19.5一次函数的实际应用问题（解析版）

八年级下册数学《第十九章一次函数》19.5一次函数的实际应用问题知识点一知识点一一次函数的实际应用◆1、利用一次函数解决实际问题，关键是分析题中的数量关系，联系实际生活及以前学过的内容，将实际问题抽象、升华为一次函数模型，即建模，再利用函数的性质解决问题.◆2、在研究有关一次函数的实际问题时的解题步骤：审题：认真读题，分析题中各个量之间的关系；设自变量：根据各个量之间的关系设满足题意的自变量；列函数解析式：根据各个量之间的关系列出函数解析式；解决问：利用函数解析式或图象的性质解决问题；得出结果.知识点二知识点二分段函数◆1、分段函数：在函数自变量不同的取值范围内所对应的函数关系也不同，我们这样的函数称为分段函数.◆2、学习一次函数中的分段函数，通常应注意以下几点：（1）在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围。（2）分段函数的图象是由几条线段（或射线）组成的折线.（3）分析分段函数的图象要结合实际问题背景对图象的意义进行认识和理解,尤其要理解折线中横、纵坐标表示的实际意义.题型一利用一次函数解决销售问题题型一利用一次函数解决销售问题【例题1】（2022秋•阿城区期末）乐乐超市购进一批拼装玩具，进价为每个15元，在销售过程中发现，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系，若该玩具某天的销售单价是20元时，则当日的销售利润为（）A．200元 B．300元 C．350元 D．500元【分析】根据函数图象中的数据，可以求得日销售量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式，然后将x＝20代入求出相应的y的值，从而可以计算出该玩具某天的销售单价是20元时，当日的销售利润．【解答】解：设日销售量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式为y＝kx+b，∵点（25，50），（35，30）在该函数图象上，∴25k+b=5035k+b=30解得k=-2b=100即日销售量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式为y＝﹣2x+100，当x＝20时，y＝﹣2×20+100＝60，则该玩具某天的销售单价是20元时，当日的销售利润为：（20﹣15）×60＝300（元），故选：B．【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式．解题技巧提炼本题考查了销售问题的数量关系的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，一次函数与一元一次方程的运用，解答时求出函数的解析式是关键．【变式1-1】（2022秋•郫都区期末）某一蔬菜经营商从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共50千克到菜市场去卖，黄瓜和茄子当天的批发价与零售价如表所示：品名黄瓜茄子批发价（元/千克）4.84零售价（元/千克）7.25.6（1）若批发黄瓜和茄子共花220元，则黄瓜和茄子各多少千克？（2）设批发了黄瓜x千克，卖完这批黄瓜和茄子的利润是W元，求W与x的函数关系式．【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以列出相应的方程，然后求解即可；（2）根据题意和表格中的数据，可以写出W与x的函数关系式．【解答】解：（1）设批发黄瓜a千克，则批发茄子（50﹣a）千克，由题意可得：4.8a+4（50﹣a）＝220，解得a＝25，∴50﹣a＝25，答：批发黄瓜25千克，批发茄子25千克；（2）由题意可得，W＝（7.2﹣4.8）x+（5.6﹣4）×（50﹣x）＝0.8x+80，即W与x的函数关系式是W＝0.8x+80．【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，写出相应的函数解析式．【变式1-2】（2022秋•秦都区期末）为创建“绿色校园”，绿化校园环境，某校计划分两次购进A、B两种花草，第一次分别购进A、B两种花草30棵和15棵，共花费675元，单价不变，第二次分别购进A、B两种花草12棵和5棵，共花费265元．求：（1）A、B两种花草每棵的价格分别是多少元？（2）若计划再购买A、B两种花草共30棵，设购买A种花草m棵，购买花草的总费用为W元，求出W关于m的函数表达式，并计算当m＝9时，购买花草的总费用为多少元？【分析】（1）设A种花草每棵的价格x元，B种花草每棵的价格y元，根据题意可列出相应的二元一次方程组，解方程组即可得到答案；（2）购买A种花草的数量为m株，则购买B种花草的数量为（30﹣m）株，根据题意列出W关于m的函数表达式，当m＝9时，求出W的值即可．【解答】解：（1）设A种花草每棵的价格x元，B种花草每棵的价格y元，根据题意得，30x+15y=67512x+5y=265解得x=20y=5答：A种花草每棵的价格是20元，B种花草每棵的价格是5元；（2）∵购买A种花草的数量为m株，则购买B种花草的数量为（30﹣m）株，根据题意得：W＝20m+5（30﹣m）＝15m+150，当m＝9时，W＝15×9+150＝285（元），∴当m＝9时，购买化草的总费用为285元．【点评】本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出二元一次方程组和求出一次函数的表达式．【变式1-3】（2022秋•海曙区期末）随着春节临近，某儿童游乐场推出了甲、乙两种消费卡，其中，甲为按照次数收费，乙为收取办卡费用以后每次打折收费．设消费次数为x时，所需费用为y元，且y与x的函数关系如图所示．根据图中信息，解答下列问题．（1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式；（2）求出入园多少次时，两者花费一样？费用是多少？（3）洋洋爸准备了240元，请问选择哪种划算？【分析】（1）运用待定系数法，即可求出y与x之间的函数表达式；（2）根据（1）的结论联立方程组解答即可；（3）分别令（1）中的y＝240，求出对应的x的值，再比较即可．【解答】解：（1）设y甲＝k1x，根据题意得4k1＝80，解得k1＝20，∴y甲＝20x；设y乙＝k2x+80，根据题意得：12k2+80＝200，解得k2＝10，∴y乙＝10x+80；（2）解方程组y=20x解得：x=8y=160∴出入园8次时，两者花费一样，费用是160元；（3）当y＝240时，y甲＝20x＝240，∴x＝12；当y＝240时，y乙＝10x+80＝240，解得x＝16；∵12＜16，∴选择乙种更合算．【点评】本题主要考查了一次函数的应用、学会利用方程组求两个函数图象的解得坐标，正确由图象得出正确信息是解题关键．【变式1-4】（2022秋•市南区期末）某水果店购进甲、乙两种苹果的进价分别为8元/kg、12元/kg，这两种苹果的销售额y（元）与销售量x（kg）之间的关系如图所示．（1）求出甲种苹果销售额y甲与销售量x之间的函数关系式；（2）求点B的坐标，并写出点B表示的实际意义；（3）若不计损耗等因素，当甲、乙两种苹果的销售量均为akg（a＞30）时，它们的利润和为1695元，求a的值．【分析】（1）根据图象可知：甲种苹果销售额y甲与销售量x符合正比例函数，然后根据图象中的数据，即可计算出甲种苹果销售额y甲与销售量x之间的函数关系式；（2）求出AB段对应的函数解析式，然后与（1）中的函数关系式联立方程组，然后即可得到点B的坐标，再写出点B表示的实际意义即可；（3）根据利润＝（售价﹣进价）×销售量，然后列出相应的方程，求解即可．