初高中数学衔接读本

初高中数学衔接读本

嘛＜

各位新同学，欢迎来到应城一中，你们将在这里度过紧张而愉快的

三年。数学是一门重要的课程，其地位不容置疑，同学们在初中已经学

过很多数学知识，这是远远不够的，而且现有初高中数学知识存在以下

“脱节”：

1.立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。

2.因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的

涉及不多，而且对三次或高次多项式因式分解儿乎不作要求，但高中教材许多化简

求值都要用到，如解方程、不等式等。

3.二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中

函数、不等式常用的解题技巧。

4.初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯

穿始终的重要内容。配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最

大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方

法。

5.二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在

初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二

次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门

的讲授。

6.图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图

像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。

7.含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究，而高中这

部分内容视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。

8.儿何部分很多概念（如重心、垂心、外心、内心等）和定理（如平行线分线

段比例定理，射影定理，相交弦定理、角平分线定理等）初中生大都没有学习，而

高中都要涉及。

另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的

讲授。有鉴于此，特编写该读本，供教学之用，希望认真学习。

目录

1.1数与式的运算

1.1.1绝对值

1.1.2乘法公式

1.13二次根式

1.1.4分式

1.2分解因式

2.1一元二次方程

2.1.1根的判别式

2.1.2根与系数的关系（韦达定理）

2.2二次函数

2.2.1二次函数尸a*+6x+c的图像和性质

2.2.2二次函数的三种表示方式

2.2.3二次函数的简单应用

2.3方程与不等式

2.3.1二元二次方程组解法

2.3.2一元二次不等式解法

3.1相似形

3.1.1.平行线分线段成比例定理

3.1.2相似形

3.2三角形

3.2.1三角形的“四心”

3.2.2几种特殊的三角形

3.3圆

3.3.1直线与圆，圆与圆的位置关系

3.3.2圆基定理及其应用

1.1数与式的运算

1.1.1.绝对值

绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，

零的绝对值仍是零.即

a,a>0,

\a\=<0,a=0,

-a,a<0.

绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离.

两个数的差的绝对值的几何意义：|a-b|表示在数轴上，数。和数b之间的距离.

例1解不等式：卜-1|+卜一3|>4.

解法一：由x—1=0,得x=l；由x—3=0,得x=3；

①若X<1,不等式可变为-(X-1)-(x—3)>4,

即—2x+4>4,解得x〈0,

又x<1,

•*.x<0；

②若14x<2,不等式可变为(x-l)-(x-3)>4,

即1>4,

•••不存在满足条件的X；

③若xN3,不等式可变为(x-l)+(x-3)〉4,

即2x-4>4,解得x>4.

又x>3,

•*.x>4.

综上所述，原不等式的解为

x<0,或x>4.

解法二：如图1.1—1,卜-1|表示x轴

上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间

的距离|网,即解|=|尤一3|表示x轴上点尸到坐标为3的点8之间的距离|尸引,

即|尸身=伏一3|.

所以，不等式|x-l|+|x-3]>4的儿何意义即为

\PA\+\PB\>4.

由HB|=2,可知

点P在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点。(坐标为4)的右侧.

x<0,或x>4.

练习

1.填空：

(1)若凶=5,则尸；若凶=|一4|,贝U尸.

(2)如果时+网=5,且a=-1,则b=；若|l-c|=2,贝Uc=

2.选择题:

下列叙述正确的是()

(A)若同=网，则a=((B)若|4>网,则a>(

(C)若a<b,则同<例(D)若同=同,则a=±C

3.化简：\x—5|一\2x—13|(x>5).

1.1.2.乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

(1)平方差公式(a+b)(a—6)="2-/；

(2)完全平方公式(a±b)2^a2±2ab+b2.

我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式:

(1)立方和公式(a+Z?)(a2-a/7+/72)=a3+b3；

(2)立方差公式(a-6)伍2+"+/)=/—/；

(3)三数和平方公式(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)；

(4)两数和立方公式(a+=a^+3a2b+3ab2+b3；

(5)两数差立方公式(a-b)3^a3-3a2b+3ab2-b3.

