2021年湖北省武汉市中考数学真题试卷2（解析版）

2021年湖北省武汉市中考数学试卷

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请

在答题卡上将正确答案的标号涂黑.

1.实数3的相反数是（）

A.3B.-3C.-1D.-A

33

2.下列事件中是必然事件的是（）

A.抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上

B.随意翻到一本书的某页，这一页的页码是偶数

C.打开电视机，正在播放广告

D.从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级

3.下列图形都是由一个圆和两个相等的半圆组合而成的，其中既是轴对称图形又是中心对

A.-a6B.a6C.-a5D.a5

5.如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（）

正面

6.学校招募运动会广播员，从两名男生和两名女生共四名候选人中随机选取两人，则两人

恰好是一男一女的概率是（）

A.AB.Ac.2D.3

3234

7.我国古代数学名著《九章算术》中记载“今有共买物，人出八，盈三，不足四.问人数、

物价各几何？”意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱；每人出7钱，还差4

钱.问人数，物价是y钱，则下列方程正确的是（）

A.8（%-3）=7（x+4）B.8x+3=7x-4

cy-J=y+4Dy+3=y-4

■~3~~T~'~3~~T~

8.一辆快车和一辆慢车将一批物资从甲地运往乙地，其中快车送达后立即沿原路返回，且

往返速度的大小不变（单位：km）与慢车行驶时间t（单位：〃）的函数关系如图（）

3253

9.如图，AB是00的直径，BC是。。的弦萩沿BC翻折交AB于点£>,再将俞施=而,

设N4BC=a,则a所在的范围是（）

C.22.7°<a<23.1°D.23.10<a<23.5°

10.已知a,6是方程7-3x-5=0的两根，则代数式2/-6/+■+76+1的值是（）

A.-25B.-24C.35D.36

二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果

直接填写在答题卡指定的位置.

11.计算我了的结果是.

12.我国是一个人口资源大国.第七次全国人口普查结果显示，北京等五大城市的常住人口

数如下表，这组数据的中位数是

城市北京上海广州重庆成都

常住人口21892487186832052094

数万

2T

13.已知点AQ,yi),B(a+\,”)在反比例函数丫=田，工3n是常数)的图象上，且

x

)”<”，则”的取值范围是.

14.如图，海中有一个小岛A.一艘轮船由西向东航行，在8点测得小岛A在北偏东60°

方向上，这时测得小岛4在北偏东300方向上.小岛A到航线BC的距离是

ntnileQ1.73,结果用四舍五入法精确到0.1).

15.已知抛物线yjV+Zw+c(a,8,c是常数)，a+b+c^0.下列四个结论：

①若抛物线经过点(-3,0),则b=2a；

②若/>=c,则方程c/+for+a=0一定有根x=-2；

③抛物线与x轴一定有两个不同的公共点；

④点A(xi，yi),B(X2，”)在抛物线上，若0<a<c,则当xi<x2<l时，yi>”.

其中正确的是(填写序号).

16.如图(1),在△ABC中，AB=AC,边AB上的点。从顶点4出发，向顶点B运动，边

BC上的点E从顶点8出发，向顶点C运动，D,设x=A。，y=AE+CD(2),图象过点

(0,2),则图象最低点的横坐标是.

(1)⑵

三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明

过程、演算步骤或画出图形.

17.（8分）解不等式组产、'^请按下列步骤完成解答.

4x+10>x+l.②

（1）解不等式①，得；

（2）解不等式②，得；

（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；

_______1111_________III.

-4-3-2-1012

（4）原不等式组的解集是.

18.（8分）如图，AB//CD,NB=ND,3C的延长线分别交于点E,F,求证：NDEF=

NF.

19.（8分）为了解落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的实施情况,

某校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们平均每周劳动时间/（单位：h）,8组“5

Wt<7”,C组“7Wf<9"，绘制成如下两幅不完整的统计图.

（1）这次抽样调查的样本容量是，C组所在扇形的圆心角的大小是；

（2）将条形统计图补充完整；

（3）该校共有1500名学生，请你估计该校平均每周劳动时间不少于76的学生人数.

20.（8分）如图是由小正方形组成的5X7网格，每个小正方形的顶点叫做格点，矩形A8C。

的四个顶点都是格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图

（1）在图（1）中，先在边AB上画点E,使AE=2B£使EF平分矩形ABC。的面积；

21.（8分）如图，AB是。0的直径，C,。是OO上两点BD的中点，过点C作4。的垂线

（1）求证：CE是。。的切线；

（2）若匹_=捉，求cosNAB。的值.

