2023四川省广元市中考数学真题试卷和答案

2023年四川省广元市中考数学试卷一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一个符合题意.每小题3分，共30分）1.

12的相反数是（）A.2

B.2

C.

12

D.

122.下列计算正确的是()A.2ab2abC.3a2ba3a

B.a2a3a6D.(a2)(2a)4a23.某几何体是由四个大小相同的小立方块拼成，其俯视图如图所示，图中数字表示该位置上的小立方块个数，则这个几何体的左视图是（）A.

B.

C.

D.4.某中学开展“读书节活动”，该中学某语文老师随机抽样调查了本班10名学生平均每周的课外阅读时间，统计如表：每周课外阅读时间（小时）学生数（人）

22

43

64

81下列说法错误的是（）A.众数是1C.样本容量是10

B.平均数是4.8D.中位数是55.关于x的一元二次方程2x23xA.有两个不相等的实数根C.没有实数根

32

0根的情况，下列说法中正确的是（）B.有两个相等的实数根D.无法确定6.如图，AB是O的直径，点C，D在O上，连接CD，OD，AC，若BOD124，则ACD的度数是（）试卷

1A.56

B.33

C.28

D.23为D，E，若CDCE，则图中阴影部分面积为()A.

2516

B.

258

C.

256

D.

2548.向高为10的容器（形状如图）中注水，注满为止，则水深h与注水量v的函数关系的大致图象是（）A.

B.

C.D.9.近年来，我市大力发展交通，建成多条快速通道，小张开车从家到单位有两条路线可选择，路线a为全程10千米的普通道路，路线b包含快速通道，全程7千米，走路线b比路线a平均速度提高40%，时间试卷

27.如图，半径为5的扇形AOB中，AOB90，7.如图，半径为5的扇形AOB中，AOB90，C是AB上一点，CDOA，CEOB，垂足分别节省10分钟，求走路线a和路线b的平均速度分别是多少？设走路线a的平均速度为x千米/小时，依题意，可列方程为（）A.

10x

710

B.

10x

7140%x10C.140%x

7

10x

1060

D.140%

7

1010.已知抛物线yax2bxc（a，b，c是常数且a<0）过1,0和m,0两点，且3m4，下列四个结论：①abc0；②3ac0；③若抛物线过点1,4，则1aax1xm3有实数根，则其中正确的结论有（）

23

；④关于x的方程A.1个

B.2个

C.3个

D.4个二、填空题（把正确答案直接写在答题卡对应题目的横线上．每小题4分，共24分）11.若

1x3

有意义，则实数x的取值范围是______12.广元市聚焦“1345”发展战略和“十四五”规划，牢牢牵住重点项目建设“牛鼻子”，《2023年广元市重点项目名单》共编列项目300个，其中生态环保项目10个，计划总投资约45亿元，将45亿这个数据用科学记数法表示为____________．13.如图，a∥b，直线l与直线a，b分别交于B，A两点，分别以点A，B为圆心，大于

12

AB的长为半径画弧，两弧相交于点E，F，作直线EF，分别交直线a，b于点C，D，连接AC，若CDA34，则CAB的度数为_____．14.在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》（1261年）一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”，根据规律第八行从左到右第三个数为_____．试卷

3140%x60xx10140%x60xx1015.如图，在平面直角坐标系中，已知点A1,0，点B0,3，点C在x轴上，且点C在点A右方，连接1AB，BC，若tanABC，则点C的坐标为_____．316.如图，ACB45，半径为2的O与角的两边相切，点P是⊙O上任意一点，过点P向角的两边作垂线，垂足分别为E，F，设tPE2PF，则t的取值范围是_____．三、解答题（要求写出必要的解答步骤或证明过程，共96分）17.计算：

