《数学（上 一册）（第二版）》 课件全套 第1-9章 不等式与集合 -排列组合与概率统计本

不等式与集合第1章1目录1.1不等式的性质与解集1.2一元一次不等式（组）1.3一元二次不等式1.4含有绝对值的不等式1.5简易逻辑2教学要求：1.理解并掌握不等式的基本性质，掌握基本不等式及应用。2.了解集合的概念与表示方法，掌握常用数集的记法。理解区间的含义及表示方法，会进行数集与区间的互化。掌握用集合、区间表示不等式解集的方法，并能把解集在数轴上表示出来。3.掌握一元一次不等式（组）的解法。了解集合交集的概念及运算，理解集合之间的关系。34.了解一元二次方程、二次函数和一元二次不等式的关系，会用数形结合的思想方法求解一元二次不等式，了解并集的概念及运算。5.体会绝对值的几何意义，会用变量代换的思想方法解含有绝对值的不等式，了解补集的概念及运算。6.了解命题的概念，会判断命题的真假。理解充分条件、必要条件、充分必要条件的意义，会利用它们判断两个命题之间的关系。41.1不等式的性质与解集5实数的大小我们知道，实数与数轴上的点之间可以建立一一对应关系。例如，点A与实数2对应，点B与实数-3对应等。可以看到，当数轴上一点P从左向右移动时，它对应的实数就逐渐增大。6数轴上的任意两点中，右边的点对应的实数比左边的点对应的实数大。例如，点A位于点B的右边，则点A对应的实数2比点B对应的实数-3大，即2>-3。在数轴上，如果点A在点B的右边（或左边），点A对应的实数为a，点B对应的实数为b，则有a>b（或a<b）。对于任意两个实数a和b，它们具有如下基本事实：a-b>0⇔a>b，a-b=0⇔a=b，a-b<0⇔a<b。由此可知，要确定两个实数a和b的大小关系，还可以通过比较它们的差与0的大小关系进行判定。7不等式的基本性质从实数的大小关系出发，可以得到不等式的基本性质：性质1不等式的两边同时加上（或减去）同一个实数，不等号的方向不变，即如果a>b，那么a+m>b+m；如果a<b，那么a+m<b+m。性质2不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即如果a>b且m>0，那么am>bm；如果a<b且m>0，那么am<bm。8性质3不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向要改变，即如果a>b且m<0，那么am<bm；如果a<b且m<0，那么am>bm。性质4不等式具有传递性，即如果a>b且b>c，那么a>c。9基本不等式及其应用我们知道，对于任意实数a，都有a2≥0。那么，对于任意实数x，y而言，必定有（x-y）2≥0，当且仅当x=y时等号成立。将（x-y）2≥0的左边展开得x2-2xy+y2≥0，移项得x2+y2≥2xy。这表明对于任意实数x，y，都有x2+y2≥2xy，

①当且仅当x=y时，等号成立。10特别地，当a>0，b>0时，我们用

分别代替x，y，则不等式①变为a+b≥2

，即通常称不等式②为基本不等式，其中，

称为a，b的算术平均数，

称为a，b的几何平均数。因此，不等式②表达的结论为：两个正实数的几何平均数不超过算术平均数。当a，b的和一定时，若不等式②中等号成立，则a，b的几何平均值

取最大值；当a，b的积一定时，若不等式②中等号成立，则a，b的算术平均值

取最小值。利用这个特性，可以很方便地解决一些求最大（小）值的实际问题。11集合的概念不等式的解的全体也被称为解集。一般地，某些指定的对象组成的全体就是一个集合（简称集）。集合通常用大写英文字母A，B，C，…表示。例如：满足不等式x<3的全体自然数0，1，2组成集合A，满足不等式x+3<5的全体实数组成集合B。12集合中的每个对象都称为这个集合的元素。集合的元素通常用小写英文字母a，b，c，…表示。集合中的元素必须是确定的。如果给定一个集合，则任何一个对象是否为其中的元素应可明确判断。一个给定集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的。只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A。13集合的元素可以是字母、数字，甚至是图形。如果集合中的元素是数，那么这样的集合叫作数集。常用数集及其记法见下表。我们把不含任何元素的集合称为空集，记作∅。例如，方程x2+2=0没有实数解，因此，方程x2+2=0的实数解组成的集合就是∅。14常用数集表集合的表示方法通常有两种：列举法和描述法。我们将实例考察第（1）题中的集合A表示为{0，1，2}。像这样通过在大括号内一一列举集合中的所有元素表示集合的方法叫作列举法。用列举法表示集合，元素之间要用逗号分隔开。我们将实例考察第（2）题中的集合B表示为{x|x<2，x∈R}。用集合中元素的共同特征来表示集合的方法叫作描述法。描述法的一般形式为{x|x具有的共同特征}。使不等式成立的未知数的全体组成的集合，称为不等式的解集。15区间的概念不等式的解集往往是数集。设a，b是两个实数，且a<b，我们规定：1.数集{x|a≤x≤b}称为闭区间，用符号[a，b]表示。2.数集{x|a<x<b}称为开区间，用符号（a，b）表示。3.数集{x|a≤x<b}称为左闭右开区间，用符号[a，b）表示。4.数集{x|a<x≤b}称为左开右闭区间，用符号（a，b]表示。16上面的这些数集都称为区间，其中[a，b）和（a，b]统称为半开半闭区间。这里的实数a，b分别称为区间的左端点和右端点。区间在数轴上可以用一条以a，b为端点的线段表示，区间闭的一端用实心点表示，区间开的一端用空心点表示。175.实数集R可用区间（-∞，+∞）表示，数集{x|x≥a}，{x|x≤b}，{x|x>a}，{x|x<b}则分别可用区间[a，+∞），（-∞，b]，（a，+∞），（-∞，b）表示。其中，a，b也称为区间的端点，“+∞”读作“正无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”。181.2一元一次不等式（组）19一元一次不等式只含有一个未知数，并且未知数的次数是一次的不等式，称为一元一次不等式。我们在初中已经学过一元一次不等式的解法，即利用不等式的基本性质，将不等式逐步化成x<a（或x>a）的形式。基本步骤是：去分母→去括号→移项→合并同类项→未知数的系数化为1。因为实数与数轴上的点一一对应，所以不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来。20一元一次不等式组一元一次不等式组含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组。不等式组的解集不等式组中各不等式的解集的公共部分。一元一次不等式组解法的基本步骤：（1）求出不等式组中各不等式的解集；（2）分别作出各不等式的解集的数轴表示，找出公共部分，得到不等式组的解集（若公共部分不存在，则不等式组的解集为空集）。21两个一元一次不等式所组成的一元一次不等式组的解集情况，可以归结为以下四种基本类型。22为了直观地表示一个集合，我们可以在平面上画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个非空集合，这种图称为Venn图。集合A与B的交集A∩B可用Venn图表示，图中的阴影部分即表示A∩B。若两个集合没有公共元素[如例1（2）不等式组中两个不等式的解集]，则这两个集合的交集为空集，记作A∩B=∅。23我们规定，空集是任何集合的子集。也就是说，对于任意一个集合A，都有⌀⊆A。对于任意一个集合A，它的所有元素都属于集合A本身，所以任意一个集合都是它本身的子集，即A⊆A。集合A与集合B的包含关系A⊆B（或B⊇A），可以用图表示。24设集合A={4，6，8，10}，集合B={2，4，6，8，10}，则集合A⊆B，且集合B中存在元素2∉A。这时，我们称集合A是集合B的真子集。我们规定，空集是任何非空集合的真子集，也就是说，对于任意一个非空集合A，都有⌀⫋A。集合B与它的真子集A的关系，可以用上图a表示。25对于常用数集N，Z，Q，R来说，有N⫋Z⫋Q⫋R。使用Venn图可以清楚地表示这种真包含的关系，如图所示。设集合A={2，3}，集合B={x|x2-5x+6=0}，考察方程x2-5x+6=0的实数解可知，集合A与集合B中的元素是一样的。根据子集的定义得A⊆B且B⊆A。26由集合相等的定义，可以知道，{x|x2-7x+12=0}={3，4}。又如：{中国古代四大发明}={指南针，火药，造纸术，印刷术}，

