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华中师范大学2007–2008学年第一学期期末考试试卷B得分评阅人一、选择题，请将正确答案的字母填在括号内：（每空5分共20分，）1的迹为（C）A;B;C;D.2．空间中曲面方程为则它是（B）A椭球面;B单叶双曲面;C双叶双曲面;D椭圆抛物面.3下面叙述错误的是（C）A.一个阶实对称阵为正定阵的充分必要条件是它的正惯性指数等于;B.一个阶实对称阵为正定阵的充分必要条件是它的所有特征根是正的;C．一个阶实对称阵为正定阵的充分必要条件是它的个顺序主子式;D.正定矩阵的合同矩阵也是正定的.4.设,下列是矩阵的特征向量的是:（A）A;B;C;D.得分评阅人二、填空题：（每空5分，共20分）1．已知,为一个次多项式,那么.2．设矩阵,则的伴随矩阵的三个特征为.3．空间上的仿射坐标变换公式为:.4.空间上的二次曲面方程为:,那么它的欧式不变量为:.得分评阅人三、计算题：（每题12分，共24分）用欧式坐标变化化平面二次曲线:为标准形.2.二次型,求:(i)写出二次型对应的实对称矩阵;(ii)求可逆矩阵,使得为实对称矩阵的标准形;(iii)求以上二次型的正、负惯性指数,并判定二次型的正、负定性.解：(i)(ii)下面用合同变换化该是对称矩阵为标准型如下：故.(iii)正惯性指数是1，负惯性指数是2，此二次型既非正定亦非负定.得分评阅人四、简答题与证明题：（每题8分，共24分）1．证明:没有重因式.证：所以因此没有重根.2．设,求极小多项式,并且证明可逆.解：3．设为阶正定矩阵,设是矩阵方程的唯一解.证明:(1)是对称矩阵;(2)是正定矩阵.得分评阅人五、证明题：（每题12分，共12分）设为阶实可逆矩阵,证明:(i)存在正交矩阵和上三角矩阵使得;(ii)存在一个三角矩阵使得.证：把的个列向量记作，则它们是线性无关向量组（是的基底）对他们做正交化：再做标准化：以为列向量做矩阵则是正交矩阵。由（1）式得出每个是的线性组合，逐步递推就知道每个是的线性组合，及存在实数

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