对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明.

例1计算：(X+1)(%—l)(x--X+l)(x*+X+1).

解法一：原式=(/-1)[(丁+1)2-犬]

2

=(X-1)(/+尤2+1)

=x6-1.

解:去二：原式=(x+l)(x2一x+l)(x-l)(x2+尤+1)

=(x3+l)(x3-l)

=x6-1.

例2已知。+。+。=4,ab+bc+ac=A,求〃之+^+/的值.

ft?：ci~+b~+c~=(a+/?+c)~—2(ab+he+ac)—8.

练习

1.填空:

(1)-a2--b2=(-b+-a)()；

9423

(2)(4〃？+)2=16m2+4/?:+()；

(3)(a+2b-c)2=a2+4b2+c2+().

2.选择题：

(1)若x?+J■机x+左是一个完全平方式，贝必等于()

2

(A)m'(B)—m2(C)—m2(D)-m2

4316

(2)不论a,匕为何实数，/+从一2q—4b+8的值()

(A)总是正数(B)总是负数

(C)可以是零(D)可以是正数也可以是负数

1.1.3.二次根式

一般地，形如&(a20)的代数式叫做二次根式.根号下含有字母、且不能够开

得尽方的式子称为无理式.例如3a+yja2+b+2b,+方等是无理式,而

42x2+x+1,x2+yflxy+y2,等是有理式.

1.分母(子)有理化

把分母(子)中的根号化去，叫做分母(子)有理化.为了进行分母(子)有

理化，需要引入有理化因式的概念.两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的

积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如应与血，3所与

&,出+迎与6-瓜,2百-3在与26+3a,等等.一般地，a«与G,

aG+t)G与a&-bG，+b与a五-A互为有理化因式.

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号

的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分子的有理化因式，化去分子中的根

号的过程.

在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运

算中要运用公式—扬=”石(a20,620)；而对于二次根式的除法，通常先写成分式

的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似,

应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式.

2.二次根式〃7的意义

[-a,a<0.

例1将下列式子化为最简二次根式：

(1)V12^；(2)y/a^b(a>0)；(3)^4x6y(x<0).

解：(1)=2笈；

(2)yja2b-|a|yfb-ajb(a>0)；

6i

(3)y)4xy=2^x^y[y=-2xy/y(x<0).

例2计算：百+(3-G).

角星法一：6+(3—JJ)=——~i=

3—A/3

_V3-(3+V3)

―(3—6)(3+百)

_373+3

9-3

_3(73+1)

6

—出+1

2

解法二：6十(3—6)=

V3

V3(V3-1)

_1

V3-1

V3+1

(73-1)(73+1)

_V3+1

2

例3试比较下列各组数的大小：

(1)A/12-VH^VTT-VlO；(2)——和2亚一网.

V6+4

V12-VTT_(Vi2-VTT)(Vi2+VTT)_i

解:(1)vvii-vn

i712+711-Vii+ViT?

VTT-VTo(Vil-Vio)(Vn+V10)1

VTT-Vio

iVTT+VToVTi+Vio，

/.7i2-VTT<VH-Vi().

272-76(272-76)(272+76)2

(2)Y2五一娓=

12V2+V6-2&+折

又4>2啦，

*'."76+4>^6+2^2,

——<272-76.

V6+4

例4化简：(G+夜产1(6-立严5.

解：(行+0严4.(0-行严$

=(V3+V2)2004.(A/3-V2)2004-(V3-V2)

2004

二[(0+V2).(A/3-V2)].(A/3->/2)

=l2004.(V3-V2)

=V3-V2・

(2)^x2+4—2(0<%<1).

例5化简：（1）79-475；

解：（1）原式=加-4逐+4

=J(右)2-2x2x6+22

=J(2—后

=|2-V5|=V5-2.

1

（2）原式=x——

X

0<x<1,

**•一〉1>X,

X

所以，原式='—x.

