X)<0的解集为.

解析由Hx)是定义在(一1,1)上的奇函数，

及+f(l—Y)<0

得Al-A)<—/(l—/).

所以F(l—x)</(/-1).又由于f(x)在(一1,1)上是减函数，

所以1V1一解得0<xVl.

11—^>^—1.

故原不等式的解集为(0,1).

答案(0,1)

7.已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数，当xWO时，y=f(x)是减函数，

若|帚IVI也|,则结论：①f(xi)一f(xD<0；②片(荀)—f(x2)>0；③广(天)+广(也)

<0；④广(为)+/U)>o中成立的是(填所有对的的编号).

解析由题意，得Hx)在［0,+8)上是增函数，且£(在)=

AI^21)>从而由0W|X11<|尼I,得/1(|荀|)V/■(|X21),即f(x)<f(xD,f(x)

-/-UX0,只能①是对的的.

答案①

8.设a=log54,6=(log53)2,c=log45,则a,b,c的大小关系是

解析由于0<log53<log54<l<log45,b<a<c.

答案b<a<c

9.假如对于函数广(x)的定义域内任意两个自变量的值为，尼，当为<在时，都

有/1(芯)WF(X2)且存在两个不相等的自变量幽，迎，使得/1(©)=/1(加，则称为

定义域上的不严格的增函数.已知函数g(x)的定义域、值域分别为A,B,A=

{1,2,3},比/且g(x)为定义域/上的不严格的增函数，那么这样的函数g(x)

共有个.

解析分刀中元素为1个，2个，3个讨论.8中只有一个元素，此时各有一个

函数；8有两个元素，此时各有两个函数；8有3个元素时，不合题意.因此共

有3+6=9个函数.

答案9

10.已知函数F(x)=1—=1一4,xG[0,1],对于满足0<与<苞<1的任意由、

莅，给出下列结论：

①(莅一为)[f(莅)-f(xi)]V0；②莅/1(苞)Vxi/1(莅)；③/1(莅)—f(xi)>莅一莅；④

fX、+F莅/芯+坨

22}

其中对的结论的序号是.

解析函数/Xx)=l一册二，，xe[0,l]的图象如图所示，命题①可等价为

「，即F(x)在X©[0,1]上是单调递增函数，结合图象可知,

IX2VfXl

命题①错误；对于命题②，作差即可知其对的；命题③可变形为,,二七苞-

>1,不等式左端的几何意义是图象上任意两点连线的斜率，由图象知斜率不都

大于1,命题③错误；对于命题④，由于图象是凹函数，满足.药;广泾〉

产产J,所以命题④对的.

答案②④

11.若函数f{x}=a|x-b|+2在［0,+oo)上为增函数，则实数a,b的取值范围

为.

解析由Ax)=ak-b|+2知其图象关于产b对称，且在［0,+oo)上为增函数，所以

b<0,a>0.

答案b<0,a>0

12.设y=F(x)是定义在R上的偶函数，满足/1(x+1)=—F(x),且在［-1,0］

上是增函数，给出下列关于函数y=f(x)的判断：

①y=F(x)是周期函数;②y=F(x)的图象关于直线x=l对称;③y=f(x)在［0,1］

上是增函数；④彳目=0.其中对的判断的序号是(把你认为对的判断的

序号都填上).

解析①由/1(x+1)=—f(x),得/1(x+2)=-f(x+l)=f(x),即①对的.②由

Al-A)=—/1(—A)=—f(x)=f(l+x)知②对的.③由偶函数在［-1,0］与［0,1］

上具有相反的单调性知③不对的.④在/Xx+I)：—y(x)中令x=—得

答案①②④

但一一2,启0,

13.已知函数/'(x)=(a是常数且a>0).对于下列命题:

2ax—1,x>0

①函数f(x)的最小值是一1；

②函数f(x)在R上是单调函数;

③若f（x）＞0在;，+8）上恒成立，则a的取值范围是a＞l；

④对任意的芯＜0,莅＜0且用力莅，恒有干十

fX\+fXi

2,

其中对的命题的序号是（写出所有对的命题的序号）.

解析（数形结合法）根据题意可画出草图,

由图象可知，①显然对的；函数F（x）在R上不

是单调函数，故②错误；若F（x）＞0在;，+8

上恒成立，则2aX；—1＞0,a＞l,故③对的；

由图象可知在（一8,0）上对任意的为＜0,莅＜0

口一卜一七/苞+珀甩±f_Xz

且XiW苞，怛有｛2I-•成立,

故④对的.

答案①③④

【点评】采用数形结合法.注意本题中的③和④的理解，此题充足体现了数形结

合法的直观性与便捷性.

