2020-2021学年惠州市高二年级上册期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年惠州市高二上学期期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1.设f（x）为可导函数，且1（2）=：,求九呷0f（2f）-f（2+”）的值（）

nh

A.1B.—1C.：D.—：

22

2.已知圆Ci：%2+丫2+8X-20=。和圆。2：x2+y2-6y=0,则两圆的位置关系为（）

A.外离B.外切C.相交D.内切

3.如图是某篮球运动员在30场比赛中得分的茎叶图，则得分的中位089

112346789

数和众数分别为（）,）0113335789

A2旬2301223489

A.3和34o1

B.23和3

C.3和23

D.23和23

4.有60件产品，编号为01至60,现从中抽取5件检验，用系统抽样的方法所确定的抽样编号是（）

A.5,17,29,41,53B.5,12,31,39,57

C.5,15,25,35,45D.5,10,15,20,25

5."4<K<9”是“方程工+3=1表示的图形为椭圆”的（）

9-kk-4、/

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.已知直线、:4x-3y+6=0和直线=-1,抛物线y?=4x上一动点P到直线匕和直线％的距

离之和的最小值是（）

1137

A.2B.3C.—D.—

516

7.某地区气象台统计，该地区下雨的概率是於，刮三级以上风的概率为*既刮风又下雨的概率为

卷，则在下雨天里，刮风的概率为（）

A.短B.；C.1D.2

审=写名窗圈>1•般1

8.椭圆$”一:.「能是参数》的离心率是

，涉=学都蒯螂

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分)

9.已知双曲线C：奈―，=l(a>0/>0)的左，右焦点分别为Fi，F2,过双曲线C上的一点M作

两条渐近线的垂线，垂足分别为4B,若囹尸2『=16|河川•|MB|,则()

A.双曲线C的离心率为企

B.四边形4MB。的面积为：。2(0为坐标原点)

C.双曲线C的渐近线方程为y=±V2x

D.直线M4与直线MB的斜率之积为定值

10.己知函数fQ)=e^sinx,则下列结论正确的是()

A.“X)是周期函数

B.f。)在(一%。)上单调递增

C.f(x)在(0,弓)上单调递减

D.f(x)在(-5兀,5兀)内有10个极值点

11.人民日报智慧媒体研究院在2020智慧媒体高峰论坛上发布重磅智能产品一人民日报创作大脑，

在2/算法的驱动下，无论是图文编辑、视频编辑，还是素材制作，所有的优质内容创作都变得

更加容易.已知某数据库有视频a个、图片b张(a,beN*,a>b>1),从中随机选出一个视频和

一张图片，记“视频甲和图片乙入选”为事件4“视频甲入选”为事件B,“图片乙入选”为

事件C,则下列判断中正确的是()

A.PQ4)=P(B)+P(C)B.P(4)=P(B)-P(C)

C.p(A)>P(BC)+P(BC)D.p(BC)<P(BC)

12.己知函数y=f(x)的导函数y=/'(x)的图象如图所示，则(

A./(xx)<fg)

B./(%3)</(X2)

C.f(x)在(a,b)内有2个极值点

D.f(x)的图象在点x=0处的切线斜率小于0

三、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

13,已知样本与，X3...X2019的平均数与方差分别是1和4,%=。阳+6伽>0,1=12.2019)且

样本y「y2,丫3“42019的平均数与方差也分别是1和16,则。2+炉=

14.设P是抛物线、=；%2一3上横坐标非负的一个动点，过P引圆/+y2=2的两条切线，切点分别

为7;、T2,当ITIRI最小时，直线7打2的方程是.

**

15.己知点1P为双曲线马-鼻=2血*，埠愚.尊上任意一点，过点1P作双曲线的渐近线的平行线,

:靖覆

分别与两渐近线交于豳两点，若怦麴1卜|喇=,喊，则该双曲线的离心率为.

16.设/'(尤)是R上的奇函数，且当xe[0,+8)时，/(%)=%(14-3x).则当xe(-8,0)时，f(x)=

四、解答题(本大题共6小题，共72.0分)

17.如图，点4为圆外一点，过点4作圆的两条切线，切点分别为8,C,

4DE是圆的割线，连接CO,BD,BE,CE.