例6已知x=W~9,y=孑+^,求3f-5盯+3产的值.

解:•；x+y=+省+J=(G-亚曰+(百+物2=1o,

-V3+V2V3-V2

V3-V2V3+V2,

”石方.忑F

...3x2-5孙+3/=3(x+y)2-llxy=3xl02-ll=289.

练习

1.填空：

1+V3

(2)若J(5-X)(X-3)2=(x-3)VT3,则x的取值范围是.

(3)4V24-6V54+3V96-2V150=；

//、-StVsmilJx+1—yJx—\Jx+1+-s/x—1

(4)若x=--，贝U1------i-----+i-------I-----=_________________

2+—1，X+1—yjX—1

2.选择题：

等式/卫=丁工成立的条件是

()

Vx-24x-2

(A)xw2(B)x>0(C)x>2(D)0<x<2

3.若6二至三他三，求a+b的值.

。+1

4.比较大小：2—仍____小一也(填“>”，或"V”).

1.1.4分式

1.分式的意义

AAA

形如4的式子，若8中含有字母，且8/0,则称j为分式.当时，分式2

BBB

具有下列性质：

AAxM

~B~BxM；

A_A^-M

~B~'

上述性质被称为分式的基本性质.

2.繁分式

a

像―匕，〃?："+〃这样,分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式.

c+d2m

〃+p

例1若上土=4+"-,求常数4,8的值.

x(x+2)xx+2

々力・・ABA(x+2)+Bx(A+8)x+2A5x+4

••+===9

xx+2x(尤+2)x(x+2)x(x+2)

*A+8=5,

・・《

2A=49

解得A=2,8=3.

例2(1)试证：-1—=』-——(其中〃是正整数);

n(n+1)n〃+1

11

(2)计算:-----1-----F…+

1x22x3------9x10

(3)证明：对任意大于1的正整数〃，有」一+」-+•••+—1—<-.

2x33x4〃(几+1)2

(1)证明：V-一一—+―1—,

n〃+1〃(“+1)〃(〃+1)

.•.」一=1---(其中〃是正整数)成立.

〃(几+1)n〃+1

(2)解：由(1)可知

111

----++•••+-----

1x22739x10

223910

—=2

1010

11

(3)证明：V—+—+•••+

2x33x471(71+1)

11A1

=(---)+(---)+-+

nn+1

11

271+1

又n>2,且〃是正整数,

.1

•定为正数,

1111

++•••+<2.

2x33x4〃(〃+1)

例3设e=£，且e>l,2c2—5ac+2a2=0,求e的值.

a

解：在2c2—5ac+2a2=0两边同除以“2,得

2e2—5e+2=0,

・・・(2e—l)(e—2)=0,

VI,舍去；或e=2.

・'・e=2.

练习

1.填空题：

对任意的正整数〃，一1一=___(--――);

n(n+2)n〃+2

2.选择题：

若在二2=2,则土=()

X+y3y

546

(A)1(B)-(C)-(D)-

4

正数满足》2—y2=2xy,求匕的值.

99x100

习题1.1

A组

1.解不等式:

(1)|x-l|>3；(2)|x+3|+|x-2|<7；

(3)|x-l|+|x+l|>6.

2.已知x+y=l,求Y+)产+3xy的值.

3.填空：

(1)(2+V3)I8(2-V3)'9=；

(2)若7(1-«)2+，(l+a)2=2,则a的取值范围是；

p1]]]1

1+V2+V2+V3+V3+V4+V4+V5+V5+V6-

B组

1.选择题:

(1)若\]—u—b2,\/ub=\)—b~J—a,贝1J()

(A)a<b(B)a>h(C)a<b<0(D)b<a<0

(2)计算等于()

(A)J—a(B)(C)—J—a(D)—yj~u

2.填空:

则3a1-ab

(1)a=—,b=—

233a2+5ah-2b2

(2)若/+盯-2y2=0,则三字二22

x+y

3.已知：x=-,y=-)求厂一.，)厂的值.

