06函数的单调性与最值

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函数的单调性与最值

06函数的单调性与最值

知识网络定义函数的概念三要素表示定义域对应法那么值域单调性对称性函数的基本性质奇偶性周期性最值函数常见的几种变换基本初等函数

列表法解析法图象法观测法、判别式法、分别常数法、单调性法、最值法、重要不等式、三角法、图象法、线性规划等

1.求单调区间：定义法、导数法、用已知函数的单调性.2.复合函数单调性：同增异减.1.先看定义域是否关于原点对称，再看f(-*)=f(*)还是-f(*).2.奇函数图象关于原点对称，假设*=0有意义，那么f(0)=0.3.偶函数图象关于y轴对称，反之也成立.f(*+T)=f(*);周期为T的奇函数有：f(T)=f(T/2)=f(0)=0.二次函数、基本不等式，对勾函数、三角函数有界性、线性规划、导数、利用单调性、数形结合等.平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换.

函数

正(反)比例函数;一次(二次)函数;幂、指、对函数;单调性：同增异减定义、图象、性质和应用

复合函数抽象函数函数与方程函数的应用常见函数模型

赋值法函数零点、二分法、一元二次方程根的分布

幂、指、对函数模型；分段函数；对勾函数模型

06函数的单调性与最值

要点梳理1.函数的单调性

忆一忆知识要点

(1)单调函数的定义增函数减函数一般地，设函数f(*)的定义域为A,区间MA.假如取区间M中的任意两个自变量*1,*2定当*1*2时，都有当*1*2时,都有义f(*1)f(*2)____________,那么函数__________,那么函数f(*)f(*1)f(*2)f(*)在区间M上是增函数在区间M上是减函数图象描上升的下降的述自左向右看图象是______自左向右看图象是_____

06函数的单调性与最值

要点梳理

忆一忆知识要点

(2)单调区间的定义增函数减函数假设函数f(*)在区间M上是_______或________,那么称函数f(*)在这一区间具有(严格的)单调性，________叫做y区间M=f(*)的单调区间.

2.函数的最值前提设函数y=f(*)的定义域为I,假如存在实数M满意(3)对于任意*∈I,都有f(*)≥M;(4)存在*0∈I,使得f(*0)=M.

(1)对于任意*∈I,都有f(*)≤M;条件(2)存在*0∈I,使得f(*0)=M.结M为最大值论

M为最小值

06函数的单调性与最值

题型一

函数单调性的判断及应用

【例1】已知函数f(*)=*2+1-a*,其中a0.(1)假设2f(1)=f(-1),求a的值；(2)证明：当a≥1时，函数f(*)在区间[0,+∞)上为单调减函数；(3)假设函数f(*)在区间[1,+∞)上是增函数，求a的取值范围.

(1)解:由2f(1)=f(-1),可得2-2a=2+a,22-2a=2+a,(1)解:由2f(1)=f(-1),可得222得a=.得a=.33

06函数的单调性与最值

(2)证明:任取*1,*2∈[0,+∞),且*1*2,12减函数；

(2)证明：当a≥1时，函数f(*)在区间[0,+∞)上为单调(2)证明:任取*,*∈[0,+∞)

,且

2222f(**2+1+a*2f(*1)-f(**,*2∈[0,+∞),且*)=22**∈[0,+∞),且*,(2)证明:任取***11,*22+1-a*1-1)-f(*2*1*,1+1-a*1-*2+(2)证明:任取2)=,*21∈[0,+∞),且**11*,,1(2)证明:任取f(*)在区间[1,+∞)上是增函数，求a的取值(2)证明:任取∈[0,+∞),且12(2)证明:任取*,*2∈[0,+∞),且*1*2,2(2)证明:任取11,*2∈[0,+∞),且1*22(3)假设函数222=2*22+1-*2+1-a(*1-*2)*2+1+a*22=)-f(*2)=**22+1-a*11-)22+1+a**1+1-+1-a(*f(*11)-f(*)=**+1-a*--*2+1+a*2222f(*1)-f(*2222)=2**11+1-a*1-*2*122+1+a**f(*11)-f(*)=221+1-a*-*22222f(*)-f(*)=11+1-a*1-22)-f(*1f(*1范围.f(*+1+a*211*1-*2*1-*2222222=**122+1-***2+1-a(*1-*2)2))2=**11+1-2*22+1-a(*1-*22*1+1-2+1-a(*1-*=112+1-22+1-a(*11-*+1-a(*==*22+1-*+1-a(*1-*2)222)*1+1+*2+1-a(*1-*2)2==*+1+22*+1-a(*-*221*2222222*-*22-*11-***2-*22**11-*221-*2*1+*2=2=-a(*-*=-a(*=*22221-a(*1=(*22*-a(*1-*2)2))=2*+1+**2+1-a(*11-*22)2)-*)-a(*1-*1+*21-*2*-*2)*+111+1+2+1**111+1+*2*22+1+1+222+1-a.2*2+1+*2+1-a.*11+1+22+1+1+=(*1212*+**1+1+*2*2+112**11+*21+***+*222(*1*2)(a).1*1+*2*1+*222∵0≤*1*1+1,0*2*2+1,-a...-a-a.22222.=(*-*))+1,0*2-a=(*-*=(*-*=(*11-*222)2*2122-a=(*11-*2***+1+*22+11=(*11-*1)))*11*212+1+*2**22+12-a∵0≤*2211+1+**+122*+1+2*2+1+1,*1+*2+1++1*1122+11+1+*122222+*∵0≤*111***11+1,0*22*2*22+1,2+1+*2+11.*2+1,0*21.2*22+1,**22+1,∵0≤*+1,0*∵0≤*2*1+1,0*2*2+1,∵0≤*11*+1,0*2∴0*1∴0∵0≤*12+1,0*122+1,2∵0≤*1*+1+*2+12+1,121**+*222*111+*21*+*221+*∴01.∴0222*1+*22221.又∵a≥1,∴f(*1)-f(*2)0,∴01.∴0221.∴01.22∴0***11+1+***2+11.*+1+12+1又∵a≥1,∴f(*+11+1+*21+1+2*2)-f(*2)0,1+1+2+1*1*2+1∴f(*)在[0,+∞)上单调递减.