DF

E

C

22.（10分）在“乡村振兴”行动中，某村办企业以A,B两种农作物为原料开发了一种有

机产品.A原料的单价是B原料单价的1.5倍，每盒还需其他成本9元.市场调查发现：

该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒，每天少销售10盒.

（1）求每盒产品的成本（成本=原料费+其他成本）；

（2）设每盒产品的售价是x元（x是整数），每天的利润是w元，求w关于x的函数解

析式（不需要写出自变量的取值范围）；

（3）若每盒产品的售价不超过。元（a是大于60的常数，且是整数），直接写出每天的

最大利润.

23.（10分）问题提出

如图（1）,在△ABC和△DEC中，ZACB^ZDCE=90Q,EC=DC，点E在△ABC内

部，BF,C尸之间存在怎样的数量关系？

问题探究

（1）先将问题特殊化如图（2）,当点。，下重合时，表示AF,BF；

（2）再探究一般情形如图（1）,当点下不重合时（1）中的结论仍然成立.

问题拓展

如图（3）,在△ABC和中，ZACB=ZDCE=90°,EC=H）C（4是常数），点E

在△ABC内部，表示线段AF,BF

24.（12分）抛物线y=7-1交x轴于A,B两点（A在B的左边）.

(1)oACDE的顶点C在)，轴的正半轴上，顶点E在y轴右侧的抛物线上；

①如图(1),若点C的坐标是(0,3),点E的横坐标是3,。的坐标.

2

②如图(2),若点。在抛物线上，且。ACDE的面积是12

(2)如图(3),F是原点0关于抛物线顶点的对称点，不平行y轴的直线/分别交线段

A尸(不含端点)于G,H两点.若直线/与抛物线只有一个公共点

2021年湖北省武汉市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请

在答题卡上将正确答案的标号涂黑.

1.实数3的相反数是（）

A.3B.-3C.AD.-A

33

【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案.

【解答】解：实数3的相反数是：-3.

故选：B.

2.下列事件中是必然事件的是（）

A.抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上

B.随意翻到一本书的某页，这一页的页码是偶数

C.打开电视机，正在播放广告

D.从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一个班级

【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可.

【解答】解：A、抛掷一枚质地均匀的硬币，是随机事件；

8、随意翻到一本书的某页，是随机事件；

C、打开电视机，是随机事件；

。、从两个班级中任选三名学生，是必然事件；

故选：D.

3.下列图形都是由一个圆和两个相等的半圆组合而成的，其中既是轴对称图形又是中心对

【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,

那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折

叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进

行分析即可.

【解答】解：4既是轴对称图形又是中心对称图形；

B.不是轴对称图形，故此选项不合题意；

C.不是轴对称图形，故此选项不合题意；

D.是轴对称图形，故此选项不合题意；

故选：A.

4.计算（-.2）3的结果是（）

A.-a6B.a6C.-a5D.a5

【分析】根据塞的乘方的运算法则计算可得.

【解答】解：（-/）3="4,

故选：A.

5.如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（）

正面

【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中.

【解答】解：从正面看易得有两层，底层三个正方形.

故选：C.

6.学校招募运动会广播员，从两名男生和两名女生共四名候选人中随机选取两人，则两人

恰好是一男一女的概率是（）

A.AB.Ac.2D.3

3234

【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，抽取的两人恰好是一男一女的结果有8种，

再由概率公式求解即可.

【解答】解：ImI树状图如图:

开始

男男女女

Zl\ZT\z4\ZN

男女女男女女男男女男男女

共有12种等可能的结果，抽取的两人恰好是一男一女的结果有8种，

...两人恰好是一男一女的概率为包=且，

123

故选：C.

7.我国古代数学名著《九章算术》中记载“今有共买物，人出八，盈三，不足四.问人数、

物价各几何？”意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱；每人出7钱，还差4

钱.问人数，物价是y钱，则下列方程正确的是（）

A.8（x-3）=7（x+4）B.8x+3=7x-4

cy-3=y+4Dy+2=y-4

■~8~~T~'~8~~7~

【分析】根据人数=总钱数+每人所出钱数，得出等式即可.