【解答】解：（1）设甲种苹果销售额y甲与销售量x之间的函数关系式是y甲＝kx，∵点（120，2400）在该函数图象上，∴2400＝120k，解得k＝20，即甲种苹果销售额y甲与销售量x之间的函数关系式是y甲＝20x；（2）当30≤x≤120时，设乙对应的函数解析式为y＝mx+n，∵点（30，750），（120，2100）在该函数图象上，∴30m+n=750120m+n=2100解得m=15n=300即当30≤x≤120时，乙对应的函数解析式为y＝15x+300，由y=20xy=15x+300可得x=60即点B的坐标为（60，1200），点B表示的实际意义是当销售量为60kg时，甲和乙的销售额相同，都是1200元；（3）由图象可得，甲种苹果的销售单价为：2400÷120＝20（元），当x＞30时，乙种苹果的销售单价为：（2100﹣750）÷（120﹣30）＝15（元），由题意可得：（20﹣8）a+（15﹣12）a＝1695，解得a＝113，即a的值为113．【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式1-5】（2021春•侯马市期中）某工厂，甲负责加工A型零件，乙负责加工B型零件，已知甲加工120个A型零件所用时间和乙加工160个B型零件所用时间相同，每天甲、乙两人共加工两种零件70个，设甲每天加工x个A型零件．（1）求甲、乙每天各加工多少个零件；（2）根据市场预测估计，加工A型零件所获得的利润为a元/件（5≤a≤8），加工B型零件所获得的利润每件比A型少2元．求每天甲、乙加工两种零件所获得的总利润y（元）与a（元/件）的函数关系式，并求总利润y的最大值和最小值．【分析】（1）根据题意得：120x（2）由题意得y＝70a﹣80，再根据一次函数性质即可得答案．【解答】解：（1）设甲每天加工x个A型零件，则乙每天加工（70﹣x）个B型零件，根据题意得：120x解得x＝30，经检验，x＝30是原方程的解，且符合题意，∴70﹣x＝70﹣30＝40（个），答：甲每天加工30个A型零件，乙每天加工40个B型零件；（2）根据题意得：y＝30a+40（a﹣2）＝70a﹣80，∵y是a的一次函数，k＝70＞0，∴y随a的增大而增大，又5≤a≤8，∴当a＝8时，y最大值＝480，当a＝5时，y最小值＝270．答：总利润y（元）与a（元/件）的函数关系式为y＝70a﹣80，总利润y的最大值是480元，最小值是270元．【点评】本题考查分式方程及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数关系式．题型二利用一次函数解决有关行程问题题型二利用一次函数解决有关行程问题【例题2】（2022秋•宁波期末）小锐一家去离家200千米的某地自驾游，如图是他们离家的距离y（千米）与汽车行驶时间x（小时）之间的函数图象．（1）求他们出发半小时时，离家多少千米？（2）出发1小时后，在服务区等候另一家人一同前往，然后，以每小时80千米的速度直达目的地，求等候的时间及线段BC的解析式．【分析】（1）根据函数图像可得，出发半小时时所在的函数图像为正比例函数，因此通过待定系数法把点A代入正比例函数的一般式y＝kx，求出解析式后把x＝0.5代入求值即可．（2）BC所在的图像为一次函数，因此需要先求出B点的坐标，再通过待定系数法把B，C的坐标值代入y＝kx+b，解方程组即可求解．【解答】解：（1）设线段OA的函数表达式为y＝kx，当x＝1时，y＝60．所以k＝60，即y＝60x（0≤x≤1）．当x＝0.5时，y＝60×0.5＝30（千米）即他们出发半小时时，离家30千米．（2）∵（100﹣60）÷80＝0.5（小时）∴在服务区等了半个小时．设线段BC的函数表达式为y＝k1x+b，∴B（1.5，60），（2，100）在BC上，代入得1.5k解得k1∴y＝80x﹣60（1.5≤x≤3.25）．【点评】本题主要考查了一次函数的图像应用和一次函数解析式的确定，解题的关键是通过观察图像整理出解题时所需的相关信息，通过待定系数法求解析式是解题的关键．解题技巧提炼本题考查了行程问题的数量关系的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，一次函数与一元一次方程的运用，解答时求出函数的解析式是关键．【变式2-1】（2022秋•宁阳县期末）甲、乙两人参加从A地到B地的长跑比赛，两人在比赛时所跑的路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，请你根据图象，回答下列问题：（1）（填“甲”或“乙”）先到达终点；甲的速度是米/分钟；（2）求：甲与乙相遇时，他们离A地多少米？【分析】（1）依据函数图象可得到两人跑完全程所用的时间，从而可知道谁先到达终点，依据速度＝路程÷时间可求得甲的速度；（2）先求得甲的路程与时间的函数关系式，然后求得10＜x＜16时，乙的路程与时间的函数关系式，最后，再求得两个函数图象交点坐标即可．【解答】解：（1）由函数图象可知甲跑完全程需要20分钟，乙跑完全程需要16分钟，所以乙先到达终点；甲的速度=500020=250故答案为：乙；250．（2）设甲跑的路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数关系式为y＝kx，根据图象，可得y=500020x＝250设甲乙相遇后（即10＜x＜16），乙跑的路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数关系式为：y＝kx+b．根据图象，可得10k+b=200016k+b=5000解得所以，y＝500x﹣3000．由y=500x-3000y=250x，解得x=12答：甲与乙相遇时，他们离A地3000米．【点评】本题主要考查的是一次函数的应用，求得甲、乙两人路程与时间的函数关系式是解题的关键．【变式2-2】（2023•宁波模拟）小李、小王分别从甲地出发，骑自行车沿同一条路到乙地参加公益活动．如图，折线OAB和线段CD分别表示小李、小王离甲地的距离y（单位：千米）与时间x（单位：小时）之间的函数关系．根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）求小王的骑车速度，点C的横坐标；（2）求线段AB对应的函数表达式；（3）当小王到达乙地时，小李距乙地还有多远？【分析】（1）根据函数图象中的数据先求出小王的骑车速度，再求出点C的坐标；（2）用待定系数法可以求得线段AB对应的函数表达式；（3）将x＝2代入（2）中的函数解析式求出相应的y的值，再用27减去此时的y值即可求得当小王到达乙地时，小李距乙地的距离．【解答】解：（1）由图可得，小王的骑车速度是：（27﹣9）÷（2﹣1）＝18（千米/小时），点C的横坐标为：1﹣9÷18＝0.5；（2）设线段AB对应的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），∵A（0.5，9），B（2.5，27），∴0.5k+b=92.5k+b=27解得：k=9b=4.5∴线段AB对应的函数表达式为y＝9x+4.5（0.5≤x≤2.5）；（3）当x＝2时，y＝18+4.5＝22.5，∴此时小李距离乙地的距离为：27﹣22.5＝4.5（千米），答：当小王到达乙地时，小李距乙地还有4.5千米．【点评】本题考查了从函数图象获取信息，以及一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．【变式2-3】（2023•碑林区校级三模）小林同学从家出发，步行到离家a米的公园散步，速度为50米/分钟；6分钟后哥哥也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园，哥哥到达公园后立即以原速返回家中，两人离家的距离y（米）与小林出发的时间x（分钟）的函数关系如图所示．（1）a＝；（2）求CD所在直线的函数表达式；（3）小林出发多长时间与哥哥第二次相遇？