又∵a≥1,∴f(*)-f(*)0,

又∵a≥1,∴f(*1)-f(*2)0,∴f(*)在[0,+∞)上单调递减.又∵a≥1,∴f(*)-f(*)0,又∵a≥1,∴f(*)-f(*)0,又∵a≥1,∴f(*111)-f(*

222)0,又∵a≥1,∴f(*)-f(*2)0,

06函数的单调性与最值

(3)假设函数f(*)在区间[1,+∞)上是增函数，求a的取值范围.

*1*2f(*1)f(*2)(*1*2)(f(*∵f(*)单调递增，所以f(*1)-f(*2)0.a),∵f(*)单调递增，所以f(*12)-f(*2)0.∵f(*)单调递增，所2∵f(*)单调递增，所以1)-f(*)0.11)-f(**2∵f(*)单调递增，所以*1122)0.∵f(*)单调递增，所以f(*f(*1)-f(*2)0.又1-*0,又*1-*220,0,又*-*20,-*220,∵f(*)单调递增，所以f(*1)-f(*2)0.又*1-*20,1又1*1-*又**1+*21*+*+*2-a0恒成立.*1+**11+*2那么需要20,**+*22-a0恒成立.12又*1-*22那么需要*2+1+*+1-a0恒成立.-a0恒成立.那么需要那么需要2+1+*2222-a0恒成立.那么需要2那么需要*12***2*1+1+2*2+1*1+1+1+*+12+1*1+1+*11+1+2+12那么需要2222≥*1+1,2*22222+1,-a0恒成立.∵1≤*1*22*122222222222*2+1,∵1≤***22*≥*+1,2****2+1,∵1≤**2*2≥**2*+1+1+1,2*22+1,2*≥*≥*1+1,2*222+1,≥*+1,2*22*222∵1≤*122*111∵1≤*111*22*1111*2+1∵1≤*12122∴2*1≥2*12+1,2*2*22+1.2*≥2+1,2*2*+1.2∴2*1≥≥*+1,≥*2+1,2*2*+1.1+1,22∴2*1≥*1*12+1,12222+1.∴∵1≤*∴111*22*12*2**2+1.22+1,∴1+*1≥*2+1,*122***22*12*+*22212相加得2(*1+*2)*2122(*+*)2*+1+*22+1**+*2*22222,+1+2+1,22相加得1≥1+*+1,1+1+*2**2+1*21*1+*+1,2,1+*21*12))*+1+2+1212*22∴2*+1.相加得2(*1+*2)12+1+2*2+12相加得2(*221+1222222相加得2(*1+*2**1*+1**+1+1222+12*相加得*2(*2*11*+122+11+*)1*+1*+1222*1+*221222相加得22.,∴0a≤22(*1+*2)*1+1+*2+122∴0a≤2.∴0a≤.2*+1*2+12

(3)解:任取1≤*1*2,

06函数的单调性与最值

探究提高(1)证明函数的单调性用定义法的步骤是:值—作差—变形—确定符号—下结论.(2)利用导数证明的一般步骤为：求导，判断导函数在区间上的符号，下结论.导数法是比较常用的一种方法.取