【解答】解：设物价是y钱，根据题意可得：

y+3_y-5

丁一〒’

故选：D.

8.一辆快车和一辆慢车将一批物资从甲地运往乙地，其中快车送达后立即沿原路返回，且

往返速度的大小不变（单位：km）与慢车行驶时间r（单位：%）的函数关系如图（）

A.殳hB.当C.IjiD.当

3253

【分析】根据图象得出，慢车的速度为包km/h，快车的速度为包/h.从而得出快

62kin

车和慢车对应的y与f的函数关系式.联立两个函数关系式，求解出图象对应两个交点的

坐标，即可得出间隔时间.

【解答】解：根据图象可知，慢车的速度为曳km/h。

6

对于快车，由于往返速度大小不变，

因此单程所花时间为2/1,故其速度为曳km/h

8

所以对于慢车，y与/的函数表达式为y二生t(0(t47).

6

■1(t-2)(8<t<4)......②，

对于快车，y与t的函数表达式为了=

-|-(t-2)4<t<6)......③，

联立①②，可解得交点横坐标为r=3,

联立①③，可解得交点横坐标为f=4.5,

因此，两车先后两次相遇的间隔时间是7.5,

故选：B.

9.如图，AB是的直径，BC是。。的弦筋沿BC翻折交AB于点。，再将命正=加,

设NABC=a,则a所在的范围是()

B.22.3°<a<22.7°

D.23.1°<a<23.5°

【分析】如图，连接ACCDOE.证明NCAB=3a,利用三角形内角和定理求出a,可得

结论.

【解答】解：如图，连接ACQE.

E

ED=EB,

：.ED=EB,

：.ZEDB=ZEBD=a,

VAC=CD=DE,

:.AD=CD=DE,

：.NDCE=NDEC=NEDB+NEBD=2a,

，ZCAD=ZCDA=ZDCE+ZEBD=3a,

'：AB是直径，

：.ZACB=90°,

.•./C48+NABC=90°,

；.2a=90°,

/.a=22.5°,

故选：B.

10.已知a,6是方程/-3x-5=0的两根，则代数式2(?-6/+/+76+1的值是()

A.-25B.-24C.35D.36

【分析】根据一元二次方程解的定义得到J-34-5=0,h2-3b-5=0,即/=3。+5,

序=3>5,根据根与系数的关系得到。+匕=3,然后整体代入变形后的代数式即可求得.

【解答】解：•••〃，b是方程/-3x-7=0的两根，

：.a2-4a-5=0,b2-3b-5=3,a+b=3,

."2-44=5,?=7b+5,

.,.2a2-6a2+b&+lb+l

=6a(a2-3a)+2b+5+7b+3

=10。+106+6

=10(〃+Z?)+6

=10X3+6

=36.

故选：D.

二、填空题(共6小题，每小题3分，共18分)下列各题不需要写出解答过程，请将结果

直接填写在答题卡指定的位置.

11.计算J而工的结果是5.

【分析】根据二次根式的性质解答.

【解答】解：.(一5)2=卜4|=5.

12.我国是一个人口资源大国.第七次全国人口普查结果显示，北京等五大城市的常住人口

数如下表，这组数据的中位数是2189.

城市北京上海广州重庆成都

常住人口21892487186832052094

数万

【分析】将这组数据从小到大重新排列，再根据中位数的定义求解即可.

【解答】解：将这组数据重新排列为1868,2094,2487,

所以这组数据的中位数为2189,

故答案为：2189.

2..

13.已知点A(a,yi),B(a+1,”)在反比例函数y=—-(m是常数)的图象上，且

X

则。的取值范围是-iv4Vo.

【分析】根据反比例函数的性质分两种情况进行讨论，①当点A(a,yi),B(a+1,”)

在同一象限时，②当点A(my\),B(a+1,”)在不同象限时.

【解答】解：,.乂=序+1>5,

・・・反比例函数y=XL(机是常数)的图象在一，在每个象限，

x

①当A(m*)，B(〃+1,”)在同一象限，

此不等式无解；

②当点A(a,涧)、B(a+1,”)在不同象限，

：.a<0,a+5>0,

解得："l<a<6,

故答案为-

14.如图，海中有一个小岛A.一艘轮船由西向东航行，在8点测得小岛A在北偏东60°

方向上，这时测得小岛A在北偏东30°方向上.小岛A到航线BC的距离是10.4nmile

(V3^1.73,结果用四舍五入法精确到0.1).

