2022-2023学年河南省重点高中高一下学期阶段性测试（开学考）数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2河南省重点高中2022-2023学年高一下学期阶段性测试（开学考）数学试题一、单项选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，，则（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗，，所以，所以，所以.故选：B.2.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗D〖解析〗当时，不能推出，当时，不能推出，所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D.3.已知是第二象限角，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为是第二象限角，所以是第一象限角，又因为，所以.故选：B.4.若，则的最小值为（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗C〖解析〗由，所以，，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为3.故选：C.5.方程的解所在的区间为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由得，设，则在上单调递增，，所以的唯一零点在区间，即方程的解所在的区间为.故选：B.6.著名画家达·芬奇画完他的《抱银貂的女子》后，看着画中女人脖子上悬挂的黑色珍珠项链，开始思考这样一个问题：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的悬链线问题，最终的〖答案〗是这条曲线的方程是双曲余弦函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数表达式为.设函数，若实数满足不等式，则的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意，，增函数，由，则函数为奇函数，由，即，所以，解得，所以的取值范围为.故选：A.7.已知，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，，即，，所以.故选：A.8.已知函数（，）为奇函数，且在上单调递减，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为为奇函数，，所以，所以，令，，，则，因为在上单调递减，所以，解得.故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.9.已知函数，则（）A.的最小正周期为B.的图象关于直线对称C.的图象关于点对称D.在上单调递增〖答案〗BC〖解析〗由题意，所以的最小正周期，A错误；当时，所以的图象关于直线对称，B正确；当时，所以的图象关于点对称，C正确；当时，，所以在上不具有单调性，D错误.故选：BC.10.已知函数，则（）A.的定义域为 B.的图象关于轴对称C.的值域为 D.是减函数〖答案〗AC〖解析〗由，即，解得，所以函数的定义域为，故A正确；又，所以函数为奇函数，故B错误；又，因为函数在上为增函数，所以函数在上增函数，故D错误；又，所以，即，所以，即，所以，故函数值域为，故C正确.故选：AC.11.下列计算结果正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗，A正确；，B正确；，C错误；由，可得，D正确.故选：ABD.12.已知函数有两个零点，则（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗在坐标系作和的图象如图所示，则和图象的交点即为函数的零点，由图象可得，所以，A错误；，B正确；，C正确；因为，，且，所以，所以，D错误.故选：BC.三、填空题：本题共4小题.13.命题：“，”的否定为______________________________.〖答案〗，〖解析〗因为全称量词命题的否定为存在量词命题，所以命题：“，”的否定为，.故〖答案〗为：，.14.已知是定义在上的奇函数，当时，（为常数），则在上的最大值为______.〖答案〗〖解析〗依题意，是定义在上的奇函数，所以，即当时，，单调递增，所以在区间上的最小值为，所以在区间上的最大值为.故〖答案〗为：.15.已知为锐角，，，则__________〖答案〗〖解析〗，都是锐角，，又，，，，则．故〖答案〗为：.16.已知函数，若有三个零点，则______.〖答案〗〖解析〗依题意，的开口向下，对称轴为，，由解得，，由于有三个零点，所以，解得（负根舍去）.故〖答案〗为：.四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知函数的最小值为，方程有两个实根和6.（1）求函数的〖解析〗式；（2）求关于的不等式的解集.解：（1）因为方程有两个实根和，所以，方程有两个实根和，所以，①，②，因为函数的最小值为，所以③，所以，由①②得，代入③解得，所以，，，所以，.（2）因为，即为，所以，，即，所以，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为，综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.18.已知函数的定义域为，关于的不等式的解集为.（1）当时，求；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.解：（1）∵的定义域为，即解得，∴函数的定义域，∴；又∵当时，的解集为，∴.（2）∵是的充分不必要条件，∴，∴⫋，又∵的解集为，∴且等号不同时成立，解得，∴实数的取值范围.19.已知函数.（1）若当时，函数有意义，求实数的取值范围.（2）是否存在实数，使得函数在上为增函数，并且在此区间的最小值为？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由.解：（1）因为且，设，则为减函数，所以当时，，要使有意义，则时，恒成立，所以．所以，又且，所以且，所以的取值范围为.（2）由（1）知，且，为减函数，要使函数在上为增函数，根据复合函数的单调性可知，，则，解得，所以存在使得函数在上为增函数，并且在此区间的最小值为.20.已知函数.（1）求函数的单调递减区间；（2）若当时，关于不等式有解，求实数的取值范围.解：（1），由，解得，所以函数的单调递减区间为.（2）由（1）得，若，则，所以当时，取得最大值为，所以.21.已知函数.（1）求函数的值域.（2）求不等式的解集.（3）当为何值时，关于的方程在内的实根最多？最多有几个？（直接给出〖答案〗即可，无需说明理由）解：（1）因为，所以当时，，当时，，所以函数的值域为.（2）因为，所以，则，所以，得的解集为.（3）当时，方程在内的实根最多，最多有5个.22.已知函数.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）若存在正实数且，使得在区间上的值域为，求实数的取值范围.