2024届江苏省苏州市部分高中高三下学期3月适应性考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2江苏省苏州市部分高中2024届高三下学期3月适应性考试数学试题一、选择题1.已知集合，，则的真子集个数为（）A.2 B.3 C.4 D.5〖答案〗B〖解析〗因为，，得到，所以的真子集个数为，故选：B.2.设复数（，为虚数单位），若为纯虚数，则复数虚部为（）A. B.1 C.2 D.〖答案〗A〖解析〗因为为纯虚数，所以，则，，则复数的虚部为，故选：A.3.若一组数据的平均数为，则该组数据的方差为（）A.1 B.2 C.0.4 D.10〖答案〗B〖解析〗由题有，得到，所以该组数据的方差为，故选：B.4.有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和不小于4的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗从袋中一次随机摸出2个球，共有6种基本事件，其中摸出的2个球的编号之和不小于4的事件为，四种基本事件数，因此概率为.故选：A.5.已知圆锥的高为6，体积为高的倍，用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的圆台高是3，则该圆台的体积为（）A. B. C.7 D.9〖答案〗C〖解析〗如下图所示：易知圆锥的高，圆台的高，设圆锥的底面圆半径为，则；所以，解得；可得圆台下底面圆面积为，上底面圆面积为，所以该圆台的体积为.故选：C.6.在平面直角坐标系中，若直线上存在一点，圆上存在一点，满足，则实数的最大值为（）A.0 B.3 C. D.〖答案〗A〖解析〗根据题意，设点，由可得，又点在圆上，可得，即；所以点既在直线上，又在以为圆心，半径为3的圆上，即直线和圆有公共点，所以圆心到直线距离，解得，所以实数的最大值为0.故选：A7.在平面直角坐标系中，设直线与双曲线的两条渐近线都相交且交点都在轴左侧，则双曲线的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为双曲线的两条渐近线方程为，又与双曲线的两条渐近线都相交且交点都在轴左侧，由图知，，即，所以离心率，又，所以，故选：B.8.已知，，则的最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，所以，所以，等号成立当且仅当，从而，令，设，显然，则，因为关于的一元二次方程有实数根，所以，整理得，即，解得，注意到，从而，等号成立当且仅当，即，所以经检验的最大值，即的最大值为.故选：D.二、选择题9.如图，在直三棱柱中，，点，分别是，的中点.则下列一定成立的是（）A B. C. D.〖答案〗ABD〖解析〗对于A，由三棱柱性质可得，又点，分别是，的中点，所以，即A正确；对于B，由A中的结论可得，且，所以，因此可得四边形是平行四边形，所以，即B正确；对于C，因为直三棱柱，所以平面，又平面，所以；又因为，点是的中点，所以；又平面，可得平面，又平面，所以，若，且，所以平面，又平面，可得，在四边形中，若，利用三角形相似可得，即，题目中没有对应的条件，所以C不一定成立；对于D，因为，点是的中点，所以；即D正确.故选：ABD10.如图，在中，三个内角、，成等差数列，且，.已知点（未画出），若函数的图像经过、、三点，且、为该函数图像与轴相邻的两个交点，则（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗对于选项A，因为角、、成等差数列，所以，在中，，，，记由余弦定理得到，即，得到，所以选项A错误，对于选项B，，所以选项B正确，由图知，，所以，即有，，所以选项C错误，又、为函数图像与轴相邻的两个交点，，所以，得到，又，得到，即，又，所以，又因为，所以，得到，所以，故选项D正确，故选：BD.11.已知，且，函数，其中为自然对数的底数，则（）A.若该函数为偶函数，则其最小值为B.函数的图像经过唯一的定点C.若关于方程有且只有一个解，则或D.令为上的连续函数，则当时至多存在一个零点〖答案〗BC〖解析〗A：若该函数为偶函数，此时由得，所以得，从而，，注意到，A错误；B：显然，若经过定点，那么对任意的b成立，从而与b无关，这意味着，故，B正确.C：显然，所以必有一解，若，则单调递增，从而一定是唯一解，若，则，等号成立当且仅，所以一定是唯一解，如果，则单调递增，且有唯一零点，由于，所以，而在递减，在递增，且，所以，若，则由，可知在上还有一根t，且，故，若，则由，可知在上还有一根t，且，故.无论怎样，都有一个不等于0的根t，从而解不唯一，综上，C正确；D：根据C选项的过程，如果且，那么一定有两个根和，D错误.故选：BC.三、填空题12.各项均为正数的等比数列中，若，则的最小值为________.