【分析】过点A作AEVBD交BD的延长线于点E,根据三角形的外角性质得到NBA。

^ZABD,根据等腰三角形的判定定理得到AO=A8,根据正弦的定义求出AE即可.

【解答】解：过点A作AE_LBO交80的延长线于点E,

由题意得，NCB4=60°,

AZABD=30°,ZADE=60°,

：.ZBAD^ZADE-ZABD=30Q,

：.NBAD=NABD,

：.AD=AB=\2nmile,

在RtZxAOE中，sin/AOE=处，

AD

二AE=AQ,sinNADE=6M、10.5(nmile),

故小岛A到航线BC的距离是10.4加〃淞，

BDE

15.已知抛物线y=a?+〃R+c(a,b,c是常数)，a+h+c=O.下列四个结论：

①若抛物线经过点(-3,0),则6=2〃；

②若b=c,则方程c^+bx+a=0一定有根x=-2；

③抛物线与x轴一定有两个不同的公共点；

④点A(xi,yi),B(X2,丁2)在抛物线上，若OVaVc,则当xiVx2Vl时，y\>yi-

其中正确的是①②④(填写序号).

【分析】①由题意可得，抛物线的对称轴为直线*='=1+(-3)=7,BPb=2a,即

2a2

①正确；

②若b=c,则二次函数y=c/+fev+a的对称轴为直线：x=-3L=-A,则上也=-A,

2c222

解得m=-2,即方程c^+bx+a=O一定有根x=-2；故②正确；

③△=序-4"=(a+c)2-4ac=(a-c)2^0,则当a六c时，抛物线与x轴一定有两

个不同的公共点.故③不正确；

④由题意可知，抛物线开口向上，且£>1,则当x<l时，y随x的增大而减小，则当制

a

<》2<1时，yi>”.故④正确.

【解答】解：；抛物线？=/+法+，(a,b,c是常数)，

(1,3)是抛物线与x轴的一个交点.

①•抛物线经过点(-3,0),

...抛物线的对称轴为直线x=5+J3)=.8,

2

-A=-1,即①正确；

2a

②若b=c,则二次函数y=cx1+bx+a的对称轴为直线：x=--=-―,

2c6

且二次函数)=(:7+灰+。过点(1,2),

•・•-l---4-n__-7，

22

.♦.jucf+fer+a与x轴的另一个交点为(-6,0)2+bx+a=2一定有根x=-2；故②正确;

③△=/>2-6ac=(a+c)2-4ac=(a-c)2>0,

抛物线与x轴一定有两个公共点，

且当“Wc时，抛物线与x轴一定有两个不同的公共点；

④由题意可知，抛物线开口向上，且£,

(1,7)在对称轴的左侧，

...当x<l时，y随x的增大而减小，

二当xi<%4<1时，>'i>y8-故④正确.

故答案为：①②④.

16.如图(1),在△ABC中，AB=AC,边48上的点。从顶点A出发，向顶点8运动，边

BC上的点E从顶点B出发，向顶点C运动，D,设x=AQ,y=AE+CD(2),图象过点

(0,2),则图象最低点的横坐标是\6-\.

(1)(2)

【分析】观察函数图象，根据图象经过点(0,2)即可推出A8和AC的长，构造ANBE

g△CA。，当A、E、N三点共线时，y取得最小值，利用三角形相似求出此时的x值即

可.

【解答】解：•・•图象过点(0,2),

即当x=4O=7时，点。与A重合，

止匕时y=AE+CD=AB+AC=2,

:△ABC为等腰直角三角形，

：.AB=AC=\,

过点A作ARL8C于点凡过点B作NBLBC,如图所示:

A

■:AD=BE,NNBE=NCAD,

：./\NBE/4CAD(SAS),

:.NE=CD,

又・・・y=AE+CD,

：.y=AE+CD=AE-^NE,

当A、E、N三点共线时，如图所示

AD=BE=x、AC=BN=6,

.••AF=AC«sin45°=返，

2

'又；NBEN=ZFEA,ZNBE=ZAFE

/\NBE^/\AFE

...坦理，即

AFFEV2V3

-X

2---2

解得：x=&-8,

图象最低点的横坐标为：&-1.

故答案为：V3-1.

三、解答题(共8小题，共72分)下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明

过程、演算步骤或画出图形.