二、解答题

14.已知t为常数，函数尸_2xt|在区间［0,3］上的最大值为2,求力的直

解析显然函数片\x2-2x-t1的最大值只能在尸1或尸3时取到，

若在A=1时取到,则|l-2-t|=2,得t=l或t=-3.

t=l,A=3时，y=2;t=-3,A=3时，y=6（舍去）;

若在A=3时取到,则|9-6-t=2,得t=l或t=5.

t=l,A=1时，y=2;t=5,A=1时，尸6（舍去），所以t=l.

15.设函数/1（x）=a1+力x+1（a、力©R）.

(1)若F(—1)=0,且对任意实数x均有/'(x)》。成立，求实数a、力的值；

(2)在(1)的条件下，当、©[—2,2]时，g(x)=F(x)—Nx是单调函数，求实数N

的取值范围.

解析⑴•."(一1)=0,—+1=0,即b=a+l.

又对任意实数x均有/>(X)>0成立，...a〉。且/=斤一4aW0恒成立，即a〉0且

(a-l)2<0恒成立，

/.a=l,b=2.

(2)由(1)可知f{x}=x+2x+X,

Ag{x}=x+(2—A)x+L

•.•g(x)在X©[—2,2]时是单调函数，

2,2]q1—8,或[―+eoj

k—2k—2

・・・2或下-或一厂忘一2,解得A26或AW—2,

即实数N的取值范围为(一8,-2]U[6,+8).

16.已知函数F(x)对于任意x,y£R,总有F(x)+_f(y)=F(x+y),且当x>0

2

时，/(A)<0,/(I)=—o.

O

(1)求证：f(x)在R上是减函数.

⑵求M在[—3,3]上的最大值和最小值.

解析(1)证明法一,函数/1(x)对于任意总有广(x)+f(y)=f(x+y),

.,.令x=y=0,得/1(())=0.

再令y=—x，得/1(—x)=—f(x).

在R上任取也，则苞一莅>0,

Axi)—f(莅)=F(xJ+/■(一莅)=/(苟一莅).

又：x>0时，Ax)<0,

而为一•莅>0,.'"(xi—莅)<0,即/1(X)V/1(就.

因此/"(x)在R上是减函数.

法二设为>在，

则Axi)—f(xD=F(X1—莅+苞)—f〈xD

=F(荀一莅)+/■(莅)―/■(莅)=F(X1-莅).

又,.,x>0时，f{x)<0,而石一再>0,

I.f(E—就V0,即AAI)<f'xD,

.•"(x)在R上为减函数.

(2)•."(X)在R上是减函数，

I.f(x)在［—3,3］上也是减函数，

••"(X)在［—3,3］上的最大值和最小值分别为『(一3)与F(3).

而r(3)=3f⑴=—2,A-3)=-A3)=2.

在［―3,3］上的最大值为2,最小值为一2.

17.函数f(x)的定义域为。={x|xWO}且满足对于任意不，xRD,有£(石•莅)

=f(Ai)+f(泾).

⑴求/•⑴的值；

⑵判断f(x)的奇偶性并证明；

(3)假如/1(4)=1,f(3x+l)+f(2x—6)W3,且f(x)在(0,+8)上是增函数，

求x的取值范围.

解析(1)令芯=莅=1,有广(IX1)=F(1)+广(1),解得/1(1)=0.

(2)f(x)为偶函数，令苟=尼=-1,有/1(—1)X(―1)］=F(—1)+F(—1),解

得F(T)=0

令为=一1,莅=十有/'(—X)=f(-l)+f(x),即f(-x)=f(x).

所以/>(X)为偶函数.

(3)f(4X4)=F(4)+f⑷=2,f(16X4)=f(16)+f(4)=3.

所以f(3x+l)+f(2x—6)W3即f［(3x+l)(2x—6)］&F(64)①

由于F(x)在(0,+8)上是增函数，所以①等价于不等式组：

3x+l2x—6>0,f3x+l2x—6VO,

或《

3x+l2jr-6W64,一［一3x+l2x—6W64.

一1

入〉3或入〈一可,1

o—~<x<3,

o

7

一鼻WxW5,x£R,

o

、71、1

所以3VxW5或一^WxV一鼻或一w〈xV3.

ooo

711

故X的取值范围为{x|—^WxV一鼻或一可VxV3或3VxW5}.

ooo

18.在区间。上，假如函数Hx）为增函数,而函数会⑸为减函数,则称函数Hx）

为“弱增函数”，已知函数f（x）=l一而\

⑴判断函数/•（十）在区间（0,1]上是否为“弱增函数”；

（2）设石，莅©[0,+8）,且荀中在，证明：1£（荀）一F（X2）IV'IXLEI;

⑶当xG[0,1]时，不等式l-a启-^^Wl—，x恒成立，求实数a,6的取值

中+x

范围.

解析⑴显然七）在区间（。，1）上为增函数，由于会）一

1y/1+x—