【分析】（1）根据图象中的数据和小林的速度，可以求得小林家与公园之间的路程；（2）根据图象可知：点（9，600），（12，0）在哥哥返回家的过程中y与x之间的函数图象上，然后即可求得该函数的解析式；（3）可以分别计算出两次时间，然后作差即可得到小林与哥哥先后两次相遇的时间间隔．【解答】解：（1）由图象可得，小林家与公园之间的路程为：12×50＝600（米），故答案为：600；（2）设哥哥返回家的过程中y与x之间的函数关系式是y＝kx+b，∵点（9，600），（12，0）在该函数图象上，∴9k+b=60012k+b=0解得k=-200b=2400即哥哥返回家的过程中y与x之间的函数关系式是y＝﹣200x+2400（9≤x≤12）；（3）哥哥的速度为：600÷（9﹣6）＝200（米/分钟），设小林出发a分钟时，两人相遇，第一次相遇时，200（a﹣6）＝50a，解得a＝8；第二次相遇时，200（a﹣9）+50a＝600，解得a＝9.6；即小林出发9.6分钟与哥哥第二次相遇．【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式2-4】（2022秋•招远市期末）小明和小亮分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行，小明开始时跑步，中途改为步行，到达图书馆恰好用了45分钟．小亮骑自行车以300米/分的速度从图书馆直接回家，两人离家的路程y（米）与各自离开出发地的时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象信息解答下列问题：（1）小明跑步速度为米/分，步行的速度米/分；（2）图中点D的坐标为；（3）求小亮离家的路程y（米）与x（分）的函数关系式；（4）两人出发多长时间相遇？（5）请求出两人出发多长时间相距2500米．【分析】（1）根据图象中的数据，可以计算出小明跑步的速度和步行的速度；（2）根据图象中的数据，可以先计算出点D的横坐标，然后即可写出点D的坐标；（3）根据图象中的数据，可以计算出小亮离家的路程y（米）与x（分）的函数关系式；（4）根据题意，可以列出相应的方程，然后求解，即可得到两人出发多长时间相遇；（5）根据题意，可知存在两种情况，相遇前和相遇后，然后分别求解即可．【解答】解：（1）由图象可得，小明跑步的速度为：3000÷15＝200（米/分），步行的速度为：（6000﹣3000）÷（45﹣15）＝100（米/分），故答案为：200，100；（2）点D的横坐标为：6000÷300＝20，∴点D的坐标为（20，0），故答案为：（20，0）；（3）设小亮离家的路程y（米）与x（分）的函数关系式为y＝kx+b，∵点（0，6000），（20，0）在该函数图象上，∴6000=b0=20k+b解得b=6000k=-300即小亮离家的路程y关于x的函数表达式是y＝﹣300x+6000（0≤x≤20）；（4）由图象得：6000÷（200+300）＝12（分钟），答：两人出发12分钟相遇；（5）设经过x分钟后，两人相距2500米，相遇前，（300+200）x＝6000﹣2500，解得：x＝7，相遇后，3000+100（x﹣15）﹣（6000﹣300x）＝2500，解得：x=35答：经过7分钟或352分钟后，两人相距2500【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式2-5】（2022秋•兰考县期末）快、慢两车分别从相距180千米的甲、乙两地同时出发，沿同一路线匀速行驶，相向而行，快车到达乙地停留一段时间后，按原路原速返回甲地．慢车到达甲地比快车到达甲地早12小时，慢车速度是快车速度的一半，快、慢两车到达甲地后停止行驶，两车距各自出发地的路程y（千米）与所用时间x（1）请直接写出快、慢两车的速度；（2）求快车返回过程中y（千米）与x（小时）的函数关系式；（3）两车出发后经过多长时间相距90千米的路程？【分析】（1）根据路程与相应的时间，求得慢车的速度，再根据慢车速度是快车速度的一半，求得快车速度；（2）先求得点C的坐标，再根据点D的坐标，运用待定系数法求得CD的解析式；（3）分三种情况：在两车相遇之前；在两车相遇之后；在快车返回之后，分别求得时间即可．【解答】解：（1）慢车的速度＝180÷（72-12）＝快车的速度＝60×2＝120千米/时；（2）快车停留的时间：72-18012+180120=2（小时），即C设CD的解析式为：y＝kx+b，则将C（2，180），D（72，0180=2k+b0=解得k=-120b=420∴快车返回过程中y（千米）与x（小时）的函数关系式为y＝﹣120x+420（2≤x≤7（3）相遇之前：120x+60x+90＝180，解得x=1相遇之后：120x+60x﹣90＝180，解得x=3快车从甲地到乙地需要180÷120=3快车返回之后：60x＝90+120（x-1解得x=52，综上所述，两车出发后经过12或32或【点评】本题主要考查了一次函数的应用，解决问题的关键是掌握待定系数法求一次函数解析式．求一次函数y＝kx+b，需要两组x，y的值或图象上两个点的坐标．在解题时注意分类思想的运用．题型三利用一次函数解决工程问题题型三利用一次函数解决工程问题【例题3】为让更多的学生学会游泳，少年宫新建一个游泳池，其容积为480m3，该游泳池有甲、乙两个进水口，注水时每个进水口各自的注水速度保持不变．同时打开甲、乙两个进水口注水，游泳池的蓄水量y（m3）与注水时间t（h）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）根据图象求游泳池的蓄水量y（m3）与注水时间t（h）之间的函数关系式，并写出同时打开甲、乙两个进水口的注水速度；（2）现将游泳池的水全部排空，对池内消毒后再重新注水．已知单独打开甲进水口注满游泳池所用时间是单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的43【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以求得游泳池的蓄水量y（m3）与注水时间t（h）之间的函数关系式，并计算出同时打开甲、乙两个进水口的注水速度；（2）根据题意和（1）中的结果，可以得到甲进水管的进水速度，从而可以求得单独打开甲进水口注满游泳池需多少小时．【解答】解：（1）设y与t的函数解析式为y＝kt+b，b=1002k+b=380解得，k=140b=100即y与t的函数关系式是y＝140t+100，同时打开甲、乙两个进水口的注水速度是：（380﹣100）÷2＝140（m3/h）；（2）∵单独打开甲进水口注满游泳池所用时间是单独打开乙进水口注满游泳池所用时间的43∴甲进水口进水的速度是乙进水口进水速度的34∵同时打开甲、乙两个进水口的注水速度是140m3/h，∴甲进水口的进水速度为：140÷（34+1）×34=60（480÷60＝8（h），即单独打开甲进水口注满游泳池需8h．【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．解题技巧提炼本题考查了工程问题的数量关系的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，一次函数与一元一次方程的运用，解答时求出函数的解析式是关键．【变式3-1】（2023•龙川县校级开学）一个蓄水池的剩水量Q和水泵抽水时间t的关系图象如图．（1）水泵抽水前，该蓄水池内有多少水？抽完这些水需要多长时间？（2）水泵抽水8h后，蓄水池的剩水量是多少？（3）当蓄水池的剩水量是100m3时，求水泵的抽水时间．【分析】（1）根据图象中数据，可以写出水泵抽水前，该蓄水池内有多少水，抽完这些水需要多长时间；（2）根据图象中数据，可以写出水泵抽水8h后，蓄水池的剩水量；（3）根据图象中的数据，先计算出抽水速度，然后即可计算出当蓄水池的剩水量是100m3时，水泵的抽水时间．