17.(8分)解不等式组"、'7…请按下列步骤完成解答.

4x+10>x+l.②

(1)解不等式①，得x2-1；

(2)解不等式②，得x>-3；

(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来;

-4-3-2-1012

(4)原不等式组的解集是4-1.

【分析】先解出两个不等式，然后在数轴上表示出它们的解集，即可写出不等式组的解

集.

’2x>x-l,①

【解答】解:

4x+10>x+l.②

(1)解不等式①，得x》-1；

(2)解不等式②，得x>-5；

(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来;

------1-------6--------1------------------1-------1--------1-----►

^4-31-1012

(4)原不等式组的解集是x2-1.

故答案为：x2-1；x>-8.

18.(8分)如图，AB//CD,/B=ND,3C的延长线分别交于点E,F,求证：ZDEF=

【分析】由平行线的性质得到NQCF=NH进而推出NDCF=N。，根据平行线的判定

得到根据平行线的性质即可得到结论.

【解答】证明：・・・A8〃CO,

:・NDCF=NB,

：.ZDCF=ZDf

：.AD//BC,

：.NDEF=NF.

19.(8分)为了解落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的实施情况,

某校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们平均每周劳动时间，(单位：人)，8组“5

Wf<7"，C组“7<9"，绘制成如下两幅不完整的统计图.

(1)这次抽样调查的样本容量是100，。组所在扇形的圆心角的大小是108。；

(2)将条形统计图补充完整；

(3)该校共有1500名学生，请你估计该校平均每周劳动时间不少于7〃的学生人数.

【分析】(1)用。组的人数+所占百分比计算即可，计算C组的百分比，用C组的百分

数乘以360°即可得出C组所在扇形的圆心角的大小；

(2)求出B组人数，画出条形图即可；

(3)用C,D两组的百分数之和乘以1500即可.

【解答】解：(1)这次抽样调查的样本容量是104-10%=100,

C组所在扇形的圆心角的大小是360°X也=108°,

100

故答案为：100,108°；

(2)8组的人数=100-15-30-10=45(名),

条形统计图如图所示，

(3)1500X30+10=600(名).

100

答:估计该校平均每周劳动时间不少于7/2的学生人数为600.

20.(8分)如图是由小正方形组成的5X7网格，每个小正方形的顶点叫做格点，矩形A8CZ)

的四个顶点都是格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图

(1)在图(1)中，先在边AB上画点E,使AE=2BE,使■平分矩形ABC。的面积;

BCD的高CG,再在边AB上画点

Q)

【分析】(1)如图取格点T,连接DT交AB于点E,连接BD,取BD的中点F,作直线EF即

可.

(2)取格点E,F,连接EF交格线于P,连接CP交BD于点、G,线段CG即为所求.取格点

连接MNJK交于点J,取BD的中点O,作直线OJ交A8于连接DH点H即为

所求.

【解答】解：(1)如图，直线EF即为所求.

(2)如图，线段CG.

⑴

21.(8分)如图，AB是。0的直径，C,。是。。上两点俞的中点，过点C作4。的垂线

(1)求证：”是。0的切线；

(2)若求cos/ABO的值.

DF

E

【分析】(1)连接OC交8。于点G,可证明四边形EOGC是矩形，可求得NECG=90°,

进而可求CE是00的切线；

(2)连接BC,设FG=x,OB=r,利用典=近，设DF=t,DC=y/it,mRtABCG-

DF

心△BFC的性质求出CG,OG,利用勾股定理求出半径，进而求解.

【解答】(I)证明：连接0c交8D于点G,

•.•点C是俞的中点，

.•.由圆的对称性得0C垂直平分BD,

.•./£>GC=90°,

•.SB是。。的直径，

AZADB=90°,

:.NEDB=90°,

VCELAE,

.\ZE=90o,

，四边形EDGC是矩形,

；.NECG=90°,

：.CE±OC,

；.CE是。。的切线；

(2)解：连接8C,设尸G=x,

,,噂=依，

DF

设DF=t,DC=®,

由(1)得，BC=CD=y/st,

"：AB是。。的直径，

.,.ZACB=90°,

：.NBCG+NFCG=90°,

VZDGC=90°,

/.ZCFB+ZFCG=90°,

:.NBCG=NCFB,

.".RtABCG^RtABFC,

：.BC2=BG'BF,

(^Q/)7=(x+f)(x+2f)

解得X1=53=-互r(不符合题意，

2

=42=

•**CGVBC-BGV(V6)2-(2t)2=^!