23y/x-y/yy/x+y/y

4.解方程2(X2+±)—3(X+L)—1=0.

XX

1111

5.计算:----1-----1+•••d

1x32x43x59x11

1.2分解因式

因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法,

另外还应了解求根法及待定系数法.

1.十字相乘法

例1分解因式：

(1)%2—3x+2；(2)X2+4X—12；

(3)x2-(a+b)xy+aby2；(4)xy-l+x-y.

解：(1)如图将二次项x2分解成图中的两个X的积，再将常数项2分

解成一1与一2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为一3x,就是f—3x+

2中的一次项，所以，有

x2—3x+2=(x—l)(x—2).

图1.2—1图1.2—2图1.2—3图1.2—4

说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图L2—1中的两个

x用1来表示(如图1.2—2所示).

(2)由图1.2—3,得

X2+4X—12=Q—2)(X+6).

(3)由图1.2—4,得

x2-(a+b)xy+aby2=(x-ay)(x-by)v-1

yK)

(4)xy-l+x-y=xy+(x-y)-l图].2—5

=。-1)6+1)(如图1.2—5所示).

2.提取公因式法与分组分解法

例2分解因式：

(1)9+9+3x?+3x；(2)2x~+xy—y~—4x+5y-6.

解：(1)x3+9+3x2+3x=(x3+3X2)+(3X+9)=X2(X+3)+3(X+3)

=(x+3)(x2+3).

或

.v'+9+3x~+3x—(x，+3x2+3x+1)+8—(x+1)^+8

=(x+1)3+23

=[(A:+1)+2][U+1)2-(X+1)X2+22]

=(x+3)(x2+3).

(2)lx1+xy-y2-4x+5y-6=2x2+(y-4)x-y2+5y-6

=2x2+(y-4)x-(y-2)(y-3)=(2x->,+2)(x+y-3).

或

2x2+xy-y2-4X+5)!-6=(2X2+xy-y2)-(4^-5y)-6

=(2x-y)(x+y)―(4x_5y)—6

=(2x-y+2)(x+y-3).

3.关于x的二次三项式af+Ax+cg#))的因式分解.

若关于x的方程ax2+bx+c=0(a/0)的两个实数根是玉、x2,则二次三项式

2

ax+/?x+c(〃w0)就可分解为a(x-x1)(x-x2).

例3把下列关于x的二次多项式分解因式：

(1)X2+2X-1；(2)x2+4xy-4y2.

解:(1)令/+2彳-1=0,则解得玉=一1+正，x2=-l-V2,

'•x2+lx-1=[x-1+[x-(-1-

=(x+1—V2)(x+1+Vz).

(2)令犬+4盯-4)2=0,则解得石=(—2+2夜)y,x,=(-2-272)y

/./+4盯―4y2=[x+2(1-y/2)y][x+2(1+扬y].

练习

1.选择题：

多项式2犬-xy-l5y之的一个因式为()

(A)2x-5y(B)x-3y(C)x+3y(D)x-5y

2.分解因式：

(1)x?+6x+8；(2)Sa3-b3；

(3)x1-1x~1；(4)4(x—y+l)+y(y_2x).

习题1.2

1.分解因式：

(1)/+1；(2)4X4-13X2+9；

(3)b2+c2+2ab+2ac+2bc；(4)3x2+5xy-2y2+x+9y-4.

2.在实数范围内因式分解：

(1)X2-5X+3；(2)X2-2V2X-3；

(3)3x2+4xy-y2；(4)(X2-2X)2-7(X2-2X)+12.

3.MBC三边满足/+/+c2=“b+bc+ca,试判定A48c的形状.

4.分解因式：x2+x-(a2—a).