【解答】解：（1）由图象可得，水泵抽水前，该蓄水池内有600m3的水；抽完这些水需要12h；（2）由图象可得，水泵抽水8h后，蓄水池的剩水量是200m3；（3）由图象可得，抽水的速度为：（600﹣200）÷8＝50（m3/h），当蓄水池的剩水量是100m3时，水泵的抽水时间为：（600﹣100）÷50＝10（h），即当蓄水池的剩水量是100m3时，水泵的抽水时间为10h．【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式3-2】（2022•吉林三模）工厂中甲，乙两组工人同时加工某种零件，乙组在工作中有一段时间停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原来的2.5倍．两组各自加工零件的数量y（件）与时间x（时）之间的函数图象如图所示．（1）甲组的工作效率是件/时；（2）求出图中a的值及乙组更换设备后加工零件的数量y与时间x之间的函数解析式．（3）当x为何值时，两组一共生产570件．【分析】（1）利用图象中的数据即可求解；（2）利用乙的原来加工速度得出更换设备后，乙组的工作速度即可计算出a的值并列出乙组更换设备后加工零件的数量y与时间x之间的函数解析式；（3）由题意得出甲组加工零件的数量y与时间x之间的函数关系式，根据两组一共生产570件列方程，求出x的值，即可得出答案．【解答】解：（1）∵甲组加工零件的数量y（件）与时间x（时）之间的函数图象经过点（6，420），∴420÷6＝70（件/时），故答案为：70；（2）乙3小时加工120件，∴乙的加工速度是：每小时40件，∵乙组更换设备后，乙组的工作效率是原来的2.5倍．∴更换设备后，乙组的工作速度是：每小时加工40×2.5＝100（件），a＝120+100×（6﹣4）＝320；乙组更换设备后加工零件的数量y与时间x之间的函数解析式为：y＝120+100（x﹣4）＝100x﹣280；（3）乙组更换设备后加工的零件的个数y与时间x的函数关系式为：y＝100x﹣280，∵甲组的工作效率是70件/时，∴甲组加工零件的数量y与时间x之间的函数关系式为y＝70x，由题意得：70x+100x﹣280＝570，解得x＝5，答：当x＝5时，两组一共生产570件．【点评】此题主要考查了一次函数的应用，根据题意得出函数关系式以及数形结合是解决问题的关键．【变式3-3】某工厂甲、乙两车间接到加工一批零件的任务，从开始加工到完成这项任务共用了9天，乙车间在加工2天后停止加工，引入新设备后继续加工，直到与甲车间同时完成这项任务为止，设甲、乙车间各自加工零件总数为y（件），与甲车间加工时间x（天），y与x之间的关系如图（1）所示．由工厂统计数据可知，甲车间与乙车间加工零件总数之差z（件）与甲车间加工时间x（天）的关系如图（2）所示．（1）甲车间每天加工零件为件，图中d值为．（2）求出乙车间在引入新设备后加工零件的数量y与x之间的函数关系式．（3）甲车间加工多长时间时，两车间加工零件总数为1000件？【分析】（1）由图象的信息解答即可；（2）利用待定系数法确定解析式即可；（3）根据题意列出方程解答即可．【解答】解：（1）由图象甲车间每天加工零件个数为720÷9＝80个，d＝770，故答案为：80，770（2）b＝80×2﹣40＝120，a＝（200﹣40）÷80+2＝4，∴B（4，120），C（9，770）设yBC＝kx+b，过B、C，∴120=4k+b770=9k+b，解得k=130∴y＝130x﹣400（4≤x≤9）（3）由题意得：80x+130x﹣400＝1000，解得：x=答：甲车间加工203天时，两车间加工零件总数为1000【点评】本题为一次函数实际应用问题，关键是根据一次函数图象的实际意义和根据图象确定一次函数关系式解答．【变式3-4】（2021春•甘井子区校级期末）甲、乙两个工程队分别同时修整两段公路，所修公路的长度y（米）与修路时间x（时）之间的关系如图所示，根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）甲队每小时修路米；乙队修路2小时后，每小时修路米；（2）修路6小时，甲比乙多修了米；（3）当修路时间是多少时，甲、乙两队所修公路的长度相同？【分析】（1）根据题意和函数图象可以解答本题；（2）根据函数图象可以得到修路6小时，甲比乙多修了多少米；（3）根据函数图象中的数据和（1）中的结果，可以解答本题．【解答】解：（1）由图可得，甲队每小时修路：60÷6＝10（米），乙队修路2小时后，每小时修路：（50﹣30）÷（6﹣2）＝5（米），故答案为：10，5；（2）由图可得，修路6小时，甲比乙多修了：60﹣50＝10（米），故答案为：10；（3）设修路a小时时，甲、乙两队所修公路的长度相同，10a＝30+5（a﹣2），解得，a＝4，答：当修路4小时时，甲、乙两队所修公路的长度相同．【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．【变式3-5】甲、乙两组同时加工某种零件，乙组工作中有一次停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原来的2倍．两组各自加工零件的数量y（件）与时间x（时）的函数图象如图所示．（1）直接写出甲组加工零件的数量y与时间x之间的函数关系式；（2）求乙组加工零件总量a的值；（3）甲、乙两组加工出的零件合在一起装箱，每满300件装一箱，零件装箱的时间忽略不计，求经过多长时间恰好装满第1箱？【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式即可；（2）利用乙的原来加工速度得出更换设备后，乙组的工作速度即可；（3）首先利用当0≤x≤2时，当2＜x≤2.8时，以及当2.8＜x≤4.8时，当4.8＜x≤6时，求出x的值，进而得出答案即可，再假设出再经过x小时恰好装满第1箱，列出方程即可．【解答】解：（1）∵图象经过原点及（6，360），∴设解析式为：y＝kx，∴6k＝360，解得：k＝60，∴y＝60x（0＜x≤6）；故答案为：y＝60x（0＜x≤6）；（2）乙2小时加工100件，∴乙的加工速度是：每小时50件，∴乙组在工作中有一次停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原来的2倍．∴更换设备后，乙组的工作速度是：每小时加工50×2＝100件，a＝100+100×（4.8﹣2.8）＝300；（3）乙组更换设备后，乙组加工的零件的个数y与时间x的函数关系式为：y＝100+100（x﹣2.8）＝100x﹣180，当0≤x≤2时，60x+50x＝300，解得：x=30当2＜x≤2.8时，100+60x＝300，解得：x=10∵当2.8＜x≤4.8时，60x+100x﹣180＝300，解得x＝3，∴经过3小时恰好装满第1箱．答：经过3小时恰好装满第一箱．【点评】此题主要考查了一次函数的应用，根据题意得出函数关系式以及数形结合是解决问题的关键．题型四利用图表信息解决实际问题题型四利用图表信息解决实际问题【例题4】（2022秋•曹县期末）某公司准备把30吨货物全部运往甲、乙两地，运往甲，乙两地的费用如表：目的地甲地乙地每吨费用（元）150240设运往甲地为x吨，全部运出的总费用为y元．（1）求y与x间的函数表达式；（2）若该公司运出货物的总费用为5400元，求该公司运往乙地多少吨货物？【分析】（1）根据总费用＝运往甲地和乙地的费用之和列出函数解析式；（2）令y＝5400，解方程即可．【解答】解：（1）设运往甲地为x吨，则运往乙地（30﹣x）吨，根据题意得：y＝150x+240（30﹣x）＝﹣90x+7200，∴y与x间的函数表达式为y＝﹣90x+7200；（2）当y＝5400时，﹣90x+7200＝5400，解得x＝20，此时30﹣x＝10，答：若该公司运出货物的总费用为5400元，则该公司运往乙地10吨货物．【点评】本题考查一次函数的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式．