06函数的单调性与最值

变式训练1

*已知f(*)=(*≠a).*-a(1)假设a=-2,试证f(*)在(-∞,-2)内单调递增；(2)假设a0且f(*)在(1,+∞)内单调递减，a的取值范围.求

2*1-*2*1*2∵(*1+2)(*2+2)0,*1-*20,∵(*+2)(*+2)0,*-*0,*1)-f(*2)=1+2)(*2+2)0,*1-*20,.∵(*1-*22=*1+2*2+212*1+2+2∴f(*1)f(*2),∴f(*)在(-∞,-2)内单调递增.∴f(*1)f(*2),∴f(*)在(-∞,-2)内单

调递增.∴f(*1)f(*2),∴f(*)在(-∞,-2)内单调递增.+2)(*+2)0,*-*0,212

证明:(1)任设**22-2,(1)证明:任设*11*-2,证明:(1)任设*1*2-2,*1*11-*22*1-*2*1--*2*2=2*2*1-*2.*2那么f(*1)-f(*2)===.那么f(*1)-f(*)=那么f(*1设*1*2-2,)-f(*2)=1*1+2-+2*1*1+2*2+2.2*+2*2*2+2+2*2+2*+2*+2*+2*+21212

1)f(*2),∴f(*)在(-∞,-2)内单调递增.

06函数的单调性与最值

(1)假设a=-2,试证f(*)在(-∞,-2)内单调递增；(2)假设a0且f(*)在(1,+∞)内单调递减，a的取值范围.求

(2)解：任设1*1*2解:(2)任设1*12,那么那么解:(2)任设1*1**2,,那么解:(2)任设1*1*2,2*1那么*2a*a*-*解:(2)任设1*1*那么,*2-*1f(*1)-f(*21*21解:f(*)-f(*)=*,1那么-*2*2=2-*2.1.(2)任设1*)=*--=a*-*1.f(*1)-f(*2)=11-a*22*2=*a*22-*1*-a**1-a*2-aa*112*1-aa-a1-a*2-a..****12-*1*1-a2*22==1a*-a*2-af(*1)-f(*2)=*1f(*1)-f(*2)=-a*-a*-a*-a*1*1-a*2f(*1)-f(*2)=0,-2*2-a11-a*2-a∵a0,*2-*1*1-a*2-a=*1-a*2-a.∵a0,*2-*10,∵a0,*2-*10,∵a0,*2-*10,)0,只需(*-a)(*-a)0恒成立，∵a0,f(*1)-f(*22-*10,∴要使*-*0,12∵a0,f(*1)-f(*2)0,只需(*1-a)(*2-a)0恒成立，*2f(*)-f(*)0,只需(*-a)(*-a)0恒成立，1∴要使∴要使f(*1)-f(*212∴要使f(*1)-f(*2)0,只需(*1-a)(*2-a)0恒成立，∴要使1)0,只需(*1-a)(*2-a)0恒成立，2∴a≤1.∴要使∴a≤1.f(*1)-f(*2)0,只需(*1-a)(*2-a)0恒成立，∴a≤1.∴a≤1.∴a≤1.综上所述知0a≤1.∴a≤1.综上所述知0a≤1.综上所述知0a≤1.综上所述知0a≤1.综上所述知0a≤1.综上所述知0a≤1.

06函数的单调性与最值

题型二

求函数的单调区间

【例2】求函数ylog1(*23*2)的单调区间.

解:令u=*-3*+2,那么原函数解:令u=*-3*+2,那么原函数解:令u=*-3*+2,那么原函数解:令可以看作y=logu11与与u=*22-3*+2的复合函数.y=logu与u=*22-3*+2的复合函数.可以看作y=log1uu=*2-3*+2的复合函数.可以看作y=log11u与u=*-3*+2的复合函数.可以看作22222

2222-3*+2,那么原函数2u=*2-3*+2,那么原函数

22令u=*2-3*+20,那么*1*1*2.*2.u=*22-3*+20,那么*1或*2.-3*+20,那么或或令u=*-3*+20,那么*1或*2.22*223*2)的定义域为(-∞,1)∪(2,+log1*32)2)的定义域为(-∞,1)∪(2∴函数yy

log(11((*233*的定义域为(-∞,1)∪(2,+∞).log1∴函数ylog1*(**2)的定义域为(-∞,1)∪(2,+∴函数22222

又u=*-3*+2的对称轴*=,且开口向上.u=*-3*+2的对称轴,且开口向上.又u=*-3*+2的对称轴*=*=22,且开口向上.222222-3*+2在(-∞,1)上是单调减函数，∴u=*-3*+2在(-∞,1)上是单调减函数，∴u=*-3*+2在(-∞,1)上是单调减函数，∴u=*-3*+2在(-∞,1)上是单调减函数，在(2,+∞)上是单调增函数.在(2,+∞)上是单调增函数.在(2,+∞)上是单调增函数.在(2,+∞)上是单调增函数.

