2022-2023学年江西省景德镇市高二下学期期末质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2江西省景德镇市2022-2023学年高二下学期期末质量检测数学试题第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知一列数如此排列：1，，4，，16，，则它的一个通项公式可能是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗令，，，，，选项D正确.故选：D2.已知函数，则其在处的切线方程为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，则，而，所以在处的切线方程为，即.故选：B3.数列的前项和，则取最大值时的值为（）A. B.2 C. D.4〖答案〗B〖解析〗对于函数对称轴为，开口向下，所以当时函数取得最大值，所以当时取得最大值.故选：B4.在可导函数，中，已知，，，，则在时导数值是（）A. B.4 C. D.2〖答案〗A〖解析〗令，则，则.故选：A5.放假期间，小明一家准备去淄博旅游，已知他家汽车行驶速度与每公里油费（元）的关系式为，当每公里油费最低时，（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，因为，所以，则，当且仅当，即时取等号，所以当每公里油费最低时，.故选：B.6.若函数在定义域内单调递减，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗函数定义域为，且，依题意恒成立，恒成立，即恒成立，又，所以，即实数的取值范围是.故选：A7.在和两个实数之间插入个实数，，，，使数列为等差数列，那么这个数列的公差为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依题意等差数列中共有项，设公差为，则，所以.故选：B8.已知为等比数列，函数，若与恰好为的两个极值点，那么的值为（）A.或 B. C.2 D.〖答案〗C〖解析〗设等比数列的公比为，由，得，令，则或；令，则，所以函数在和上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得极大值；当时，取得极小值.因为与恰好为的两个极值点，所以，且，又，且，所以.故选：C.二、选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.下列结论中正确的有（）A. B.C. D.〖答案〗CD〖解析〗对于A：，故A错误；对于B：，故B错误；对于C：，故C正确；对于D：，故D正确；故选：CD10.对于定义在上的可导函数，为其导函数，下列说法不正确的是（）A.若是的解，则其一定是函数的极值点B.在上单调递减是在上恒成立的充要条件C.若函数既有极小值又有极大值，则其极大值一定不会比它的极小值小D.若在上存在极值，则它在一定不单调〖答案〗ABC〖解析〗对于A选项，不妨取，则，当且仅当时，等号成立，但函数在上单调递增，无极值点，A错；对于B选项，取，则，当且仅当时，等号成立，但函数在上单调递减，所以，“在上单调递减”“在上恒成立”，另一方面，若上恒成立，则函数在上单调递减，所以，“在上单调递减”“在上恒成立”，所以，在上单调递减是在上恒成立的必要不充分条件，B错；对于C选项，若函数既有极小值又有极大值，则其极大值不一定不会比它的极小值小，如下图所示，函数的极大值小于它的极小值，C错；对于D选项，若在上存在极值，则它在一定不单调，D对.故选：ABC.11.数列满是，则（）A.数列的最大项为 B.数列的最大项为C.数列的最小项为 D.数列的最小项为〖答案〗BD〖解析〗因为，所以，由，得到，且易知，时，，当时，，所以所以数列的最大项为，最小项为，故选：BD.12.“内卷”是一个网络流行词，一般用于形容某个领域中发生了过度的竞争，导致人们进入了互相倾轧､内耗的状态，从而导致个体“收益努力比”下降的现象.数学中的螺旋线可以形象的展示“内卷”这个词，螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始，向外圈逐渐旋绕而形成的图案，如图（1）；它的画法是这样的：正方形ABCD的边长为4，取正方形ABCD各边的四等分E，F，G，H作第二个正方形，然后再取正方形EFGH各边的四等分点M，N，P，Q作第3个正方形，以此方法一直循环下去，就可得到阴影部分图案，设正方形ABCD边长为，后续各正方形边长依次为，，，；如图（2）阴影部分，设直角三角形AEH面积为，后续各直角三角形面积依次为，，，，下列说法正确的是（）A.数列与数列均是公比为的等比数列B.从正方形ABCD开始，连续4个正方形的面积之和为C.和满是等式D.设数列的前n项和为，则〖答案〗AC〖解析〗对于A选项，由题意知，且，所以，又因为，所以数列是以4为首项，为公比的等比数列，可得，，所以，由得数列与数列均是公比为的等比数列，故A正确；对于B选项，由上，，，，，所以，故B错误；对于C选项，，，所以，所以，故C正确；对于D选项，因为，且，所以，因为时，是单调递增函数，所以，而，故D错误.故选：AC．