解题技巧提炼利用表格给出的信息，采用待定系数法求出函数解析式，进而解答实际问题.【变式4-1】（2022秋•兴化市期末）客运公司规定旅客可免费携带一定质量的行李，当行李质量超过规定时，需付的行李费y（元）是行李质量x（kg）的一次函数，且部分对应关系如表所示．x（kg）…304050…y（元）…468…（1）求y关于x的函数表达式；（2）求旅客最多可免费携带行李的质量；（3）当行李费2≤y≤7（元）时，可携带行李的质量x（kg）的取值范围是．【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式解答；（2）令y＝0时求出x的值即可；（3）分别求出2≤y≤7时的x的取值范围，然后解答即可．【解答】解：（1）∵y是x的一次函数，∴设y＝kx+b（k≠0）将x＝30，y＝4；x＝40，y＝6分别代入y＝kx+b，得4=30k+b6=40k+b解得：k=0.2∴函数表达式为y＝0.2x﹣2，（2）将y＝0代入y＝0.2x﹣2，得0＝0.2x﹣2，∴x＝10，（3）把y＝2代入解析式，可得：x＝20，把y＝7代入解析式，可得：x＝45，所以可携带行李的质量x（kg）的取值范围是20≤x≤45，故答案为：20≤x≤45．【点评】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，已知函数值求自变量．【变式4-2】（2021春•邵阳期末）为保护学生视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的，研究表明：假设课桌的高度为ycm，椅子的高度为xcm，则y应是x的一次函数，下表列出两套符合条件的课桌椅的高度：第一套第二套椅子高度xcm桌子高度ycm．第一套第二套椅子高度xcm4037桌子高度ycm7570（1）请确定y与x的函数关系式．（2）现有一把高39cm的椅子和一张高为78.2cm的课桌，它们是否配套？为什么？【分析】（1）由于y应是x的一次函数，根据表格数据利用待定系数法即可求解；（2）利用（1）的函数关系式代入计算即可求解．【解答】解：（1）依题意设y＝kx+b，则75=40k+b70=37k+b解之得：k=53，b∴y=53x（2）当x＝39时，y=53×39∴一把高39cm的椅子和一张高为78.2cm的课桌不配套．【点评】此题主要考查了一次函数的应用，解题时扇形正确理解题意，然后根据题意求出函数关系式即可解决问题．【变式4-3】已知水银体温计的读数y（℃）与水银柱的长度x（cm）之间是一次函数关系．现有一支水银体温计，其部分刻度线不清晰（如图），表中记录的是该体温计部分清晰刻度线及其对应水银柱的长度．水银柱的长度x（cm）4.2…8.29.8体温计的读数y（℃）35.0…40.042.0（1）求y关于x的函数关系式（不需要写出函数的定义域）；（2）用该体温计测体温时，水银柱的长度为6.2cm，求此时体温计的读数．【分析】（1）设y关于x的函数关系式为y＝kx+b，由统计表的数据建立方程组求出其解即可；（2）当x＝6.2时，代入（1）的解析式就可以求出y的值．【解答】解：（1）设y关于x的函数关系式为y＝kx+b，由题意，得35=4.2k+b40=8.2k+b解得：k=5∴y=54x∴y关于x的函数关系式为：y=54（2）当x＝6.2时，y=54×6.2+29.75答：此时体温计的读数为37.5℃．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，由解析式根据自变量的值求函数值的运用，解答时求出函数的解析式是关键．【变式4-4】（2021•利通区校级一模）如图，是一种斜挎包，其挎带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小敏用后发现，通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使挎带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占的长度忽略不计）加长或缩短．设单层部分的长度为xcm，双层部分的长度为ycm，经测量，得到如下数据：单层部分的长度x（cm）…46810…双层部分的长度y（cm）…73727170…（1）求出y关于x的函数解析式，并求当x＝150时y的值；（2）根据小敏的身高和习惯，挎带的长度为120cm时，背起来正合适，请求出此时单层部分的长度；（3）设挎带的长度为lcm，求l的取值范围．【分析】（1）观察表格可知，y是x的一次函数，设y＝kx+b，利用待定系数法即可解决问题；（2）列出方程组x+y=120y=-（3）由题意当y＝0，x＝150，当x＝0时，y＝75，可得75≤l≤150．【解答】解：（1）观察表格可知，y是x的一次函数，设y＝kx+b，则有4k+b=736k+b=72解得k=-1∴y=-12x当x＝150时，y＝0，答：y关于x的函数解析式为y=-12x+75，当x＝150时y的值为（2）由题意x+y=120y=-解得x=90y=30所以单层部分的长度为90cm；（3）由题意得l＝x+y＝x-12x+75=1因为0≤x≤150，所以75≤12x+75≤即75≤l≤150．【点评】本题考查一次函数的应用、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．【变式4-5】某商店代理销售一种水果，六月份的销售利润y（元）与销售量x（kg）之间函数关系的图象如图中折线所示．请你根据图象及这种水果的相关销售记录提供的信息，解答下列问题：（1）截止到6月9日，该商店销售这种水果一共获利多少元？（2）求图象中线段BC所在直线对应的函数表达式．日期销售记录6月1日库存600kg，成本价8元/kg，售价10元/kg（除了促销降价，其他时间售价保持不变）．6月9日从6月1日至今，一共售出200kg．6月10、11日这两天以成本价促销，之后售价恢复到10元/kg．6月12日补充进货200kg，成本价8.5元/kg．6月30日800kg水果全部售完，一共获利1200元．【分析】（1）由表格信息可知，从6月1日到6月9日，成本价8元/kg，售价10元/kg，一共售出200kg，根据利润＝每千克的利润×销售量列式计算即可；（2）设B点坐标为（a，400），根据题意列方程求出点B的坐标，设线段BC所在直线对应的函数表达式为y＝kx+b，利用待定系数法解答即可．【解答】解：（1）200×（10﹣8）＝400（元）答：截止到6月9日，该商店销售这种水果一共获利400元；（2）设点B坐标为（a，400），根据题意得：（10﹣8）×[600﹣（a﹣200）]+（10﹣8.5）×200＝1200，解这个方程，得a＝350，∴点B坐标为（350，400），设线段BC所在直线对应的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），则：350k+b=400800k+b=1200，解得k=∴线段BC所在直线对应的函数表达式为y=16【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用一次函数的性质解答．题型五实际问题中的分段函数题型五实际问题中的分段函数【例题5】一旅游团来到某旅游景点，看到售票处旁边的公告栏上写着：①一次购买10张以下（含10张），每张门票180元．②一次购买10张以上，超过10张的部分，每张门票6折优惠．（1）若旅游团人数为9人，门票费用是多少？若旅游团人数为30人，门票费用又是多少？（2）设旅游团人数为x人，写出该旅游团门票费用y（元）与人数x的函数关系式．【分析】（1）依题意计算求解即可；（2）依题意可知y与x的函数关系式为分段函数，列出一次函数即可．【解答】解：（1）180×9＝1620（元），180×10+180×60%×（30﹣10）＝3960（元）答：若旅游团人数为9人，门票费用是1620元；若人数为30人，门票费用是3960元；（2）设旅游团人数为x人，该旅游团门票费用y元，则y=180x(x≤10)即函数关系式为：y=180x(x≤10)【点评】本题重点考查了一次函数的应用，弄清题意是解本题的关键．