3223,且开口向上.3*=3,且开口向上.2-3*+2的对称轴u=*2-3*+2的对称轴*=

06函数的单调性与最值

而ylog1u在(0,+∞)上是单调减函数，而ylog12u在(0,+∞)上是单调减函数，而ylog1u在(0,+∞)上是单调减函数，222∴ylog((*3*2)的单调减区间为(2,+∞),2∴ylog1*3*2)的单调减区间为(2,+∞),∴ylog(*3*2)的单调减区间为(2,+∞),

单调增区间为(-∞,1).单调增区间为(-∞,1).单调增区间为(-∞,1).

12122

2

探究提高

求函数的单调区间与确定单调性的方法全都.(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间.(2)定义法:先求定义域，再利用单调性定义.(3)图象法:假如f(*)是以图象形式给出的，或者f(*)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间.(4)导数法:利用导数取值的正负确定函数的单调区间.(5)此题的易错点是忽视函数的定义域.

06函数的单调性与最值

变式训练2

求函数y=*2+*-6的单调区间.222+*-6,解:令u=*22u=*2解:令u=*2+*-6,解:令u=*+*-6,解:令+*-6,解:令u=*+*-6,解:令u=*+*-6,222y=**22+*-6可以看作有y=u=*2u=*22+*-6的复合2y=*+*-6可以看作有y=y=u与u=*22+*-6的复合函u与u与u=*2+*-6的复合+*-6的复合函数.2+*-6可以看作有y=u与u=*2+*-6的复合y=*+*-6可以看作有y=u与u=*+*-6的复合函y=y=*+*-6可以看作有y=*+*-6可以看作有y=u与由u=*2222+*-6≥0,得：*≤-3或*≥2.u=*22由u=*2+*-6≥0,得：*≤-3或*≥2.由u=*+*-6≥0,得：*≤-3或*≥2.*≥2.由+*-6≥0,得：*≤-3或由u=*+*-6≥0,得：*≤-3或*≥2.由u=*2+*-6≥0,得：*≤-3或*≥2.∵u=*2+*-6在(-∞,-3]上是减函数，∵u=*2222+*-6在(-∞,-3]上是减函数，∵u=*+*-6在(-∞,-3]上是减函数，∵u=*+*-6在(

-∞,-3]上是减函数，∵u=*2+*-6在(-∞,-3]上是减函数，∵u=*+*-6在(-∞,-3]上是减函数，在[2,+∞)为增函数，在[2,+∞)为增函数，在[2,+∞)为增函数，在[2,+∞)上是增函数，在[2,+∞)为增函数，在[2,+∞)为增函数，而y=u在(0,+∞)上是增函数.而y=u在(0,+∞)上是增函数.而y=u在(0,+∞)上是增函数.而y=u在(0,+∞)上是增函数.而y=u在(0,+∞)上是增函数.而y=u在(0,+∞)上是增函数.∴y=*2+*-6的单调减区间为(-∞,-3],*22+*-6的单调减区间为(-∞,-3],∴y=*22+*-6的单调减区间为(-∞,-3],∴y=*2+*-6的单调减区间为(-∞,-3],∴y=*2+*-6的单调减区间为(-∞,-3],∴y=*+*-6的单调减区间为(-∞,-3],∴y=单调增区间为[2,+∞).单调增区间为[2,+∞).单调增区间为[2,+∞).单调增区间为[2,+∞).单调增区间为[2,+∞).单调增区间为[2,+∞).

06函数的单调性与最值

题型三

抽象函数的单调性及最值

【例3】已知函数f(*)对于任意*,y∈R,总有f(*)+f(y)=f(*+y),2且当*0时，f(*)0,f(1)=-.3(1)求证：f(*)在R上是减函数；(2)求f(*)在[-3,3]上的最大值和最小值.证明:(1)∵函数f(*)对于任意*,y∈R总有f(*)+f(y)=f(*+y),(1)∵函数f(*)对于任意y∈R总有f(*)+f(y)=f(*+证明:(1)∵函数f(*)对于任意*,y∈R总有f(*)+f(y)=f(*+y),证明:(1)∵函数f(*)对于任意*,*,y∈R总有f(*)+f(y)=f(*+y)f(*)+f(y)=f(*+y),(1)证明:方法一∵函数f(*)对于任意*,y∈R

∴令*=y=0,得f(0)=0.令y=-*,得f(-*)=-f(*).*=y=0,得f(0)=0.y=-*,得f(-*)=-f(*).∴令*=y=0,得f(0)=0.令y=-*,得f(-*)=-f(*).∴令*=y=0,得f(0)=0.令令y=-*,得f(-*)=-f(*上任取*,那么11-*20,在R上任取*111*,那么*11*-*0,上任取1*2,那么*-*220,在RR上任取****222,那么*-*20,f(*11)-f(*22)=f(*)+f(-*22)=f(*11-*2).f(*)-f(*2)=f(*)+f(-*)=f(*11-*2)-f(*)=f(*)+f(-*22)=f(*f(*1)-f(*2)=f(*1111)+f(-*)=f(*-*2).).