183

222023011．3xyx2y2

2x2

，其中x

31，y3．19.如图，将边长为4的等边三角形纸片沿边BC上的高AD剪成两个三角形，用这两个三角形拼成一个平行四边形．试卷

418.先化简，再求值：y2x2x2yxy18.先化简，再求值：y2x2x2yxy2（1）画出这个平行四边形（画出一种情况即可）；（2）根据（1）中所画平行四边形求出两条对角线长．20.为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某校开展以“文化、科技、体育、艺术、劳动”为主题的活动，其中体育活动有“一分钟跳绳”比赛项目，为了解学生“一分钟跳绳”的能力，体育老师随机抽取部分学生进行测试并将测试成绩作为样本，绘制出如图所示的频数分布直方图（从左到右依次为第一到第六小组，每小组含最小值，不含最大值）和扇形统计图，请根据统计图中提供的信息解答下列问题：（1）求第四小组的频数，并补全频数分布直方图；（2）若“一分钟跳绳”不低于160次的成绩为优秀，本校学生共有1260人，请估计该校学生“一分钟跳绳”成绩为优秀的人数；（3）若“一分钟跳绳”不低于180次的成绩为满分，经测试某班恰有3名男生1名女生成绩为满分，现要从这4人中随机抽取2人去参加学校组织的“一分钟跳绳”比赛，请用画树状图或列表的方法，求所选2人都是男生的概率．21.“一缕清风银叶转”，某市20台风机依次矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电能，造福千家万户．某中学初三数学兴趣小组，为测量风叶的长度进行了实地测量．如图，三片风叶两两所成的角为120，当其中一片风叶OB与塔干OD叠合时，在与塔底D水平距离为60米的E处，测得塔顶部O的仰角OED45，风叶OA的视角OEA30．（1）已知α，β两角和的余弦公式为：coscoscossinsin，请利用公式计算cos75；试卷

5（2）求风叶OA的长度．22.某移动公司推出A，B两种电话计费方式．计费方式AB

月使用费/元78108

主叫限定时间/min200500

主叫超时费/（元/min）0.250.19

被叫免费免费（1）设一个月内用移动电话主叫时间为tmin，根据上表，分别写出在不同时间范围内，方式A，方式B的计费金额关于t的函数解析式；（2）若你预计每月主叫时间为350min，你将选择A，B哪种计费方式，并说明理由；（3）请你根据月主叫时间t的不同范围，直接写出最省钱的计费方式．23.如图，已知一次函数ykx6的图象与反比例函数y

mm0的图象交于A3，，B两点，与xx轴交于点C，将直线AB沿y轴向上平移3个单位长度后与反比例函数图象交于点D，E．（1）求k，m的值及C点坐标；（2）连接AD，CD，求ACD的面积．24.如图，AB为O的直径，C为O上一点，连接AC，BC，过点C作O的切线交AB延长线于点D，OFBC于点E，交CD于点F．（1）求证：BCDBOE；（2）若sinCAB

35

，AB10，求BD的长．25.如图1，已知线段AB，AC，线段AC绕点A在直线AB上方旋转，连接BC，以BC为边在BC上试卷

644方作RtBDC，且DBC30．（1）若BDC=90，以AB为边在AB上方作Rt△BAE，且AEB90，EBA30，连接DE，用等式表示线段AC与DE的数量关系是

；（2）如图2，在(1)的条件下，若DEAB，AB4，AC2，求BC的长；（3）如图3，若BCD90，AB4，AC2，当AD的值最大时，求此时tanCBA的值．26.如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数yax2bx4的图象与x轴交于点A2,0，B4,0，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）已知E为抛物线上一点，F为抛物线对称轴l上一点，以B，E，F为顶点的三角形是等腰直角三角形，且BFE90，求出点F的坐标；（3）如图2，P为第一象限内抛物线上一点，连接AP交y轴于点M，连接BP并延长交y轴于点N，在点P运动过程中，OM试卷

12

ON是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

72023年四川省广元市中考数学试卷一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一个符合题意.每小题3分，共30分）1.

12的相反数是（）A.2

B.2

C.

12

D.

12【答案】D【解析】【分析】根据相反数的性质，互为相反数的两个数的和为0即可求解．【详解】解：因为-1+1＝0，22所以-1的相反数是1．22故选：D．【点睛】本题考查求一个数的相反数，掌握相反数的性质是解题关键．2.下列计算正确的是()A.2ab2abC.3a2ba3a

B.a2a3a6D.(a2)(2a)4a2【答案】D【解析】【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，平方差公式进行计算即可求解．【详解】A.2ab2ab，故该选项不正确，不符合题意；B.a2a3a5，故该选项不正确，不符合题意；C.3a2ba3ab，故该选项不正确，不符合题意；D.(a2)(2a)4a2，故该选项正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，平方差公式，熟练掌握以上知识是解题的关键．3.某几何体是由四个大小相同的小立方块拼成，其俯视图如图所示，图中数字表示该位置上的小立方块个数，则这个几何体的左视图是（）试卷

8A.