{平行四边形}={两组对边分别平行的四边形}

={对角线互相平分的四边形}。271.3一元二次不等式28一元二次不等式受各种成本和销售策略的影响，随着商品销量提升，企业的利润并非总是均匀增加的。请研究以下案例：商场某商品的存货量为200件。在存货支持的范围内，商场一天销售该商品的数量x（单位：件）与利润y（单位：元）之间满足关系式y=-10x2+400x（x∈N）。如果商场计划在一天内通过销售该商品产生3000元以上的利润，那么一天内至少应销售多少件?根据问题得不等式-10x2+400x>3000（x∈N），整理得x2-40x+300<0（x∈N）。这是一个关于x的不等式，求出满足这个不等式的解是问题的关键。29类似实例考察中的不等式还有很多，例如：x2-x+1>0，-2x2+3x+5<0。上述不等式都是只含有一个未知数，且未知数的最高次数为二次的不等式，我们把这样的不等式称为一元二次不等式，它的一般形式是ax2+bx+c>0，或ax2+bx+c<0，其中，a，b，c均为常数，a≠0。需要说明的是，整理后没有二次项的一元不等式不是一元二次不等式。30如何求一元二次不等式的解集呢?二次函数y=x2-x-2的图像如图所示，观察图像并讨论：（1）当y=0时，x取什么值?（2）二次函数y=x2-x-2的图像与x轴交点的坐标是什么?（3）当y<0时，x的取值范围是什么?（4）当y>0时，x的取值范围是什么?31我们知道，二次函数y=x2-x-2的图像是一条开口向上的抛物线，因此：（1）当y=0时，即得到一元二次方程x2-x-2=0，解得方程的两个实数根x1=-1，x2=2。（2）由上图可知，二次函数y=x2-x-2的图像与x轴交点的坐标分别是（-1，0），（2，0）。（3）当y<0时，x的取值范围是（-1，2），即不等式x2-x-2<0的解集为（-1，2）。（4）当y>0时，x的取值范围是（-∞，-1）或（2，+∞）。32集合A与B的并集A∪B可用Venn图表示，图中的阴影部分即表示A∪B。因此，不等式x2-x-2>0的解集为（-∞，-1）∪（2，+∞）。上述方法可以推广到任意的一元二次不等式。33我们知道，对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0），设Δ=b2-4ac，它的根按照Δ>0，Δ=0，Δ<0可分为三种情况。相应地，二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的位置关系也可分为三种情况。因此，我们可分三种情况来讨论对应的一元二次不等式的解集。341.4含有绝对值的不等式35含有绝对值的不等式在生产和生活中，我们经常会接触到有误差范围的技术要求。图是一工件加工图纸，要求加工的过程中，三角形的高为30mm，误差范围在±0.042mm，若一名学生加工的工件高为dmm，则d必须满足什么条件，工件才合格?36设学生实际加工的工件高与30mm之间的差为x，则x=d-30。由以上要求可知x最大为0.042，最小为-0.042，因此得-0.042≤x≤0.042。观察图所示数轴，数轴上符合-0.042≤x≤0.042的点到原点的距离小于等于0.042，也就是说，x≤0.042，即37类似实例考察中得到的不等式还有很多，例如

等。像这样的不等式称为含有绝对值的不等式。由实例考察可知

≤0.042可转化为-0.042≤x≤0.042，也就是说

≤0.042的解集是[-0.042，0.042]，即为上图所示。类似地，若

>0.042，则在数轴上表示x的点到原点的距离大于0.042，即x<-0.042或x>0.042。因此，不等式

>0.042的解集是（-∞，-0.042）∪（0.042，+∞）。38根据以上分析，可以得出下表的结论。应用这个结论及不等式的性质可以解类似≤0.042，>5等较复杂的不等式。39全集与补集我们考察不等式