解题技巧提炼学习一次函数中的分段函数，通常应注意以下几点：⑴在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围。⑵分段函数的图象是由几条线段（或射线）组成的折线.⑶分析分段函数的图象要结合实际问题背景对图象的意义进行认识和理解,尤其要理解折线中横、纵坐标表示的实际意义.【变式5-1】（2022春•南召县期中）“黄金1号”玉米种子的价格为5元/千克，如果一次购买2千克以上的种子，超过2千克部分的种子价格打8折：（1）观察下表：购买量/千克0.511.522.533.54…付款金额/元2.557.510a14b18…完成填空：a＝，b＝；（2）写出付款金额y（元）关于购买量x（千克）的函数关系，并画出函数图象．【分析】（1）根据“黄金1号”玉米种子的价格为5元/千克，如果一次购买2千克以上的种子，超过部分的种子的价格打8折，可以计算出表格相应的数据，从而可以将表格补充完整；（2）根据“玉米种子的价格为5元/千克，如果一次购买2千克以上的种子，超过2千克部分的种子价格打8折”可以得到函数关系式，并画出图象．【解答】解：（1）由题意可得，当购买种子2.5千克时，需要付款：2×5+（2.5﹣2）×5×0.8＝12（元），当购买种子3.5千克时，需要付款：2×5+（3.5﹣2）×5×0.8＝16（元），故答案为：12，16．（2）当0≤x≤2时，y＝5x，当x＞2时，y＝5×2+（x﹣2）×5×0.8＝4x+2，即y=5x(0≤x≤2)函数图象如右图所示，【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．【变式5-2】（2022秋•淮北月考）我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民的节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费的办法收费，即一个月用水10t以内（包括10t）的用户，每吨收水费a元；一个月用水超过10t的用户，10t水仍按每吨a元收费，超过10t的部分，按每吨b元（b＞a）收费．设一户居民月用水xt，应交水费y元，y与x之间的函数关系如图所示．（1）求a的值；若某户居民上月用水8t，应交水费多少元？（2）求b的值，并写出当x＞10时，y与x之间的函数表达式；（3）若某户居民八月份应缴水费29元，则该户居民八月份用水量是多少？【分析】（1）由用水10t时，水费是15元，得10a＝15，则a＝1.5，即用水不超过10t时，每吨水费1.5元，可求得用水8t时的水费是12元；（2）当x＞10时，可列方程（20﹣10）b＝35﹣15，则b＝2，所以y＝15+2（x﹣10）＝2x﹣5；（3）先由y＝29＞15，确定x＞10，把y＝29代入y＝2x﹣5，再求出x的值，即为该户居民八月份的用水量．【解答】解：（1）根据函数图象，用水10t时，水费是15元，∴10a＝15，解得a＝1.5，∵8t＜10t，∴1.5×8＝12（元），答：a的值是1.5，该户居民应交水费12元．（2）当x＞10时，根据函数图象得，（20﹣10）b＝35﹣15，解得b＝2，∴y＝15+2（x﹣10）＝2x﹣5，答：b的值是2，y＝2x﹣5（x＞10）．（3）∵y＝29＞15，∴x＞10，把y＝29代入y＝2x﹣5，得29＝2x﹣5，解得x＝17，答：该户居民八月份的用水量是17t．【点评】此题重点考查一次函数的图象与性质、根据问题的实际意义求函数表达式、一次函数的应用、由函数图象求自变量的取值范围以及求函数值和自变量的值等知识与方法，正确地用代数式表示该户居民应交的水费是解题的关键．【变式5-3】（2023•灞桥区校级四模）五一期间，灞桥水果经销商老王每天从雨润水果批发市场分别以10元/斤、11元/斤的价格购进奶油味草莓和巧克力味草莓进行销售．奶油味草莓的销售单价为13元/斤，巧克力味草莓的销售方式为：当销售不超过50斤时，销售单价为15元/斤；当销售超过50斤时，超出的部分销售单价为14.5元/斤．老王每天购进这两种味道的草莓共100斤，并在当天全部销售完，设每天销售巧克力味草莓x斤（销售过程中损耗不计）．（1）求出每天销售获利y（元）与x（斤）的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）若5月1日这一天，老王购进35斤奶油味草莓，求老王这一天将所有草莓都销售完可以获利多少钱？【分析】（1）分段函数，分0＜x≤50和50＜x＜100两种情况解答即可；（2）把x＝65代入（1）的结论解答即可．【解答】解：（1）当0＜x≤50时，y＝（13﹣10）×（100﹣x）+（15﹣11）x，即y＝2x+200；当50＜x＜100时，y＝（13﹣10）×（100﹣x）+（15﹣11）×50+（14.5﹣11）（x﹣50），即y＝1.5x+225，综上所述，每天销售获利y（元）与x（斤）的函数关系式为y=2x+200（2）老王购进35斤奶油味草莓，则x＝100﹣35＝65，当x＝65时，y＝1.5×65+225＝322.5（元）．答：老王这一天将所有草莓都销售完可以获利322.5元．【点评】本题考查了一次函数的应用，根据题意求得函数关系式是解题的关键．【变式5-4】（2022春•临沭县期末）受新冠肺炎疫情影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，八方支援．”某水果经销商主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售．专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售．设经销商购进甲种水果x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示．（1）求出当0≤x≤50和x＞50时，y与x之间的函数关系式；（2）若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于50千克，但又不超过60千克．如何分配甲，乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额w（元）最少？最少是多少元？【分析】（1）由图可知y与x的函数关系式是分段函数，待定系数法求解析式即可．（2）购进甲种水果为x千克，则购进乙种水果（100﹣x）千克，根据实际意义可以确定x的范围，结合付款总金额（元）与种水果的购进量之间的函数关系可以分类讨论最少费用为多少．【解答】解：（1）当0≤x≤50时，设y＝k1x（k1≠0），根据题意得50k1＝1500，解得k1＝30；∴y＝30x；当x＞50时，设y＝k2x+b（k2≠0），根据题意得，50k解得：k2∴y＝24x+300．∴y=30x(0≤x≤50)（2）购进甲种水果为x千克，则购进乙种水果（100﹣x）千克，∴50≤x≤60，w＝24x+300+25（100﹣x）＝﹣x+2800．∵﹣1＜0∴y随x的增大而减小，∴当x＝60时，wmin＝2740元，此时乙种水果100﹣60＝40（千克）．答：购进甲种水果为60千克，购进乙种水果40千克，才能使经销商付款总金额w（元）最少，最少是2740元．【点评】本题主要考查了一次函数的图象以及一元一次不等式组的应用．借助函数图象表达题目中的信息，读懂图象是关键．【变式5-5】（2022春•潼南区期末）某校组队参加庆祝中国共青团成立100周年经典诵读比赛，需要为参赛选手每人配备一个朗诵文件夹．已知甲、乙两家店铺销售同款文件夹，原价相同，但销售方式不同，在甲店铺，无论一次性购买多少个文件夹，一律打8.5折；在乙店铺，当购买数量不超过30个时，按原价出售，当购买数量超过30个时，超过的部分打7折．