B.

C.

D.【答案】D【解析】【分析】先细心观察原立体图形中正方体的位置关系，从左面看去，一共两排，左边底部有1个小正方形，右边有2个小正方形．结合四个选项选出答案．【详解】解：从左面看去，一共两排，左边底部有1个小正方形，右边有2个小正方形．故选：D．【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，解题的关键是具有几何体的三视图及空间想象能力．4.某中学开展“读书节活动”，该中学某语文老师随机抽样调查了本班10名学生平均每周的课外阅读时间，统计如表：每周课外阅读时间（小时）学生数（人）

22

43

64

81下列说法错误的是（）A.众数是1C.样本容量是10

B.平均数是4.8D.中位数是5【答案】A【解析】【分析】根据众数、平均数、样本的容量、中位数的定义，逐项分析判断即可求解．【详解】解：A.6出现的次数最多，则众数是6，故该选项不正确，符合题意；B.平均数是

2243648110

4.8，故该选项正确，不符合题意；C.样本容量是234110，故该选项正确，不符合题意；D.中位数是第5个和第6个数的平均数即

462

=5，故该选项正确，不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了众数、平均数、样本的容量、中位数，熟练掌握众数、平均数、样本的容量、中位数的定义是解题的关键．试卷

95.关于x的一元二次方程2x23xA.有两个不相等的实数根C.没有实数根

32

0根的情况，下列说法中正确的是（）B.有两个相等的实数根D.无法确定【答案】C【解析】【分析】直接利用一元二次方程根的判别式即可得．【详解】解：2x23x

32

0，其中a2，b3，c

32

，∴

Δ3242

32

30，∴方程没有实数根．故选：C．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程ax2bxc0a0，若b24ac0，则方程有两个不相等的实数根，若b24ac0，则方程有两个相等的实数根，若b24ac<0，则方程没有实数根．6.如图，AB是O的直径，点C，D在O上，连接CD，OD，AC，若BOD124，则ACD的度数是（）A.56

B.33

C.28

D.23【答案】C【解析】【分析】根据圆周角定理计算即可．【详解】解：∵BOD124，∴ÐAOD=180°-124°=56°，∴ACD

12

AOD28，故选：C．【点睛】此题考查圆周角定理，熟知同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键．试卷

10为D，E，若CDCE，则图中阴影部分面积为()A.

2516

B.

258

C.

256

D.

254【答案】B【解析】【分析】连接OC，证明四边形CDOE是正方形，进而得出SCDESOCE，COE45，然后根据扇形面积公式即可求解．【详解】解：如图所示，连接OC，∵CDOA，CEOB，AOB90，∴四边形CDOE是矩形，∵CDCE，∴四边形CDOE是正方形，∴SCDESOCE，COE45，∴图中阴影部分面积S

扇形BOC

45360

π52

258

π，故选：B．【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，求扇形面积，证明四边形CDOE是正方形是解题的关键．8.向高为10的容器（形状如图）中注水，注满为止，则水深h与注水量v的函数关系的大致图象是（）试卷

117.如图，半径为5的扇形AOB中，AOB7.如图，半径为5的扇形AOB中，AOB90，C是AB上一点，CDOA，CEOB，垂足分别A.

B.

C.D.【答案】D【解析】【分析】从水瓶的构造形状上看，从底部到顶部的变化关系为：开始宽，逐渐细小，再变宽，再从函数的图象上看，选出答案．【详解】解：从水瓶的构造形状上看，从底部到顶部的变化关系为：开始宽，逐渐细小，再变宽．则注入的水量v随水深h的变化关系为：先慢再快，最后又变慢，那么从函数的图象上看，C对应的图象变化为先快再慢，最后又变快，不符合；A、B对应的图象中间没有变化，只有D符合条件．故选：D．【点睛】本题主要考查函数的定义及函数的图象的关系，抓住变量之间的变化关系是解题的关键．9.近年来，我市大力发展交通，建成多条快速通道，小张开车从家到单位有两条路线可选择，路线a为全程10千米的普通道路，路线b包含快速通道，全程7千米，走路线b比路线a平均速度提高40%，时间节省10分钟，求走路线a和路线b的平均速度分别是多少？设走路线a的平均速度为x千米/小时，依题意，可列方程为（）A.

10x

710

B.