〖答案〗〖解析〗因为数列是各项均为正数的等比数列，又，所以，得到，即，故〖答案〗为：.13.在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左焦点，直线与椭圆交于，两点，为椭圆上异于，的点.则椭圆的标准方程为________；若，以为直径的圆过点，则圆的标准方程为________.〖答案〗〖解析〗∵且，∴，.∴椭圆方程为.设，则，且.①∵以为直径的圆过点，∴，∴，又∵，∴.②由①②解得：，或（舍），∴.又∵圆的圆心为的中点，半径为，∴圆的标准方程为.故〖答案〗为：；.14.如图，某小区中央广场由两部分组成，一部分是边长为的正方形，另一部分是以为直径的半圆，其圆心为.规划修建的3条直道，，将广场分割为6个区域：Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ为绿化区域（图中阴影部分），Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ为休闲区域，其中点在半圆弧上，分别与，相交于点，.（道路宽度忽略不计）设，.当为________时，绿化区域面积之和最大.〖答案〗〖解析〗以所在的直线为轴，以线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，可得半圆的方程为，则点，可得直线的方程为，令，可得，直线的方程为，令，可得，所以的长度为，所以区域Ⅳ、Ⅵ的面积之和为，区域Ⅱ的面积为，所以，设，则，可得，当且仅当时，即时，等号成立，所以，休闲区域Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ的面积的最小值为.四、解答题15.在中，角所对的边分别是、、，且，.（1）求的值；（2）求的值.解：（1）由余弦定理以及可得，又，可得；再由并利用正弦定理可得，解得，易知，所以，即；所以，即（2）由（1）中以及可得，所以；可得.16.如图，在平面直角坐标系中，椭圆的下顶点为，点是椭圆上异于点的动点，直线分别与轴交于点，且点是线段的中点．当点运动到点处时，点的坐标为．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线交轴于点，当点均在轴右侧，且时，求直线的方程．解：（1）由，得直线的方程为．令，得点的坐标为．所以椭圆的方程为．将点的坐标代入，得，解得．所以椭圆的标准方程为．（2）设直线的斜率为，则直线的方程为．在中，令，得，而点是线段的中点，所以．所以直线的斜率．联立，消去，得，解得．用代，得．又，所以，得．故，又，解得．所以直线的方程为．17.已知函数有极值，与函数的极值点相同，其中是自然对数的底数.（1）直接写出当时，函数在处的切线方程；（2）通过计算用表示；（3）当时，若函数的最小值为，证明：.（1）解：当时，，，从而，，所以函数在处的切线方程为；（2）解：因为，令，得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，故是函数的极小值点；又因为，所以，整理得，又当时，，若要使得函数有极值，则还需，即，综上所述，，；（3）证明：因为，且由（2）可知，所以，令，则，令，得到，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，所以，从而令，得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，令，则，记，则，因为，所以，单调递增，所以，即.18.已知数列的前n项和为，对任意正整数n，总存在正数，使得恒成立；数列的前n项和为，且对任意正整数恒成立．（1）求常数的值；（2）证明数列为等差数列；（3）若，记，是否存在正整数k，使得对任意正整数恒成立，若存在，求正整数k的最小值；若不存在，请说明理由．（1）解：因为①，所以②，①－②得，即，又，所以，时，时，.因为为正数，解得.又因为，且，所以.（2）证明：因为③，当时，④，③－④得，即⑤，证法1又⑥，⑤-⑥得，即，所以为等差数列．证法2由，得，当时，，所以，所以，因为时，由得，所以，则，所以，对恒成立，所以为等差数列．（3）解：因为，又，由(2)知为等差数列，所以，又由（1）知，所以，又，所以，令得，所以，解得，所以时，，即，时，因为，所以，即.此时，即，所以的最大值为，若存在正整数k，使得对任意正整数n，恒成立，则的最大值，所以，所以正整数k的最小值为4.19.甲、乙、丙三人以正四棱锥和正三棱柱为研究对象，设棱长为，若甲从其中一个底面边长和高都为2的正四棱锥的5个顶点中随机选取3个点构成三角形，定义随机变量的值为其三角形的面积；若乙从正四棱锥（和甲研究的四棱锥一样）的8条棱中任取2条，定义随机变量的值为这两条棱的夹角大小（弧度制）；若丙从正三棱柱的9条棱中任取2条，定义随机变量的值为这两条棱的夹角大小（弧度制）.