设该校需购买x个朗诵文件夹，在甲店铺购买所需的费用为y1元，在乙店铺购买所需的费用为y2元，y1，y2关于x的函数图象如图所示．（1）分别求出y1，y2关于x的函数解析式；（2）求图中m的值，并说明m的实际意义；（3）若该学校一次性购买朗诵文件夹的数最超过40个，但不超过90个，到哪家店铺购买更优惠？【分析】（1）根据甲、乙商店的不同销售方案，可得关系式，注意乙商店的；（2）根据等量关系：甲商店所需费用＝乙商店所需费用，列出方程并求解即可；（3）注意分情况讨论，当172m＝7m+90时，当172m＜7m+90时，当172m＞7【解答】解：（1）文件夹的原价：300÷30＝10（元），30个文件夹的价格：30×10×0.85＝255（元），由题意得，设y1＝kx，把（30，255）代入得，k=17∴y1=172当0≤x≤30时，设y2＝kx，把（30，300）代入得，k＝10，∴y2＝10x；当x＞30时，y2＝10×30+10×0.7×（x﹣30）＝7x+90，∴y2=10x(0≤x≤30)答：y1关于x的函数解析式是y1=172x，y2关于x的函数解析式是y2（2）当172m＝7m+90时，m＝60m的实际意义是当购买60个朗诵文件夹时，甲乙两家商店花费相同．（3）当172x＝7x+90时，即x＝60当172x＜7x+90时，即40＜x＜60当172x＞7x+90时，即60＜x≤90【点评】本题考查了一次函数和一元一次方程的应用．题目难度不大．理解两个店铺不同的销售方案是解决本题的关键．题型六利用一次函数解决最值问题题型六利用一次函数解决最值问题【例题6】（2022秋•济南期末）某企业生产并销售某种产品，整理出该商品在第x（1≤x≤90）天的售价y与x函数关系如图所示，已知该商品的进价为每件30元，第x天的销售量为（100﹣x）件．（1）试求出售价y与x之间的函数关系式；（2）请求出该商品在销售过程中的最大利润．【分析】（1）根据题意结合图象解答即可；（2）设该商品在销售过程中的利润为w，根据题意得出w与x的函数关系式，再根据二次函数的性质和一次函数的性质解答即可．【解答】解：（1）当0≤x≤50时，设y与x的解析式为：y＝kx+40，则50k+40＝90，解得k＝1，∴当0≤x≤50时，y与x的解析式为：y＝x+40，∴售价y与x之间的函数关系式为：y=x+40(0≤x≤50)（2）设该商品在销售过程中的利润为w，当0≤x≤50时，w＝（x+40﹣30）（100﹣x）＝﹣x2+90x+1000＝﹣（x﹣45）2+3025，∵a＝﹣1＜0且0≤x≤50，∴当x＝45时，w取最大值，最大值为3025元；当50≤x≤90时，w＝（90﹣30）（100﹣x）＝﹣60x+6000，∵﹣60＜0，∴w随x的增大而减小，∴当x＝50时，该商品在销售过程中的利润最大，最大值为：（90﹣30）×（100﹣50）＝3000（元）．∵3025＞3000，∴x＝45时，w增大，最大值为3025元．答：第45天时，该商品在销售过程中的利润最大，最大利润为3025元．【点评】本题考查了一次函数的应用以及二次函数的应用，利用单价乘以数量求函数解析式，利用了函数的性质求最值．解答时求出函数的解析式是关键．解题技巧提炼根据题意求出函数解析式，再利用一次函数增减性得出函数最值是解题关键．【变式6-1】（2022春•抚顺期末）某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产每月的销售量都不超过20吨．设每月销售甲特产x吨，一个月销售这两种特产所获得的总利润为W万元．（1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？（2）求W与x的函数关系式；（3）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润．【分析】（1）根据题意，可以列出相应的一元一次方程，从而可以求得这个月该公司销售甲、乙两种特产分别为多少吨；（2）根据（1）的结论，结合“总利润＝甲种特产的利润+乙种特产的利润”解答即可；（3）根据题意，可以得到利润与甲种特产数量的函数关系式，再根据甲种特产的取值范围和一次函数的性质，可以得到利润的最大值．【解答】解：（1）根据题意可知销售甲种特产x吨，则销售乙种特产（100﹣x）吨，10x+（100﹣x）×1＝235，解得，x＝15，∴100﹣x＝85，答：这个月该公司销售甲、乙两种特产分别为15吨，85吨；（2）W＝（10.5﹣10）x+（1.2﹣1）×（100﹣x）＝0.3x+20；（3）由（2）可知W＝0.3x+20，∵0.3＞0，∴W随x的增大而增大，∵0≤x≤20，∴当x＝20时，W取得最大值，此时W＝26，答：该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润是26万元．【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和方程的知识解答．【变式6-2】（2022秋•章贡区校级期末）某地允许市场经营主体在规范有序的条件下，采取“店铺外摆”“露天市场”方式进行销售．个体业主小王响应号召，采取“店铺外摆”方式销售甲、乙两种特价商品，两种商品的进价与售价如表所示：甲商品乙商品进价（元/件）355售价（元/件）458小王计划购进甲、乙两种商品共100件进行销售，设小王购进甲商品x件，甲、乙两种商品全部销售完后获得的利润为y元．（1）求出y与x之间的函数关系式；（2）若购进乙商品的件数不少于甲商品件数的3倍，当购进甲、乙两种商品各多少件时，可使得甲、乙两种商品全部销售完后获得的利润最大？【分析】（1）由y＝甲商品利润+乙商品利润，可得解析式；（2）根据购进乙商品的件数不少于甲商品件数的3倍列出不等式，求出x的取值范围，然后根据一次函数的增减性解决最大值问题．【解答】解：（1）由题意可得：y＝（45﹣35）x+（8﹣5）（100﹣x）＝7x+300，∴y与x之间的函数关系式为y＝7x+300；（2）由题意，得100﹣x≥3x，解得x≤25．∵y＝7x+300，∴k＝7＞0，∴y随x增大而增大，∴x＝25时，y的值最大，100﹣25＝75，答：当购进甲种商品25件，乙种商品75件时，可使得甲、乙商品全部销售完后获得的利润最大．【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，学会利用一次函数的性质解决实际问题中的最值问题．【变式6-3】（2022秋•市中区期末）为增加校园绿化面积，某校计划购买甲、乙两种树苗100棵．已知购买20棵甲种树苗和16棵乙种树苗共花费1280元，购买1棵甲种树苗比1棵乙种树苗多花费10元．（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元？（2）若购买甲树苗不少于25棵，则购买甲、乙两种树苗各多少棵时花费最少？最少费用是多少元？【分析】（1）根据购买20棵甲种树苗和16棵乙种树苗共花费1280元，购买1棵甲种树苗比1棵乙种树苗多花费10元，可以列出相应的方程组，然后求解即可；（2）根据题意可以写出花费与购买甲种树苗数量之间的函数解析式，再根据购买甲树苗不少于25棵和一次函数的性质，即可得到最低费用．【解答】解：（1）设甲种树苗每棵x元，乙种树苗每棵y元，由题意可得：20x+16y=1280x-y=10解得x=40y=30答：甲种树苗每棵40元，乙种树苗每棵30元；（2）设购买甲种树苗a棵，则购买乙种树苗（100﹣a）棵，所需费用为w元，由题意可得：w＝40a+30（100﹣a）＝10a+3000，∴w随a的增大而增大，∵购买甲树苗不少于25棵，∴a≥25，∴当a＝25时，w取得最小值，此时w＝3250，100﹣a＝75，答：购买甲种树苗25棵，乙种树苗75棵时花费最少，最少费用是3250元．【点评】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．