10x

7140%x10试卷

12140%x60140%x60C.140%x

7

10x

1060

D.140%

7

10【答案】A【解析】【分析】若设路线a时的平均速度为x千米/小时，则走路线b时的平均速度为140%x千米/小时，根据路线b的全程比路线a少用10分钟可列出方程．【详解】解：由题意可得走路线b时的平均速度为140%x千米/小时，∴

10x

710

故选：A．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．10.已知抛物线yax2bxc（a，b，c是常数且a<0）过1,0和m,0两点，且3m4，下列四个结论：

23ax1xm3有实数根，则其中正确的结论有（）A.1个

B.2个

C.3个

D.4个【答案】B【解析】【分析】由抛物线过1,0和m,0两点得到对称轴为直线x

b2a

m12

，且3m4，a<0所以得到1

b2a

32

，进而判断abc的符号，得到abc<0，3ac0；抛物线过点1,0和1,4，代入可得

abc0和abc4，解得b2，又由1

b2a

32

，得

21a；对称轴为直线3x

m12

，a<0，开口向下，所以

2

2ax1xm3是否有实数根．【详解】解：已知抛物线

过1,0和m,0两点，则对称轴为直线xm1m1，22∵3m4，所以1

m12

32

，即1

b2a

32

，a<0，则b0，试卷

13xx10140%x60，①abc0；②3ac0；③若抛xx10140%x60，①abc0；②3ac0；③若抛物线过点1,4，则1a；④关于x的方程y有最大值为am1，且3m4，无法判断关于x的方程当x=1时，ya12b1cabc0，则c0，所以abc<0，故结论①错误；因为

b2a

1，所以2ab，3aca2acabc，即3ac0，故结论②正确；抛物线过1,0和1,4两点，代入可得abc0和abc4，两式相减解得b2，由1

b2a

32

可得

1

22a

32

，解得1a

23

，故结论③正确；对称轴为直线

x

m12

，a<0，开口向下，

1m22

1m2ama

1m22

1m2a

，22m122∴关于x的方程ax1xm3有实数根无法确定，故结论④错误．故选：B【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，根据题意，断c与0的关系，再借助点的坐标得出结论．二、填空题（把正确答案直接写在答题卡对应题目的横线上．每小题4分，共24分）11.若

1x3

有意义，则实数x的取值范围是______【答案】x3【解析】【分析】根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件计算即可．【详解】∵

1x3

有意义，∴x3≥0，且x30，解得x＞3，故答案为：x＞3．【点睛】本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是解题的关键．12.广元市聚焦“1345”发展战略和“十四五”规划，牢牢牵住重点项目建设“牛鼻子”，《2023年广元市试卷

14∵yax1xmax21∵yax1xmax21mxmax2ax2m1∴所以y有最大值为a，∵a3不一定成立，a判b，重点项目名单》共编列项目300个，其中生态环保项目10个，计划总投资约45亿元，将45亿这个数据用科学记数法表示为____________．【答案】4.5109【解析】【分析】根据科学记数法的表示方法求解即可．【详解】解：将45亿这个数据用科学记数法表示为4.5109．故答案为：4.5109．【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法，解题的关键是熟练掌握科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1a<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．13.如图，a∥b，直线l与直线a，b分别交于B，A两点，分别以点A，B为圆心，大于

12

AB的长为半径画弧，两弧相交于点E，F，作直线EF，分别交直线a，b于点C，D，连接AC，若CDA34，则CAB的度数为_____．【答案】56##56度【解析】【分析】先判断EF为线段AB的垂直平分线，即可得CABCBA，ACDBCD，再由a∥b，可得CDABCD34，即有ACDBCD34，利用三角形内角和定理可求CAB的度数．【详解】解：由作图可知EF为线段AB的垂直平分线，∴ACBC，∴CABCBA，ACDBCD，∵a∥b，∴CDABCD34，∴ACDBCD34，试卷

15∵ACDBCDCABCBA180，∴CAB56，故答案为：56．【点睛】本题考查了垂直平分线的作图、垂直平分线的性质、平行线的性质以及三角形内角和定理等知识，判断EF为线段AB的垂直平分线是解答本题的关键．14.在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》（1261年）一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”，根据规律第八行从左到右第三个数为_____．【答案】21【解析】【分析】根据前六行的规律写出第7，8行的规律进而即可求解．【详解】解：根据规律可得第七行的规律为1,6,1520,15,6,1第八行的规律为1,7,21,35,35,21,7,1∴根据规律第八行从左到右第三个数为21，故答案为：21．【点睛】本题考查了数字类规律，找到规律是解题的关键．15.如图，在平面直角坐标系中，已知点A1,0，点B0,3，点C在x轴上，且点C在点A右方，连接1AB，BC，若tanABC，则点C的坐标为_____．3【答案】【解析】试卷