≤a的解集A，

>a（a>0）的解集B以及实数集R三个集合之间的关系。由图可知：不等式

≤a的解集A与

>a（a>0）的解集B都是实数集R的子集，解集A与解集B的交集为∅，而并集等于实数集R。像这样，如果作为研究对象的集合都是某个给定集合的子集，那么这个给定的集合就称为全集，常用符号U来表示。40在画Venn图时，我们通常用矩形的内部表示全集U，则在矩形内，集合A的外部表示的就是∁UA，如图中的阴影部分。411.5简易逻辑42命题判断真假是生活中常见的问题。请你判断下面所说的事情是真是假，并总结这四句话的共同点。（1）长城属于中国；（2）雪是黑的；（3）5是自然数；（4）11>25。43实例考察中四句话的共同点是：都是陈述句，都可以判断真假。实例考察的这些语句中，（1）（2）（3）（4）都是命题。其中，（1）（3）是真命题；（2）（4）是假命题。44为了方便，我们常用小写字母p，q，r，s，…表示命题。当命题p是真命题时，可简称p为真；当命题p是假命题时，可简称p为假，例如：r：5是自然数。r为真s：11>25。

s为假上述两个判断的意思是：命题r为“5是自然数”，是真命题；命题s为“11>25”，是假命题。45例题解析

例1下列语句是不是命题?如果是命题，指出它的真假；如果不是命题，说明理由：（1）空集是任何集合的子集。

（2）对数函数是增函数吗?（3）

=-2。

（4）x=5。（5）π是有理数。

（6）上课请不要讲话!分析判断一个语句是不是命题，就是要看它是否符合“陈述句”和“可以判断真假”这两个条件。解上面6个语句中，（2）（6）不是陈述句，所以它们都不是命题；（4）是陈述句，但因为无法判断它的真假，所以它也不是命题；其余3个都是陈述句，而且都可以判断真假，所以它们都是命题，其中（1）是真命题，（3）（5）是假命题。46上面列举的命题都是用一句简单的陈述句表达的，我们把这类命题称为简单命题。除此之外，还有一类命题是由一些连接词把一些简单命题连接起来构成的，例如：（1）12是4的倍数，且12是6的倍数。（2）3+4=7或3+4>7。（3）6不是分数，也不是整数。（4）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。（5）若整数a是素数，则a是奇数。47我们把这类命题称为复合命题。其中，（4）（5）具有“如果p，那么q”或“若p，则q”的形式，通常我们把这种形式的命题中的p称为命题的条件，q称为命题的结论。有关复合命题的真假，我们将通过实例来讨论。数学中有一些命题虽然表面上不是“若p，则q”的形式，例如“垂直于同一条直线的两条直线平行”，但是把它的表述作适当改变，就可以写成“若p，则q”的形式：若两条直线垂直于同一条直线，则这两条直线平行。这样，它的条件和结论就很清楚了。48四种命题考察下面命题的几种变化，各种变化形式之间是怎样的关系?有什么特点?如果天下雨，那么露天的地面湿。

①变化1把命题①的条件与结论互换，得：如果露天的地面湿，那么天下雨。

②变化2把命题①的条件与结论都否定，得：如果天没下雨，那么露天的地面不湿。

③变化3把命题①的条件与结论互换后再否定，得：如果露天的地面不湿，那么天没下雨。

④49命题①与②，③与④称为互逆命题，其特点是条件与结论交换了位置。命题③的条件与结论，恰好是命题①的条件与结论的否定，反过来也一样，我们把命题①与③称为互否命题。命题②与命题④的关系也是如此。命题④的条件与结论，恰好是命题①的结论与条件的否定，反过来也一样，我们称命题①与④互为逆否命题。命题②与③的关系也是如此。分析实例考察中的4个命题的真假，容易得出：命题①与④为真，命题②与③为假。实际上，互为逆否命题的两个命题同真或同假。50充分、必要和充要条件“充分”和“必要”是逻辑中两个十分重要的词汇，它们表明了两个命题间的基本关系。图表现了整数集合和自然数集合的关系。我们知道，如果a是自然数，那么a必是整数，也就是说，从“a是自然数”可以推出“a是整数”；但反过来，从“a是整数”不能推出“a是自然数”。因此，我们说：“a是自然数”是“a是整数”的充分而不必要条件；或者说：“a是整数”是“a是自然数”的必要而不充分条件。51根据上述定义，分析下面两个命题：p：三角形的三条边相等；q：三角形的三个内角相等。52由三角形的三条边相等可推出它的三个内角相等，即p⇒q，所以p是q的充分条件；由三角形的三个内角相等也可推出它的三条边相等，即q⇒p，所以p是q的必要条件。于是，我们就说“三角形的三条边相等”是“三角形的三个内角相等”的充分必要条件，即p是q的充分必要条件。53函数第2章54目录2.1函数的概念2.2函数的性质2.3幂函数2.4指数函数2.5对数函数55教学要求：1.理解函数的概念，会用函数观察、认识、分析客观世界中变量之间的关系。2.学会用恰当的方法（解析法、列表法、图像法）表示函数，会解读用列表法与图像法表示的函数关系的实际含义。3.会求一些简单的函数的定义域。4.理解函数值的概念，并会用观察与分析的方法得到一些简单的函数的值域。5.会用描点法画函数的图像。6.会通过观察与分析，判断函数的奇偶性、单调性，并能利用函数的单调性确定函数在有限区间上的最大值或最小值。567.了解反函数的概念以及求函数的反函数的基本方法。8.了解n次方根的概念，掌握实数指数幂的运算法则，能熟练地使用计算器求幂的值。9.了解由指数式引入对数概念的过程，理解对数的含义，掌握对数的运算法则，能熟练地使用计算器求对数值。10.学会运用函数知识理解和解决简单的实际问题。11.掌握数形结合的数学思想方法，了解幂函数、指数函数、对数函数模型的实际背景，理解它们的概念，了解它们的图像特征和性质，并能够将这些知识用于解释生活和生产中有关指数、对数规律变化的问题。572.1函数的概念58我们在初中已经初步接触了一些有关函数的概念：变量在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量。常量在一个变化过程中，数值保持不变的量称为常量。函数与自变量在某个变化过程中有两个变量，设为x和y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么变量y称为变量x的函数，x称为自变量。正比例函数形如y=kx（k≠0且k是常数）的函数称为正比例函数，其中常数k称为正比例系数。59反比例函数形如y=

（k≠0且k是常数）的函数称为反比例函数，其中常数k称为反比例系数。一次函数形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数称为一次函数。正比例函数是一种特殊的一次函数。二次函数形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数称为二次函数，其中a，b，c分别是二次项系数、一次项系数和常数项。60函数的概念我们知道，用不等式表示的x的取值范围就是满足相应不等式的实数x的集合，这种集合可以用区间表示。因此，实例考察的“面积”一例中，x的取值范围可以写成（0，+∞）；“个人所得税”一例中，x的取值范围可以写成（5000，8000]。进一步考察上面这两个例子会发现，x每取一个值，函数y按照对应法则，都有唯一的值与之对应。由此，我们可以加深对函数的认识：61例如，正比例函数y=kx（k≠0）的对应关系是“乘以k”，定义域是（-∞，+∞），值域也是（-∞，+∞）；二次函数y=x2+c的对应关系是“求平方再加c”，定义域是（-∞，+∞），值域是[c，+∞）。从函数的概念可以知道，函数的定义域和对应关系是构成函数的两大要素。函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就随之确定了。62函数的表示方法表示两个变量之间的函数关系的方法有解析法、列表法和图像法三种。解析法我们学过的正比例函数y=kx（k≠0），反比例函数y=