2.1一元二次方程

2.1.1根的判别式

我们知道，对于一元二次方程。，+云+。=0（”用），用配方法可以将其变形为

2

、2b-4ac

/b①

4a2

因为中0,所以，4«2>0.于是

（1）当廿一4m>0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等

的实数根

_-b±yJb2—4ac

（2）当从一4ac=0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根

b

Xi=X2=——；

2a

（3）当好一4ac、V0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边（x+2产一

2a

定大于或等于零，因此，原方程没有实数根.

由此可知，一元二次方程af+bx+cn。（a/0）的根的情况可以由从-4ac来判

定，我们把“一4ac叫做一元一二次方程/+法+©=0（“#））的根的判别式，通常用

符号“A”来表示.

综上所述，对于一元二次方程公？+加;+，=0（々邦），有

（1）当A>0时，方程有两个不相等的实数根

-b+ylb2-4ac

XI，2=----------------；

2a

（2）当A=0时，方程有两个相等的实数根

（3）当A<0时，方程没有实数根.

例1判定下列关于x的方程的根的情况（其中。为常数），如果方程有实数根,

写出方程的实数根.

(1)X2-3X+3=0；(2)x2-ax-l=0；

(3)x2—tzx+(a-1)=0；(4)2x+a=0.

解：(1)VA=32-4xlx3=-3<0,，方程没有实数根.

(2)该方程的根的判别式△=/—4x1x(—1)=/+4>0,所以方程一定有两个

不等的实数根

a+y/a2+4a--\/a2+4

x,=---------,%,=---------.

122

(3)由于该方程的根的判别式为

222

A=a—4xlx(fl—i)=a—4a+4=(a—2),

所以，

①当a=2时，△=(),所以方程有两个相等的实数根

X\=X2=1；

②当时，△>(),所以方程有两个不相等的实数根

XI=1,X2=Q1•

(3)由于该方程的根的判别式为

△=22—4x"a=4—4a=4(l—a),

所以

①当A>0,即4(1一编>0,即时，方程有两个不相等的实数根

X]=1+J1—a,Xj—1—J1—a;

②当△=(),即。=1时，方程有两个相等的实数根

X\=X2=1；

③当△<(),即。>1时，方程没有实数根.

说明：在第3,4小题中，方程的根的判别式的符号随着。的取值的变化而变化,

于是，在解题过程中，需要对。的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论.分

类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地

运用这一方法来解决问题.

2.1.2根与系数的关系(韦达定理)

若一,元二次方程云+c=0(〃#))有两个实数根

-h+\h2-4ac-b-\Jb2-4ac

x=------------------，X)—-------------------,

}1la2la

则有

-b+\!b2-4ac-b-y/b2-4ac-2bb

X,4-Xj=-------------------1-------------------=-----=----;

2a2a2aa

_-b+db2-4ac-b-\b2-4ac_b2-(b1-4ac)_4ac_c

122a2a4a24a2a

所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：

卜c

如果ax2+bx+c=0(«^0)的两根分别是xi，Xi,那么xi+x=——，xrx=—.这

2a2a

一关系也被称为韦达定理.

特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程f+px+q=O,若沏，应是其两根,

由韦达定理可知

xi+x2=—P，x\-xi=q,

即/?=-(X1+X2),q=X\'X2,

所以，方程f+px+qu。可化为7—(X[+x2)x+xrX2=0,由于X”X2是一元二

次方程f+px+q=O的两根，所以，X1，X2也是一元二次方程X?—(Xi+x2)x+xrX2=

0.因此有

以两个数X”X2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是

X2—(Xi+x2)x+xrX2=0.

例2已知方程5/+依一6=0的一个根是2,求它的另一个根及人的值.

分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k的值，再由

方程解出另一个根.但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即

由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求

出方程的另一个根，再由两根之和求出女的值.

解法一：..二是方程的一个根，

.,.5X22+Z：X2-6=0,

：.k=~l.

a

-

所以，方程就为5f—7X—6=0,解得XI=2,x2=--

所以，方程的另一个根为一:，k的值为-7.

解法二：设方程的另一个根为xi，贝U2用=一(，.♦.西=-1.

3k

由(一一)+2=--,得k=~7.