94

16，0，，0，【分析】根据已知条件得出ABOABC，根据等面积法得出

ACOA

CBOB

，设Cm,0，则ACm1，进而即可求解．【详解】解：∵点A1,0，点B0,3，∴OA1,OB3，1tanOBA，3∵

1tanABC，3∴ABOABC，过点A作ADBC于点D，∵AOBO,ADBC，AB是OBC的角平分线，∴AOAD1∵

SS

ABOABC

1212

OAOBACOB

1212

OBOABCAD∴

ACOA

CBOB设Cm,0，则ACm1，BC

32m2∴

m11

32m23解得：m9∴C4

94

或m0（舍去）故答案为：

94【点睛】本题考查了正切的定义，角平分线的性质，勾股定理，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．试卷

170，0，．0，0，．16.如图，ACB45，半径为2的O与角的两边相切，点P是⊙O上任意一点，过点P向角的两边作垂线，垂足分别为E，F，设tPE2PF，则t的取值范围是_____．【答案】22t224【解析】【分析】利用切线的性质以及等腰直角三角形的性质求得CDDH222，再求得tPEPQEQ，分两种情况讨论，画出图形，利用等腰直角三角形的性质即可求解．【详解】解：设O与ACB两边的切点分别为D、G，连接OG、OD，延长DO交CB于点H，由OGCODCOGH90，∵ACB45，∴OHC45，∴OH

2OG22，∴CDDH222，如图，延长EP交CB于点Q，试卷

18同理PQ

2PF，∵tPE2PF，∴tPEPQEQ，当EQ与O相切时，EQ有最大或最小值，连接OP，∵D、E都是切点，∴ODEDEPOPE90，∴四边形ODEP是矩形，∵ODOP，∴四边形ODEP是正方形，∴t的最大值为EQCECDDE224；如图，同理，t的最小值为EQCECDDE22；综上，t的取值范围是22t224．故答案为：22t224．【点睛】本题考查了切线的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，求得tEQ是解题的关键．试卷

19三、解答题（要求写出必要的解答步骤或证明过程，共96分）17.计算：

183

222023011．【答案】4【解析】【分析】先化简二次根式，绝对值，计算零次幂，再合并即可.【详解】解：

183

222023011

323

2211222114.【点睛】本题考查的是二次根式的加减运算，化简绝对值，零次幂的含义，掌握运算法则是解本题的关键.【答案】

xy2

；

332

3xy

2x2

，其中x

31，y3．【解析】【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解．3xy【详解】解：

2x2

3xy2xxyxyx2y22

xyxyxy

xyxy2=

xy2

，当x

31，y3时，原式

312

3

33．2试卷

2018.先化简，再求值：x2y2y2x2x2yxy2x2y2y2x2x218.先化简，再求值：x2y2y2x2x2yxy2x2y2y2x2x2yxy2【点睛】本题考查了分式化简求值，二次根式的混合运算，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解．19.如图，将边长为4的等边三角形纸片沿边BC上的高AD剪成两个三角形，用这两个三角形拼成一个平行四边形．（1）画出这个平行四边形（画出一种情况即可）；（2）根据（1）中所画平行四边形求出两条对角线长．【答案】（1）见解析

（2）4或23，27或2，217【解析】【分析】（1）根据题意画出拼接图形即可；（2）利用等边三角形的性质求得BD、CD、AD，分情况分别利用平行四边形和矩形的性质和勾股定理求解即可．【小问1详解】解：如图①或②或③，，【小问2详解】解：∵等边ABC边ABACBC4，∴BDDC2，∴AD

422223，如图①所示：可得四边形ACBD是矩形，则其对角线长为ABCD4；如图②所示：AD23，连接BC，过点C作CEBD于点E，则可得四边形ACED是矩形，∴ECAD23，BE2BD4，则BC试卷

