2022-2023学年广西柳州市高中高一下学期4月联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2广西柳州市高中2022-2023学年高一下学期4月联考数学试题一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）1.已知集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗∵集合，.故选：C.2.已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗因为，所以在复平面内对应的点位于第一象限.故选：A.3.方程的解所在的一个区间是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗令，则单调递增，由，，∴方程的解所在一个区间是．故选：C．4.充满气的车轮内胎（忽略厚度）可由下面哪个图形绕着对称轴旋转而成（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗车内胎截面为圆形，故车轮内胎是由圆形绕车轮轴所在的直线旋转一周得到.故选：C.5.如图，在中，点是边的中点，，则用向量表示为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因为点是边的中点，所以，又，所以，因此.故选：A.6.设，，，则a，b，c的大小关系是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗，，，所以.故选：D.7.函数的图象大致为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由可排除C，D；当时，，排除A.故选：B.8.为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”.计费方法如表格所示：若某户居民本月交纳的水费为48元，则此户居民本月用水量是（）每户每月用水量水价不超过的部分3元超过但不超过的部分6元超过的部分9元A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗先计算本月用水量为，则需要缴纳水费36元，少于48元；如果本月用水量为，则前需要缴纳水费36元，超过但不超过的部分，需要缴纳水费36元，所以本月用水量为，需要缴纳水费72元，多于48元，则这该居民本月用水量超过但不超过，所以前需要缴纳水费36元，而超过但不超过的部分的水费为12元，因为其单价为6元，所以为，故本月用水量为.故选：B.二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）9.下列命题正确的是（）A若，则 B.若正数，满足，则C.， D.“”是“”的充分不必要条件〖答案〗ABCD〖解析〗对A，且，不等式两边同时乘以，即得，故A正确；对B，正数，满足，则，当且仅当时等号成立，故B正确；对C，若，则，故C正确；对D，，，故D正确.故选：ABCD.10.在平面直角坐标系中，已知点，，，则（）A.B.与的夹角为C.在方向上的投影向量的坐标为D.与垂直的单位向量的坐标为或〖答案〗BD〖解析〗因为点，，，所以，，所以，所以，故A选项错误；设与的夹角为，所以，所以与的夹角为，故B选项正确；设与同向的单位向量为，，所以在方向上的投影向量的坐标为：，故C选项错误；因为，设与垂直的单位向量为，则，解得或，所以与垂直的单位向量的坐标为或，故D选项正确.故选：BD11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.直线是函数图象的一条对称轴B.函数在区间上单调递减C.将函数图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象D.若对任意的恒成立，则〖答案〗ACD〖解析〗函数，对于A：f（）＝＝1，故A正确；对于B：由于，所以，故函数在该区间上有增有减，故B错误；对于C：将函数的图象上的所有点向左平移个单位，得到函数的图象，故C正确；对于D：函数，整理得，即求出函数的最小值即可，由于，所以，故当x＝0时取得最小值，故a＜﹣1，故D正确．故选：ACD．12.如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系为（，且）.下列说法正确的是（）A.浮萍每月的增长率为2B.第5个月时，浮萍面积就会超过C.浮萍每月增加的面积都相等D.若浮萍蔓延到，，所经过的时间分别是，，，则〖答案〗BD〖解析〗由图可得，函数过点，则，即，故，对于A：浮萍每月的增长率为，故A错误；对于B：第5个月时，即时，萍的面积，故B正确；对于C：第二个月比第一个月增加，第三个月比第二个月增加，即，故C错误；对于D：由题意可得，所以，则，故D正确.故选：BD三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分.）13.计算_____________．〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗为：.14.函数在区间上递减，则实数的取值范围是___________．〖答案〗〖解析〗因为函数在区间上递减，所以，解得.故〖答案〗为：.15.《九章算术·商功》中记载：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，不易之率也.”我们可以翻译为：取一长方体，分成两个一模一样的直三棱柱，称为堑堵，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得一个四棱锥和一个三棱锥，这个四棱锥称为阳马，这个三棱锥称为鳖臑.现已知某个阳马的体积是2，则原长方体的体积是______.〖答案〗6〖解析〗如图所示，原长方体，设矩形的面积为，，阳马的体积为2，即，所以，即原长方体的体积是6.故〖答案〗为：6.16.若平面向量，，两两的夹角相等，且，，则______.〖答案〗2或5〖解析〗由题意，平面向量，，两两的夹角相等，包括两种情况，可得两两夹角为或两两夹角为，当两两夹角为时，可得，则；当两两夹角为时，可得，则．故〖答案〗为：2或5.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出相应的演算步骤、证明过程及文字说明.17.设集合，，且，求实数的值.解：因为，所以，当时，，若，所以满足，若，所以满足；当时，或，若，所以满足，若，此时集合中元素不满足互异性，故舍去，综上可知，为或.18.已知，.（1）若，且、、三点共线，求的值.（2）当实数为何值时，与垂直？解：（1）由题意可得，，且、、三点共线，则可得，即，解得.（2）由题意可得，，因为与垂直，则可得，解得.19.已知为第一象限角，为第二象限角，且，.（1）求的值；（2）求的值.解：（1）因为为第一象限角，，则，所以，则.（2）由为第一象限角，，则，所以，由于为第二象限角，，则，所以，则.20.一艘海轮从出发，沿北偏东70°的方向航行后到达海岛，然后从出发，沿北偏东10°的方向航行到达海岛.（1）求的长;（2）如果下次航行直接从出发到达，应沿什么方向航行多少？解：（1）由题意知，在中，，，，根据余弦定理，得，所以nmile．（2）由正弦定理得，即，又，所以．所以应沿北偏东的方向航方向航行nmile即可到达C处.21.已知奇函数（）.（1）求实数的值；（2）判断并用定义证明函数的单调性；（3）若函数在区间（）上的取值范围为，求实数的取值范围.解：（1）因为是定义在上的奇函数，所以，即，所以，此时，所以.（2）函数是定义在上的增函数，因为，设，则，因为，所以，所以定义在上为增函数.（3）因为函数是定义在上为增函数，所以在区间（）的值为，又因为取值范围为，所以，整理得到令，则为方程的两个不相等的正根，则解得.22.某小区拟对一扇形区域进行改造，如图所示，平行四边形为休闲区域，阴影部分为绿化区，点在弧上，点，分别在，上，且米，，设.（1）请求出顾客的休息区域的面积关于的函数关系式，并求当为何值时，取得最大值，最大值为多少平方米？（2）设，求的取值范围.解：（1）由题意，，，，在中，，由正弦定理得，即，即，则顾客的休息区域面积，即，其中，而，因为，所以，则当，即时，顾客的休息区域面积取得最大值，且最大值为.（2）由（1），，所以，由题意，所以，所以，因为，所以，所以，所以.广西柳州市高中2022-2023学年高一下学期4月联考数学试题一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）1.已知集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗∵集合，.故选：C.2.已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗因为，所以在复平面内对应的点位于第一象限.故选：A.3.方程的解所在的一个区间是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗令，则单调递增，由，，∴方程的解所在一个区间是．故选：C．4.充满气的车轮内胎（忽略厚度）可由下面哪个图形绕着对称轴旋转而成（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗车内胎截面为圆形，故车轮内胎是由圆形绕车轮轴所在的直线旋转一周得到.故选：C.5.如图，在中，点是边的中点，，则用向量表示为（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因为点是边的中点，所以，又，所以，因此.故选：A.6.设，，，则a，b，c的大小关系是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗，，，所以.故选：D.7.函数的图象大致为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由可排除C，D；当时，，排除A.故选：B.8.