（1）比较三种随机变量的数学期望大小；（参考数据）（2）现单独研究棱长，记（且），其展开式中含项的系数为，含项的系数为.①若，对成立，求实数，，的值；②对①中的实数，,用数字归纳法证明：对任意且，都成立.（1）解：如图所示：由题意设为正四棱锥的高，为中点，由于正四棱锥的底面边长和高都是2，所以，所以，由对称性以及三线合一可知，若甲从其中一个底面边长和高都为2的正四棱锥的5个顶点中随机选取3个点构成三角形，则的所有可能取值为，且，所以，若乙从正四棱锥（和甲研究的四棱锥一样）的8条棱中任取2条，则的所有可能取值为，，代入参考数据，得，若丙从正三棱柱的9条棱中任取2条，则的所有可能取值为，，所以.（2）①解：因为中项的系数为，一般地，从中的第个因式中取一个，其余因式中取常数即可得到一个项，而这一项的系数为，，因为中项的系数为，一般地，从中的第个因式中各取一个，其余因式中取常数即可得到一个项，而这一项的系数为，从而，从而，，由题意得，解得；②证明：用数学归纳法证明：且时，.当时，，故结论对成立，假设结论对成立，即，则，所以结论对也成立，故，对任意成立.江苏省苏州市部分高中2024届高三下学期3月适应性考试数学试题一、选择题1.已知集合，，则的真子集个数为（）A.2 B.3 C.4 D.5〖答案〗B〖解析〗因为，，得到，所以的真子集个数为，故选：B.2.设复数（，为虚数单位），若为纯虚数，则复数虚部为（）A. B.1 C.2 D.〖答案〗A〖解析〗因为为纯虚数，所以，则，，则复数的虚部为，故选：A.3.若一组数据的平均数为，则该组数据的方差为（）A.1 B.2 C.0.4 D.10〖答案〗B〖解析〗由题有，得到，所以该组数据的方差为，故选：B.4.有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和不小于4的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗从袋中一次随机摸出2个球，共有6种基本事件，其中摸出的2个球的编号之和不小于4的事件为，四种基本事件数，因此概率为.故选：A.5.已知圆锥的高为6，体积为高的倍，用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的圆台高是3，则该圆台的体积为（）A. B. C.7 D.9〖答案〗C〖解析〗如下图所示：易知圆锥的高，圆台的高，设圆锥的底面圆半径为，则；所以，解得；可得圆台下底面圆面积为，上底面圆面积为，所以该圆台的体积为.故选：C.6.在平面直角坐标系中，若直线上存在一点，圆上存在一点，满足，则实数的最大值为（）A.0 B.3 C. D.〖答案〗A〖解析〗根据题意，设点，由可得，又点在圆上，可得，即；所以点既在直线上，又在以为圆心，半径为3的圆上，即直线和圆有公共点，所以圆心到直线距离，解得，所以实数的最大值为0.故选：A7.在平面直角坐标系中，设直线与双曲线的两条渐近线都相交且交点都在轴左侧，则双曲线的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为双曲线的两条渐近线方程为，又与双曲线的两条渐近线都相交且交点都在轴左侧，由图知，，即，所以离心率，又，所以，故选：B.8.已知，，则的最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，所以，所以，等号成立当且仅当，从而，令，设，显然，则，因为关于的一元二次方程有实数根，所以，整理得，即，解得，注意到，从而，等号成立当且仅当，即，所以经检验的最大值，即的最大值为.故选：D.二、选择题9.如图，在直三棱柱中，，点，分别是，的中点.则下列一定成立的是（）A B. C. D.〖答案〗ABD〖解析〗对于A，由三棱柱性质可得，又点，分别是，的中点，所以，即A正确；对于B，由A中的结论可得，且，所以，因此可得四边形是平行四边形，所以，即B正确；对于C，因为直三棱柱，所以平面，又平面，所以；又因为，点是的中点，所以；又平面，可得平面，又平面，所以，若，且，所以平面，又平面，可得，在四边形中，若，利用三角形相似可得，即，题目中没有对应的条件，所以C不一定成立；对于D，因为，点是的中点，所以；即D正确.故选：ABD10.如图，在中，三个内角、，成等差数列，且，.已知点（未画出），若函数的图像经过、、三点，且、为该函数图像与轴相邻的两个交点，则（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗对于选项A，因为角、、成等差数列，所以，在中，，，，记由余弦定理得到，即，得到，所以选项A错误，对于选项B，，所以选项B正确，由图知，，所以，即有，，所以选项C错误，又、为函数图像与轴相邻的两个交点，，所以，得到，又，得到，即，又，所以，又因为，所以，得到，所以，故选项D正确，故选：BD.11.已知，且，函数，其中为自然对数的底数，则（）A.