2

2

27；

21234234如图③所示：BD2，连接AC，过点A作AEBC交CB延长线于点E，可得四边形AEBD是矩形，由题意可得：AEBD2，EC2BC8，故AC

2282217．【点睛】本题考查图形的剪拼，涉及等边三角形的性质、平行四边形的性质、矩形的性质、勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质和矩形性质，作辅助线构造直角三角形求解是解答的关键．20.为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某校开展以“文化、科技、体育、艺术、劳动”为主题的活动，其中体育活动有“一分钟跳绳”比赛项目，为了解学生“一分钟跳绳”的能力，体育老师随机抽取部分学生进行测试并将测试成绩作为样本，绘制出如图所示的频数分布直方图（从左到右依次为第一到第六小组，每小组含最小值，不含最大值）和扇形统计图，请根据统计图中提供的信息解答下列问题：（1）求第四小组的频数，并补全频数分布直方图；（2）若“一分钟跳绳”不低于160次的成绩为优秀，本校学生共有1260人，请估计该校学生“一分钟跳绳”成绩为优秀的人数；（3）若“一分钟跳绳”不低于180次的成绩为满分，经测试某班恰有3名男生1名女生成绩为满分，现要从这4人中随机抽取2人去参加学校组织的“一分钟跳绳”比赛，请用画树状图或列表的方法，求所选2人都是男生的概率．【答案】（1）第四小组的频数为10，补全图形见解析（2）该校学生“一分钟跳绳”成绩为优秀的人数为294人（3）所选2人都是男生的概率为1．2【解析】【分析】（1）首先利用第二小组的人数及所占比例求得总人数，然后求得第四组的人数，即可作出统计图；（2）利用总人数1260乘以优秀成绩所占的比例即可求解；（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出符合条件的结果数，然后根据概率公式计算即可．试卷

22【小问1详解】解：样本容量是1220%60（人），第四组的人数是：606121810410（人），补全统计图如图：；【小问2详解】解：该校学生“一分钟跳绳”成绩为优秀的人数为1260

10460

294（人）；【小问3详解】解：画树状图：共有12种等可能的结果数，其中抽到的2人都是男生的结果数为6，所以抽到的2人都是男生的概率为

612

12

．【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．还考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．21.“一缕清风银叶转”，某市20台风机依次矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电能，造福千家万户．某中学初三数学兴趣小组，为测量风叶的长度进行了实地测量．如图，三片风叶两两所成的角为120，当其中一片风叶OB与塔干OD叠合时，在与塔底D水平距离为60米的E处，测得塔顶部O的仰角OED45，风叶OA的视角OEA30．试卷

23（1）已知α，β两角和的余弦公式为：coscoscossinsin，请利用公式计算cos75；（2）求风叶OA的长度．【答案】（1）

624（2）风叶OA的长度为60360米【解析】【分析】（1）根据题中公式计算即可；（2）过点A作AFDE，连接AC，OGAC，先根据题意求出OE，再根据等腰对等边证明OEAE，结合第一问的结论用三角函数即可求EF，再证明四边形DFAG是矩形，即可求出．【小问1详解】解：由题意可得：cos75cos4530，∴cos4530cos45cos30sin45sin30

22

32

2122

624

；【小问2详解】解：过点A作AFDE，连接AC，OGAC，如图所示，由题意得：DE60米，OED45，∴

OE

DEcos45

602

602

米，DOE45，2∵三片风叶两两所成的角为120，试卷

24∴DOA120，∴AOE1204575，又∵OEA30，∴OAE180753075，∴OAEAOE，∴OEAE602米，∵OEA30，OED45，∴AED75，由（1）得：cos75

624

，∴EFAEcos7530330米，∴DFDEEF603033090303米，∵AFDE，OGAC，ODDE，∴四边形DFAG是矩形，∴AGDF90303米，∵三片风叶两两所成的角为120，且三片风叶长度相等，∴OAG30，∴

OA

AGcos30

903033

60360

米，2∴风叶OA的长度为60360米．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，正确理解题意和作出辅助线是关键．22.某移动公司推出A，B两种电话计费方式．计费方式AB