(1)求证：BECD=BD-CE；

(2)延长CD交于尸，若CE〃AB,证明：尸为线段4B的中点.

18.某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩(均为整数)分成六段[40,50),

[50,60),[90,100]后画出如下部分频率颁布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：

(I)求第四小组的频率，补全这个频率分布直方图，并估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)；

(口)若将频率袖为概率，从这个学校的高一学生中抽取3个学生(看作有放回的抽样)，求其成绩在80

分至100分(包括80分)的学生数X的分布列和数学期望.

og

]Hf!

tnn

19.已知函数;我喻=谈一•第一1凝

(1)求曲线考=精!刈在点敲g,一卷3处的切线方程;

(2)直线皆为曲线第=玳;礴的切线，且经过原点，求直线瓮的方程及切点坐标

20.某商店为了更好地规划某种商品进货的量，该商店从某一年的销售数据中，随机抽取了8组数据

作为研究对象，如图所示。(吨)为该商品进货量，y(天)为销售天数)；

X234568911

y12334568

(I)根据上表数据在下列网格中绘制散点图；

(H)根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程5?=bx+a-.

(IE)根据(U)中的计算结果，若该商店准备一次性进货该商品24吨，预测需要销售天数.

21.如图，在正方体ABC。一为当6劣中，以4也。4为轴截面有一半圆柱。。1，点E为圆弧前的中

点.

(1)证明：平面&E。〃平面ABiC.

(2)求二面角E-ADr-。的正弦值.

22.椭圆C：5+，=l(a>b>0)的左右焦点分别为&,F2,离心率为争过点片且垂直于x轴的

直线被椭圆截得的弦长为近，直线八y=kx+m与椭圆交于不同的4B两点.

(1)求椭圆。的方程：

(口)若在椭圆C上存在点Q满足：瓦？+砺=4丽(0为坐标原点).求实数；I的取值范围.

参考答案及解析

1.答案：B

解析：解：由九)-"2+八)=_八"o々+e-々f)=_jM(/(2+e-r(2)+r⑵52-")=

hhh

_(O/(2+ft)-/(2)+/i-0=-2/(2)，

、hh-h'''

由/''(2)=I，则九"o"2f)-f(2+")=_2/(2)=-1，

故选：B.

由)-r(2+h)=_(JTo"2+h)-f(2)+)-r(2))=_2r(2),利用导数的定义，由

f(2)=I，即可求得答案.

本题考查极限的运算，考查导数的定义，考查转化思想，属于中档题.

2.答案：C

解析：解：根据题意，圆G：%2+y2+8%—20=0,即(x+4)2+y2=36,圆心为。式―4,0),半

径=6；

圆C2：x2+y2-6y=0,即/+(y-3)?=9,圆心。2(0,3),半径万=3；

则有IC1C2I=V16+9=5.

则有匕-r2|=3<ICgl<1rl+r2\=9；

则两圆相交；

故选：C.

根据题意，由两个圆的方程分析可得圆心与半径，进而求出圆心距IGC2I，比较可得匕-万1=3<

|CiC2l<|ri+r2|,结合圆与圆的位置关系分析可得答案.

本题考查圆与圆的位置关系，注意分析圆的圆心与半径，属于基础题.

3.答案：D

解析：

本题考查茎叶图，考查众数、中位数，属于基础题.

根据茎叶图列出的数据，这组数据有30个，这组数据的中位数是最中间两个数字的平均数，再找出

出现次数最多的数字.

解：由茎叶图知这组数据有30个，

这组数据的中位数是最中间两个数字的平均数等=23,

众数是这些数字中出现次数最多的数字，是23,

故选D

4.答案：A

解析：试题分析：•••根据题意可知，系统抽样得到的产品的编号应该具有相同的间隔，总体是60个,

从中抽取5个，那么可知间隔是60:5=12,.••只有。符合要求，即后面的数比前一个数大12.故选A.

考点：本题主要考查了系统抽样，是一个基础题，解题时抓住系统抽样的特点，找出符合题意的编

号，这种题目只要出现一定是我们必得分的题目.

点评：解决该试题的关键是根据题意可知，本题所说的用系统抽样的方法所确定的抽样编号间隔应

该是60:5=12,观察所给的四组数据，只有最后一组符合题意.