第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知是等差数列的前n项和，且，，则___________.〖答案〗2〖解析〗由题设，，两式相减可得，若等差数列的公差为，则，即，所以，则.故〖答案〗为：214.记等比数列的前n项和为，且，则___________.〖答案〗〖解析〗当时，；当时，，由数列是等比数列，则，则，解得.故〖答案〗为：.15.已知可导函数，定义域均为，对任意均满足，且，则___________.〖答案〗3〖解析〗由题意，则，解得，由，则，，可得.故〖答案〗为：.16.现有以下两个条件：⑴与有交点；⑵函数的导数为，且的值均在内.我们把在定义域内同时满足以上两个条件的函数构成的集合记作U，以下判断中正确的有___________.①若，则有且仅有一个解；②函数，那么，但；③设，在的定义域内任取，且满足，，则有.〖答案〗①③〖解析〗对于①，若，由条件⑴可知方程有解，设函数，则，由于，则，即函数为定义域上的减函数，所以函数有且仅有一个零点，即有且仅有一个解，故①正确；对于②，设函数则，显然，即函数在上为增函数，又，所以函数无零点，即函数与无交点，那么，所以②错误；对于③，依题意，，故③正确.故〖答案〗为：①③四、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17.已知等差数列的公差不为0，且，，，，成等比数列，（1）求数列的通项公式：（2）若数列满足，记为数列的前n项和，求.解：（1）由为等差数列，则，由等差数列，可设其公差为，则，即，又因为，且，所以；所以是以为首项，为公差的等差数列，可得.（2）由（1）可知，又，可得；所以，再通过裂项相消得到：，所以18.已知函数.（1）求的值；（2）求在点处的切线方程.解：（1）因为，所以，代入得：，所以.（2）由（1）可得，则所以，，所以切线方程为，即.19.设正项等比数列的前n项和为，且，（1）求数列的公比；（2）若，数列满足，求的前n项和.解：（1）设正项等比数列的公比为，由，得，即，化简得，又，故，解得或（舍去），所以.（2）由（1）可知是以为首项，为公比的等比数列，所以，那么.所以，则，两式相减得，即.20.某品牌汽车准备在一次车展过程中给顾客免费发放冰淇淋，现欲从家源头工厂批发进购冰淇淋.已知该工厂在这笔订单中的固定成本为2万元，生产的最大上限是8万个，另外，每生产1万个冰淇淋成本会增加0.5万元，每x万个冰淇淋的销售额满足关系式（单位：万元，其中a是常数）；若该工厂卖出2万个冰淇淋的利润是12万元.（1）设卖出x万个冰淇淋的利润为（单位：万元），求的〖解析〗式；（2）这笔订单的销售量为多少时这家工厂的利润最大？并求出利润的最大值.解：（1）卖出万个冰淇淋的利润（单位：万元）：，，即，，当时，，解得，故，；（2），当时，，当时，，∴函数在上单调递增，在上单调递减，∴时，利润最大为万元.21.已知函数，.（1）求的单调区间；（2）设函数，且，求的最小值.解：（1）因为，当时，有，此时单调递增；当时，有，此时单调递减所以，的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）由题意得，则.设，则.所以在上单调递减.所以在上，则，即在上单调递减，此时，最小值为.22已知数列满足，，且，.（1）证明：数列为等差数列；（2）记数列的前n项和为，求数列的通项公式，并求出使得不等式成立的n的最小值.解：（1）因为，所以，即；又因为，所以；所以，整理可得：，所以是等差数列；又因为，，所以，可得公差为1；所以是以为首项，为公差的等差数列.（2）由第（1）问可知，又因为；所以，.那么；；所以的最小值为.江西省景德镇市2022-2023学年高二下学期期末质量检测数学试题第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知一列数如此排列：1，，4，，16，，则它的一个通项公式可能是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗令，，，，，选项D正确.故选：D2.已知函数，则其在处的切线方程为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，则，而，所以在处的切线方程为，即.故选：B3.数列的前项和，则取最大值时的值为（）A. B.2 C. D.4〖答案〗B〖解析〗对于函数对称轴为，开口向下，所以当时函数取得最大值，所以当时取得最大值.故选：B4.在可导函数，中，已知，，，，则在时导数值是（）A. B.4 C. D.2〖答案〗A〖解析〗令，则，则.故选：A5.放假期间，小明一家准备去淄博旅游，已知他家汽车行驶速度与每公里油费（元）的关系式为，当每公里油费最低时，（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，因为，所以，则，当且仅当，即时取等号，所以当每公里油费最低时，.故选：B.6.若函数在定义域内单调递减，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗函数定义域为，且，依题意恒成立，恒成立，即恒成立，又，所以，即实数的取值范围是.故选：A7.