又∵*0时，f(*)0,而*1-*20,∴f(*1-*2)0,即f(*1)f(*2).因此f(*)在R上是减函数.

06函数的单调性与最值

(2)解:∵f(*)在R上是减函数，(2)解:∵f(*)在R上是减函数，∴f(*)在[-3,3]上也是减函数，∴f(*)在[-3,3]上也是减函数，

∴f(*)在[-3,3]上的最大值和最小值分别为f(-3)与f(3).∴f(*)在[-3,3]上的最大值和最小值分别为f(-3)与f(3).而f(3)=3f(1)=-2,f(-3)=-f(3)=2.而f(3)=3f(1)=-2,f(-3)=-f(3)=2.∴f(*)在[-3,3]上的最大值为2,最小值为-2.

∴f(*)在[-3,3]上的最大值为2,最小值为-2.

探究提高对于抽象函数的单调性的判断仍旧要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意*1,*2在f(*)f(*1)-f(*2)与0的大小，或1与1的大小.所给区间内比较f(*)

*有时依据需要，需作适当的变形：如*1=*21或*1=*2*2+(*1-*2)等.

2

06函数的单调性与最值

变式训练3

函数f(*)的定义域为(0,+∞),且对一切*0,y0都有

f(*)=f(*)-f(y),当*1时，有f(*)0.y(1)求f(1)的值；(2)判断f(*)的单调性并加以证明.

*)=f(*)-f(y),*)=f(*)-f(y),解:(1)∵当*0,y0时，f(=f(*)-f(y),(1)∵当*0,y0时，解:(1)∵当*0,y0时，f(f*()yyy∴令*=y0,∴令*=y0,∴令*=y0,那么f(1)=f(*)-f(*)=0.那么f(1)=f(*)-f(*)=0.那么f(1)=f(*)-f(*)=0.

(3)假设f(4)=2,求f(*)在[1,16]上的值域.

06函数的单调性与最值

那么f(*2)-f(*1)=f(*22),那么f(*2)-f(*1)=f((*)),f(*(2)设*1,*2∈(0,+∞),且*1那么f(*2)-f(*)=f(f*2*12,,变式训练311)=f())那么f(*22)-f(*1)=f(*2*,,f(*)-f(*)=那么2)-f(*1那么*1*)11*11且*1*22,那么f(*)-f(*)=f(*2),(2)设*1,*2∈(0,+∞),**221**)0.*22(∵*2*10,,∴2*1,∴f**22)0.*1*∵*2*10,∴211,∴ff(2*2)0.*0∴*21,∴*22∵*210,∴*1,∴2f()0.∵*22*0,,∴*11,∴(f((*10.∵**10.∵*f(*110∴*1*1f(*f),)*)0.1,∴2*)-f(*)=1*1那么2*1*111*1*11∵**0,∴*21,∴f(**121∴f(*2)f(*1),即f(*)在(0,+∞)上是增函数.*1*∴f(*2)f(*1),即f(*)在(0,+∞)上是增函数.∴f(*22)f(*),即f(*)在(0,+∞)上是增函数.∴f(*)f(*1),即f(*)在(0,+∞)上是增函数.),即f(*)在(0,+∞)上是增函数.f(*)在(0,+∞)上是增函数.∴f(*)f(*11),即f(*)在(0,+∞)上是增函数.1∴f(*22*2*2(3)由(2)知f(*)在[1,16]上是增函数.(3)由(2)知f(*)在[1,1,∴f()∴f(*f(*)在[1,16]上是增函数.∵*2*f(*)在[1,16]上是增函数.(3)由(2)知10,∴*16]上是增函数.0.2)f(*1),即f(*)在(0,+(3)由(2)知f(*)在[1,16]上是增函数.(3)由(2)知f(*)在[1,16]上是增函数.(3)由(2)知116]上是增函数.*1∴f(*)min=f(1)=0,f(*)ma*=f(16),∴f(*)min=f(1)=0,f(*)ma*=f(16),(3)由(2)知f(*)在[1,16]上是增∴f(*)min=f(1)=0,f(*)ma*=f(16),∴f(*)min=f(1)=0,f(*)ma*ma*=f(16),∴f(*)min=f(1)=0,f(*)ma*=f(16),=f(1)=0,f(*)=f(16),ma*=f(16),*)=f(*)-f(y),∴f(*2)f(*1),即f(*)在(0,+∞)上是增函数.∵f(4)=2,由ff**)=f(*)-f(y),f(y=f(*)-f(y),∴f(*)min=f(1)=0,f(*)ma*=∵f(4)=2,由(()∵f(4)=2,由f(**=f(*)-f(y),∵f(

4)=2,由f(()*))=f(*)-f(y),∵f(4)=2,由y∵f(4)=2,由fyy=f(*)-f(y),=f(*)-f(y),*(3)由(2)知f(*)在[1,16]上是增函数.