5.答案：B

22

解析：解：•.•方程1表示的图形为椭圆，

9-fck-4

9-k>0

•••Jc-4>0,解得：4<fc<9且/c丰y,

9—k手k—4

故"4VKV9”是“方程二十拄=1表示的图形为椭圆"的必要不充分条件，

9-kk-4

故选：B.

求出方程工+3=1表示的图形为椭圆的k的范围，结合集合的包含关系判断即可.

9-kk-4

本题考查了充分必要条件，考查椭圆的方程，是一道基础题.

6.答案：A

由抛物线y2=4x知直线G为其准线，焦点为F(l,0).由抛物线的定义可知动点P到直线％的距离与P到

焦点尸(1,0)的距离相等，所以P到直线。的距离与P到焦点F(l,0)的距离之和的最小值为焦点F(L0)到

|4xl-0+6|

直线l的距离(如图)，则d=7^^=2.

7.答案：C

解析：解：该地区下雨的概率是右刮三级以上风的概率为卷，既刮风又下雨的概率为5,

•••设A事件为下雨，B事件为刮风，由题意得，P(4)=2,P(AB)=^,

则P(B|4)=需=3=：，

故选：c.

由已知中，该地区下雨的概率是於，刮三级以上风的概率为卷，既刮风又下雨的概率为总，利用条件

概率公式，即可求得结论.

本题考查概率的计算，考查条件概率，考查学生的计算能力，属于基础题.

8.答案：B

解析：试题分析：因为椭圆*“干，所以a=5,b=3,椭圆的离心率黎=二

]〃二香潮物第镯

关系B<>

考点：本题主要考查椭圆的参数方程，椭圆的几何意义。

点评：简单题，椭圆的离心率为

9.答案:ABD

解析：解：双曲线C的两条渐近

线分别为bx+ay=0和bx—

ay=0,

设加。。,%))，则

B\

_|b&+ay°l_岷+ay()|\bx-ay\\bx-ay\

\MA\0000

yjb24-a221=b24-a=c

|b%o+ayol.M-ayol_|标就02泪

所以|M4|•|MB|

CCC2

又M点在双曲线上，则胃一吟=1=炉就一。2羽=a2b2,

|方2就一02油_a2b2

所以|M*•|MB|

c2

因为尸/2『=16|M*•|M8|,所以4c2=16詈，

即c,=4a2/?2<=>c4=4a2(c2—a2)=e4=4(e2—1)<=>(e2—2)=0,

又e>l,所以e=VL故A正确；

因为e=£=&=q=2Q=2<=>a2=h2,

aa"az

所以3•%=9(-3=一捺=一1'所以。ALOB，所以四边形0ABM是矩形，

故四边形OABM的面积为==故B正确；

因为a=b,所以双曲线的渐近线方程为y=±x,故C错误；

^MA*=k°B,k0A=(-1),1=—1,故。正确•

故选：ABD.

先根据冯?2『=161AMi•|MB|可得到4c2=16罢，进而可判断4B,C,。四个选项.

本题考查双曲线的性质，考查离心率的求法，考查数学运算和直观想象的核心素养，属于中档题.

10.答案：BD

解析:解：若f(x)存在周期,则必满足了(%+7)=/(%),

而当TH0时，e|x+Tlsin(x+T)4e^sinx,

・•・/(x)不是周期函数，

故选项A错误；

/Q)求导可得：/'(x)=exsinx+excosx=V2exsin(x+~)>

当xe(一?$时，sin(x+5>0,f(x)>0,

・•・/。)在(一%》上单调递增，

故选项B正确，选项C错误；

令(。)=0,即鱼sin(x+》=0,解得x解集为：

{x\x=—+kn,kEZ],v%e(-5TT,5TT),

4

.•・f'(x)=0在Xe(—5兀,5兀)有10个变号零点，

即f(x)在x6(-5兀,5兀)内有10个极值点，

故选项O正确.

故选：BD.

根据周期函数的定义判断选项A错误；根据导函数的正负以及零点的个数可判断BCD的正误.

本题考查了函数的周期性、单调性、极值点的判断方法.