月使用费/元78108

主叫限定时间/min200500

主叫超时费/（元/min）0.250.19

被叫免费免费（1）设一个月内用移动电话主叫时间为tmin，根据上表，分别写出在不同时间范围内，方式A，方式B的计费金额关于t的函数解析式；试卷

25（2）若你预计每月主叫时间为350min，你将选择A，B哪种计费方式，并说明理由；（3）请你根据月主叫时间t的不同范围，直接写出最省钱的计费方式．【答案】（1）见解析；（2）选方式B计费，理由见解析；（3）见解析．【解析】【分析】（1）根据题意，设两种计费金额分别为y1、y2，分别计算t≤200,200＜t≤500,t＞500,三个不同范围内的A、B两种方式的计费金额即可；（2）令t350，根据（1）中范围求出对应两种计费金额，选择费用低的方案即可；（3）令y1108，求出此时t的值t0，当主叫时间t＜t0时，方式A省钱；当主叫时间tt0时，方式A和B一样；当主叫时间t＞t0时，方式B省钱；【小问1详解】解：根据题意，设两种计费金额分别为y1、y2当t200时，方式A的计费金额为78元，方式B的计费金额为108元；200＜t≤500,方式A的计费金额y78(t200)0.250.25t28，方式B的计费金额为108元；1当t＞500时，方式A的计费金额为y10.25t28，方式B的计费金额为y108(t500)0.190.19t132总结如下表：主叫时间t/分钟t200200＜t≤500t＞500

方式A计费(y1)780.25t280.25t28

方式B计费(y)21081080.19t13【小问2详解】解：当t350时，y10.2535028115.5y1082y＞y，故选方式B计费．12【小问3详解】试卷

26解：令y1≤108，有0.25t28≤108解得t≤320∴当t＜320时，方式A更省钱；当t=320时，方式A和B金额一样；当t＞320时，方式B更省钱．【点睛】本题考查了一次函数在电话计费中的应用，根据题意分段讨论是求解的关键．23.如图，已知一次函数ykx6的图象与反比例函数y

mm0的图象交于A3，，B两点，与xx轴交于点C，将直线AB沿y轴向上平移3个单位长度后与反比例函数图象交于点D，E．（1）求k，m的值及C点坐标；（2）连接AD，CD，求ACD的面积．【答案】（1）k9（2）SACD【解析】

23

；m12；C9,0【分析】1）把点A3，代入ykx6和y

mm0求出k、m的值即可；把y0代入AB的解析式，x求出点C的坐标即可；（2）延长DA交x轴于点F，先求出AB平移后的关系式，再求出点D的坐标，然后求出AD解析式，得出点F的坐标，根据S

ACD

S

CDF

S

CAF

求出结果即可．【小问1详解】解：把点A3，代入ykx6和y

mm0得：x3k64，4

m3

，解得：

2k，m12，3∴AB的解析式为y

23

x6，反比例函数解析式为y

12x

，试卷

2744（444（4把y0代入y

23

x6得：02x6，3解得：x9，∴点C的坐标为9,0；【小问2详解】解：延长DA交x轴于点F，如图所示：将直线AB沿y轴向上平移3个单位长度后解析式为：22yx63x9，33联立x

2yx9312

，1

3x12解得：2，2y1

，∴点

32设直线AD的解析式为

11

3

4323k1b14

，解得：

83，b112试卷

28yx12y8D,8，ykxyx12y8D,8，ykxb，把D,8，A3，代入得：2k1b18k1∴直线AD的解析式为

8yx12，3把y0代入y

83

8x12得0x12，3解得：x

92

，9∴点F的坐标为

∴CF9

92

92

，∴S

ACD

S

CDF

S

CAF

12

982

12

9429．【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，求一次函数解析式，反比例函数解析式，解题的关键是数形结合，熟练掌握待定系数法，能求出一次函数和反比例函数的交点坐标．24.如图，AB为O的直径，C为O上一点，连接AC，BC，过点C作O的切线交AB延长线于点D，OFBC于点E，交CD于点F．（1）求证：BCDBOE；（2）若sinCAB

35

，AB10，求BD的长．【答案】（1）见解析

（2）

BD的长为

907

．【解析】【分析】（1）连接OC，利用圆周角定理及半径相等求得OACOCB90，根据切线的性质求得BCDOCBOCD90，推出BCDOAC，再证明OE∥AC，据此即可证明结论成立；（2）先求得BC6，AC8，设BDx，证明△BCD∽CAD，利用相似三角形的性质得到910x16x，解之即可．试卷