55

所以，方程的另一个根为一:，女的值为-7.

例3已知关于x的方程x2+2(m—2)x+m2+4=0有两个实数根，并且这两个

实数根的平方和比两个根的积大21,求加的值.

分析：本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于

机的方程，从而解得机的值.但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两

个实数根，因此，其根的判别式应大于零.

解：设修，X2是方程的两根，由韦达定理，得

Xl+x2=—2(/?7-2),X/X2=〃/+4.

*/%]2+%22—XI-%2=21)

(X|+》2)2—3XrX2=21,

即[-2(/n-2)]2-3(w2+4)=21,

化简，得m2—16m—17=0>

解得m=—\,或加=17.

当机=-1时，方程为*+6x+5=0,A>0,满足题意；

当〃?=17时，方程为X2+30X+293=0,A=302-4X1X293<0,不合题意，舍去.

综上，m=17.

说明：(1)在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应

的〃，的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出机的值，取满

足条件的〃z的值即可.

(2)在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别

式△是否大于或大于零.

例4已知两个数的和为4,积为一12,求这两个数.

分析：我们可以设出这两个数分别为x，y,利用二元方程求解出这两个数.也

可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解.

解法一：设这两个数分别是x,y,

则x+y=4,①

xy——12.②

由①，得y—4—x,

代入②，得

x(4—%)=—12,

即?-4x-12=0,

••%!——2,X2=6.

.*=-2,_p,X-,-6,

.或1一。

l%=6,[y2=-2.

因此，这两个数是一2和6.

解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程

X2-4X-12=0

的两个根.

解这个方程，得

%]=-2,》2=6.

所以，这两个数是一2和6.

说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二(直接利用韦达定理来解题)要

比解法一简捷.

例5若r和必分别是一元二次方程+5x—3=0的两根.

(1)求⑶一历|的值；

(2)求4+4的值；

玉*2

(3)%]3+%23-

解：和X2分别是一元二次方程2f+5x—3=0的两根，

・'一53

・・X，+X-=—,x,x»=—.

(1)VIXj—X2|2=X12+X22—2X]X2=(^l+^2)2—4X]X2=-4x(-1)

=—+6=——，

44

...7

x2|=-.

11Z+k(%+々)2-2中2(-》、2x(一|)*3=37

X「xUE一(x内)2■(.|)2-9-9-

33222

(3)X]+%2=(XI+^2)(Xi—X1X2+X2)=(%1+%2)[(X]+x2)-'3X|X2]

=(/--5)x[(-y5)2_-r3x/(-3-)]=--215.

说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到

求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：

设X1和X2分别是一元二次方程。/+区+‘=0(4加)，则

-b+\]b2-4ac-b-ylb2-4ac

Xt—，-，

'2a22a

于是有下面的结论:

若X1和X2分别是一元二次方程《x2+》x+c=0(4制)，则|X[—词=，^(其中A

\a\

=b2—4ac).

今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论.

例6若关于x的一元二次方程/—x+a—4=0的一根大于零、另一根小于零,

求实数。的取值范围.

解：设制，X2是方程的两根，则

x\X2~ci—4<0,(T)

且△=(_1)2_4(〃_4)>0.②

由①得。<4,

„17

由②得a<7.

：.a的取值范围是aV4.

练习

1.选择题：

(1)方程/-2限v+3A2=0的根的情况是()

(A)有一个实数根(B)有两个不相等的实数根

(C)有两个相等的实数根(D)没有实数根

(2)若关于x的方程机》2+(2m+l)x+/n=0有两个不相等的实数根，则实数机的取

值范围是()

(A)m<—(B)m>——

44

(C)m<—,且听0(D)m>——,且

44

2.填空:

(1)若方程？一3%—1=0的两根分别是修和历，则▲+'=.

玉乙

(2)方程加x?+x—2/”=0(m/0)的根的情况是.

(3)以一3和1为根的一元二次方程是.