11.答案：BC

解析：解：因为事件力，B,C是相互独立事件，由相互独立事件的概率公式可知，选项A错误，选

项B正确；

事件】包含“视频甲未能入选，图片乙入选”，“视频甲入选，图片乙未能入选”，“视频甲、图片

乙都未入选”三种情况，

所以P(4)=P(BC)+P(BC)+P(BC)，则PQ4)>P(BC)+P(BC)，故选项C正确；

由题意可知，P(BC)=(1—64=鬻，

P(丽=今。-》=黑，

因为a,b€N",a>h>1,

所以鬻>智，即P(BC)>P(BC)，故选项。错误.

故选：BC.

利用相互独立事件的概率乘法公式，对四个选项逐一分析判断即可.

本题考查了相互独立事件的概率乘法公式的理解和应用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中

档题.

12.答案：AC

解析:解：由导函数的图象可知，函数在区间(X1/2)，@2*3)上均单调递增，故/(与)>/(不)>f(Xl)，

选项A正确，选项B错误，

导函数的图象在区间(a,b)上有两个零点，故原函数有2个极值点，选项C正确；

((0)>0,故〃x)的图象在点x=0处的切线斜率大于0,选项。错误.

故选：AC.

由题意利用导函数的符号研究函数的单调性和函数的极值即可确定函数的性质.

本题主要考查利用导数研究函数单调性的方法，利用导数研究函数极值的方法，导数的几何意义等

知识，属于中等题.

13.答案：5

解析：解：•.•样本/，X2,X3…％2。19的平均数与方差分别是1和%

%=axi+b(a>0,i=1,2..2019)且样本%,y2,y3..)2019的平均数与方差也分别是1和16,

fQ+b=1

'UM=16'

由a>0,解得Q=2,b=-1,

・•・a?+52=4+i=5

故答案为：5.

利用平均数和方差的性质直接求解.

本题考查两个数的和的求法，考查平均数、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

14.答案：%+y—1=0

解析：解：设圆心为。(0,0),P。与AB交于E，则PO2=P"+2,中2=27\E=普=25一焉

二当P。值最小时，口超取最小值；

设P(x,y),则P。？=x2+y2=y2+4y+12=(y+2)2+8

当y=-2时，PO2有最小值8,P(2,2)

设切点为72(%2,%)，

则PT1的方程为/X+yj=2,PT^的方程为小乂+,2y=2,

把(2,2)分别代入求得2%+2%=2,2X2+2y2=2

.••直线T1T2的方程是2x+2y=2,化简得x+y-l=0

故答案为：x+y—1=0.

设圆心为。(0,0),PO与T打2交于E,则尸。2=「r+2,7m=27\E=鬻=2小一急当P。值最

小时，”乙取最小值，求出P的坐标，设出两切点坐标，根据圆的切线方程公式分别写出两条切线方

程，然后把P点坐标代入后得到过两切点的直线方程即可.

此题考查学生掌握圆的切线方程公式,灵活运用点的坐标与直线方程的关系写出直线方程，是一道

中档题.

15.答案：空

事

解析：试题分析：设雅磁雄，则双曲?戋的渐近线方程瞿=过点举作双曲线两渐近线的平行

谢

方程为■津=it士曝一好

前

国馈

卜胖=一加『看=正联多，

由，！%,解得4,艮

般=一日(常一渊¥承=3

V..渤v.a

，胪=一案

产，解得!

由]

9=一快一崛

就

由—据—Y噎=亍,故答案为呈

考点：双曲线的几何性质.

16.答案：%(1—3%)

解析：解：设%E(-8,0],则一工€[0,+8),

可得/(一%)=-X(l+3-%)),

•・,/(%)为R上的奇函数

/(x)=—/(—x)=x(l—3%)

故答案为：x(l-3%)

先设%£(-8,0],则一％W[0,+8),可得/(一%)=-％(1+3-x)),再由/(%)为R上的奇函数求解.

本题主要考查利用函数的奇偶性来求对称区间上的解析式，要注意求哪个区间上的解析式，在哪个

区间上取变量.