（k≠0），一次函数y=kx+b（k≠0），二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）都是用解析式来表示两个变量之间函数关系的。这种用解析式来表示函数的方法称为解析法。用解析法表示函数便于由自变量求出对应的函数值，也便于研究函数的性质。63列表法列表法是指用表格来表示两个变量之间函数关系的方法。例如，下表记录的是某同学小学一年级到五年级时，各学期的数学期末考试成绩。在这里，考试成绩是学期序号的函数。用列表法表示的函数便于直接查找自变量对应的函数值，但有时会数据不全。64图像法图像法是指在平面上用图像来表示两个变量之间函数关系的方法。例如，城市的平均气温与平均降水量是随着时间变化而变化的，例如图所示是某城市平均气温和平均降水量与时间的关系。实线是气温T（单位：℃）随着时间t变化的函数关系，虚线是平均降水量Y（单位：mm）随着时间t变化的函数关系。函数的图像法表示直观形象，能清晰地反映函数关系及变化趋势，但有时无法画出函数的完整图像。65函数关系的建立用数学方法解决问题时，常常需要把问题中的有关变量及其关系用数学的形式（代数式、方程、表、图或其他方法）表示出来。通常，这个过程称为建立数学模型，简称建模。函数模型是数学模型中最常用的一种。由于实践中的大量问题是两个变量之间的关系问题，因此建立两个变量之间的函数关系（函数模型）是很重要的。66在实际问题中，有时两个变量之间的对应关系式要分段来表示。例如，在省内投寄外埠平信，每封信的重量不超过20g时，付邮资0.8元；超过20g而不超过40g时，付邮资1.6元；超过40g而不超过60g时，付邮资2.4元。设平信的重量为xg（0<x≤60），应付邮资为y元，则有67①式表示了变量x∈（0，60]与y之间的函数关系，其中x是自变量，y是x的函数。这个函数与我们以前熟悉的各种函数不同，在自变量的不同取值范围内，函数的对应法则不同。我们把这样的函数称为分段函数。分段函数的定义域是自变量的几个取值范围的并集，它的图像要在同一个直角坐标系内逐段画出。①式所表示的函数就是一个定义域为（0，60]，值域为{0.8，1.6，2.4}的分段函数，它的图像如图所示。在日常生活和科学技术中，分段函数是经常遇到的一类函数。68对分段函数特别要注意以下几个问题：（1）分段函数在形式上，会有多于一个的表达式，但它仍然表示一个函数，不能理解成多个函数。（2）分段函数的图像一般由多于一段的线段或曲线段以及点组成，同样也应该把它们看作一个整体。（3）在求分段函数的函数值时，需要注意的是，对给定的自变量，首先要确定它的范围，再根据该范围的对应法则（函数表达式），计算函数值。692.2函数的性质70函数的奇偶性我们知道，二次函数f（x）=x2的图像是关于y轴对称的轴对称图形，这种对称性在数值上也能反映出来。通过计算，得到f（-1）=f（1），f（-2）=f（2）。事实上，对于任意的x∈（-∞，+∞），都有f（-x）=（-x）2=x2=f（x）。也就是说，函数f（x）=x2具有f（-x）=f（x）的特性。71如果函数y=f（x）（x∈D）是偶函数，那么函数y=f（x）的图像关于y轴对称。反过来，如果函数y=f（x）的图像关于y轴对称，那么这个函数一定是偶函数。72对于反比例函数

，我们知道，它的图像关于原点中心对称，这种对称性在数值上也能反映出来。对于任意的x∈（-∞，0）∪（0，+∞），都有也就是说，函数

具有f（-x）=-f（x）的特性。73如果函数y=f（x）（x∈D）是奇函数，那么函数y=f（x）的图像是关于原点对称的中心对称图形。反过来，如果函数y=f（x）的图像是关于原点对称的中心对称图形，那么这个函数一定是奇函数。一个函数是奇函数或偶函数，我们就说这个函数具有奇偶性。根据奇函数和偶函数的定义，可以得到：函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。如果一个函数既不是奇函数，又不是偶函数，我们就把这个函数称为非奇非偶函数。74函数的单调性我们知道，对于一次函数y=kx+b（k≠0），如果k>0，那么当x∈（-∞，+∞），且x逐渐增大时，y的值随之逐渐增大。如果k<0，那么当x∈（-∞，+∞），且x逐渐增大时，y的值随之逐渐减小。上述现象反映了函数的一个基本性质———单调性。观察二次函数y=x2-2，当x在定义域（-∞，+∞）内变化时，它的图像的变化趋势如图所示。我们发现，当x∈（-∞，0]，且x逐渐增大时，y的值随之逐渐减小；当x∈[0，+∞），且x逐渐增大时，y的值随之逐渐增大。7576如果函数y=f（x）在区间I上是单调增加或单调减少的，我们就说函数y=f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间I称为函数y=f（x）的单调区间。由上述可知，二次函数y=x2-2在定义域（-∞，+∞）上没有单调性，但在（-∞，0]上是单调减少的，区间（-∞，0]为函数的单调减区间；在[0，+∞）上是单调增加的，区间[0，+∞）为函数的单调增区间。77函数的最大值与最小值我们知道，二次函数y=x2-2的图像是一条抛物线，顶点（0，-2）是抛物线上的最低点，即对于任意的x，都有f（x）≥

f（0）。从而得到，当x=0时，函数y取得最小值为-2。由于该函数图像上没有最高点，所以函数y没有最大值。78反函数我们知道，圆面积S是圆半径r的函数，即S=πr2（r>0）。反过来，也可以由圆面积S来确定圆的半径r，即r=