292,0，2,0，【小问1详解】证明：连接OC，∵AB为O的直径，∴ACOOCBACB90，∵OCOA，∴OCAOAC，∴OACOCB90，∵CD是O的切线，∴BCDOCBOCD90，∴BCDOAC，∵OFBC，∴OFBACB90，∴OE∥AC，∴BOEOAC，∴BCDBOE；【小问2详解】解：∵AB为O的直径，∴ACB90，∵sinCAB

35

，AB10，∴

sinCAB

BCAB

35

，∴BC6，AC102628，设BDx，则AD10x，由（1）得BCDCAD，又DD，∴△BCD∽CAD，试卷

30∴

BCAC

CDAD

BDCD

，即

68

CD10x

xCD

，整理得910x16x，解得x

907

，∴BD的长为

907

．【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，正弦函数的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．25.如图1，已知线段AB，AC，线段AC绕点A在直线AB上方旋转，连接BC，以BC为边在BC上方作RtBDC，且DBC30．（1）若BDC=90，以AB为边在AB上方作Rt△BAE，且AEB90，EBA30，连接DE，用等式表示线段AC与DE的数量关系是

；（2）如图2，在(1)的条件下，若DEAB，AB4，AC2，求BC的长；（3）如图3，若BCD90，AB4，AC2，当AD的值最大时，求此时tanCBA的值．【答案】（1）AC（2）BC273（3）5

23

3DE【解析】【分析】（1）在RtBDC中，DBC30，Rt△BAE，且AEB90，EBA30，可得△ABE∽△CBD，根据相似三角形的性质得出

ABBC

BEBD

，DBECBA，进而证明△ABC∽EBD，根据相似三角形的性质即可求解；（2）延长DE交AB于点F，如图所示，在RtAEF中，求得EF,AF，进而求得BF的长，根据（1）的结论，得出DE

3，在RtBFD中，勾股定理求得BD，进而根据△ABC∽EBD，即可求解．（3）如图所示，以AB为边在AB上方作Rt△BAE，且EAB90，EBA30，连接BE，试卷

31EA，ED,EC，同（1）可得BDE∽BCA，进而得出D在以E为圆心，

433

为半径的圆上运动，当点A,E,D三点共线时，AD的值最大，进而求得cosBDA

277

，sinBDA

217

，根据△ABC∽EBD得出BDEBCA，过点A作AFBC，于点F，分别求得AF,CF,然后求得BF，最后根据正切的定义即可求解．【小问1详解】解：在RtBDC中，DBC30，Rt△BAE，且AEB90，EBA30，∴△ABE∽△CBD，DBEEBCABCEBC，BEABcosABE

32

AB∴

ABBC

BEBD

，DBECBA，∴△ABC∽EBDAC∴DE

ABBE

AB3AB2

233∴AC

23

3DE，故答案为：AC

23

3DE．【小问2详解】∵Rt△BAE，且AEB90，EBA30，AB4∴AEABsinEBA

12

AB2，∠BAE60，延长DE交AB于点F，如图所示，∵DEAB，∴BFDDFA90，∴在RtAEF中，EFAEsinBAE

32

23，AF

12

AE1，∴BFABAF413，试卷

32由（1）可得AC

23

3DE，∴DE

32

AC3，∴DFDEEF23，在RtBFD中，BD∵△ABC∽EBD，

2

21，∴

BCBD

ACDE

233

，∴BC

233

2127，∴BC27；【小问3详解】解：如图所示，以AB为边在AB上方作Rt△BAE，且EAB90，EBA30，连接BE，EA，ED,EC，同（1）可得BDE∽BCA则

DEAC

BDBC

233

，∵AC2，则DE

433

，在RtAEB中，AB4，AEABtanEBA443∴D在以E为圆心，-27为半径的圆上运动，3

33

433

，试卷

33BF2DF23223BF2DF23223∴当点A,E,D三点共线时，AD的值最大，此时如图所示，则ADAEDE

833

，在RtABD中，BD

832AB2AD242

4213∴cosBDA

ADBD

8334213

27sinBDA,7

ABBD

44213

217，∵△ABC∽EBD，∴BDEBCA，过点A作AF

BC，于点F，∴CFACcosACB2

277

477

，

AFACsinACB

2217

，∵DBC30，∴BC

32

BD

342123

27，∴BFBCCF27

477

1077

，221RtAFB中，tanCBA

AFFB

7107

35

．7【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，正切的定义，求圆外一点到圆的距离的最值问题，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键