17.答案：(1)证明：由题意可知乙4CO=乙4EC,ACAD=CEAC

AV”厂

ADCACE,CD-AC

同理，器=噜

BEAE

XvAB=AC,

S=■--BE-CD=BD-CE

(2)解：如图，由切割线定理，得FB'2=FD,FC,

•・,CE//AB,

・♦・Z-FAD=乙AEC,

又・・・/8切圆于B,AACD=Z.AEC././.FAD=Z.FCA,

Appr\

：.^AFD-^CFA,即4F2=FD-FC,

CFFA

•••FB2=AF2,即FB=R4,F为线段48的中点.

解析：⑴证明△ADC-△力CE,可得胃=若，同理，附=*利用4B=4C,即可得出结论；

CCnCDC/1C

(2)由切割线定理，得FB2=FD-FC,证明△AFDsz\CR4,^^AF2=FD-FC,即可证明F为线段

4B的中点.

本题考查三角形相似的判断与运用，考查切割线定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.

18.答案：解：(1);各组的频率和等于1,

.,•第四组的频率启=1-(0.0254-0.015x2+0.01+0.005)x

10=0.3,0.03

直方图如右图.

纵坐标是0.03.

依题意，60分及以上的分数所在的第三、四、五、六组，

频率和为(0.015+0.03+0.025+0.005)x10=0.75,

••・抽样学生成绩的及格率是75%.

(口)由题间，知每抽一名学生，抽到80〜100分学生的概率。为0.3,且x〜B(3,0,3),

AP(X=0)=CC2的=0.343,

P(f=1)=6x0.3X0.72=0.441.

p(《=2)=Cfx0.32x0.7=0.189.

=3)=废XO.33=0.027.

・•.随机变量X的分布列为：

X0123

P0.3430.4410.1890.027

・•・EX=3x0.3=0.9.

解析：(I)利用频率分布直方图能求出第四组的频率，由此能补齐直方图，能求出抽样学生成绩的

及格率.

(口)由题间，知每抽一名学生，抽到80〜100分学生的概率为0.3,且x〜8(3,0,3)，由此能求出X的分

布列和数学期望.

本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是中档题，在历年高

考中都是必考题.

19.答案：⑴,=’%：-翳(2)期=］瓢;，切点坐标为启，骞.

解析：试题分析：解：⑴史於隰

在点（X-⑥既处的切线的斜率蕨/修黛够1=出，

切线的方程为¥=1©裔:-妻；

（2）设切点为侬3死J,则直线/的斜率为/窜码：/=翁蜷心，

J2直线5的方程为：/阳蜷碰健新噌模厂瞬.

又直线£过点（遵，,@3,

«"»,o=像滁习十£*—应J+年金卜黑2-1盛,

整理，得黑］i=1-德，二,苟：=—髻，

二，飕：=《—霸书《一期一照=一筮尊，

的斜率瓶=筑:感-幻产.♦,=腮，二直线&的方程为芹=J瓠;，切点坐标为好号

考点：切线的方程

点评：导数常应用于求曲线的切线方程、求函数的最值与单调区间、证明不等式和解不等式中参数

的取值范围等。

20.答案：解：（I）根据上表数据在下列网格中绘制散点图，8|V._____________...«

如图所示；:二二二二二二二二二二二

（口）根据上表提供的数据，:二二二二二二二二二二二

3-------------1•--------------------------------

计算％=gX（2+3+4+5+6+8+9+ll）=6,）-------,----------------

歹=gx(l+2+3+3+4+5+6+8)=4,567891011

第1%团一?1^7_241-8X6X4_49

E匕靖一位2-356-8X62-68

.­•y关于%的线性回归方程?=-・

oo34

（HI）根据（口）中的计算结果,

x=2n4»时rj-4-，y'-49x2.4y11=弁577"1.„7；

所以该商店一次性进货该商品24吨，预测需要销售17天.

解析：(I)根据表中数据绘制散点图即可;

(H)根据表中数据计算已歹和回归系数，写出线性回归方程；

(HI)根据(U)中线性回归方程计算x=24时9的值即可.

本题考查了散点图与线性回归方程的应用问题，是中档题.

21.答案：(1)证明：因为E点是下底半圆弧中点，

所以A/IDE为等腰直角三角形，^ADE=45°,

因为4BC。-41勺6。1是正方体，所以4。&4=45°,

所以AC〃ED,因为3修〃