：.0G=r-6f、

在RtZsOBG中，由勾股定理得OGZ+BbMO^,

/.(r-2+(2r)2=/,

解得r=2返r,

8

BG_2^2V4

cosZABD==

OBM~3~

丁

22.（10分）在“乡村振兴”行动中，某村办企业以4,8两种农作物为原料开发了一种有

机产品.A原料的单价是8原料单价的1.5倍，每盒还需其他成本9元.市场调查发现:

该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒，每天少销售10盒.

（1）求每盒产品的成本（成本=原料费+其他成本）；

（2）设每盒产品的售价是x元（x是整数），每天的利润是w元，求w关于x的函数解

析式（不需要写出自变量的取值范围）；

（3）若每盒产品的售价不超过。元是大于60的常数，且是整数），直接写出每天的

最大利润.

【分析】（1）根据题意列方程先求出两种原料的单价，再根据成本=原料费+其他成本计

算每盒产品的成本即可；

（2）根据利润等于售价减去成本列出函数关系式即可；

（3）根据（2）中的函数关系式，利用函数的性质求最值即可.

【解答】解：（1）设8原料单价为，"元，则A原料单价为1.5加元，

根据题意，得驷.-900;炉,

m7.5m

解得力?=3,

，5.5机=4.8,

・・・每盒产品的成本是：4.5X5+4X3+6=30（元），

答：每盒产品的成本为30元；

（2）根据题意，Ww=（x-30）［500-10（x-60）］=-10^+1400%-33000,

...卬关于x的函数解析式为：w=-10?+1400x-33000；

（3）由（2）知w=-10X7+1400X-33000=-10（x-70）2+16000,

当a270时，每天最大利润为16000元，

当60<a<70时，每天的最大利润为（-10/+1400”-33000）元.

23.(10分)问题提出

如图(1),在△ABC和△£)£(:中，ZACB=ZDCE=90°,EC=DC,点E在△ABC内

部，BF,CF之间存在怎样的数量关系？

问题探究

(1)先将问题特殊化如图(2),当点D,尸重合时，表示A凡BF；

(2)再探究一般情形如图(1),当点。，尸不重合时(1)中的结论仍然成立.

问题拓展

如图(3),在△ABC和△DEC中，ZACB=Z£)C£=90°,EC=H)C(k是常数)，点E

在△ABC内部，表示线段AF,BF

(1)(2)(3)

【分析】(1)证明△ACOgZXBCE(SAS),则△COE为等腰直角三角形，故。E=EF=

&CF,进而求解；

(2)由(1)知，AACD^ABCECSAS),再证明ZXBCG丝(AAS),得到△GC尸

为等腰直角三角形，则GF=&CF,即可求解；

(3)证明△BCEs/XCA。和△BGCs/XA尸C,得到弛真_=卜=匹，则8G=公尸，GC

AFACCF

=kFC,进而求解.

【解答】解：(1)如图(2),VZACr>+ZACE=90°,

:./BCE=/ACD,

9：BC=AC,EC=DC,

：./XACD^^BCE(SAS),

：.BE=AD=AF,ZEBC=ZCADf

故△COE为等腰直角三角形，

故DE=EF=4^CF,

贝I]BF=BD=BE+ED=AF+^CF；

即BF-AF=V8CF:

(2)如图(1),由(1)知,

(1)

:"CAF=NCBE,BE=AF,

过点C作CG1CF交BF于点G,

♦：NFCE+NECG=90°,ZECG+ZGCB=90°,

NACF=NGCB,

,:NCAF=NCBE,BC=AC,

:.丛BCG经XACF(44S),

：.GC=FC,BG=AF,

故△GCr为等腰直角三角形，则G/=圾，

贝ijBF=BG+GF=AF+®CF,

即BF-AF=V8CF；

(3)由(2)知，NBCE=NACD,

而8C=fc4C,EC=kDC,

嗜着k,

:.XBCEsXCAD,

：.ZCAD=ZCBE,

过点C作CG±CF交BF于点G,

(3)

由(2)知，/BCG=NACF,

：./\BGC^/\AFC,

•BGBC,_GC

AFACCF

贝|JBG=AAF,GC=kFC,

在RtACGF-中，Gy7=7GC2+FC2=V(kFC