【变式6-4】（2021秋•长安区期末）某中学计划举行以“奋斗百年路，启航新征程”为主题的知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励．现要购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元．（1）求甲、乙两种奖品的单价；（2）根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共60件，且甲种奖品不少于20件，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用．【分析】（1）设甲种奖品的单价为x元/件，乙种奖品的单价为y元/件，根据“购买1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，购买2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买甲种奖品m件，则购买乙种奖品（60﹣m）件，设购买两种奖品的总费用为w，由甲种奖品不少于20件，可得出关于m的取值范围，再由总价＝单价×数量，可得出w关于m的函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题．【解答】解：（1）设甲种奖品的单价为x元/件，乙种奖品的单价为y元/件，依题意，得：x+2y=402x+3y=70解得x=20y=10答：甲种奖品的单价为20元/件，乙种奖品的单价为10元/件．（2）设购买甲种奖品m件，则购买乙种奖品（60﹣m）件，设购买两种奖品的总费用为w元，∵甲种奖品不少于20件，∴m≥20．依题意，得：w＝20m+10（60﹣m）＝10m+600，∵10＞0，∴w随m值的增大而增大，∴当学校购买20件甲种奖品、40件乙种奖品时，总费用最少，最少费用是800元．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的一次函数关系式．【变式6-5】今年植树节期间，某景观园林公司购进一批成捆的A，B两种树苗，每捆A种树苗比每捆B种树苗多10棵，每捆A种树苗和每捆B种树苗的价格分别是630元和600元，而每棵A种树苗和每棵B种树苗的价格分别是这一批树苗平均每棵价格的0.9倍和1.2倍．（1）求这一批树苗平均每棵的价格是多少元？（2）如果购进的这批树苗共5500棵，A种树苗至多购进3500棵，为了使购进的这批树苗的费用最低，应购进A种树苗和B种树苗各多少棵？并求出最低费用．【分析】（1）设这一批树苗平均每棵的价格是x元，根据题意列方程解答即可；（2）分别求出A种树苗每棵的价格与B种树苗每棵的价格，设购进A种树苗t棵，这批树苗的费用为w元，根据题意求出w与t的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可．【解答】解：（1）设这一批树苗平均每棵的价格是x元，根据题意列方程，得：6300.9x解这个方程，得x＝20，经检验，x＝20是原分式方程的解，并符合题意，答：这一批树苗平均每棵的价格是20元；（2）由（1）可知A种树苗每棵的价格为：20×0.9＝18（元），B种树苗每棵的价格为：20×1.2＝24（元），设购进A种树苗t棵，这批树苗的费用为w元，则：w＝18t+24（5500﹣t）＝﹣6t+132000，∵w是t的一次函数，k＝﹣6＜0，∴w随t的增大而减小，又∵t≤3500，∴当t＝3500棵时，w最小，此时，B种树苗有：5500﹣3500＝2000（棵），w＝﹣6×3500+132000＝111000，答：购进A种树苗3500棵，B种树苗2000棵时，能使得购进这批树苗的费用最低，最低费用为111000元．【点评】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用以及一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．题型七题型七利用一次函数解决几何问题【例题7】（2021春•武江区校级期末）在长方形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P从点A开始按A→B→C→D的方向运动到点D．如图，设动点P所经过的路程为x，△APD的面积为y．（当点P与点A或D重合时，y＝0）（1）写出y与x之间的函数解析式；（2）直接写出△APD的面积的最大值．【分析】（1）分三种情况：点P在AB上运动，点P在BC上运动，点P在CD上运动，分别求出y与x之间的函数解析式即可；（2）画出函数图象，观察图象可得答案．【解答】解：（1）当点P在AB上运动时，即0≤x＜3时，y=12×AD×AP=12×4当点P在BC上运动时，即3≤x＜7时，y=12×AD×AB=12×当点P在CD上运动时，即7≤x≤10时，y=12×AD×PD=12×4×（10﹣综上所述，y=2x（2）函数图象如下：由图象可得，y最大为6，∴△APD的面积的最大值是6．【点评】本题考查动点问题的函数图象、三角形的面积公式等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想方法．解题技巧提炼本题考查了动点问题的函数图象,三角形的面积公式等知识．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程,学会分类讨论的思想方法．【变式7-1】如图①所示，正方形ABCD的边长为6cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C→D运动，设运动的时间为t（s），三角形APD的面积为S（cm2），S与t的函数图象如图②所示，请回答下列问题：（1）点P在AB上运动的时间为s，在CD上运动的速度为cm/s，三角形APD的面积S的最大值为cm2；（2）求出点P在CD上运动时S与t之间的函数解析式；（3）当t为何值时，三角形APD的面积为10cm2【分析】（1）直接根据函数图象上坐标可求出点P在AB上运动的时间为6s，在CD上运动的速度为6÷3＝2cm/s；（2）用t表示PD＝6﹣2（t﹣12）＝30﹣2t，代入面积公式可求S＝90﹣6t；（3）通过图象可知，△APD的面积为10cm2．即S＝10，分别在S＝3t和S＝90﹣6t，上代入即可求得t=103，t【解答】解：（1）点P在AB上运动的时间为6s，在CD上运动的速度为6÷3＝2cm/s，当点P运动到点B时，△APD的面积S最大，最大值是12×6×6＝18cm故答案为：6，2，18；（2）PD＝6﹣2（t﹣12）＝30﹣2t，S=12AD•PD=12×6×（30﹣2t）＝（3）当0≤t≤6时，S＝3t，△APD的面积为10cm2，即S＝10时，∴3t＝10，∴t=10当12≤t≤15时，90﹣6t＝10，∴t=40所以当t为103（s）、403（s）时，△APD的面积为10cm【点评】本题是四边形综合题，考查了三角形面积，正方形的性质，函数的图象，解题的关键是要分析题意根据实际意义求解．注意分类讨论思想的运用．【变式7-2】（2021春•景德镇期末）如图①所示，在长方形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P从A点出发，沿A→B→C→D的路线运动，到D点停止；点Q从D点出发，沿D→C→B→A运动，到A点停止．若点P，Q同时出发，点P的速度为1cm/秒，点Q的速度为2cm/秒，a秒时点P，Q同时改变速度，点P的速度变为bcm/秒，点Q的速度变为ccm/秒，如图②所示的是△APD的面积S1（cm2）与点P出发时间x（秒）之间的关系．图③是△AQD的面积S2（cm2）与点Q出发时间x（秒）之间的关系．根据图象回答下列问题：（1）a＝，b＝，c＝；（2）设点P，Q出发x（x＞a）秒后离开点A的路程分别为y1，cm，y2，cm，请分别写出y1，y2与x之间的关系