（A>0）。这时，面积S是自变量，半径r是面积S的函数。在这种情况下，函数r=

（S>0）与函数S=πr2（r>0）有着特殊的关系，这种关系就是下面研究的反函数。79反函数的概念设函数y=f（x）（x∈D）的值域为M。根据这个函数中x，y的关系，求得x用y表示的解析式，即x=φ（y）。如果对于y在M中的任何一个值，通过x=φ（y），x在D中都有唯一的值和它对应，那么，x=φ（y）就表示y是自变量，x是y的函数。我们就将函数x=φ（y）（y∈M）称为函数y=f（x）（x∈D）的反函数，记作x=f-1（y）。在函数x=f-1（y）中，y表示自变量，x表示函数。但在习惯上，我们用x表示自变量，用y表示函数，即对调函数x=f-1（y）中的字母x，y而改写成y=f-1（x）（在本书中，函数y=f（x）的反函数都采用y=f-1（x）的形式）。例如函数y=4x（x∈R）的反函数为y=

（x∈R）。80f-1是f的逆对应。由反函数的概念可知，若函数y=f（x）有反函数y=f-1（x），那么函数y=f-1（x）的反函数就是y=f（x），即函数y=f（x）与y=f-1（x）互为反函数。对于函数y=f（x）（x∈D），只有当任意一个y∈M的值，都有唯一的x值与它对应时，y=f（x）在它的定义域D内才有反函数存在。81反函数的求法从反函数的概念我们不难得到如下结论：函数y=f（x）的定义域是它的反函数y=f-1（x）的值域；函数y=f（x）的值域是它的反函数y=f-1（x）的定义域。求函数的反函数的一般步骤为：（1）由y=f（x）解出x=f-1（y），即把x用y表示出来；（2）将x=f-1（y）改写成y=f-1（x），也就是将x=f-1（y）中的x，y对调；（3）写出反函数y=f-1（x）的定义域。82互为反函数的函数图像间的关系由上述所学可得，函数y=2x-1（x∈R）的反函数是y=

（x∈R），函数y=

（x≥0）的反函数是y=x2（x≥0）。我们画出原函数和它的反函数的图像，见图。83从上图可以看出，函数和它的反函数的图像关于直线y=x对称。一般地，函数y=f（x）的图像和它的反函数y=f-1（x）的图像关于直线y=x对称。反之，如果两个函数的图像关于直线y=x对称，则这两个函数一定是互为反函数。842.3幂函数85实数指数幂正整数指数幂零指数幂

a0=1（a≠0）负整数指数幂整数指数幂的运算法则（a，b≠0，m，n是整数）平方根若x2=a（a≥0），则称x为a的平方根（二次方根）。立方根若x3=a，则称x为a的立方根（三次方根）。86n次方根若xn=a（a为实数，n为大于1的正整数），则称x为a的一个n次方根。当n为偶数时，对于每一个正实数a，它在实数集里有两个n次方根，它们互为相反数，分别为

和

；而对于每一个负数a，它的n次方根是没有意义的。当n为奇数时，对于每一个实数a，它在实数集里只有一个n次方根，表示为

，当a>0时，

>0；当a<0时，

<0。0的n次方根是0，即

=0。87n次根式我们把形如

（有意义时）的式子称为n次根式，其中n称为根指数，a称为被开方数，非负数的n次方根

称为a的n次算术根，并且

=a（n>1，n为正整数）。学习了n次方根的概念，现在我们可以把整数指数幂推广到有理指数幂。例如，对于正分数指数幂，应用运算法则，有又因为所以88一般地，规定

，其中，当n为偶数时，a≥0；当n为奇数时，a∈R。等式

的左边是幂的形式，右边是根式的形式，根据需要可以相互转换。同样可以规定负分数指数幂的意义：设a≠0，n，m∈N*，且n>1，规定89这样，就把整数指数幂的概念推广到有理指数幂。可以证明整数指数幂的运算法则对有理数指数幂也同样适用，但需注意法则中出现的每一个有理数指数幂都应有意义。事实上，还可以将有理数指数幂推广到实数指数幂，当m，n为实数时，整数指数幂的运算法则也成立。90幂函数我们观察一次函数y=x，二次函数y=x2，反比例函数y=

（即y=x-1）的解析式，可以发现：它们都是以幂的形式出现，幂的底数是自变量x，指数是常数。幂函数的定义域与常数α的取值有关，由幂的性质可知1α=1，即x=1时，y=1，因此，幂函数的图像恒过点（1，1）。我们已经学过常见的幂函数y=xα（α=1，-1，2）的图像和性质，现在讨论另外两个具有代表性的幂函数的图像和性质。912.4指数函数92景区游客问题随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式。由于游客人数不断增加，某地为了增加景区外收入，自2001年起取消了景区门票收费。下表给出了该景区2001年至2015年的游客人次以及增加量，游客的人次有怎样的变化规律呢?93为了便于观察规律，根据表格，该景区取消门票收费后的15年游客人次的变化如图所示。观察图像和表格，我们发现年增加量越来越大，但难以看出变化规律。94我们知道，做减法可以得到游客人次的年增加量，做除法可以得到游客人次的年增加率，增加量、增长率是刻画事物变化规律的两个很重要的量。从2002年起，将景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到结果表明，景区的游客人次的年增长率都约为1.11-1=0.11，是一个常数。像这样，增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长。该景区的游客人次的变化就近似于指数增长。95显然，从2001年开始，景区游客人次的变化规律可以近似描述为：1年后，游客人次是2001年的1.111倍；2年后，游客人次是2001年的1.112倍；3年后，游客人次是2001年的1.113倍；……设x年后，游客人次是2001年的y倍，则y=1.11x（x∈N*），即经过x年后的游客人次是2001年的1.11x倍。96药物剩余问题某种药物静脉注射后，通过尿液排出体外，每经过1天，药物在体内的剩余量就减少50%。成人单次注射这种药物1g，经过x天后，药物在体内的剩余量是多少?1天后，药物在体内的剩余量是1×50%=0.5g；2天后，药物在体内的剩余量是

g；3天后，药物在体内的剩余量是

g；……设x天后，药物在体内的剩余量是yg，则y=0.5x，即经过x天后，药物在体内的剩余量是0.5xg。由上述两个问题得到的函数具有相同的特点，即自变量x都作为指数，底数都是大于0且不等于1的常量。97指数函数的概念上面出现的两个函数：y=1.11x和y=0.5x，都是以幂的形式出现，指数是自变量x，底数是一个大于0且不等于1的常数。这类函数就是我们要研究的指数函数。指数函数y=ax（a>0，且a≠1）的定义域是（-∞，+∞）。98指数函数的图像和性质由于指数函数y=ax的底数a的取值范围可以分为0<a<1和a>1两种情形，我们以比较简单的指数函数y=2x和y=