(2)设*1,*2∈(0,+∞),且*1*2,*2*

∵f(4)=2,由f()=f(*)-16)=f(16)-f(4),y16)=f(16)-f(4),知ff((16)=f(16)-f(4),16)=f(1)=0,f(*)ma*=f(16),知ff((16知16∴f(*)min=f(16)-f(4),知f(4)=f(16)-f(4),4知44=f(16)-f(4),知知f(16)=f(16)-f(4),44∴f(16)=2f(4)=4,∵f(4)=2,由f(*)=f(*)-f(y),4∴f(16)=2f(4)=4,∴f(16)=2f(4)=4,∴f(16)=2f(4)=4,y∴f(16)=2f(4)=4,∴f(16)=2f(4)=4,

yy

∴f(*)在[1,16]上的值域为[2,4].∴f(*)在[1,16]上的值域为[2,4].∴f(16)=2f(4)=4,∴f(*)在[1,16]上的值域为[2,4].∴f(*)在[1,16]上的值域为[2,4].16)=f(16)-f(4),4].∴f(*)在[1,16]上的值域为[2,4].知f(∴f(*)在[1,16]上的值域为[2,4].∴f(*)在[1,16]上的值域为[2

06函数的单调性与最值

题型四函数的单调性与不等式三例4:函数f(*)对任意的m,n∈R,都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1,并且*0时，恒有f(*)1.(1)求证：f(*)在R上是增函数；(2)假设f(3)=4,解不等式f(a2+a-5)2.(1)证明:设*11*22,∴*22-*110,(1)证明:设**,∴*-*0,(1)证明:设*1*2,∴*2-*10,当*0时，f(*)1,∴f(*22-*11)1.当*0时，f(*)1,∴f(*-*)1.当*0时，f(*)1,∴f(*2-*1)1.f(*22)=f[(*22-*11)+*11]=f(*22-*11)+f(*11)-1,f(*)=f[(*-*)+*]=f(*-*)+f(*)-1,f(*2)=f[(*2-*1)+*1]=f(*2-*1)+f(*1)-1,∴f(*22)-f(*11)=f(*22-*11)-10f(*11)f(*22),∴f(*)-f(*)=f(*-*)-10f(*)f(*),∴f(*2)-f(*1)=f(*2-*1)-10f(*1)f(*2),

[2分][2分][2分][4分][4分][4分][6分][6分][6分][8分][8分][8分]

∴f(*)在R上为增函数.∴f(*)在R上为增函数.∴f(*)在R上为增函数.(2)解:∵m,n∈R,不妨设m=n=1,(2)解:∵m,n∈R,不妨设m=n=1,(2)解:∵m,n∈R,不妨设m=n=1,∴f(1+1)=f(1)+f(1)-1f(2)=2f(1)-1,∴f(1+1)=f(1)+f(1)-1f(2)=2f(1)-1,∴f(1+1)=f(1)+f(1)-1f(2)=2f(1)-1,

06函数的单调性与最值

(1)证明:设**2,∴*2-*10,(1)证明:设*11*2,∴*2-*-*1)1.当*0时，f(*)1,∴f(*10,[2分](1)证明:设*1*2,∴*2-*2120,)1.当*0时，f(*)1,∴f(*-*1[2分]当2*0时，f(*)1,∴f(*22-*1)1.1)-1,*0时，f(*)1,∴f(*-*)1.时，f(*)1,∴f(*-*1)1.[2分]分]f(**0)=f[(*2-*1)+*1[4分](1)求证：f(*)在R]=f(*2-*1)+f(*当2)=f[(*2-*1)+*1上是增函数；1)-1,[2分]当*0时，f(*)1,∴f(*2-*1)1.[2分]f(*[4当f(*2)=f[(*2-*1)+*]=f(*2-*1)+f(*1)-1,[2[