解：（1）函数为偶函数，理由如下：由题知函数的定义域为，因为，所以函数为偶函数.（2）因为，，所以，当时，，设，则，所以，所以，即，所以函数在上单调递增，因为在正实数且，使得在区间上的值域为，所以，即方程有两个不相等的正实数根，所以方程有两个不相等的正实数根，令，所以方程有两个均大于且不相等的正实数根，所以两个均大于且不相等的正实数根，令，所以两个均大于且不相等的零点，所以，即，解得，所以，实数的取值范围是.河南省重点高中2022-2023学年高一下学期阶段性测试（开学考）数学试题一、单项选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，，则（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗，，所以，所以，所以.故选：B.2.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗D〖解析〗当时，不能推出，当时，不能推出，所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D.3.已知是第二象限角，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为是第二象限角，所以是第一象限角，又因为，所以.故选：B.4.若，则的最小值为（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗C〖解析〗由，所以，，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为3.故选：C.5.方程的解所在的区间为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由得，设，则在上单调递增，，所以的唯一零点在区间，即方程的解所在的区间为.故选：B.6.著名画家达·芬奇画完他的《抱银貂的女子》后，看着画中女人脖子上悬挂的黑色珍珠项链，开始思考这样一个问题：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的悬链线问题，最终的〖答案〗是这条曲线的方程是双曲余弦函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数表达式为.设函数，若实数满足不等式，则的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意，，增函数，由，则函数为奇函数，由，即，所以，解得，所以的取值范围为.故选：A.7.已知，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，，即，，所以.故选：A.8.已知函数（，）为奇函数，且在上单调递减，则的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为为奇函数，，所以，所以，令，，，则，因为在上单调递减，所以，解得.故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.9.已知函数，则（）A.的最小正周期为B.的图象关于直线对称C.的图象关于点对称D.在上单调递增〖答案〗BC〖解析〗由题意，所以的最小正周期，A错误；当时，所以的图象关于直线对称，B正确；当时，所以的图象关于点对称，C正确；当时，，所以在上不具有单调性，D错误.故选：BC.10.已知函数，则（）A.的定义域为 B.的图象关于轴对称C.的值域为 D.是减函数〖答案〗AC〖解析〗由，即，解得，所以函数的定义域为，故A正确；又，所以函数为奇函数，故B错误；又，因为函数在上为增函数，所以函数在上增函数，故D错误；又，所以，即，所以，即，所以，故函数值域为，故C正确.故选：AC.11.下列计算结果正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗，A正确；，B正确；，C错误；由，可得，D正确.故选：ABD.12.已知函数有两个零点，则（）A. B.C. D.〖答案〗BC〖解析〗在坐标系作和的图象如图所示，则和图象的交点即为函数的零点，由图象可得，所以，A错误；，B正确；，C正确；因为，，且，所以，所以，D错误.故选：BC.三、填空题：本题共4小题.13.命题：“，”的否定为______________________________.〖答案〗，〖解析〗因为全称量词命题的否定为存在量词命题，所以命题：“，”的否定为，.故〖答案〗为：，.14.已知是定义在上的奇函数，当时，（为常数），则在上的最大值为______.〖答案〗〖解析〗依题意，是定义在上的奇函数，所以，即当时，，单调递增，所以在区间上的最小值为，所以在区间上的最大值为.故〖答案〗为：.15.已知为锐角，，，则__________〖答案〗〖解析〗，都是锐角，，又，，，，则．故〖答案〗为：.16.已知函数，若有三个零点，则______.〖答案〗〖解析〗依题意，的开口向下，对称轴为，，由解得，，由于有三个零点，所以，解得（负根舍去）.故〖答案〗为：.四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知函数的最小值为，方程有两个实根和6.（1）求函数的〖解析〗式；（2）求关于的不等式的解集.解：（1）因为方程有两个实根和，所以，方程有两个实根和，所以，①，②，因为函数的最小值为，所以③，所以，由①②得，代入③解得，所以，，，所以，.（2）因为，即为，所以，，即，所以，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为，综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.18.已知函数的定义域为，关于的不等式的解集为.（1）当时，求；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.解：（1）∵的定义域为，即解得，∴函数的定义域，∴；又∵当时，的解集为，∴.（2）∵是的充分不必要条件，∴，∴⫋，又∵的解集为，∴且等号不同时成立，解得，∴实数的取值范围.19.已知函数.（1）若当时，函数有意义，求实数的取值范围.（2）是否存在实数，使得函数在上为增函数，并且在此区间的最小值为？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由.解：（1）因为且，设，则为减函数，所以当时，，要使有意义，则时，恒成立，所以．所以，又且，所以且，所以的取值范围为.（2）由（1）知，且，为减函数，要使函数在上为增函数，根据复合函数的单调性可知，，则，解得，所以存在使得函数在上为增函数，并且在此区间的最小值为.20.已知函数.（1）求函数的单调递减区间；（2）若当时，关于不等式有解，求实数的取值范围.解：（1），由，解得，所以函数的单调递减区间为.（2）由（1）得，若，则，所以当时，取得最大值为，所以.21.已知函数.（1）求函数的值域.（2）求不等式的解集.（3）当为何值时，关于的方程在内的实根最多？最多有几个？（直接给出〖答案〗即可，无需说明理由）解：（1）因为，所以当时，，当时，，所以函数的值域为.（2）因为，所以，则，所以，得