在和两个实数之间插入个实数，，，，使数列为等差数列，那么这个数列的公差为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依题意等差数列中共有项，设公差为，则，所以.故选：B8.已知为等比数列，函数，若与恰好为的两个极值点，那么的值为（）A.或 B. C.2 D.〖答案〗C〖解析〗设等比数列的公比为，由，得，令，则或；令，则，所以函数在和上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得极大值；当时，取得极小值.因为与恰好为的两个极值点，所以，且，又，且，所以.故选：C.二、选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.下列结论中正确的有（）A. B.C. D.〖答案〗CD〖解析〗对于A：，故A错误；对于B：，故B错误；对于C：，故C正确；对于D：，故D正确；故选：CD10.对于定义在上的可导函数，为其导函数，下列说法不正确的是（）A.若是的解，则其一定是函数的极值点B.在上单调递减是在上恒成立的充要条件C.若函数既有极小值又有极大值，则其极大值一定不会比它的极小值小D.若在上存在极值，则它在一定不单调〖答案〗ABC〖解析〗对于A选项，不妨取，则，当且仅当时，等号成立，但函数在上单调递增，无极值点，A错；对于B选项，取，则，当且仅当时，等号成立，但函数在上单调递减，所以，“在上单调递减”“在上恒成立”，另一方面，若上恒成立，则函数在上单调递减，所以，“在上单调递减”“在上恒成立”，所以，在上单调递减是在上恒成立的必要不充分条件，B错；对于C选项，若函数既有极小值又有极大值，则其极大值不一定不会比它的极小值小，如下图所示，函数的极大值小于它的极小值，C错；对于D选项，若在上存在极值，则它在一定不单调，D对.故选：ABC.11.数列满是，则（）A.数列的最大项为 B.数列的最大项为C.数列的最小项为 D.数列的最小项为〖答案〗BD〖解析〗因为，所以，由，得到，且易知，时，，当时，，所以所以数列的最大项为，最小项为，故选：BD.12.“内卷”是一个网络流行词，一般用于形容某个领域中发生了过度的竞争，导致人们进入了互相倾轧､内耗的状态，从而导致个体“收益努力比”下降的现象.数学中的螺旋线可以形象的展示“内卷”这个词，螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始，向外圈逐渐旋绕而形成的图案，如图（1）；它的画法是这样的：正方形ABCD的边长为4，取正方形ABCD各边的四等分E，F，G，H作第二个正方形，然后再取正方形EFGH各边的四等分点M，N，P，Q作第3个正方形，以此方法一直循环下去，就可得到阴影部分图案，设正方形ABCD边长为，后续各正方形边长依次为，，，；如图（2）阴影部分，设直角三角形AEH面积为，后续各直角三角形面积依次为，，，，下列说法正确的是（）A.数列与数列均是公比为的等比数列B.从正方形ABCD开始，连续4个正方形的面积之和为C.和满是等式D.设数列的前n项和为，则〖答案〗AC〖解析〗对于A选项，由题意知，且，所以，又因为，所以数列是以4为首项，为公比的等比数列，可得，，所以，由得数列与数列均是公比为的等比数列，故A正确；对于B选项，由上，，，，，所以，故B错误；对于C选项，，，所以，所以，故C正确；对于D选项，因为，且，所以，因为时，是单调递增函数，所以，而，故D错误.故选：AC．第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知是等差数列的前n项和，且，，则___________.〖答案〗2〖解析〗由题设，，两式相减可得，若等差数列的公差为，则，即，所以，则.故〖答案〗为：214.记等比数列的前n项和为，且，则___________.〖答案〗〖解析〗当时，；当时，，由数列是等比数列，则，则，解得.故〖答案〗为：.15.已知可导函数，定义域均为，对任意均满足，且，则___________.〖答案〗3〖解析〗由题意，则，解得，由，则，，可得.故〖答案〗为：.16.现有以下两个条件：⑴与有交点；⑵函数的导数为，且的值均在内.我们把在定义域内同时满足以上两个条件的函数构成的集合记作U，以下判断中正确的有___________.①若，则有且仅有一个解；②函数，那么，但；③设，在的定义域内任取，且满足，，则有.〖答案〗①③〖解析〗对于①，若，由条件⑴可知方程有解，设函数，则，由于，则，即函数为定义域上的减函数，所以函数有且仅有一个零点，即有且仅有一个解，故①正确；对于②，设函数则，显然，即函数在上为增函数，又，所以函数无零点，即函数与无交点，那么，所以②错误；对于③，依题意，，故③正确.故〖答案〗为：①③四、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17.已知等差数列的公差不为0，且，，，，成等比数列，（1）求数列的通项公式：（2）若数列满足，记为数列的前n项和，求.解：（1）由为等差数列，则，由等差数列，可设其公差为，则，即，又因为，且，所以；所以是以为首项，为公差的等差数列，可得.（2）由（1）可知，又，可得；所以，再通过裂项相消得到：，所以18.已知函数.（1）求的值；（2）求在点处的切线方程.解：（1）因为，所以，代入得：，所以.（2）由（1）可得，则所以，，所以