4分]22-*1)+f(*1分]1]=f(*f(*2)=f[(*2-*1)+*1]=f(*2-*2+a-5)2.)=f[(*-*)+*-*1)-10f(*1)f(*2),-*)+*]=f(*-*1)+f(*1)-1,]=f(*-*)+f(*)-1,)+f(*)-1,[4分]分]∴f(*2)-f(*1)=f(*21f(*)=f[(*21[4(2)假设f(*2)=f[(*2-*1)+*21]=f(*2-*1)+f(*)f(*2),[4分]211∴f(*f(3)=4,解不等式f(a1f(*222)-f(*1)=f(*1-*1)-10f(*11)-1,[4分]2121∴f(*2)-f(*1)=f(*2-*1)-10f(*1)f(*2),∴f(*2)-f(*1)=f(*2-*1)-10f(*1)f(*2),∴f(*)在R11)=f(*2-*1)-10f(*1)f(*2),[6分]∴f(*2)-f(*)=f(*2-*1)-10f(*1)f(*2),∴f(*2)-f(*上为增函数.)-f(*上为增函数.∴f(*)在R1)=f(*2-*1)-10f(*1)f(*2),[6分]∴f(*2∴f(*)在R上为增函数.[6分]∴f(*)在R上为增函数.m=n=1,R上为增函数.上为增函数.[6分]分](2)解:∵m,n∈R,不妨设∴f(*)在R[6分]∴f(*)在R上为增函数.[6分](2)解:∵m,n∈R,不妨设∴f(*)在∵m,n∈R,不妨设m=n=1,[6(2)解:m=n=1,(2)解:∵m,n∈R,不妨设m=n=1,∵m,n∈R,不妨设m=n=1,∴f(1+1)=f(1)+f(1)-1f(2)=2f(1)-1,[8分](2)解:∵m,n∈R,不妨设m=n=1,(2)解:∵m,n∈R,不妨设m=n=1,∴f(1+1)=f(1)+f(1)-1f(2)=2f(1)-1,[8分](2)解:∴f(1+1)=f(1)+f(1)-1f(2)=2f(1)-1,[8分]∴f(1+1)=f(1)+f(1)-1f(2)=2f(1)-1,[8分]f(3)=4f(2+1)=4f(2)+f(1)-1=43f(1)-2=4,分]∴f(1+1)=f(1)+f(1)-1f(2)=2f(1)-1,[8分]∴f(1+1)=f(1)+f(1)-1f(2)=2f(1)-1,[8分]f(3)=4f(2+1)=4f(2)+f(1)-1=43f(1)-2=4,∴f(1+1)=f(1)+f(1)-1f(2)=2f(1)-1,[8f(3)=4f(2+1)=4f(2)+f(1)-1=43f(1)-2=4,f(3)=4f(2+1)=4f(2)+f(1)-1=43f(1)-2=4,∴f(1)=2,f(2)=22-1=3,f(3)=4f(2+1)=4f(2)+f(1)-1=43f(1)-2=4,f(3)=4f(2+1)=4f(2)+f(1)-1=43f(1)-2=4,∴f(1)=2,f(2)=22-1=3,f(3)=4f(2+1)=4f(2)+f(1)-1=43f(1)-2=4,∴f(1)=2,f(2)=22-1=3,∴f(1)=2,f(2)=22-1=3,∴f(a22+a-5)2=f(1),[10分]∴f(1)=2,f(2)=22-1=3,∴f(1)=2,f(2)=22-1=3,∴f(a+a-5)2=f(1),[10分]2∴f(1)=2,f(2)=22-1=3,∴f(a+a-5)2=f(1),2[10分]22+a-5)2=f(1),∴f(a2+a-5)2=f(1),[10分]∵f(*)在R上为增函数，∴a2+a-51-3a2,[10分]∴f(a+a-5)2=f(1),[10分]∴f(a2+a-5)2=f(1),∵f(*)在R上为增函数，∴a+a-51-3a2,[10分]∴f(a∵f(*)在R上为增函数，∴a2+a-51-3a2,∵f(*)在R上为增函数，∴a22+a-51-3a2,[12分]

R上为增函数，∴a2+a-51-3a2,即a∈(-3,2).∵f(*)在R上为增函数，∴a+a-51-3a2,∵f(*)在R上为增函数，∴a2+a-51-3a2,[12分]即a∈(-3,2).∵f(*)在即a∈(-3,2).[12分]即a∈(-3,2).a∈(-3,2).[12分]分]即a∈(-3,2).[12分]即a∈(-3,2).[12分]即[12

06函数的单调性与最值

函数的单调性与最值

06函数的单调性与最值

知识网络定义函数的概念三要素表示定义域对应法那么值域单调性对称性函数的基本性质奇偶性周期性最值函数常见的几种变换基本初等函数

列表法解析法图象法观测法、判别式法、分别常数法、单调性法、最值法、重要不等式、三角法、图象法、线性规划等

1.求单调区间：定义法、导数法、用已知函数的单调性.2.复合函数单调性：同增异减.1.先看定义域是否关于原点对称，再看f(-*)=f(*)还是-f(*).2.奇函数图象关于原点对称，假设*=0有意义，那么f(0)=0.3.偶函数图象关于y轴对称，反之也成立.f(*+T)=f(*);周期为T的奇函数有：f(T)=f(T/2)=f(0)=0.二次函数、基本不等式，对勾函数、三角函数有界性、线性规划、导数、利用单调性、数形结合等.平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换.