为例进行讨论。为了便于研究，我们在同一平面直角坐标系中用描点法画出函数y=2x和y=

的图像。99列表（为便于绘图，无法整除的函数值保留2位小数）：从上面指数函数y=2x和y=

的图像，可以得到：（1）两个图像都在x轴上方，它们的函数值y>0。（2）两个图像都过点（0，1），即当x=0时，y=1。（3）y=2x的图像沿x轴的正方向上升，在定义域内是增函数；y=

的图像沿x轴的正方向下降，在定义域内是减函数。100一般地，指数函数y=ax（a>0，且a≠1）的图像和性质见下表：1012.5对数函数102细胞分裂的次数某种细胞的分裂规律为：1个细胞1次分裂成2个与它本身相同的细胞，即第1次分裂后，细胞的个数是2；第2次分裂后，细胞的个数是2×2=22；第3次分裂后，细胞的个数是；……那么，第几次分裂后恰好出现16个细胞?第几次分裂后恰好出现128个细胞?103对数的运算在代数式ab=N中有a，b，N三个量，若已知其中两个量，就可以求出第三个量。已知a，b，求N是乘方运算；已知b，N，求a是开方运算；那么，已知a，N，求b是什么运算呢?例如：（1）在实例考察中，设第b次分裂后恰好出现16个细胞，即已知2b=16，求b；（2）已知2b=5，求b。它们都是已知幂的底数和幂的值，求幂的指数的运算。由于24=16，所以（1）中的b=4。但（2）中的b是多少呢?要想解决这个问题，还需要学习新的知识———对数。104对数的定义例如，由于24=16，所以4是以2为底16的对数，记作log216=4；由于3-1=

，所以-1是以3为底

的对数，记作log3

=-1。105通常，我们称等式ab=N为指数式，称等式logaN=b为对数式。根据对数的定义，可以得到，当a>0，且a≠1时，ab=N⇔logaN=b。由上述指数式与对数式的关系，可以得到如下结论：（1）零和负数没有对数，即N>0；（2）loga1=0，logaa=1（a>0，且a≠1）；（3）alogaN=N（a>0，且a≠1）；（4）logaab=b（a>0，且a≠1）。106对数的运算法则若a>0，且a≠1，M>0，N>0，则有法则1法则2法则3107下面我们来证明法则1和法则3。设logaM=p，logaN=q，把它们化为指数式：M=ap，N=aq，M·N=ap·aq=ap+q，Mn=（ap）n=apn，所以loga（M·N）=logaap+q=p+q=logaM+logaN，logaMn=logaapn=pn=nlogaM。108常用对数和自然对数我们把以10为底的对数称为常用对数。log10N通常可简记为lgN。常用对数可以用计算器求值。以无理数e（e≈2.71828）为底的对数称为自然对数。logeN通常可简记为lnN。在科学技术中用得更多的是自然对数。自然对数也可以用计算器求值。109换底公式如何求log23呢?计算器上求对数的键只有

键和

键，因此，很自然地要把求log23的问题转化为求常用对数或自然对数的问题。设log23=x，则有2x=3。将上式两边取常用对数，有1g2x=1g3，即x1g2=1g3，110所以即同样，也可用自然对数表示log23的值，即我们将上述方法推广，就可给出对数的换底公式：若a>0，且a≠1，N>0，则有111对数函数的概念在实例考察中，设1个细胞经过y次分裂后，得到的细胞个数为x。我们知道x与y的关系为x=2y，指数式x=2y的对数式是y=log2x（x>0），它是细胞分裂的次数y关于细胞个数x的函数。函数y=log2x以对数形式出现，真数x为自变量，底数为常数。112由于对数函数y=logax（a>0，且a≠1）中，自变量x是真数，因此，对数函数的定义域是（0，+∞）。我们前面已学过指数函数y=ax（a>0，且a≠1），它的对数形式是x=logay。如果互换x=logay中的字母x，y，就可以把它改写成对数函数的形式：y=logax。由上可以看出，指数函数y=ax（a>0，且a≠1），x∈（-∞，+∞）和对数函数y=logax（a>0，且a≠1），x∈（0，+∞）是互为反函数的关系。113对数函数的图像和性质先看下面的例子。在图a中，分别作出了指数函数y=2x，y=10x和它们的反函数y=log2x，y=lgx的图像，在图b中分别作出了指数函数y=

和它的反函数y=

的图像。114通过观察可知：（1）a和b两图中，对数函数的图像都在y轴的右边。（2）a和b两图中，对数函数的图像都过点（1，0），即当x=1时，y=0。（3）y=log2x的图像沿x轴的正方向上升，对数函数y=log2x在定义域内是增函数；y=