为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”.计费方法如表格所示：若某户居民本月交纳的水费为48元，则此户居民本月用水量是（）每户每月用水量水价不超过的部分3元超过但不超过的部分6元超过的部分9元A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗先计算本月用水量为，则需要缴纳水费36元，少于48元；如果本月用水量为，则前需要缴纳水费36元，超过但不超过的部分，需要缴纳水费36元，所以本月用水量为，需要缴纳水费72元，多于48元，则这该居民本月用水量超过但不超过，所以前需要缴纳水费36元，而超过但不超过的部分的水费为12元，因为其单价为6元，所以为，故本月用水量为.故选：B.二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）9.下列命题正确的是（）A若，则 B.若正数，满足，则C.， D.“”是“”的充分不必要条件〖答案〗ABCD〖解析〗对A，且，不等式两边同时乘以，即得，故A正确；对B，正数，满足，则，当且仅当时等号成立，故B正确；对C，若，则，故C正确；对D，，，故D正确.故选：ABCD.10.在平面直角坐标系中，已知点，，，则（）A.B.与的夹角为C.在方向上的投影向量的坐标为D.与垂直的单位向量的坐标为或〖答案〗BD〖解析〗因为点，，，所以，，所以，所以，故A选项错误；设与的夹角为，所以，所以与的夹角为，故B选项正确；设与同向的单位向量为，，所以在方向上的投影向量的坐标为：，故C选项错误；因为，设与垂直的单位向量为，则，解得或，所以与垂直的单位向量的坐标为或，故D选项正确.故选：BD11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.直线是函数图象的一条对称轴B.函数在区间上单调递减C.将函数图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象D.若对任意的恒成立，则〖答案〗ACD〖解析〗函数，对于A：f（）＝＝1，故A正确；对于B：由于，所以，故函数在该区间上有增有减，故B错误；对于C：将函数的图象上的所有点向左平移个单位，得到函数的图象，故C正确；对于D：函数，整理得，即求出函数的最小值即可，由于，所以，故当x＝0时取得最小值，故a＜﹣1，故D正确．故选：ACD．12.如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系为（，且）.下列说法正确的是（）A.浮萍每月的增长率为2B.第5个月时，浮萍面积就会超过C.浮萍每月增加的面积都相等D.若浮萍蔓延到，，所经过的时间分别是，，，则〖答案〗BD〖解析〗由图可得，函数过点，则，即，故，对于A：浮萍每月的增长率为，故A错误；对于B：第5个月时，即时，萍的面积，故B正确；对于C：第二个月比第一个月增加，第三个月比第二个月增加，即，故C错误；对于D：由题意可得，所以，则，故D正确.故选：BD三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分.）13.计算_____________．〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗为：.14.函数在区间上递减，则实数的取值范围是___________．〖答案〗〖解析〗因为函数在区间上递减，所以，解得.故〖答案〗为：.15.《九章算术·商功》中记载：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，不易之率也.”我们可以翻译为：取一长方体，分成两个一模一样的直三棱柱，称为堑堵，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得一个四棱锥和一个三棱锥，这个四棱锥称为阳马，这个三棱锥称为鳖臑.现已知某个阳马的体积是2，则原长方体的体积是______.〖答案〗6〖解析〗如图所示，原长方体，设矩形的面积为，，阳马的体积为2，即，所以，即原长方体的体积是6.故〖答案〗为：6.16.若平面向量，，两两的夹角相等，且，，则______.〖答案〗2或5〖解析〗由题意，平面向量，，两两的夹角相等，包括两种情况，可得两两夹角为或两两夹角为，当两两夹角为时，可得，则；当两两夹角为时，可得，则．故〖答案〗为：2或5.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出相应的演算步骤、证明过程及文字说明.17.设集合，，且，求实数的值.解：因为，所以，当时，，若，所以满足，若，所以满足；当时，或，若，所以满足，若，此时集合中元素不满足互异性，故舍去，综上可知，为或.18.已知，.（1）若，且、、三点共线，求的值.（2）当实数为何值时，与垂直？解：（1）由题意可得，，且、、三点共线，则可得，即，解得.（2）由题意可得，，因为与垂直，则可得，解得.19.已知为第一象限角，为第二象限角，且，.（1）求的值；（2）求的值.解：（1）因为为