若该函数为偶函数，则其最小值为B.函数的图像经过唯一的定点C.若关于方程有且只有一个解，则或D.令为上的连续函数，则当时至多存在一个零点〖答案〗BC〖解析〗A：若该函数为偶函数，此时由得，所以得，从而，，注意到，A错误；B：显然，若经过定点，那么对任意的b成立，从而与b无关，这意味着，故，B正确.C：显然，所以必有一解，若，则单调递增，从而一定是唯一解，若，则，等号成立当且仅，所以一定是唯一解，如果，则单调递增，且有唯一零点，由于，所以，而在递减，在递增，且，所以，若，则由，可知在上还有一根t，且，故，若，则由，可知在上还有一根t，且，故.无论怎样，都有一个不等于0的根t，从而解不唯一，综上，C正确；D：根据C选项的过程，如果且，那么一定有两个根和，D错误.故选：BC.三、填空题12.各项均为正数的等比数列中，若，则的最小值为________.〖答案〗〖解析〗因为数列是各项均为正数的等比数列，又，所以，得到，即，故〖答案〗为：.13.在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左焦点，直线与椭圆交于，两点，为椭圆上异于，的点.则椭圆的标准方程为________；若，以为直径的圆过点，则圆的标准方程为________.〖答案〗〖解析〗∵且，∴，.∴椭圆方程为.设，则，且.①∵以为直径的圆过点，∴，∴，又∵，∴.②由①②解得：，或（舍），∴.又∵圆的圆心为的中点，半径为，∴圆的标准方程为.故〖答案〗为：；.14.如图，某小区中央广场由两部分组成，一部分是边长为的正方形，另一部分是以为直径的半圆，其圆心为.规划修建的3条直道，，将广场分割为6个区域：Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ为绿化区域（图中阴影部分），Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ为休闲区域，其中点在半圆弧上，分别与，相交于点，.（道路宽度忽略不计）设，.当为________时，绿化区域面积之和最大.〖答案〗〖解析〗以所在的直线为轴，以线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，可得半圆的方程为，则点，可得直线的方程为，令，可得，直线的方程为，令，可得，所以的长度为，所以区域Ⅳ、Ⅵ的面积之和为，区域Ⅱ的面积为，所以，设，则，可得，当且仅当时，即时，等号成立，所以，休闲区域Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ的面积的最小值为.四、解答题15.在中，角所对的边分别是、、，且，.（1）求的值；（2）求的值.解：（1）由余弦定理以及可得，又，可得；再由并利用正弦定理可得，解得，易知，所以，即；所以，即（2）由（1）中以及可得，所以；可得.16.如图，在平面直角坐标系中，椭圆的下顶点为，点是椭圆上异于点的动点，直线分别与轴交于点，且点是线段的中点．当点运动到点处时，点的坐标为．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线交轴于点，当点均在轴右侧，且时，求直线的方程．解：（1）由，得直线的方程为．令，得点的坐标为．所以椭圆的方程为．将点的坐标代入，得，解得．所以椭圆的标准方程为．（2）设直线的斜率为，则直线的方程为．在中，令，得，而点是线段的中点，所以．所以直线的斜率．联立，消去，得，解得．用代，得．又，所以，得．故，又，解得．所以直线的方程为．17.已知函数有极值，与函数的极值点相同，其中是自然对数的底数.（1）直接写出当时，函数在处的切线方程；（2）通过计算用表示；（3）当时，若函数的最小值为，证明：.（1）解：当时，，，从而，，所以函数在处的切线方程为；（2）解：因为，令，得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，故是函数的极小值点；又因为，所以，整理得，又当时，，若要使得函数有极值，则还需，即，综上所述，，；（3）证明：因为，且由（2）可知，所以，令，则，令，得到，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，所以，从而令，得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，令，则，记，则，因为，所以，单调递增，所以，即.18.已知数列的前n项和为，对任意正整数n，总存在正数，使得恒成立；数列的前n项和为，且对任意正整数恒成立．（1）求常数的值；（2）证明数列为等差数列；（3）若，记，是否存在正整数k，使得对任意正整数恒成立，若存在，求正整数k的最小值；若不存在，请说明理由．（1）解：因为①，所以②，①－②得，即，又，所以，时，时，.因为为正数，解得.又因为，且，所以.（2）证明：因为③，当时