的图像沿x轴的正方向下降，对数函数y=

在定义域内是减函数。115一般地，对数函数y=logax（a>0，且a≠1）的图像和性质见下表：116三角函数第3章117目录3.1角的概念及推广3.2任意角的三角函数3.3三角函数的诱导公式3.4两角和与两角差的三角函数3.5三角函数的图像与性质3.6已知三角函数值求角3.7解三角形118教学要求：1.了解任意角的概念，会在直角坐标系中表示任意角。2.理解弧度制是用实数表示角的一种度量方法，会进行角度与弧度的换算。3.会用三角函数的定义和同角三角函数的关系来求角的正弦、余弦和正切的值，会用计算器求任意角的三角函数值。4.会利用诱导公式把任意角的三角函数值化为锐角的三角函数值。5.会用五点法作正弦函数、余弦函数和正弦型函数的图像，并能根据图像得到它们的性质；会用描点法作正切函数的图像，并能根据图像得到它的性质。1196.能通过三角函数的学习，认识周期变化规律，并能用其解释一些自然现象。7.了解“已知三角函数值，求指定范围内的角”的方法。8.会利用计算器求已知三角函数值对应的角。9.熟记两角和与差的正弦、余弦、正切公式，会进行有关计算。10.理解直角三角形边角关系，掌握求解直角三角形的一般方法。11.通过对任意三角形边角关系的探索，掌握正弦定理和余弦定理及三角形面积公式。12.能应用正弦定理和余弦定理解三角形，并解决一些实际问题。1203.1角的概念及推广121我们知道，在平面内一条射线绕着端点O从一个位置OA旋转到另一个位置OB所形成的图形称为角。这条射线的端点O称为角的顶点，射线在旋转的初始位置OA称为角的始边，射线在旋转的终止位置OB称为角的终边。角常用小写希腊字母α，β，γ，…来表示。我们以前学习的角，其大小都在0°到360°之间，而在现实生活中，还有其他的角。例如，体操运动中的转体2周（转体720°）；另外，旋转的方向也有不同，如跳水运动中的向外翻腾与向内翻腾，汽车方向盘的左右旋转，用扳手旋紧或旋松螺母等。我们应该如何刻画这些现象呢?122角的概念的推广要准确地刻画上述现象，不仅要知道形成的角，而且要知道角形成的过程，既要知道角的旋转量，又要知道它的旋转方向。这就需要对角的概念进行推广。我们规定：按上述规定，我们就把角的概念推广到了任意角。123为了能准确地表示一个角，我们在画角的时候，不仅要表示出旋转方向，而且要把形成这个角的旋转过程表示出来。例如，在图中，正角α=600°，负角β=-60°。124象限角与终边相同的角为了方便，我们常把角放到平面直角坐标系中进行讨论。以平面直角坐标系xOy的原点O为角的顶点，让角的始边与x轴的正半轴重合，这时角的终边落在坐标系中的第几象限，就说这个角是第几象限角。如果一个角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限。例如，在图中，45°角是第一象限角，-240°角是第二象限角，585°角是第三象限角，300°角是第四象限角；90°角与-180°角不是象限角。125在0°~360°范围内，各象限角的范围如图所示。126在同一直角坐标系中，画出30°，390°，750°，-330°角，如图所示。从上图中可以看出，390°，750°，-330°角的终边都与30°角的终边相同。我们把它们称为与30°角终边相同的角，而且，30°=30°+0×360°，390°=30°+1×360°，750°=30°+2×360°，-330°=30°+（-1）×360°。127这样我们可以得到与30°角终边相同的角（含30°角在内）的一般表达式β=30°+k·360°，k∈Z。128弧度制在初中，我们把圆周分成360等份，每一份称为1度的弧，1度的弧所对的圆心角称为1度（1°）的角。我们还知道1°=60'，1'=60″。这种度量角的单位制称为角度制。在数学和工程实际中还常用另一种度量角的单位制———弧度制。我们规定：129如图所示，弧AB的长度等于圆O的半径r，则弧AB所对的圆心角为1rad的角。根据以上规定，在半径为r的圆中，长度为l的圆弧所对的圆心角α的大小是

rad，即130由于圆周的长度是2πr，在弧度制下它所对的圆心角的大小是因为周角用角度表示为360°，所以可得出360°=2πrad。由此可以得到度与弧度的换算公式：131角的弧度数用实数表示，且任何一个角的弧度数必定是唯一确定的实数；反过来，任何一个实数也都可以看作是一个弧度数，它对应唯一确定的一个角。因此，角（用弧度制表示）的集合与实数集R之间建立了一一对应关系，如图所示。132下表列出了一些常见角和特殊角的度数与弧度数的对应关系。采用弧度制后，与角α终边相同的角（含角α在内）的一般表达式为β=α+2kπ，k∈Z。例如，与

的角终边相同的角β可表示为β=

+2kπ，k∈Z。1333.2任意角的三角函数134在上一节的学习中，我们推广了角的概念，并介绍了在直角坐标系中表示角的方法，这种方法能否将锐角三角函数的概念推广到任意角的三角函数呢?下面我们先来考察在直角坐标系中的锐角三角函数。在直角三角形中如图所示，在直角三角形OPM中，∠M是直角。锐角α的对边是a，邻边是b，斜边是c，则有135在直角坐标系中如图所示，在锐角α的终边上任取一点P（原点除外），过点P作x轴的垂线，垂足为M，这样就得到了直角三角形OPM。设点P的坐标为（x，y），则角α的对边MP的长是y，邻边OM的长是x，斜边OP的长是r。其中，r=

（r>0）。由此，得到136任意角的三角函数的定义在实例考察中，我们得到，在直角坐标系中，锐角三角函数可以用其终边上点的坐标来定义。这种方法同样适用于定义任意角的三角函数。如图所示，在任意角α的终边上任取一点P，设点P的坐标为（x，y），OP=r，则137我们规定：根据相似三角形的知识，对于确定的角α，其正弦、余弦和正切（如果存在的话）的值都是唯一确定的，与点P在角α的终边上的位置无关。因此，正弦、余弦和正切都是以角α为自变量的函数，分别称为角α的正弦函数、余弦函数和正切函数，它们都是关于角α的三角函数。138必须指出，在tanα=

中，x≠0表示角α的终边不能在y轴上，即只有当α≠

+kπ（k∈Z）时，tanα才有意义。除此以外，对于每一个确定的角α，三个函数都有意义。139下面给出了一些常见角和特殊角的三角函数值。记住这些三角函数值对解决实际问题会有很大帮助。140三角函数值的符号根据任意角三角函数的定义，我们知道，角α的终边上点P坐标值的符号决定了角α的三角函数值的符号。各三角函数值在各个象限的符号列表如下：141为了便于记忆，我们把sinα，cosα和tanα的正负号标在各个象限中，如图所示。142利用计算器求已知角的三角函数值利用计算器求已知角的三角函数值时，角的大小、正负可以是任意的；角的单位可以是度，也可以是弧度。因此在计算三角函数值之前，必须先使用