3.已知，。2+8。+16+|6—1|=0,当上取何值时，方程h2+原+6=0有两个不相等

的实数根？

4.已知方程3x—1=0的两根为X］和X2，求(xi-3)(应一3)的值.

习题2.1

A组

1.选择题：

(1)已知关于x的方程7+乙一2=0的一个根是1,则它的另一个根是()

(A)-3(B)3(C)-2(D)2

(2)下列四个说法:

①方程x?+2x—7=0的两根之和为一2,两根之积为一7；

②方程％2—2》+7=0的两根之和为一2,两根之积为7；

③方程3%2—7=0的两根之和为0,两根之积为-(；

④方程3?+2x=0的两根之和为一2,两根之积为0.

其中正确说法的个数是()

(A)l个(B)2个(C)3个(D)4个(3)

关于x的一元二次方程ax2-5x+a2+a=0的一个根是0,则a的值是()

(A)0(B)1(C)-1(D)0,或一1

2.填空:

(1)方程依2+4x-1=0的两根之和为一2,则忆=.

(2)方程2x?—x—4=0的两根为a,0,则a2+1=.

(3)已知关于x的方程ax—3a=0的一个根是一2,则它的另一个根是

(4)方程2f+2x—1=0的两根为©和刀2，则［X］一切=.

3.试判定当机取何值时，关于x的一元二次方程〃产X?—(2加+1)x+l=0有两个不

相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？

4.求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程f—7x—1=0各根的相反数.

B组

1.选择题：

(1)已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2f—8x+7=0的两根，则这

个直角三角形的斜边长等于()

(A)V3(B)3(C)6(D)9

(2)若为，也是方程2x2—4x+l=0的两个根，则&+王的值为()

x2X］

3

(A)6(B)4(C)3(D)-

2

(3)如果关于x的方程x?—2(1—〃?)x+加2=0有两实数根a,0,则a+B的取值范

围为()

(A)a+p>|(B)a+p<|(C)a+p>l(D)a+p<l

(4)已知a,b,c是MBC的三边长,那么方程cd+(a+b)x+-=0的根的情况是()

4

(A)没有实数根(B)有两个不相等的实数根

(C)有两个相等的实数根(D)有两个异号实数根

(5)若关于x的方程x?+伙2-1»+左+1=0的两根互为相反数，则&的值为()

(A)1,或一1(B)1(C)-1(D)0

2.填空：

(1)若机，n是方程X2+2005X—1=0的两个实数根，则m2n+mif'—mn的值等

于.

(2)如果a,匕是方程』+x—1=0的两个实数根，那么代数式

的值是.

3.已知关于x的方程/—丘-2=0.

(1)求证：方程有两个不相等的实数根；

(2)设方程的两根为X1和X2，如果2(X1+X2)>X]X2，求实数人的取值范围.

4.一元二次方程ax2+bx+c=0(存0)的两根为Xi和也.求：

(1)⑶一对和g强；

(2)/+力.

5.关于x的方程,+4x+〃2=0的两根为X],检满足|为一刈=2,求实数〃？的值.

6.已知X],尤2是关于九的一元二次方程4日2—4履+k+1=0的两个实数根.

(1)是否存在实数&,使(2修一]2)(即-2X2)=—a成立？若存在，求出k的值；

若不存在，说明理由；

(2)求使2+区一2的值为整数的实数火的整数值；

M玉

(3)若k=-2,4=五，试求力的值.

X2

7.若关于x的方程f+x+a=o的一个大于1、另一根小于1,求实数。的取值范围.

2.2二次函数

2.2.1二次函数y=a/+加；+。的图像和性质

问题1函数y=a/与y=?的图象之间存在怎样的关系？

为了研究这一问题，我们可以先画出y=2x2,y=-2f的图象，通过这

些函数图象与函数y=》2的图象之间的关系，推导出函数与y=f的图象之间

所存在的关系.

先画出函数y=/,y=2f的图象.

先列表：

X・・・-3-2-10123・・・

X2・・・941