函数

正(反)比例函数;一次(二次)函数;幂、指、对函数;单调性：同增异减定义、图象、性质和应用

复合函数抽象函数函数与方程函数的应用常见函数模型

赋值法函数零点、二分法、一元二次方程根的分布

幂、指、对函数模型；分段函数；对勾函数模型

06函数的单调性与最值

要点梳理1.函数的单调性

忆一忆知识要点

(1)单调函数的定义增函数减函数一般地，设函数f(*)的定义域为A,区间MA.假如取区间M中的任意两个自变量*1,*2定当*1*2时，都有当*1*2时,都有义f(*1)f(*2)____________,那么函数__________,那么函数f(*)f(*1)f(*2)f(*)在区间M上是增函数在区间M上是减函数图象描上升的下降的述自左向右看图象是______自左向右看图象是_____

06函数的单调性与最值

要点梳理

忆一忆知识要点

(2)单调区间的定义增函数减函数假设函数f(*)在区间M上是_______或________,那么称函数f(*)在这一区间具有(严格的)单调性，________叫做y区间M=f(*)的单调区间.

2.函数的最值前提设函数y=f(*)的定义域为I,假如存在实数M满意(3)对于任意*∈I,都有f(*)≥M;(4)存在*0∈I,使得f(*0)=M.

(1)对于任意*∈I,都有f(*)≤M;条件(2)存在*0∈I,使得f(*0)=M.结M为最大值论

M为最小值

06函数的单调性与最值

题型一

函数单调性的判断及应用

【例1】已知函数f(*)=*2+1-a*,其中a0.(1)假设2f(1)=f(-1),求a的值；(2)证明：当a≥1时，函数f(*)在区间[0,+∞)上为单调减函数；(3)假设函数f(*)在区间[1,+∞)上是增函数，求a的取值范围.

(1)解:由2f(1)=f(-1),可得2-2a=2+a,22-2a=2+a,(1)解:由2f(1)=f(-1),可得222得a=.得a=.33

06函数的单调性与最值

(2)证明:任取*1,*2∈[0,+∞),且*1*2,12减函数；

(2)证明：当a≥1时，函数f(*)在区间[0,+∞)上为单调(2)证明:任取*,*∈[0,+∞)

,且

2222f(**2+1+a*2f(*1)-f(**,*2∈[0,+∞),且*)=22**∈[0,+∞),且*,(2)证明:任取***11,*22+1-a*1-1)-f(*2*1*,1+1-a*1-*2+(2)证明:任取2)=,*21∈[0,+∞),且**11*,,1(2)证明:任取f(*)在区间[1,+∞)上是增函数，求a的取值(2)证明:任取∈[0,+∞),且12(2)证明:任取*,*2∈[0,+∞),且*1*2,2(2)证明:任取11,*2∈[0,+∞),且1*22(3)假设函数222=2*22+1-*2+1-a(*1-*2)*2+1+a*22=)-f(*2)=**22+1-a*11-)22+1+a**1+1-+1-a(*f(*11)-f(*)=**+1-a*--*2+1+a*2222f(*1)-f(*2222)=2**11+1-a*1-*2*122+1+a**f(*11)-f(*)=221+1-a*-*22222f(*)-f(*)=11+1-a*1-22)-f(*1f(*1范围.f(*+1+a*211*1-*2*1-*2222222=**122+1-***2+1-a(*1-*2)2))2=**11+1-2*22+1-a(*1-*22*1+1-2+1-a(*1-*=112+1-22+1-a(*11-*+1-a(*==*22+1-*+1-a(*1-*2)222)*1+1+*2+1-a(*1-*2)2==*+1+22*+1-a(*-*221*2222222*-*22-*11-***2-*22**11-*221-*2*1+*2=2=-a(*-*=-a(*=*22221-a(*1=(*22*-a(*1-*2)2))=2*+1+**2+1-a(*11-*22)2)-*)-a(*1-*1+*21-*2*-*2)*+111+1+2+1**111+1+*2*22+1+1+222+1-a.2*2+1+*2+1-a.*11+1+22+1+1+=(*1212*+**1+1+*2*2+112**11+*21+***+*222(*1*2)(a).1*1+*2*1+*222∵0≤*1*1+1,0*2*2+1,-a...-a-a.22222.=(*-*))+1,0*2-a=(*-*=(*-*=(*11-*222)2*2122-a=(*11-*2***+1+*22+1