键，把计算器调到需要的状态。143同角三角函数的基本关系因为x2+y2=r2，所以当α≠

+kπ（k∈Z）时，由三角函数的定义可得144于是，得出同角三角函数的基本关系：当我们知道一个角的某个三角函数的值时，借助同角三角函数的基本关系和三角函数的定义，就可求出这个角的其他的三角函数的值。另外，还可以利用它们来化简同角的三角函数式。1453.3三角函数的诱导公式146对于任意角α，在直角坐标系中，角α+2kπ（k∈Z），-α，π+α，π-α的终边与角α的终边有着特殊的关系。我们可以用几个公式表达上述关系。这些公式称为诱导公式。有关α+2kπ（k∈Z）的诱导公式我们知道，在直角坐标系中，角α+2kπ（k∈Z）与角α的终边相同。根据三角函数的定义，它们的同名三角函数值相等，即利用公式一，我们能将任意角的三角函数化为[0，2π）内的角的三角函数。147有关-α的诱导公式根据负角的定义可以知道，在直角坐标系中，角-α与角α的终边关于x轴对称。如图所示，在角α的终边上取一点P，使OP=1，设点P的坐标为（x，y），则点P'（x，-y）必在角-α的终边上，且OP'=r=1，所以148由此，得到有关-α的诱导公式：利用公式二，我们能将任意负角的三角函数转化为正角的三角函数。由公式一和公式二得：sin（2π-α）=sin（-α+2π）=sin（-α）=-sinα，cos（2π-α）=cos（-α+2π）=cos（-α）=cosα，tan（2π-α）=tan（-α+2π）=tan（-α）=-tanα。由此，得到2π-α的诱导公式：149有关π±α的诱导公式如图所示，把任意角α的终边按逆时针旋转π弧度，就得到了角π+α的终边。从图中可以看出，角π+α的终边与角α的终边关于原点对称。在角α的终边上取一点P，使OP=1，设点P的坐标为（x，y），则点P'（-x，-y）必在角π+α的终边上，且OP'=1。所以150由此，得到有关π+α的诱导公式：由公式四和公式二得sin（π-α）=sin[π+（-α）]=-sin（-α）=sinα，cos（π-α）=cos[π+（-α）]=-cos（-α）=-cosα，tan（π-α）=tan[π+（-α）]=tan（-α）=-tanα。由此，得到有关π-α的诱导公式：151利用三角函数的诱导公式将任意角的三角函数化为锐角三角函数时，一般可按下面步骤进行：1523.4两角和与两角差的三角函数153某城市的电视发射塔建在近郊的一座小山上，如图所示。小山高BC约为50m，在地平面上的A处，测得A，C两点间的距离约为130m，测得电视发射塔的视角（∠CAD）约为45°，求这座电视发射塔的高度。154设这座电视发射塔的高CD=xm，∠BAC=α。在Rt△ACB中在Rt△ADB中155如果能根据sinα=

和45°的三角函数值求得tan（45°+α）的值，那么上式就是一个关于x的一元一次方程，由此就能很方便地求得这座电视发射塔的高度。如何根据sinα=

和45°的三角函数值求得tan（45°+α）的值呢?也就是说，如果知道了任意角α和β的三角函数值，那么如何利用它们来表示α+β和α-β的三角函数值呢?这些就是本节要解决的问题。156两角和与差的余弦下面我们来研究关于用角α和β的三角函数值表示cos（α-β）的问题。如图a所示，圆O的半径为1（圆O是单位圆），圆O与x轴正半轴的交点为P0（1，0），任意角α，β和α-β的终边与圆的交点依次为P1，P2和P3，则|OP1|=|OP2|=|OP3|=1。根据三角函数的定义可知，点P1，P2，P3的坐标分别是（cosα，sinα），（cosβ，sinβ），[cos（α-β），sin（α-β）]。如图b所示，连结P0P3和P1P2，由于∠P2OP1=∠P0OP3=α-β，根据相等的圆心角所对的弦长相等，得|P0P3|=|P1P2|。157158根据两点间的距离公式，有

|P0P3|2=[cos（α-β）-1]2+[sin（α-β）-0]2

=cos2（α-β）-2cos（α-β）+1+sin2（α-β）

=2-2cos（α-β），

|P1P2|2=（cosα-cosβ）2+（sinα-sinβ）2

=cos2α-2cosαcosβ+cos2β+sin2α-2sinαsinβ+sin2β

=2-2（cosαcosβ+sinαsinβ）。因为|P0P3|2

=|P1P2|2，所以2-2cos（α-β）=2-2（cosαcosβ+sinαsinβ）即cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，上式对任意角α和β都成立。159在上面的公式中，用-β代替β，得cos[α-（-β）]=cosαcos（-β）+sinαsin（-β）

=cosαcosβ-sinαsinβ，即cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ。这样，我们得到两角和与差的余弦公式：160两角和与差的正弦161在上面的公式中，用-β代替β，推导出sin（α-β）的三角公式：sin（α-β）=sin[α+（-β）]

=sinαcos（-β）+cosαsin（-β）

=sinαcosβ-cosαsinβ。这样，我们得到两角和与差的正弦公式：162asinx±bcosx的转化下面我们来讨论怎样将asinx±bcosx（a>0，b>0）化为Asin（x±φ）（A>0，0<φ<

）的正弦型表达式。我们假设asinx±bcosx=Asin（x±φ）（a>0，b>0），由于Asin（x±φ）=A（sinxcosφ±cosxsinφ）

=Acosφsinx±Asinφcosx，所以163由此可得A2cos2φ+A2sin2φ=a2+b2，即A2（cos2φ+sin2φ）A2=a2+b2，A=则有根据上述结果可得唯一确定的锐角φ。也可以从图所示直角三角形中得到A和φ。164两角和与差的正切当α，β和α±β都不等于

+kπ（k∈Z）时，有把这个分式的分子、分母的各项同除以cosαcosβ（cosαcosβ≠0），得165在上面的公式中，用-β代替β，得即这样，我们得到两角和与差的正切公式：166二倍角公式在公式sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ中，令β=α，则得二倍角正弦公式：在公式cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ中，令β=α，则得二倍角余弦公式：如果要求二倍角的余弦公式（C2α）中仅含α的正弦（余弦），那么又可得到：167在公式tan（α+β）=中，令β=α，则得二倍角正切公式：以上公式都称为二倍角公式，简称倍角公式。倍角公式给出了α的三角函数与2α的三角函数之间的关系。二倍角公式具有相对性，即公式左端的角总是右端角的二倍。根据这个特点，可以灵活运用公式。例如：1683.5三角函数的图像与性质169正弦函数y=sinx的图像与性质正弦函数y=sinx的图像先用描点法画出y=sinx在区间[0，2π]上的图像。列表：用计算器计算表中的正弦函数值（精确到0.01），并填入表中。170描点：以表中对应x，y值为坐标，在平面直角坐标系中描点。连线：将所描各点顺次用光滑曲线连接起来，即完成所画的图像。图b所示为用计算机软件绘制的正弦函数在区间[0，2π]上的图像。请参照此核对你画的图像。171正弦函数的定义域是R，因此我们需要将正弦函数y=sinx（x∈[0，2π]）的图像向两边扩展。现在，我们利用描点法在同一坐标系中继续画出正弦函数y=sinx在区间[-2π，0]上的图像（即图中y轴左侧的曲线）。172从图中可以看到，正弦函数在区间[-2π，0]和[0，2π]上的图像形状完全相同，只是位置不同。因此，y=sinx在区间[-2π，0]上的图像，可以看作是把y